Tóm tắt lý thuyết và bài tập Toán 11 Chương 4 giới hạn có giải chi tiết

Tóm tắt lý thuyết và bài tập Toán 11 Chương 4 Giới hạn có giải chi tiết. Tài liệu gồm 54 trang, trong đó phân loại từng dạng bài tập, bài tập trắc Giới Hạn Dãy Số và Giới hạn Hàm Số có giải chi tiết.

Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ PHẦN I: ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN Giới hạn đặc biệt: 1 lim = lim k = ( k ∈ ¢ + ) n →+∞ n n →+∞ n ; lim q n = ( q < 1) n →+∞ ; lim C = C n →+∞ Định lí : lim un = a, lim = b a) Nếu lim ( un + ) = a + b • lim ( un – ) = a – b • lim ( un ) = a.b • u a lim n = b (nếu b ≠ 0) • b) Nếu un ≥ , ∀n lim un = a lim un = a a ≥ u ≤ ∀n c) Nếu n , lim = lim un = lim un = a d) Nếu lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q + … = 1 − q ( q < 1) GIỚI HẠN VÔ CỰC Giới hạn đặc biệt: lim n k = +∞ ( k ∈ ¢ + ) lim n = +∞ lim q n = +∞ Định lí: a) Nếu (q > 1) lim un = +∞ lim =0 un lim lim un = a lim = ±∞ , lim un = a ≠ lim = c) Nếu , neá u a.vn > u +∞  lim n =   −∞ nế u a.vn < lim un = +∞ lim = a ≠ d) Nếu , +∞ neá u a> lim(un.vn ) =  u a<  −∞ nế b) Nếu un =0 * Khi tính giới hạn có dạng vô ∞ định: , ∞ , ∞ – ∞ , 0.∞ phải tìm cách khử dạng vơ định B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: • Để chứng minh lim un = ta chứng minh với số a > nhỏ tùy ý tồn số na u < a ∀n > na cho n • Để chứng minh lim un = l ta chứng minh lim(un − l ) = • Để chứng minh lim un = +∞ ta chứng minh với số M > lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM u > M ∀n > nM cho n lim u = −∞ lim(−un ) = +∞ n • Để chứng minh ta chứng minh • Một dãy số có giới hạn giới hạn Câu Giá trị lim n + Trang Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ A B 1 lim k n ( k ∈ ¥ *) Câu Giá trị A B Câu Giá trị lim(2n + 1) A +∞ B −∞ 1− n n Câu Giá trị A +∞ B −∞ lim n + Câu Giá trị A +∞ B −∞ C D C D C D C D C D C D C D C D C D C D C D 1 C D C −3 D C D lim Câu Giá trị A +∞ lim n +1 n + B −∞ 3n3 + n n2 Câu Giá trị A +∞ B −∞ 2−n lim n + Câu Giá trị A +∞ B −∞ 2n + A = lim n − Câu Giá trị lim B −∞ 2n + B = lim n + Câu 10 Giá trị A +∞ B −∞ A +∞ Câu 11 Giá trị A +∞ Câu 12 Giá trị C = lim A = lim n2 + n + B −∞ n−2 n 2n B −∞ n sin n − 3n B = lim n2 Câu 13 Giá trị A +∞ B −∞ C = lim n + n + Câu 14 Giá trị A +∞ A +∞ B −∞ Trang Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ 4n + D = lim n + 3n + Câu 15 Giá trị A +∞ B −∞ C D n Câu 16 Giá trị lim a với a > A +∞ B −∞ C D DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: • Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn f (n) lim g (n) ta thường chia tử mẫu cho n k , k bậc lớn tử • Khi tìm mẫu lim  k f (n) − m g (n)  • Khi tìm lim f ( n) = lim g ( n) = +∞ ta thường tách sử dụng phương pháp nhân lượng liên + Dùng đẳng thức: ( a − b ) ( a + ab + b ) = a − b a − b ) ( a + b ) = a − b; • Dùng định lí kẹp: Nếu un ≤ , ∀n lim = lim un = Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: • Nếu bậc tử < bậc mẫu kết giới hạn • Nếu bậc từ = bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu • Nếu bậc tử > bậc mẫu kết giới hạn +∞ hệ số cao tử mẫu dấu kết −∞ hệ số cao tử mẫu trái dấu ( n cos 2n   lim  − ÷ n +   Câu 17 Kết A B 2n + A = lim − 3n Câu 18 Giá trị B −∞ 4n + 3n + B = lim (3n − 1) Câu 19 Giá trị A +∞ B −∞ − n + 2n + lim 3n + Câu 20 Kết A +∞ A − − B C –4 D − C D C D 1 − C D Trang Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 Câu 21 Giới hạn dãy số ( un ) A −∞ với STBSAQ un = 3n − n 4n − C B +∞ n3 − 2n + + 5n lim Câu 22 Chọn kết A B 2n + 3n + A = lim 3n − n + Câu 23 Giá trị B = lim Câu 24 Giá trị A +∞ Câu 25 Giá trị A +∞ Câu 27 Giá trị A +∞ F = lim C = lim + 1) ( n + 2) n17 + C 16 D 1− 3 − C D C D C D 1 C D C D C D Trang 2n + n + − n 3n3 + − n 2n + 3n + + n B −∞ (n − 2)7 (2n + 1)3 (n + 2)5 B −∞ n3 + n(2n + 1) B −∞ n3 − 3n + D = lim n + 4n3 + Câu 30 Giá trị A +∞ B −∞ Câu 31 Giá trị A +∞ C D − n + − 3n3 + A +∞ E = lim D B −∞ C = lim Câu 29 Giá trị B −∞ A +∞ C n − 3n + ( 2n C = lim Câu 26 Giá trị D +∞ n + 2n B −∞ D = lim Câu 28 Giá trị A +∞ C −∞ B −∞ A +∞ D n + 2n + n+2 B −∞ Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 F = lim Câu 32 Giá trị STBSAQ n − 2n + + n 3n3 + n − n B −∞ A +∞ C Câu 35 Tính giới hạn: A Câu 36 Tính giới hạn: lim B + + + + ( 2n + 1) C −1 D 2 C lim + D n2 −1 − + n 2n A B − 5n − lim n + 2.5n Câu 38 Kết − − A B 50 C D C D C D 1 − C D B +∞ C D −2 B C D −∞ − 25 n −1 − 4.2 − 3.2n + 4n n Câu 39 A +∞ D −∞ 3n + Câu 37 Chọn kết lim C n +1 − n +1 + n B A D Câu 33 Cho dãy số với A −∞ B 10 lim n + n + Câu 34 A +∞ B 10 lim −1 2n + n + n − Chọn kết lim un C D +∞ un = ( n − 1) un B −∞ 3.2n − 3n C = lim n +1 n +1 + Câu 40 Giá trị A +∞ Câu 41 Giá trị A −∞ B −∞ lim ( 3n − 5n ) −1 3n + n lim Câu 42 A +∞ Trang Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 Câu 43 lim STBSAQ 4n + 2n +1 3n + 4n + B A C D +∞ A +∞ 3.3n + n 3n +1 + 4n +1 B C A +∞ B C −2 D −∞ C D 1 C D C D C D C D C D C D C D Câu 44 Giá trị C = lim D 1 + a + a + + a n I = lim a < 1; b < 1 + b + b2 + + b n Câu 45 Cho số thực a, b thỏa Tìm giới hạn 1− b A +∞ B −∞ C − a D nπ   lim  n sin − 2n ÷   Câu 46 Câu 47 Giá trị A +∞ Câu 48 Giá trị M = lim Câu 49 Giá trị A +∞ B = lim Câu 52 Giá trị Câu 54 Giá trị A +∞ n2 + n + − n B −∞ ( 2n + − n ( lim B = lim ) ) D = lim N = lim n3 + 9n − n ) ) B −∞ ( M = lim n − − 3n + B −∞ ( A +∞ Câu 53 Giá trị − A 12 ) B −∞ Câu 50 Giá trị A +∞ Câu 51 Giá trị A +∞ n + 6n − n B −∞ ( H = lim A +∞ ( n + 2n − n + n ( ( B −∞ − n − 8n + n ) B −∞ 4n + − 8n + n B −∞ ) ) Trang Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 Câu 55 Giá trị K = lim A +∞ Câu 56 Giá trị A +∞ N = lim ( ( STBSAQ n + n − − n + n + + 5n B −∞ n3 + 3n + − n ) C − ) 12 B −∞ C lim  n n + − n −    Câu 57 Giá trị A −1 B C Câu 58 Giá trị ( H = lim n A +∞ Câu 59 Giá trị A +∞ A = lim ( 8n + n − n + B −∞ ( n + 2n + + n D = lim Câu 61 Giá trị Câu 62 Giá trị A +∞ ) ) B −∞ 5 Câu 60 lim 200 − 3n + 2n A B A +∞ ) n +1 B −∞ F = lim n + + n ( ) D C D C +∞ D −∞ C D C D B −∞ B = lim D n + n + − n + 2n − (2n + 3)2 B −∞ C n + + + + (2n − 1) u = n lim un 2n + Câu 65 Tìm biết A +∞ B −∞ C A +∞ biết D +∞ n ( 3n + − 3n − 1) Câu 64 Tính giới hạn dãy số Câu 66 Tìm A +∞ D − C (n + 1) 13 + 23 + + n un = 3n3 + n + Câu 63 Tính giới hạn dãy số A +∞ B −∞ C lim un D −3 D D un = 2 42 43 n dau can B −∞ C D Trang Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ  1  S = 1 + + + + + n + ÷   Câu 67 Tìm giá trị A + Câu 68 Tính giới hạn A Câu 69 Tính giới hạn A B  1  lim  + + +  n ( n + 1)  1.2 2.3 B   1 lim  + + +  n ( 2n + 1)  1.3 3.5 B   1 lim  + + +  n ( n + 2)  1.3 2.4 Câu 70 Tính giới hạn A B  1  lim  + + + n( n + 3)  1.4 2.5 Câu 71 Tính giới hạn 11 A 18 B C 2 D C D +∞ C D C D C D   1   lim 1 − ÷ − ÷  − ÷     n   Câu 72 Tính giới hạn 1 A B C D GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: +∞ neá lim x = x0 lim c = c u k chaü n k x → x0 x → x0 lim x = k  ; (c : lim x = +∞ x→−∞ u k lẻ −∞ nế x →+∞ ; số) c Định lí: lim k = lim c = c x →±∞ x →±∞ x ; lim f ( x) = L lim g ( x) = M x → x0 x → x0 a) Nếu 1 lim− = −∞ lim+ = +∞ thì: x →0 x x →0 x ; lim [ f ( x) + g ( x) ] = L + M 1 lim = lim+ = +∞ • x→ x0 x → 0− x x→0 x lim [ f ( x) − g ( x)] = L − M Định lí: • x → x0 lim f ( x) = L ≠ lim g ( x) = ±∞ x → x0 x → x0 lim [ f ( x).g ( x) ] = L.M Nếu thì: x → x0 • Trang Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 f ( x) L lim = x → x0 g ( x ) M (nếu M ≠ ) • b) Nếu f ( x) ≥ STBSAQ lim f ( x) = L x → x0 lim f ( x ) = L L ≥ x → x0 lim f ( x) = L lim f ( x ) = L c) Nếu x → x0 x → x0 Giới hạn bên: lim− f ( x) = lim+ f ( x) = L lim f ( x) = L x → x0 x → x0 ⇔ x → x0 +∞ nế u L vàlim g(x) cù ngdấ u x→ x0  lim f (x)g(x) =  x→ x0 u L vàlim g(x) trá i dấ u −∞ nế x→ x0  nế u lim g(x) = ±∞ x→ x0  f (x)  lim =  +∞ neá u lim g(x) = vaøL g(x) > x→ x0 g(x) x→ x0  u lim g(x) = vaøL.g(x) <  −∞ nế x→ x0  * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: , ∞ ∞ , ∞ – ∞ , 0.∞ phải tìm cách khử dạng vô định B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn hàm số giới hạn dãy số f ( x0 ) + Nếu f ( x ) hàm số cho cơng thức giá trị giới hạn + Nếu f ( x ) cho nhiều cơng thức, ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn (Giới hạn trái giới hạn phải) x3 + x + lim Câu 73 Chọn kết kết sau x →−1 x + A −2 − B C D x3 − Câu 74 x→−2 x + x + lim 11 11 A −∞ B C x +1 lim Câu 75 Tìm giới hạn hàm số x→1 x − định nghĩa A +∞ B −∞ C −2 − lim ( x + 1) Câu 76 Tìm giới hạn hàm số x →2 định nghĩa A +∞ B −∞ C Câu 77 Tìm giới hạn hàm số A +∞ lim x →1 D +∞ D D x+3−2 x −1 định nghĩa B −∞ C −2 2x2 − x + lim Câu 78 Tìm giới hạn hàm số x →−∞ x + định nghĩa A +∞ B −∞ C −2 D D Trang Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ 3x + lim Câu 79 Tìm giới hạn hàm số x →1 x − định nghĩa A +∞ Câu 80 Cho hàm số B −∞ x2 − 3x f ( x) = ( x − 1) ( x3 − ) C D Chọn kết lim f ( x) x →2 A 5 B C x+4 −2 lim 2x Câu 81 Tìm giới hạn hàm số x →0 định nghĩa A +∞ B C −2 D D  x + ax + x > f ( x) =   x − x + x ≤ Câu 82 Tìm a để hàm số sau có giới hạn x → A +∞ B −∞ C D 5ax + x + 2a + f ( x) =  1 + x + x + x + Câu 83 Tìm a để hàm số sau có giới hạn x = B −∞  x + ax + f ( x) =   x − x + 3a Câu 84 Tìm a để hàm số A +∞ A +∞ B −∞ C x > x ≥ x < D x ≤ có giới hạn x → − C D DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH P( x ) L = lim x → x0 Q ( x ) với P ( x) , Q( x) đa thức P ( x0 ) = Q ( x0 ) = Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn Chú ý: x, x + Nếu tam thức bậc hai ax + bx+c có hai nghiệm ta ln có phân tích ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) n n n −1 n− n−2 n −1 + a − b = (a − b)(a + a b + + ab + b ) P( x ) L = lim x → x0 Q ( x ) P ( x0 ) = Q ( x0 ) = với P ( x ) , Q( x) biểu thức chứa bậc Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu Các lượng liên hợp: ( a − b )( a + b ) = a − b + Trang 10 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 ( x − 2)(2 x − 1) A = lim = x → ( x − 2)( x + x + 1) Ta có: Câu 91 Tìm giới hạn STBSAQ x − 3x + x3 + x − B = lim x →1 B −∞ A +∞ C D 1 − C D 1 C D C D C D Hướng dẫn giải: Chọn C ( x − 1)( x3 + x + x − 2) B = lim = x →1 ( x − 1)( x + x + 3) Ta có: Câu 92 Tìm giới hạn A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn C C = lim x →3 Ta có: x →3 B −∞ −( x − 3)( x + 1) ( x − 3)( x − 1) Câu 93 Tìm giới hạn x →3 Ta có: Ta có: ) 2x + − x − 4x + x →3 ( x − 1)( x − 3) ( 2x + + D = lim x →0 ) = x +1 −1 2x + −1 B −∞ x ( ) 2x +1 +1 x  ( x + 1) + x + + 1   Câu 95 Tìm giới hạn A +∞ Hướng dẫn giải: −1 2( x − 3) A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn C x →0 2x + + x = B −∞ Câu 94 Tìm giới hạn D = lim ( C = lim A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn C C = lim 2x + − x x2 − 4x + C = lim B = lim x →1 = 4x + − 5x + − B −∞ Trang 44 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ Chọn D  (5 x + 3) + x + +  4( x − 1)  (5 x + 3) + x + +  =   = lim  B = lim x → x →1 5 4x + + 5( x − 1)  x + + 3 Ta có: ( ) Trang 45 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ ∞ ∞ DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH Phương pháp: P( x) ∞ L = lim x →±∞ Q ( x ) P ( x ), Q ( x ) → ∞ , dạng ta cịn gọi dạng vô định ∞ với P ( x) , Q( x) đa thức biểu thức chứa – Nếu P ( x) , Q( x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x – Nếu P ( x) , Q( x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp Tương tự cách khử dạng vô định dãy số Ta cần tìm cách đưa giới hạn: lim x k = +∞ lim x k +1 = +∞ lim x k +1 = −∞ x →±∞ x →+∞ x + ; ; →−∞ k lim n = (n > 0; k ≠ 0) + x→±∞ x k lim f ( x) = ±∞ ⇔ lim = (k ≠ 0) x → x0 x → x0 f ( x ) + Câu 96 x→∞ x + lim A Hướng dẫn giải: Chọn A B C D +∞ 5 lim = lim x = x →∞ x + x →∞ 3+ x Cách 1: Cách 2: Bấm máy tính sau: x + + CACL + x = 10 so đáp án (với máy casio 570 VN Plus) lim x + x → 109 Cách 3: Dùng chức lim máy VNCALL 570ES Plus: so đáp án x4 + Câu 97 Giá trị x →+∞ x + A −1 B Hướng dẫn giải: Chọn B 1+ 4 x +7 x =1 lim = lim x →+∞ x + x →+∞ 1+ x lim C = lim Câu 98 Tìm giới hạn x →+∞ C D +∞ x − 3x2 + 5x + x2 + Trang 46 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: 2− C D C D 2 x2 = − C = lim x →+∞ + 1+ x Ta có: 2− 3+ x2 −1 Câu 99 x→∞ − x lim − B A −2 Hướng dẫn giải: Chọn D x2 = = lim 2 x − x→∞ lim −1 x2 Cách 1: x→∞ − x 2x2 − Cách 2: Bấm máy tính sau: − x + CACL + x = 10 so đáp án 2x2 −1 lim − x x → 109 Cách 3: Dùng chức lim máy VNCALL 570ES Plus: so đáp án 2− Câu 100 Cho hàm số f ( x) = A Hướng dẫn giải: Chọn C Cách 1: lim x →+∞ x2 + x4 + x2 − x2 + lim f ( x) x + x − Chọn kết x →+∞ B = lim x →+∞ Cách 2: Bấm máy tính sau: 1 + x2 x4 = 2+ − x x x2 + x + x − + CACL + x = 109 so đáp án lim Cách 3: Dùng chức lim máy VNCALL 570ES Plus: lim Câu 101 x →−∞ x2 + x4 + x2 − x → 109 so đáp án + 3x x + A Hướng dẫn giải: Chọn A − D +∞ C B C D − Trang 47 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ +3 + 3x x lim = lim =− x →−∞ 2 x + x→+∞ − + x Cách 1: + 3x x + + CACL + x = −109 so đáp án + 3x lim x + x → −109 Cách 3: Dùng chức lim máy VNCALL 570ES Plus: so đáp án Cách 2: Bấm máy tính sau: D = lim x →−∞ Câu 102 Tìm giới hạn x2 D = lim Ta có: x2 E = lim Ta có: x →+∞ + x3 + x 4 C D 1 − C D C D 1 + +1 x6 x2 =1 1 + +1 x4 x2 Câu 103 Tìm giới hạn A +∞ Hướng dẫn giải: + x4 + x6 B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: x →−∞ E = lim ( x − x + − x) x →+∞ B −∞ −x +1 x2 − x + + x Câu 104 Tìm giới hạn =− F = lim x( x + − x) x →−∞ B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải:   F = lim x  − + − 1÷ ÷ = −∞ x →−∞ x   Ta có: lim ( x − x + x + 1) Câu 105 Chọn kết kết sau A −∞ B C Hướng dẫn giải: Chọn A 1  lim x − x + x + = lim x  − + + ÷ = −∞ x →−∞ x →−∞ x x x   x →−∞ ( D +∞ ) Câu 106 Chọn kết kết sau lim x →+∞ x − x3 + x − x Trang 48 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 A −∞ B Hướng dẫn giải: Chọn D x →+∞ C x →+∞ ( B = lim x − x + x + x →−∞ Câu 107 Tìm giới hạn ) C A +∞ B −∞ Hướng dẫn giải:   1  1 B = lim  x − x + + ÷ = lim x 1 + + + ÷ x →−∞ x x  x→−∞  x x  Ta có: C = lim x →+∞ Ta có: D = lim x →−∞ M = lim ( x →−∞ ) x + x + − x + lim ( x3 + x + + x + x + D x →−∞ ( 3 D ) x2 + x + + x = M + N ( x + x + 1) + x x + x + + x ) − C x2 + D ) C B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: Ta có: x →−∞ x2 + x + − x 16  1 x 1 + ÷ 1+ x +1  x x = lim = = lim x →+∞ x →+∞ 1 1 4x + x +1 + 2x 4+ + +2 x + + + 2x x x x x Câu 110 Tìm giới hạn D = lim ( − C B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: x →+∞  ÷ ÷ = −∞  (2 x + 1)3 ( x + 2) x →+∞ (3 − x)7 A +∞ B −∞ Hướng dẫn giải: 1  2   + ÷ 1 + ÷ x  x A = lim  =− x →+∞ 16 3  −  ÷ x  C = lim D A = lim Câu 108 Tìm giới hạn Câu 109 Tìm giới hạn D +∞  1 1 x  − + − ÷ = +∞ x   x x x − x + x − x = lim lim STBSAQ 2 = Trang 49 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ 1+ x +1 x N = lim = lim =− x →−∞ x + x + − x x →−∞ − + + − x x 1 B= − =− Do đó: DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘT BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC Phương pháp: Giới hạn bên : Áp dụng định lý giới hạn tích thương Dạng ∞ – ∞ : Giới hạn thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu Sau tìm cách biến đổi đưa ∞ dạng ∞ Dạng 0.∞ : Ta thường sử dụng phương pháp dạng  2 lim−  − ÷ x →0  x x  Câu 111 Chọn kết A −∞ B Hướng dẫn giải: Chọn C  2  x−2 lim−  − ÷ = lim−  ÷ x →0  x x  x →0  x  lim− ( x − ) = −2 < C +∞ D Không tồn x→0 − Khi x → ⇒ x < ⇒ x <  x−2 lim−  ÷ = +∞ x →0  x  Vậy lim+ x2 − x + x − Câu 112 x →1 A −∞ B –1 C Hướng dẫn giải: Chọn D x2 − x + lim+ = +∞ lim x − x + = > lim+ x − = 0; x − > + x →1 x2 −1 x → x→1 ( Câu 113 Giá tri ) lim x →3 ( D +∞ ) x−3 x−3 A Không tồn B C Hướng dẫn giải: Chọn A x −3  x −3 lim+ = lim+ =1  x−3 x −3 x →3 x − x →3 x −  ≠ lim  ⇒ xlim →3+ x − x →3− x − x −3 −x + lim− = lim− = −1  x →3 x − x →3 x − D +∞ Trang 50 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ Vậy không tồn giới hạn Câu 114 Tìm giới hạn A = lim x →+∞ ( x2 − x + − x ) A +∞ B −∞ Hướng dẫn giải: Chọn C ( x − x + − x)( x − x + + x ) A = lim x →+∞ x2 − x + + x Ta có: x2 − x + − x2 −x +1 = lim = lim =− x →+∞ x − x + + x x →+∞ x − x + + x Câu 115 Tìm giới hạn ( B = lim x + x − x + x →−∞ − C D C D ) A +∞ B −∞ Hướng dẫn giải: Chọn C x +1 (2 x − x − x + 1)(2 x + x − x + 1) = lim = B = lim 2 x →−∞ x →−∞ 2x − 4x − x + 2x − 4x − x +1 Câu 116 Cho hàm số f ( x) = A −∞ Hướng dẫn giải: Chọn A  − x2 − x  lim+ f ( x ) = lim+  ÷ x →1 x →1  x −1  1 − lim f ( x ) x − x − Chọn kết x →1+ − B C D +∞ − C D lim+ ( − x − x ) = −2 x →1 + Khi x → ⇒ x > ⇒ x − > lim f ( x ) = −∞ Vậy x →1+ Câu 117 Tìm giới hạn A = lim ( x − x + − x) x →+∞ A +∞ B −∞ Hướng dẫn giải: Chọn C −x +1 A = lim =− x →+∞ x2 − x + + x Câu 118 Tìm giới hạn D = lim ( 8x + 2x − 2x) x →+∞ Trang 51 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 x →+∞ C B −∞ A +∞ Hướng dẫn giải: Chọn D D = lim STBSAQ 2x (8 x + x ) + x (8 x + x ) + x D =0 HÀM SỐ LIÊN TỤC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP lim f ( x) = f ( x0 ) Hàm số liên tục điểm: y = f ( x) liên tục x0 ⇔ x → x0 x • Để xét tính liên tục hàm số y = f ( x) điểm ta thực bước: B1: Tính f ( x0 ) lim+ f ( x) lim− f ( x ) (trong nhiều trường hợp ta cần tính x→ x0 , x→ x0 ) lim f ( x) f ( x0 ) B3: So sánh x → x0 với rút kết luận y Hàm số liên tục khoảng: = f ( x) liên tục điểm thuộc khoảng B2: Tính lim f ( x) x → x0 ( a; b ) Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f ( x ) liên tục lim f ( x) = f (a), lim− f ( x) = f (b) x →a + x →b • Hàm số đa thức liên tục ¡ • Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f ( x) , y = g ( x ) liên tục điểm x0 Khi đó: x • Các hàm số y = f ( x) + g ( x) , y = f ( x) − g ( x ) , y = f ( x).g ( x) liên tục f ( x) y= g ( x) liên tục x0 g ( x0 ) ≠ • Hàm số [ a; b] f (a) f (b) < tồn số c ∈ ( a; b ) cho Nếu y = f ( x) liên tục f ( c ) = [ a; b] f (a) f (b) < phương trình f ( x) = có Nói cách khác: Nếu y = f ( x) liên tục c ∈ ( a; b ) nghiệm B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: • Tìm giới hạn hàm số y = f ( x) x → x0 tính f ( x0 ) lim f ( x ) lim f ( x) • Nếu tồn x → x0 ta so sánh x →x0 với f ( x0 ) Chú ý: Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm Trang 52 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ lim f ( x) = l ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = l x → x0 x → x0 x → x0  f ( x ) x ≠ x0 y= x = x0 ⇔ lim f ( x) = k x = x0 x → x0 k Hàm số liên tục  f ( x ) x ≥ x0 y=  g ( x) x < x0 liên tục điểm x = x0 Hàm số lim+ f ( x ) = lim− g ( x ) = f ( x0 ) x → x0 x → x0 Chú ý:  f ( x ) x > x0 y=  g ( x) x ≤ x0 liên tục x = x0 Hàm số lim+ f ( x ) = lim− g ( x ) = g ( x0 ) x → x0 x → x0 Câu 119 Cho hàm số x = f ( x) = x2 −1 x + f ( ) = m − với x ≠ Giá trị m để f ( x ) liên tục B − A Hướng dẫn giải: Chọn C C ± D ±3 ⇔ lim f ( x ) = f ( ) x →2 Hàm số liên tục x = x −1 lim = lim ( x − 1) = Ta có x →2 x + x→2 m = m2 − = ⇔   m = − Vậy  sin x  f ( x ) =  5x a + x≠0 f x x=0 Câu 120 Cho hàm số Tìm a để ( ) liên tục x = A B −1 C −2 D Hướng dẫn giải: Chọn B sin x lim = f ( 0) = a + x →0 5x Ta có: ; Vậy để hàm số liên tục x = a + = ⇔ a = −1 ( x + 1) , x >  f ( x ) = x2 + , x < k , x =1 f x  Câu 121 Cho hàm số Tìm k để ( ) gián đoạn x = A k ≠ ±2 B k ≠ C k ≠ −2 D k ≠ ±1 Trang 53 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ Hướng dẫn giải: Chọn A TXĐ: D = ¡ Với x = ta có ( ) Với x ≠ ta có lim f ( x ) = lim ( x + ) = lim f ( x ) = lim ( x + 1) = lim f ( x ) = x →1 x →1 x →1 ; x →1 suy x →1 f = k2 − − + + Vậy để hàm số gián đoạn x = lim f ( x ) ≠ k x →1 Câu 122 Chọn giá trị f (0) để hàm số A B f ( x) = ⇔ k ≠ ⇔ k ≠ ±2 2x +1 −1 x( x + 1) liên tục điểm x = C D Hướng dẫn giải: Chọn A 2x +1 −1 2x = lim =1 x →0 x( x + 1) x( x + 1) x + + lim f ( x) = lim x →0 ( x→0 Ta có : Vậy ta chọn f (0) = Câu 123 Chọn giá trị f (0) để hàm số A Hướng dẫn giải: lim f ( x) = lim x →0 Ta có : Vậy ta chọn f ( x) = B Chọn C x →0 ) f (0) = ( ( 3x + + ) (2 x + 8) + x + + ) 2x + − x + − liên tục điểm x = C D = 9  x + 2a x < f ( x) =   x + x + x ≥ liên tục x = Câu 124 Tìm a để hàm số 1 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A lim+ f ( x) = lim+ ( x + x + 1) = Ta có : x →0 x →0 lim f ( x) = lim− ( x + 2a ) = 2a x →0− x →0 Suy hàm số liên tục x=0⇔a= Trang 54 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ  3x + − x >  x − f ( x) =   a( x − 2) x ≤  x − Câu 125 Tìm a để hàm số liên tục x = 1 A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có : lim+ f ( x) = lim+ x →1 x →1 lim− f ( x) = lim− x →1 x →1 3x + − = x2 −1 a( x − 2) a = x−3 Suy hàm số liên tục x =1⇔ a 3 = ⇒a= Trang 55 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp: + Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … + Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng Câu 126 Cho hàm số f ( x) = x2 +1 x + x + Khi hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng sau đây? ) A ( Hướng dẫn giải: Chọn B −3; B ( −2; +∞ ) C ( −∞;3) D ( 2;3)  x ≠ −3 x2 + 5x + ≠ ⇔   x ≠ −2 Hàm số có nghĩa x2 + f ( x) = x + x + liên tục khoảng ( −∞; −3) ; ( −3; −2 ) Vậy theo định lí ta có hàm số ( −2; +∞ )  a x , x ≤ 2, a ∈ ¡ f ( x) =  − a ) x2 , x > f x (   Câu 127 Cho hàm số Giá trị a để ( ) liên tục ¡ A Hướng dẫn giải: Chọn D TXĐ: D = ¡ B –1 C –1 f ( x ) = a2 x2 x > Với ta có hàm số liên tục khoảng ( D –2 2; +∞ ( ) ) −∞; f x = − a ) x2 Với x < ta có hàm số ( ) ( liên tục khoảng f = 2a Với x = ta có ( ) lim+ f ( x ) = lim+ ( − a ) x = ( − a ) x→ Để x→ hàm số liên tục ; lim− f ( x ) = lim− a x = 2a x→ x= x→ ⇔ lim+ f ( x ) = lim − f ( x ) = f x→ x→ ( ) ⇔ 2a = 2( − a) a = ⇔  a = −2 ⇔ a2 + a − = Vậy a = a = −2 hàm số liên tục ¡ Trang 56 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ  x3 − 3x + x x ( x − 2) ≠  x( x − 2)  f ( x) = a x = b x =   Câu 128 Xác định a, b để hàm số liên tục ¡ a = 10 a = 11 a = a = 12     A b = −1 B b = −1 C b = −1 D b = −1 Hướng dẫn giải: Chọn C a = ¡ ⇔ b = −1 Hàm số liên tục Câu 129 Tìm m để hàm số  x − + 2x −1 x ≠  f ( x) =  x −1 3m − x =  m= B A m = Hướng dẫn giải: C m = liên tục ¡ D m = Chọn B x − + 2x −1 ¡ \ { 1} x −1 Với x ≠ ta có nên hàm số liên tục khoảng Do hàm số liên tục ¡ hàm số liên tục x = Ta có: f (1) = 3m − f ( x) = lim f ( x) = lim x →1 x →1 3 x − + 2x − x −1  x3 + x − = lim 1 + x →1  ( x − 1) x − x x − + ( x − 2)  (  x2 + x + = lim 1 + x →1  x − x x − + ( x − 2) Nên hàm số liên tục Vậy m= )      =2  x = ⇔ 3m − = ⇔ m = 4 giá trị cần tìm  x +1 −1 x >  f ( x) =  x 2 x + 3m + x ≤  Câu 130 Tìm m để hàm số liên tục ¡ m=− A m = B C m = D m = Hướng dẫn giải: Chọn B Trang 57 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ x + −1 0; +∞ ) x • Với x > ta có nên hàm số liên tục ( • Với x < ta có f ( x ) = x + 3m + nên hàm số liên tục ( −∞; 0) Do hàm số liên tục ¡ hàm số liên tục x = Ta có: f (0) = 3m + f ( x) = lim+ f ( x ) = lim+ x →0 x →0 x +1 −1 = lim+ x→0 x 1 = x +1 +1 lim− f ( x) = lim− ( x + 3m + 1) = 3m + x →0 x →0 Do hàm số liên tục Vậy m=− x = ⇔ 3m + = 1 ⇔m=− 6 hàm số liên tục ¡ Trang 58 ... (có thể thay 100 số nhỏ lớn hơn) Trang 37 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: Giới hạn. .. Trang 17 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ Trang 18 Chương 4: Giới hạn – ĐS>11 STBSAQ PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN Giới hạn đặc biệt:...     n   Câu 72 Tính giới hạn 1 A B C D GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: +∞ neá lim x =