100 câu hệ phương trình có giải chi tiết cực hay

100 câu hệ phương trình có giải chi tiết cực hay 100 câu hệ phương trình có giải chi tiết cực hay 100 câu hệ phương trình có giải chi tiết cực hay 100 câu hệ phương trình có giải chi tiết cực hay 100 câu hệ phương trình có giải chi tiết cực hay 100 câu hệ phương trình có giải chi tiết cực hay 100 câu hệ phương trình có giải chi tiết cực hay

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần I) 1.    22 2 2 2 2 xy y x xy xy           2.     22 ln 1 ln 1 12 20 0 x y x y x xy y              3. 3 3 2 22 22 2 2 6 3 9 2 0 11 log log 2 0 45 2 4 3 x y y x y xx yy yy                      4. 21 21 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y                  5.     22 2 2 32 1 1 3log 2 6 2log 2 1 yx x e y x y x y                6. 2 8 16 yx xy xy x y x y             7. 3 22 15 4 4 12 x y x y x xy y xy                 8.     2 3 4 6 2 22 2 1 1 x y y x x x y x             9. 2 3 2 3 1 6 1 1 6 1 x y y y x x                10. 42 22 698 81 3 4 4 0 xy x y xy x y             11.     3 3 2 3 1 23 xy xy        12.     2 1 2 2 1 32 1 4 .5 1 2 4 1 ln 2 0 x y x y x y y x y x                   13. 7 2 5 22 x y x y x y x y              14. 22 3 2 16 2 4 33 xy x y x y x y           15.       22 22 2 5 4 6 2 0 1 23 2 x y x y x y xy xy                16. 22 22 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y x y x y              17. 8 5 x x x y y y xy          18. 22 5 52 2 2 x xy y yx x y xy             19.     22 22 23 10 y x y x x x y y        20. 65 62 9 x x y x y x x y xy            21. 33 42 55 1 x y y x xy          22. 2 4 4 32 3 32 6 24 x x y x x y               23.    22 2 1 1 3 4 1 1 x y x y x x xy x x               24. 22 2 2 2 6 15 y xy x x y x        Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 2 25.    2 22 5 4 4 5 4 16 8 16 0 y x x y x xy x y               26.       2 2 14 12 x y x y y x x y y              27.    33 22 2 9 2 3 3 x y x y xy x xy y             28.     22 2 3 4 4 7 1 23 xy y x xy x xy               29. 5 2 3 4 42 5 32 42 y yx x yx                   30. 2 3 2 2 2 3 2 29 2 29 xy x x y xx xy y y x yy                31. 3 3 34 2 6 2 y x x x y y             32. 2 21 2 log 3log 2 xy x y e e xy            33.     32 32 12 12 x x x y y y y x              34.     22 2 1 1 1 35 0 12 1 x x y y y y x                 35.   2 42 39 4 2 3 48 48 155 0 xy y x y y x             36. 22 53 1 125 125 6 15 0 xy yy          37. 32 32 2000 0 500 0 x xy y y yx x            38. 2 2 2 23 20 2 4 3 0 x y x y x x y             39.     22 1 1 2 12 1 2 1 2 2 1 2 1 2 9 xy xy x x y y               40.     3 3 2 2 2 1 0 2 2 2 1 1 x x y y xy               41. 33 22 9 2 4 0 xy x y x y           42.   33 22 82 3 3 1 x x y y xy            43. 22 2 2 3 4 9 7 6 2 9 x y xy x y y x x            44. 4 3 2 2 32 1 1 x x y x y x y x xy            45. 4 2 2 22 4 6 9 0 2 22 0 x x y y x y x y               46. 3 3 3 22 8 27 18 46 x y y x y x y        47. 22 22 3 1 1 4 x y xy xy             48.   21 1 x y x y xy e e x e x y              Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 3 49.   12 2 1 4 .5 1 3 1 3 1 2 x y x y x y x y y y x                  50. 2 6 2 2 3 2 x y x y y x x y x y               51. 2 22 1 22 22 xx y y y x y             52. 22 22 12 12 y x y x y x y           53. 2 53 x y x y y xy           54.   22 2 2 14 2 7 2 x y xy y y x y x y              55. 22 33 21 22 yx x y y x          56. 2 2 2 2 x x y y y x        57.     2 22 4 1 3 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x               58. 22 2 2 3 4 9 7 6 2 9 x y xy x y y x x            59. 3 3 2 44 8 4 1 2 8 2 0 x y xy x y x y             60. 22 3 3 3 6 1 19 y xy x x y x          61.     3 2 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 4 6 x x y y xy                62. 22 2 1 2 1 x y xy y y xy x              63.   4 3 3 2 2 22 99 7 x x y y y x x y x x y x            64. 33 22 35 2 3 4 9 xy x y x y          65.   22 12 2 1 1 3 3 yx xy x y x x               66. 12 12 3 12 16 3 x yx y yx                  67. 22 22 3 3 3 0 xy x xy yx y xy              68. 4 2 4 33 4 2 5 22 xy x xy xx yx             69.   11 10 22 12 4 4 2 3 6 3 2 2 . 5 2 8 x xy y y y x y x x x              70.   22 2 1 5 57 4 3 3 1 25 xy x x y x              71. 2 4 4 2 2 6 2 2 2 2 6 2 2 8 2 x x y x x y               72. 2 2 2 23 20 2 4 3 0 x y x y x x y             Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 4 73.     44 3 3 2 2 240 2 3 4 4 8 xy x y x y x y            74. 3 3 2 2 3 4 2 1 2 1 y y x x x x y y                75.       32 32 2 2 1 1 4 1 ln 2 0 x x y x y y x y x                76. 3 2 2 23 3 22 2 2 1 14 2 x y x y xy x y y x               77.    22 1 1 1 1 1 2 x y y x xy             78. 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x             79.    22 22 7 2 1 2 1 2 7 6 14 0 xy xy x y xy x y               80. 2 cos cos 3 18 0 x y x y x y y          81. 22 4 2 2 2 4 2 2 2 18 208 x y y xy x xy x y y x y x x y              82. 1 21 xy y y xy y y             83. 32 32 4 3 7 67 x xy y y x y        84. 32 22 3 49 8 8 17 x xy x xy y x y             85. 32 22 2 12 0 8 12 x xy y yx          86. 32 2 3 6 0 3 y y x x y x xy           87. 3 3 2 44 1 44 x y xy x y x y            88. 3 3 3 22 27 125 9 45 75 6 x y y x y x y        89. 44 3 2 2 2 22 xy x x x y          90. 2 4 2 2 2 20 4 3 0 x xy x y x x y x y              91. 2 2 2 2 23 2 5 3 4 5 3 x y x xy y xy x xy x xy x                 92. 22 2 2 1 xy xy xy x y x y             93.   2 5 3 2 4 3 1 5 4 0 xy y xy y y xy x                 94.   2 3 2 42 5 4 5 12 4 x y x y xy xy x y xy x                   95.   2 31 89 y x y x y x y              96.       2 2 3 2 22 5 4 3 2 0 2 x y xy y x y xy x y x y               97.     92 4 2 4 2 41 x y x y x x y y y               98.   2 2 22 4 3 1 3 2 x y x x y y y x y x y                 99.       22 2 2 1 3 1 2 3 0 x x y y y x x y x y               100. 2 2 2 71 10 1 xy x y x y y        Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 5 CÁC BÀI GIẢI Bài 1. Ta có:        22 22 22 2 2 2 2 22 2 xy xy xy y x xy y x xy x y xy                     2 2 2 2 3 3 3 3 22 2 2 2 2 x y x y x y x y y x x y                 Xét hàm số   3 2 t f t t trên . Ta có:   2 ' 2 .ln2 3 0 t f t t t     nên   ft là hàm đồng biến trên . Vậy 33 22 xy x y x y     . Lúc này, hệ trở thành: 22 1 1 2 xy xy xy xy              Vậy hệ có các nghiệm là       ; 1;1 , 1; 1xy   Bài 2: Điều kiện ,1xy . Ta có:            22 2 10 0 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 12 20 0 x y x y x y x y x y x y x xy y                              2 10 ln 1 ln 1 x y x y x x y y             Dễ thấy rằng ,xy cùng dấu. Xét hàm số     ln 1f t t t   trên   1;  . Đạo hàm:   1 '1 11 t ft tt      . Ta có:   ' 0 0f t t   . Vậy hàm số đồng biến trên   1;0 và nghịch biến trên   0; . +) Nếu ,xy cùng âm (tức là cùng thuộc   1;0 ) thì theo tính chất của hàm số   ft , ta có: xy . Thay vào hệ giải được nghiệm 0xy (loại). +) Nếu ,xy cùng dương, tương tự ta cũng loại nốt. +) 0xy thoả mãn hệ. Vậy nghiệm của hệ là     ; 0;0xy Bài 3: Nhận xét: Chắc chắn không thể sử dụng phép thế hay đánh giá. Nhận thấy phương trình thứ nhất của hệ chứa các hàm riêng biệt với ,xy (chứa 3 ,xx và 32 ,,y y y mà không chứa xy ) nên ta có thể đưa phương trình thứ nhất về cùng một hàm số rồi sử dụng đạo hàm để giải. Điều kiện     1;1 , 1;3xy   . Từ đó suy ra:     1 2;0x    và     3 2;0y    . Khai thác phương trình thứ nhất của hệ:      22 3 3 2 3 3 2 6 3 9 2 0 3 2 6 9 2 1 3x y y x y x x y y y x x y y                         22 1 3 1 3 3 3x x y y                . Xét hàm số     2 3 2 33f t t t t t    trên   2;0 . Đạo hàm:     2 ' 3 6 3 2f t t t t t    . Ta có:   ' 0 0 2f t t t      . Vậy trên đoạn   2;0 , hàm số   ft đơn điệu. Vậy, phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 1 3 2x y y x      . Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 6 Thay vào phương trình thứ hai, ta có: 22 22 2 2 11 log log 2 0 45 2 4 3 xx yy yy               22 2 22 11 log 2 4 5 2 4 3 xx y y y y                    22 2 22 11 log 2 2 4 2 5 2 4 2 2 3 xx x x x x                                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 log 2 * 4 1 2 1 1 2 1 x x x x x x x x                Đặt     2 1 0;1x t t   . Lúc này   * trở thành:           2 3 2 3 2 3 2 2 11 1 4 1 2 2 4 3 2 2 0 4 22 tt t t t t t t t t t tt                    2 17 3 2 2 0 0 3 t t t t t          (do điều kiện nên đã loại nghiệm 17 3 t   ) +) 2 13 0 1 0 11 xy tx xy                +) 2 1 7 1 2 7 39 tx       1 2 7 1 2 7 2 33 1 2 7 1 2 7 2 33 xy xy                    Nghiệm:       1 2 7 1 2 7 1 2 7 1 2 7 , 1;3 , 1;1 , ; 2 , ;2 3 3 3 3 xy                          Bài 4: Phân tích: Hệ chứa ẩn là hàm hữu tỉ và hàm số mũ, chúng có tính chất khác nhau nên chắc chắn sẽ phải sử dụng đạo hàm. Và cũng lưu ý luôn, những hệ chứa hàm có tính chất khác nhau thì gần như 90% sử dụng đạo hàm hoặc phương pháp đánh giá. Cộng chéo vế theo vế và giữ một phương trình của hệ ta được hệ tương đương:           22 11 21 3 1 1 1 3 1 1 1 * 2 2 3 1 xy y x x y y x x x                        Xét hàm số   2 31 t f t t t    trên . Hàm số có đạo hàm:   2 22 1 ' 3.ln3 1 3 .ln3 11 tt t t t ft tt        . Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 7 Ta có: 2 2 2 1 1 0t t t t t t t         . Từ đây suy ra   '0f t t   . Vậy,   ft đồng biến trên . Ta thấy phương trình   * có dạng     11f x f y   . Từ đó suy ra 11x y x y     . Lúc này hệ sẽ tương đương với:           2 2 1 ln 1 1 1 1 .ln3 1 1 3 1 x xy xy x x x xx                          Lại tiếp tục xét hàm số     2 ln 1 ln3g t t t t    trên . Hàm số này có đạo hàm   2 22 1 1 1 ' ln3 ln3 11 t t gt t t t          . Dễ thấy 2 1 ln3 1 1t   nên   '0g t t   . Như vậy hàm số   gt nghịch biến trên . Mặt khác ta lại có   00g  nên phương trình   có nghiệm duy nhất là 1 0 1xx    . Vậy nghiệm của hệ là     ; 1;1xy Bài 5: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:     22 22 11 xy x e y e   Xét hàm số     1 t f t t e trên   0; . Hàm số có đạo hàm       ' 1 0 0; tt f t e e t t        . Từ đó suy ra   ft đồng biến trên   0; . Vậy phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với: 22 x y x y    . +) Nếu xy . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:     1 3 2 3 3log 6 1 2log 2 3 log 6 1 6 3 3 3y y y y x               . +) Nếu xy . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:         3 2 3 2 3log 3 6 2log 2 2 1 3 1 log 2 2 1 log 1 1y y y y                             3 2 3 2 3log 2 2log 1 3log 2 2log 1 0 *y y y y         . Xét hàm số       32 3log 2 2log 1g t t t    trên   1;  . Hàm số này có đạo hàm:       32 ' 2 ln3 1 ln2 gt tt   . Ta có:     3 2 3 2 ln3 ln2 2 ln3 2 ln2tt     mà     22 2 ln2 1 ln2tt   nên ta có:     32 2 ln3 1 ln2tt   , tức là   '0gt . Như vậy nên hàm số nghịch biến trên   1;  . Ta lại có   70g  . Vậy   * có nghiệm 77yx   . Vậy nghiệm của hệ phương trình là       ; 7;7 , 3; 3xy Cách khác: Trong trường hợp xy , ta đặt     32 3log 2 2log 1 6x x u    thì hệ trở thành: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 8 2 32 3 23 18 1 2 3 1 99 12 uu u uu u x x                          Ta lại thấy hàm số   18 99 uu hu              là hàm nghịch biến mà   11h  nên 1u  là nghiệm duy nhất của hệ 7xy   . Bài 6: Điều kiện: 0; 0x x y   . Đi từ phương trình thứ hai của hệ:   x y x y x y x y x x         (1) Xét hàm số   2 f t t t trên   0; . Đạohàm:   ' 2 1 0f t t   nên   ft đồng biến. Mặt khác (1) có dạng     f x y f x nên (1) x y x y x x      . Đặt   0t x t thì 2 y t t . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:     2 2 2 2 4 3 2 2 8 16 2 2 8 24 0 t t t t t t t t t t t                  33 2 2 12 0 2 do 2 12 12t t t t t t          . Với 2 4,tx   2y  . Vậy nghiệm của hệ là     ; 4;2xy Cách giải khác: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:        2 24 8 16 2 0 4 4 0 xy x y xy x y xy x y x y x y x y                          22 2 4 4 0 4 4 4 0 xy x y x y x y x y x y xy                   Bài 7: Điều kiện: 10xy   . Khai thác phương trình thứ nhất:   3 1 5 1x y x y     Ta đặt 3 t x y (điều kiện: 1t  ) thì   1 trở thành: 3 15tt   . Dễ thấy rằng hàm số   3 1f t t t   đồng biến trên   1;  (vì khi t tăng thì   ft tăng). Như vậy phương trình với ẩn t trên sẽ có nhiều nhất một nghiệm. Nhận thấy t = 2 là một nghiệm của phương trình. Vậy, ta có: 28t x y    . Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:     4 4 12 8 4 8 4 12x x y y x y x y           . Hệ đã cho sẽ tương đương với hệ sau:    8 8 2 2 2 2 2 1 2 1 36 2 1 2 1 6 xy xy x y x y xy                           8 8 8 4 4 2 1 81 16 2 1 2 1 9 xy xy xy xy xy x y xy xy                             Vậy nghiệm của hệ là     ; 4;4xy  Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 9 Bài 8: Điều kiện 1y  . Hệ đã cho:         2 3 4 6 2 2 2 1 2 1 1 2 x y y x x x y x             Nếu 0x  thì từ (1) suy ra 0y  , thay vào (2) không thỏa mãn 0x . Chia hai vế của (1) cho 3 0x  ta có: 3 3 3 2 2 yy xx xx    (3). Xét hàm số   3 2f t t t trên có đạo hàm   2 ' 3 2 0f t t   nên hàm số đồng biến trên . Mặt khác (3) có dạng   2 yy f f x x y x xx         . Thay vào (2), điều kiện 2x  :           2 2 4 2 2 2 2 1 1 2 1 1 3 3 3x x x x x x x x y                Vậy nghiệm của hệ là     ; 3;3xy Bài 9: Điều kiện ,1xy . Hệ đã cho tương đương với:     2 2 3 3 22 2 3 3 3 1 6 1 1 6 1 I 6 1 6 1 1 1 6 1 x y y x y y x x x y y y y x x                                  Xét hàm số   2 3 61f t t t t     trên   1; . Hàm số có đạo hàm:       2 3 2 3 1 1 1 1 ' 2 6 2 3 2 1 2 1 3. 6 f t t t t tt t           . Ta sẽ chứng minh rằng   2 3 1 2 3. 6 t t   . Thật vậy:     2 3 2 3 1 2 6 . 6 1 3. 6 t t t t      . Điều này hiển nhiên đúng do t thuộc đoạn   1; . Như vậy,     ' 0 1;f t t       ft đồng biến trên   1; . Vì đó:   11xy       2 3 I 1 6 1 2 xy x x x             Nhẩm được nghiệm của (2) là 2x  nên ta dùng phương pháp nhân liên hợp:         2 3 2 4 1 1 6 2 0x x x              2 3 3 22 2 2 0 11 6 2. 6 4 xx xx x xx                 2 3 3 11 2 2 0 11 6 2. 6 4 xx x xx                    2 3 3 2 11 2 0 3 11 6 2. 6 4 x x x xx                 2x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 10 (Dễ thấy phương trình   3 vô nghiệm do 1 1 11x    và   2 3 3 11 4 6 2. 6 4xx       ) Vậy nghiệm của hệ phương trình là     ; 2;2xy Bài 10: Xem phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y :   22 3 4 4 0x y x y y      Phương trình này có nghiệm     2 22 0 3 4 4 4 0 3 10 7 0 x y y y y y              2 7 49 11 39 yy      (1) Lại xem phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x :   22 4 3 4 0y x y x x      Phương trình này có nghiệm     2 22 0 4 4 3 4 0 3 4 0 y x x x x x             4 4 256 00 3 81 xx      (2) Từ (1) và (2) suy ra 42 49 256 697 698 9 81 81 81 xy     , mâu thuẫn với phương trình thứ nhất. Từ đó suy ra hệ đã cho vô nghiệm Bài 11: Nhìn hệ số có 2 và 2 nên ta chia hai vế rồi cộng lại:     3 3 3 3 3 1 1 2 3 1 23 3 13 2 32 y y x x y yy x xx                      Xét hàm số   3 3f t t t trên . Đạo hàm:   2 ' 3 3 0f t t t     . Từ đó suy ra hàm số   ft đồng biến trên . Điều này cũng có nghĩa là   1 2 y x  . Thay vào phương trình   1 ta được: 33 2 3 3 2 0y y y y          2 1 2 0 1 2y y y y         . +) Với 1 1 1 1yx x      . +) Với 11 22 2 yx x         . Vậy nghiệm của hệ là     1 ; 1;1 , ; 2 2 xy      Bài 12: Đặt 2t x y thì phương trình thứ nhất trở thành:   1 4 5 5. 1 2 0 * 5 t tt        Xét hàm số   1 4 5 5. 1 2 5 t tt ft         trên . Hàm số có đạo hàm:   11 44 ' 5 .ln5 5.ln . 2 .ln2 55 t tt ft         . Do 4 ln2 0,ln5 0,ln 0 5    nên   '0f t t   . Mặt khác ta lại có   10f  nên   * 1 2 1t x y     . [...]... 0 thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: Thế y  x vào phương trình thứ hai của hệ ta được: x 2  3x x     2 y  6 y 2  x  y x  2 y  ( x  2 y)  y x  2 y  6 y 2  0 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 28 Xem đây là phương trình bậc hai với ẩn là x  2 y Ta có:   y 2  24 y 2  25 y 2 nên phương x  2 y  3 y và x  2 y  2 y (đây là phương trình. .. thì phương trình trên trở thành: y   2  1 1 35 1 1 35 35   0    0   sin t  cos t   sin t cos t  0 cos t cos t sin t 12 12 1  cos2 t 12 Đến đây có thể đặt t  sin t  cos t để giải tiếp Bài 35: Nhận thấy rằng phương trình thứ hai của hệ đã cố ý “nhóm” hệ số của y 2 nên ta có ý Với điều kiện y < –1, ta có thể đặt tưởng đưa phương trình thứ hai của hệ thành bậc hai với ẩn là y 2 Từ phương. .. 2 Từ phương trình thứ nhất suy ra: 3 y  x 2  9   48 y  16 x 2  144 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 20 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được: y 4  4  2 x  3  y 2  16 x 2  48 x  11  0 Xem như đây là một phương trình bậc hai với ẩn là y 2 và tham số là x , ta có:  ' y2  4  2 x  3   16 x 2  48 x  11  25  0 nên phương trình có hai nghiệm... Tài liệu về hệ phương trình Trang 14 a 1 5 1   2a 2  5a  2  a  2  a  (thoả mãn) a 2 2 6x  2  x  2 y Thay vào phương trình thứ hai, ta có: x y +) a  2  3 y  2 y 2  9  2 y 2  3 y  9  0 , vô nghiệm do    63  0 +) a  1  2 6x 1   y  23x Thay vào phương trình thứ hai ta có: x y 2 24 x  23x 2  9  23x 2  24 x  9  0 , vô nghiệm do  '   63  0 Vậy hệ phương trình đã cho...  TM    4 x3  3x  3  0 1  Bây giờ ta giải phương trình (1) Dùng máy tính giải phương trình bậc 3, ta thấy rằng có hai 3 nghiệm phức và một nghiệm  0,45322  nên phương trình này sẽ không có nghiệm thuộc 2  3   ;    Vì vậy miền giá trị của hàm số chứa x đó sẽ không có giá trị bằng 0 nên dùng  2  phương pháp hàm số để chứng minh phương trình vô nghiệm:  3  Xét hàm số f  x   4... nghiệm của hệ đã cho là  x ; y    10  77;  2   Chú ý: Ngoài cách giải trên thì ta còn có một cách giải khá hay nữa, áp dụng được rộng rãi hơn cho nhiều bài toán hệ phương trình dạng này cũng như phương trình:  7 x  y    2 x  y   5  7 x  y  2 x  y  x ** Ta có: 7 x  y  2 x  y  5 *    7 x  y  2x  y Lấy (*) trừ đi (**) ta được 2 x  y  5  x Đến đây ta thế vào phương trình. .. của hệ là  x ; y    5;4  ,  5;3  Bài 53: Điều kiện x  y  0, x  y  0, y  0 Thay y  0 vào hệ thấy vô lí  y  0 Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho y  0 ta được: x 1  y x  1  2 y 3  a  2 a  b  2 x x   Đặt a   1, b   1  a  b  0  , ta có hệ sau:  2 2 y y a  b  2 b  1   2 x 5 5y Thay trở lại bước đặt ta tìm được   x  y 4 4 Thay vào phương trình. ..  Phương trình này có 4 nghiệm như sau: 16 1 1 +) x  2  y  +) x   y  7 2 7  9  297 9  297  y3  y3 +) x  +) x  4 4 16   1 1    9  297   ;3  Vậy hệ có các nghiệm là  x ; y    2; ,  ; ,  7  2 7   4   Bài 59: Dễ dàng thấy đây là một hệ chứa phương trình đẳng cấp Nếu y  0 , thay vào hệ thấy không thoả mãn nên suy ra y  0 Tương tự, ta có x  0 Thế phương trình. .. tưởng trong đầu phải xác định rằng: không sợ giải phương trình bậc 4, nó có cách giải mà) 5 5 Thay lại vào phương trình  1  ta thấy chỉ có các nghiệm y  thoả mãn  1  , y 4 3  5 5   5 5  Vậy nghiệm của hệ là  x ; y    ;  ,  ;  4 4  3 3  Cách giải khác: Với bài toán này thì việc lượng giác hóa sẽ không cho kết quả đẹp 1 35   0 Phương trình (1) được viết lại thành: y  12 1 1... x  Từ  1  ,  2   VT = VP  12  x  16, y  3 2      Vậy nghiệm của hệ là  x ; y    16;3  Bài 23: Thay x  0 vào hệ thấy không thoả mãn  x  0 Từ phương trình thứ hai của hệ ta x2  1 rút: y  1  * x Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 15 2 2 2 x 2  1  x2  1  2 2 x  1 2x  1 x   3x 2  4 x  1 . 77; 2 xy      Chú ý: Ngoài cách giải trên thì ta còn có một cách giải khá hay nữa, áp dụng được rộng rãi hơn cho nhiều bài toán hệ phương trình dạng này cũng như phương trình: Ta có:         72 7. định rằng: không sợ giải phương trình bậc 4, nó có cách giải mà) Thay lại vào phương trình   1 ta thấy chỉ có các nghiệm 55 , 43 yy   thoả mãn   1 . Vậy nghiệm của hệ là   5 5 5. 35: Nhận thấy rằng phương trình thứ hai của hệ đã cố ý “nhóm” hệ số của 2 y nên ta có ý tưởng đưa phương trình thứ hai của hệ thành bậc hai với ẩn là 2 y . Từ phương trình thứ nhất suy ra: