Bộ chuyên đề Toán 10 gồm Tóm tắt lý thuyết, hệ thống bài tập trắc nghiệm có giải chi tiết.CHUYÊN ĐỀ 4. BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNHChủ đề 1: Bất đẳng thức.Chủ đề 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.Chủ đề 3: Bất phương trình bậc nhất, bậc hai.Chủ đề 4: Dấu của nhị thức bậc nhất.Chủ đề 5: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn.Chủ đề 6. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.Chủ đề 7. Dấu của tam thức bậc hai.
Chương 44 BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH § BẤT ĐẲNG THỨC Điều kiện Nội dung Cợng hai vế với số bất ki a < b ⇔ a+ c < b+ c (1) một số dương: c > a < b ⇔ ac < bc (2a) một số âm: c < a < b ⇔ ac > bc (2b) Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều a > b ⇔ a+ c > b+ d c > d (3) Nhân từng vế BĐT biết nó dương a > b > ⇔ ac > bd c > d > (4) Mũ le a < b ⇔ a2n+1 < b2n+1 (5a) Mũ chẵn < a < b ⇔ a2n < b2n (5b) a> a< b⇔ a < b (6a) a bất ky a< b⇔ a < b (6b) Nhân hai vế Nâng lũy thừa với n∈ ¢ + Lấy hai vế Nếu a, b cùng dấu: Nghịch đảo ab> Nếu a, b trái dấu: ab< a> b⇔ 1 < a b (7a) a> b⇔ 1 > a b (7b) BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM) a+ b ≥ ab Dấu " = " xảy a = b a+ b+ c ∀a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ ta có: ≥ abc Dấu " = " xảy a = b = c ∀a ≥ 0; b ≥ ta có: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACƠPXKI (CAUCHY SCHWARZ) (ax + by )2 ≤ (a2 + b2 )(x2 + y2 ) ∀x; y; a; b∈ ¡ thì: + by ≤ (a + b )(x + y ) ax 2 2 × Dấu " = " xảy x y = , (a; b ≠ 0) a b (ax + by + cz )2 ≤ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y2 + z2 ) ∀x; y; z; a; b; c∈ ¡ thì: × + by + cz ≤ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y2 + z2 ) ax Dấu " = " xảy x y z = = (a; b; c ≠ 0) a b c x y x2 y2 (x + y)2 ∀x; y ∈ ¡ a > 0, b > + ≥ × Dấu " = " xảy = × a a+ b b a b x y z y x z (x + y + z) ∀x; y; z ∈ ¡ a > 0, b > 0, c > + + ≥ × Dấu " = " ⇔ = = × 2 a b c a+ b+ c a b c Trang 1/9 Câu Cho bất đẳng thức a − b ≤ a + b Dấu đẳng thức xảy nào? A a = b B ab ≤ C ab ≥ Hướng dẫn giải D ab = Chọn B Tính chất bất đẳng thức Câu Giá trị nhỏ nhất biểu thức x + x với x ∈¡ là: A − B − C D Hướng dẫn giải Chọn C x ≥ Ta có: ⇒ x +3 x ≥ x ≥ Câu Cho biểu thức f ( x ) = − x Kết luận sau đúng? A.Hàm số f ( x ) có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất B.Hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất C Hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất D Hàm số f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất không có giá trị lớn nhất Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f ( x ) ≥ f ( 1) = ; f ( x ) ≤ f ( ) = Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhấtbằng Câu Cho hàm số f ( x ) = Mệnh đề sau đúng? x2 + A f ( x ) có giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất B f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất C f ( x ) có giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất D f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: < f ( x ) ≤ 1; ∀x ∈ ¡ f ( ) = Vậy f ( x ) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất Câu Cho biết hai số a b có tổng Khi đó, tích hai sớ a b 9 A có giá trị nhỏ nhất B có giá trị lớn nhất 4 C có giá trị lớn nhất D không có giá trị lớn nhất Hướng dẫn giải Chọn D Vi a b hai số bất ki nên không xác định giá trị lớn nhất tích ab Câu Cho ba số a ; b ; c thoả mãn đồng thời: a + b − c > ; b + c − a > ; c + a − b > Để ba số a ; b ; c ba cạnh một tam giác thi cần thêm đều kiện gi ? A Cần có cả a, b, c ≥ B Cần có cả a, b, c > C Chỉ cần một ba số a, b, c dươngD Không cần thêm điều kiện gi Trang 2/9 Hướng dẫn giải Chọn B Câu Trong các hinh chữ nhật có cùng chi vi thi A Hinh vng có diện tích nhỏ nhất B Hinh vng có diện tích lớn nhất C Khơng xác định hinh có diện tích lớn nhất D Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải Chọn B Ý nghĩa hinh học bất đẳng thức Cô si Câu Tim mệnh đề đúng? 1 A a < b ⇒ ac < bc B a < b ⇒ > a b C a < b c < d ⇒ ac < bd D a < b ⇒ ac < bc, ( c > ) Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu Suy luận sau đúng? a > b a > b a b ⇒ > A ⇒ ac > bd B c d c > d c > d a > b a > b > C ⇒ a−c > b−d D ⇒ ac > bd c > d c > d > Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu 10 Trong các tính chất sau, tính chất sai? a < b 0 < a < b a b ⇒ < ⇒ a+c B a < b ⇒ ac < bc C ⇒ ac < bd D Cả A, B, C đều a b c < d sai Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu 12 Mệnh đề sau sai? a < b a ≤ b ⇒ a+c < b+d ⇒ ac < bd A B c < d c ≤ d a ≤ b ⇒ a−c < b−d C D ac ≤ bc ⇒ a ≤ b ( c > ) c > d Hướng dẫn giải Chọn B Tính chất bất đẳng thức Trang 3/9 Câu 13 Cho biểu thức P = −a + a với a ≥ Mệnh đề sau mệnh đề đúng? 1 A.Giá trị nhỏ nhất P B.Giá trị lớn nhất P 4 1 C.Giá trị lớn nhất P D P đạt giá trị lớn nhất a = Hướng dẫn giải Chọn B ( ) 1 Ta có: P = − a + a = − a + a = − a − ÷ ≤ 2 Câu 14 Giá trị lớn nhất hàm số f ( x ) = x − 5x + 11 11 A B C 11 Hướng dẫn giải Chọn D D 11 11 11 Ta có: x − x + = x − ÷ + ≥ ; ∀x ∈ ¡ 2 4 8 ≤ Vậy giá trị lớn nhất hàm số Suy ra: f ( x ) = x − x + 11 11 Câu 15 Cho f ( x ) = x − x Kết luận sau đúng? A f ( x ) có giá trị nhỏ nhất B f ( x ) có giá trị lớn nhất C f ( x ) có giá trị nhỏ nhất − D f ( x ) có giá trị lớn nhất Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 1 2 f ( x ) = x − x = − x − x + ÷+ = − x − ÷ ≤ f ÷ = 2 4 4 2 Câu 16 Bất đẳng thức ( m + n ) ≥ 4mn tương đương với bất đẳng thức sau đây? A n ( m − 1) − m ( n − 1) ≥ 2 B m + n ≥ 2mn C ( m + n ) + m − n ≥ D ( m − n ) ≥ 2mn Hướng dẫn giải 2 Chọn B ( m + n) ≥ 4mn ⇔ m + 2mn + n ≥ 4mn ⇔ m + n ≥ 2mn Câu 17 Với a, b ≠ , ta có bất đẳng thức sau đúng? A a − b < B a − ab + b < C a + ab + b > Hướng dẫn giải D a − b > Chọn C 2 b b 3b b 3b a + ab + b = a + 2a + ÷ + = a + ÷ + > 0; ∀b ≠ 2 2 Câu 18 Với hai số x , y dương thoả xy = 36 , bất đẳng thức sau đúng? 2 A x + y ≥ xy = 12 B x + y ≥ xy = 72 C 4xy ≤ x + y Hướng dẫn giải x+ y D ÷ ≥ xy = 36 Chọn A Trang 4/9 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có: x + y ≥ xy = 36 = 12 Câu 19 Cho hai số x , y dương thoả x + y = 12 , bất đẳng thức sau đúng? x+ y B xy < ÷ = 36 D xy ≥ Hướng dẫn giải A xy ≤ C 2xy < x + y Chọn A Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y Ta có: x+ y xy ≤ =6 Câu 20 Cho x , y hai số thực bất ky thỏavà xy = Giá trị nhỏ nhất A = x + y A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x y Ta có: A = x2 + y ≥ x2 y = Câu 21 Cho a > b > và x = A x > y C x = y ( xy ) = Đẳng thức xảy x = y = 1+ a 1+ b y= Mệnh đề nào sau đúng? , 1+ a + a + b + b2 B x < y D Không so sánh Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 Ta có: = a + = b + y b +1 x a +1 1 Suy ra: − = ( a − b ) 1 − x y ( a + 1) ( b + 1) Do a > b > nên a + > b + > suy ra: ( a + 1) ( b + 1) < ⇒ 1− ( a + 1) ( b + 1) >0 1 1 1 − > ⇔ > x > y > nên > ⇔ x < y x y x y x y Câu 22 Với a, b, c, d > Trong các mệnh đề sau mệnh đề sai? a a a+c a a a+c A < ⇒ < B > ⇒ > b b b+c b b b+c a c a a+c c < C < ⇒ < D Có ít nhất hai ba mệnh đề b d b b+d d sai Hướng dẫn giải Chọn D a a + c ( a − b) c = Ta có: − suy A, B b b + c b ( b + c) Vậy a + b2 a + b Câu 23 Hai số a, b thoả bất đẳng thức ≤ ÷ thì A a < b B a > b C a = b Hướng dẫn giải Chọn C D a ≠ b Trang 5/9 2 a + b2 a + b 2 ≤ ÷ ⇔ 2a + 2b ≤ ( a + b ) ⇔ ( a − b ) ≤ ⇔ a = b a b Câu 24 Cho a, b > Chứng minh + ≥ Một học sinh làm sau: b a a b a + b2 I) + ≥ ⇔ ≥ ( 1) b a ab II) ( 1) ⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ a + b − 2ab ≥ ⇔ (a − b) ≥ a b III) ( a − b ) ≥ ∀a, b > nên + ≥ b a Cách làm : A Sai từ I) B Sai từ II) C Sai III) D Cả I), II), III) đều Hướng dẫn giải Chọn D Câu 25 Cho a, b, c > Xét các bất đẳng thức sau: a b a b c 1 1 + ≥2 II) + + ≥ III) ( a + b ) + ÷ ≥ b a b c a a b Bất đẳng thức đúng? A Chỉ I) B Chỉ II) C Chỉ III) D Cả ba đều Hướng dẫn giải Chọn D a b a b a b c a b c Ta có: + ≥ = ⇒ ( I ) đúng; + + ≥ 3 = ⇒ ( II ) đúng; b a b a b c a b c a a + b ≥ ab 1 1 1 ⇒ ( a + b ) a + b ÷ ≥ ⇒ ( III ) + ≥2 a b ab a b a b c 1 + ≥ ( I) , + + ≥ ( II ) , + + ≥ Câu 26 Cho các bất đẳng thức: ( III ) b a b c a a b c a+b+c (với a, b, c > ) Bất đẳng thức nào các bất đẳng thức đúng? A chỉ I đúng B chỉ II đúng C chỉ III đúng D I , II , III đều đúng Hướng dẫn giải Chọn D a b a b a b c a b c Ta có: + ≥ = ⇒ ( I ) đúng; + + ≥ 3 = ⇒ ( II ) đúng; b a b a b c a b c a 1 1 1 1 + + ≥ 33 1 1 ⇒ ( III ) abc ⇒ ( a + b + c ) + + ÷ ≥ ⇒ + + ≥ a b c a b c a +b+c a b c a + b + c ≥ 3 abc Câu 27 Cho a, b, c > Xét các bất đẳng thức: I) 1 1 II) ( a + b + c ) + + ÷ ≥ III) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ a b c Bất đẳng thức đúng: A Chỉ I) II) B Chỉ I) III) C Chỉ I) D Cả ba đều Hướng dẫn giải I) a + b + c ≥ 3 abc Trang 6/9 Chọn A • a + b + c ≥ 3 abc ⇒ ( I ) đúng; • 1 1 1 1 + + ≥ 33 1 1 abc ⇒ ( a + b + c ) + + ÷ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ ( II ) đúng; a b c a b c a b c a + b + c a + b + c ≥ 3 abc a + b ≥ ab ; b + c ≥ bc ; c + a ≥ ca ⇒ ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc ⇒ ( III ) sai Câu 28 Cho a, b, c > Xét các bất đẳng thức: • a b c 2 I) 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ II) + b + c ÷ + c + a ÷ + a + b ÷ ≥ 64 b c a a b c III) a + b + c ≤ abc Bất đẳng thức đúng? A Chỉ I) B Chỉ II) C Chỉ I) II) D Cả ba đều Hướng dẫn giải Chọn C abc a a b b c c a b c ⇒ + ÷ + ÷ + ÷ ≥ =8⇒( I) ; ; 1+ ≥ 1+ ≥ 1+ ≥ bca b b c c a a b c a b c bc bc ; +c ≥ +b ≥ ⇒ + b + c ≥ = 44 a a a a a a a ac ab + c + a ≥ 44 ; + a + b ≥ 44 b b c c 2 Suy ra: + b + c ÷ + c + a ÷ + a + b ÷ ≥ 64 ⇒ ( II ) a b c Tương tự: Ta có: 3 abc ≤ a + b + c ≤ abc ⇔ ( abc ) ≥ ⇔ abc ≥ 3 ⇒ ( III ) sai Câu 29 Cho x, y, z > và xét ba bất đẳng thức(I) x + y + z ≥ 3xyz ; (II) x y z + + ≥ Bất đẳng thức nào đúng? y z x A Chỉ I đúng B Chỉ I và III đúng D Cả ba đều đúng Hướng dẫn giải Chọn B 1 + + ≤ ; x y z x+ y+ z (III) C Chỉ III đúng x + y + z ≥ 3 x y z = 3xyz ⇒ ( I ) đúng; 1 1 + + ≥ 33 1 1 1 xyz ⇒ + + ÷( x + y + z ) ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ ( II ) sai; x y z x y z x+ y+z x y z x + y + z ≥ xyz x y z x y z + + ≥ 3 = ⇒ ( III ) y z x y z x Câu 30 Cho a, b > và ab > a + b Mệnh đề nào sau đúng? A a + b = B a + b > C a + b < D a + b ≤ Hướng dẫn giải Chọn B Trang 7/9 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: Do đó: ab > a + b ⇔ ( a + b) ( a + b) ab ≤ > a + b ⇔ ( a + b) − ( a + b) > ⇔ ( a + b ) ( a + b − 4) > ⇔ a + b − > (vi a + b > ) ⇔ a + b > Câu 31 Cho a < b < c < d và x = ( a + b ) ( c + d ) , y = ( a + c ) ( b + d ) , z = ( a + d ) ( b + c ) Mệnh đê nào sau đúng? A x < y < z B y < x < z C z < x < y D x < z < y Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: x − y = ( a + b ) ( c + d ) − ( a + c ) ( b + d ) = a ( c + d ) + b ( c + d ) − a ( b + d ) − c ( b + d ) = a ( c − b ) + bd − cd = ( d − a ) ( b − c ) < Suy ra: x < y Tương tự: x − z = ( a − c ) ( d − b ) < ⇒ x < z ; y − z = ( a − b ) ( d − c ) < ⇒ y < z 3 Câu 32 Với m , n > , bất đẳng thức: mn ( m + n ) < m + n tương đương với bất đẳng thức 2 A ( m + n ) ( m + n ) ≥ 2 B ( m + n ) ( m + n + mn ) ≥ C ( m + n ) ( m − n ) > D Tất cả đều sai Hướng dẫn giải Chọn C mn ( m + n ) < m3 + n3 ⇔ m n − m3 + mn − n < ⇔ −m2 ( m − n ) + n2 ( m − n ) < ⇔ ( m − n ) Câu 33 Bất đẳng thức: ( m + n) > a + b + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e ) , ∀ a , b , c, d tương đương với bất đẳng thức sau đây? 2 2 2 2 2 2 b c d e A a − ÷ + a − ÷ + a − ÷ + a − ÷ ≥ 2 2 2 2 a a a a B b − ÷ + c − ÷ + d − ÷ + e − ÷ ≥ 2 2 2 2 a a a a C b + ÷ + c + ÷ + d + ÷ + e + ÷ ≥ 2 2 2 2 2 2 D ( a − b ) + ( a − c ) + ( a − d ) + ( a − d ) ≥ Hướng dẫn giải Chọn B a + b2 + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e ) 2 a2 2 a 2 a 2 a ⇔ − ab + b ÷+ − ac + c ÷+ − ad + d ÷+ − ae + e ÷ ≥ 2 2 a a a a ⇔ b − ÷ + c − ÷ + d − ÷ + e − ÷ ≥ 2 2 2 2 Câu 34 Cho x, y > Tim bất đẳng thức sai? A ( x + y ) ≥ xy 1 B + < x y x+ y C xy ≥ 2 D ( x + y ) ≤ x + y ( x + y) ( ) Trang 8/9 Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 1 ( x + y ) + ÷≥ ⇒ + ≥ đẳng thức xảy ⇔ x = y x y x y x + y 2 Câu 35 Cho x + y = , gọi S = x + y Khi đó ta có A S ≤ B S ≥ C − ≤ S ≤ Hướng dẫn giải D −1 ≤ S ≤ Chọn C Ta có: = x + y ≥ xy ⇒ xy ≤ Mặt khác: S = ( x + y ) = x + xy + y ≤ ⇒ − ≤ S ≤ Câu 36 Cho x, y hai số thực thay đổi cho x + y = Gọi m = x + y Khi đó ta có: A giá trị nhỏ nhất m B.giá trị nhỏ nhất m C giá trị lớn nhất m D.giá trị lớn nhất m Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: x + y = ⇒ y = − x Do đó: m = x + y = x + ( − x ) = x − x + = ( x − 1) + ≥ 2; ∀x ∈ ¡ Vậy giá trị nhỏ nhất m 2 x +1 x Câu 37 Với x > , các biểu thức: , , , , giá trị biểu thức x x +1 x −1 2 nhỏ nhất? 2 x A B C D x x +1 x −1 Hướng dẫn giải Chọn B 2 x x +1 < < Ta có: < x +1 x x −1 2 x x2 + x − ( x − 2) ( x + 2) + x x − = = > 0; ∀x > ⇒ > Mặt khác: x + ( x + 1) ( x + 1) x +1 x Câu 38 Giá trị nhỏ nhất hàm số f ( x ) = + với x >1 x −1 A 2 B C 2 D Hướng dẫn giải Chọn B x x −1 x −1 Ta có: f ( x ) = + = + + ≥2 + = x −1 x −1 2 x −1 2 Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất x−2 Câu 39 Cho x ≥ Giá trị lớn nhất hàm số f ( x ) = x 2 A B C D 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 2 Trang 9/9 x−2 1 1 1 Ta có f ( x ) ≥ f ( x ) = = − = − − ÷ ≤ ⇒ ≤ f ( x ) ≤ x x x 2 x 4 Vậy giá trị lớn nhất hàm số 2 Câu 40 Giá trị nhỏ nhất hàm số f ( x ) = x + với x > 0 x A B C D 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 Ta có: f ( x ) = x + ≥ 2 x = 2 x x Vậy hàm số f ( x ) có giá trị nhỏ nhất 2 a b c + + Câu 41 Với a, b, c > Biểu thức P = Mệnh đề nào sau đúng? b+c c+a a+b 3 A < P ≤ B < P C ≤ P D ≤ P 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 + + Ta có: P + = ( a + b + c ) ÷ b+c c+a a +b 1 + + ≥ Áp dụng bất đẳng thức suy x y z x+ y+z 1 + + ≥ b + c c + a a + b 2( a + b + c) Do đó P + ≥ ⇒ P ≥ ; đẳng thức xảy a = b = c 2 Trang 10/9 ra: ...Câu Cho bất đẳng thức a − b ≤ a + b Dấu đẳng thức xảy nào? A a = b B ab ≤ C ab ≥ Hướng dẫn giải D ab = Chọn B Tính chất bất đẳng thức Câu Giá trị nhỏ nhất biểu thức x + x với... học bất đẳng thức Cô si Câu Tim mệnh đề đúng? 1 A a < b ⇒ ac < bc B a < b ⇒ > a b C a < b c < d ⇒ ac < bd D a < b ⇒ ac < bc, ( c > ) Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức Câu... bất đẳng thức Câu 11 Tim mệnh đề các mệnh đề sau? a < b 1 A a < b ⇒ > B a < b ⇒ ac < bc C ⇒ ac < bd D Cả A, B, C đều a b c < d sai Hướng dẫn giải Chọn D Tính chất bất đẳng thức