Tóm tắt lý thuyết và bài tập Toán 11 Chương 4 giới hạn có giải chi tiết

Tóm tắt lý thuyết và bài tập Toán 11 Chương 4 Giới hạn có giải chi tiết. Tài liệu gồm 54 trang, trong đó phân loại từng dạng bài tập, bài tập trắc Giới Hạn Dãy Số và Giới hạn Hàm Số có giải chi tiết.

PHẦN I: ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ

d) Nếu limu n  thì lima u n a

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

neáu a v u

 Để chứng minh limu n  ta chứng minh lim(l u n l) 0

 Để chứng minh limu  ta chứng minh với mọi số n M  lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên0

M

n sao cho u n M  n n M

 Để chứng minh limu   ta chứng minh lim( ) n u n 

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Câu 1 Giá trị của

1lim

1

n  bằng

A 0 B 1 C 2 D 3.

Câu 2 Giá trị của

1lim k

n

 bằng

Câu 5 Giá trị của

2lim

2

n n

3lim n n

n

 bằng

Câu 8 Giá trị của

2lim

1

n n

Câu 13 Giá trị của

2 2

sin 3limn n n

Câu 15 Giá trị của 2

lim

n D

 Dùng định lí kẹp: Nếu u n  , n v n  và limv  thì lim n 0 u  n 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử < bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

 Nếu bậc của từ = bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu

 Nếu bậc của tử > bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là  nếu hệ số cao nhất của tử vàmẫu cùng dấu và kết quả là   nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

cos 2lim 5

Câu 18 Giá trị của

lim

1 3

n A



D 1

Câu 19 Giá trị của

2 2

lim(3 1)



C

1.2



D

1.2

Câu 21 Giới hạn dãy số  u n

Câu 23 Giá trị của

2 2

1lim

(2 1)

n C

Câu 32 Giá trị của

4 4

Câu 36 Tính giới hạn:

2

1 3 5 2 1lim

n n



1

2

Câu 37 Chọn kết quả đúng của

2 2

1 1lim 3

n n

Câu 38 Kết quả đúng của

2

2 5lim



C

5

25.2



D 1

Câu 41 Giá trị đúng của lim 3 n 5n

 là



 bằng

Câu 43

1 4

1

3.3 4lim

Câu 45 Cho các số thực a b, thỏa a 1;b  Tìm giới hạn1

2 2

lim

n n

b a

Câu 55 Giá trị của 3 3 2 2 

n D

Câu 66 Tìm limu biết n dau can

2 2 2

n n

u 

    

Câu 67 Tìm giá trị đúng của

1

3.2

neáu k chaünlim x

  

c x

0

1lim

x  x

 

1lim

 0

( )lim

0

lim ( )lim ( ) ( )

+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số

+ Nếu f x( ) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f x( )0

+ Nếu f x( ) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn (Giới hạn trái bằng giới hạn phải)

Câu 73 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của

5 1



C

1

Câu 74

3 2 2



C

11

Câu 75 Tìm giới hạn hàm số 1

1lim

2

x

x x

1

x

x x

  

 

 bằng định nghĩa

2.9

Câu 81 Tìm giới hạn hàm số 0

4 2lim

2

x

x x



D 1

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

00

với P x( )0 Q x( ) 00  và P x( ), Q x( ) là các biểu thức chứa căn cùng bậc

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

Các lượng liên hợp:

+ ( a b)( a b) a b

Câu 86 Tìm giới hạn

2 1

Câu 87 Tìm giới hạn

3 2



D 25

(1 )(1 2 )(1 3 ) 1lim



D 6

Câu 90 Tìm giới hạn

2 3 2

Câu 91 Tìm giới hạn

4 3 1

A  . B   . C

1.3

2 1 1

x

x D

2.5

( )

x

P x L

với P x( ), Q x( )là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn

– Nếu P x( ), Q x( ) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x

– Nếu P x( ), Q x( ) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân

x  x bằng

5

Câu 97 Giá trị đúng của

4 4

7lim

1

x

x x

A  . B   . C

.6



D 0

Câu 99

2 2



C

1

1 3lim

x

x x

3 2

2.2

x

x x D

A  . B   . C

1



D 0

DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘT BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC

Phương pháp:

1 Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương.

2 Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn

Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu Sau đó tìm cách biến đổi đưa

về dạng





3 Dạng 0.:

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên

1lim

1

x

x x x

3

x

x x

11

1)

x f



C

2

A  . B   . C

1

2 Hàm số liên tục trên một khoảng: yf x( ) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: yf x( ) liên tục trên a b;  và

 Hàm số đa thức liên tục trên 

 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Giả sử yf x( ), yg x( )liên tục tại điểm x Khi đó:0

 Các hàm số yf x( )g x( ), yf x( ) g x( ), yf x g x( ) ( ) liên tục tại x 0

 Hàm số

( )( )

f x y

g x



liên tục tại x nếu 0 g x  ( ) 00

4 Nếu yf x( ) liên tục trên a b; 

và f a f b ( ) ( ) 0 thì tồn tại ít nhất một số ca b; 

sao cho f c   0

Nói cách khác: Nếu yf x( ) liên tục trên a b; 

và f a f b ( ) ( ) 0 thì phương trình f x ( ) 0 có ítnhất một nghiệm ca b; 

3 Hàm số

0

0

( ) khi khi

x x

1.9

Câu 125 Tìm a để các hàm số

2 2

3 1 2

khi 11

( )

( 2)

khi 13

x

x x

f x

a x

x x

3

x x

Câu 128 Xác định a b, để các hàm số

khi ( 2) 0( 2)

a b

a b

a b

m 

1 1 khi 0( )

m 

d) Nếu limu n  thì lima u n a

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

neáu a v u

 Để chứng minh limu n l ta chứng minh lim( u n l) 0 .

 Để chứng minh limu n  ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiênM

n sao cho u n M  n n M

 Để chứng minh limu n   ta chứng minh lim(u n)

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

Câu 1 Giá trị của

1lim

1

n  bằng

 

a n





M

M n

Ta có: 2n 1 2n M  1 M  n n M  lim(2n1).

Câu 4 Giá trị của

2

1lim n

n

 bằng

n

M n

Câu 6 Giá trị của

1lim

2

n n

3lim n n

n

 bằng

1

n n

 

a n a

sin 3limn n n

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

Phương pháp:

 Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản

 Khi tìm

( )lim( )

 Dùng định lí kẹp: Nếu u n  , n v n  và limv  thì lim n 0 u  n 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử < bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

 Nếu bậc của từ = bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu

 Nếu bậc của tử > bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là  nếu hệ số cao nhất của tử vàmẫu cùng dấu và kết quả là   nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

cos 2lim 5

lim(3 1)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Câu 20 Kết quả đúng của



C

1.2



D

1.2

Câu 24 Giá trị của

2

2

2lim

B

n n

Câu 25 Giá trị của

Câu 28 Giá trị của

( 2) (2 1)lim

51

1lim

(2 1)

n C

n n



1

2

1 1lim 3

n n



A 4 B 3 C 2 D

1.2



C

5

25.2

Câu 41 Giá trị đúng của lim 3 n 5n

 là

1

344

23

44

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Câu 45 Cho các số thực a b, thỏa a 1;b  Tìm giới hạn1

2 2

lim

n n

b a

Hướng dẫn giải:

Câu 57 Giá trị đúng của lim n n 1 n1

n D

Suy ra

2 3

2



n u

Câu 66 Tìm limu biết n dau can

2 2 2

n n

n

1 1 2

Câu 67 Tìm giá trị đúng của

n n A

n A

3.2

11

neáu k chaünlim x

  

c x

0

1lim

x  x  

1lim

0

lim ( )lim ( ) ( )

+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số

+ Nếu ( )f x là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f x( )0

+ Nếu ( )f x cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn

trái bằng giới hạn phải)

Câu 73 Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của

5 1



1

Hướng dẫn giải:

C

11

2

x

x x

1

x

x x

x x

2 3

5

2.9

x

x + CACL + x109 và so đáp án.

cos 5lim

2

x

x x

A  . B   . C

1



a

là giá trị cần tìm

Câu 83 Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại x 0

2

2

5 3 2 1 0( )

DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH

00

với P x( )0 Q x( ) 00  và P x( ), Q x( ) là các biểu thức chứa căn cùng bậc

Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

2 1lim

1lim

( 1)( 2)( 2)lim

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

2 1 1

x

x D

2.5

Hướng dẫn giải:

( )

x

P x L

với P x( ), Q x( )là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn

– Nếu P x( ), Q x( ) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x

– Nếu P x( ), Q x( ) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân

x  x bằng

5

x

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

5

3x2 + CACL + x109và so đáp án (với máy casio 570 VN Plus)

5lim

3x2x10 và so đáp án.

Câu 97 Giá trị đúng của

4 4

7lim

1

x

x x

A  . B   . C

.6

x

Câu 99

2 2



C

1

2

2

12

31

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

2 2

x

x x

3 2

2.2



Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Cách 1:

2 2

2

13

23

x

x x D

163

2

11

1 Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương.

2 Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn

Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu Sau đó tìm cách biến đổi đưa

về dạng





3 Dạng 0.:

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên

1lim

1

x

x x x

3

x

x x

Vậy không tồn tại giới hạn trên.

1)

x f



C

2

A  . B   . C

1

2 Hàm số liên tục trên một khoảng: yf x( ) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: yf x( ) liên tục trên a b;  và

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

x a f x f a x b f x f b

 Hàm số đa thức liên tục trên 

 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

Giả sử yf x( ), yg x( )liên tục tại điểm x Khi đó:0

 Các hàm số yf x( )g x( ), yf x( ) g x( ), yf x g x( ) ( ) liên tục tại x 0

 Hàm số

( )( )

f x y

g x



liên tục tại x nếu 0 g x  ( ) 00

4 Nếu yf x( ) liên tục trên a b; 

và f a f b ( ) ( ) 0 thì tồn tại ít nhất một số ca b; 

sao cho f c   0

Nói cách khác: Nếu yf x( ) liên tục trên a b; 

và f a f b ( ) ( ) 0 thì phương trình f x ( ) 0 có ítnhất một nghiệm ca b; 

3 Hàm số

0

0

( ) khi khi

x x

2 1

1.9

2

Câu 125 Tìm a để các hàm số

2 2

3 1 2

khi 11

( )

( 2)

khi 13

x

x x

f x

a x

x x

3

DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH

x x

.Với x 2 ta có f  2 2a2

Câu 128 Xác định a b, để các hàm số

khi ( 2) 0( 2)

a b

a b

a b

x nên hàm số liên tục trên khoảng \ 1 

Do đó hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x1

m 

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

 Với x0 ta có

1 1( ) x 

f x

x nên hàm số liên tục trên 0; 

 Với x0 ta có f x( ) 2 x23m1 nên hàm số liên tục trên ( ;0)

Do đó hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x0