Dap an chuyen de TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Chun đề Ngun Hàm - Tích Phân §1 Ngun Hàm 8.1 Tìm họ nguyên hàm sau √ a) x7 + 4x3 − x dx d) √ x √ x − 2x (x + 1) dx b) e) √ x+1− √ dx x dx sin x + x c) 3x2 + (2x − 3) dx f) cos x − 3x−1 dx Lời giải a) b) c) d) e) f) 2x x8 + x4 − + C √ 1 1 3x 3 x+1− √ + x − 2x + C dx = x + − x− dx = x 3x4 − 3x3 + x2 − 3x + C 3x + (2x − 3) dx = 6x − 9x + 2x − dx = √ √ x3 x2 4x 4x 2 2 + − − + C x x − 2x (x + 1) dx = x + x − 2x − 2x dx = sin x + dx = −3 cos x + ln |x| + C x 3x 3x cos x − 3x−1 dx = cos x − dx = sin x − + C 3 ln x7 + 4x3 − √ x dx = 8.2 Tìm các√họ nguyên hàm sau x+ x+1 √ a) dx x 2x − d) dx ex x7 + 4x3 − x dx = b) x3 + 5x2 − 3x + √ x x e) tan2 xdx √ x dx c) f) 4x + dx 2x dx sin2 xcos2 x Lời giải √ 2 1 3x x+ x+1 6x 3x 3 + x + x− √ dx = x dx = a) + + + C x √ 3 1 x3 + 5x2 − 3x + x 2x 10x √ b) dx = x + 5x − 3x− + dx = + − 6x + ln |x| + C x x x x x 4x + 1 2x 2x x c) dx = + dx = + +C = − + C x 2 ln ln 2x ln ln x x x x 2x − 2x e e d) dx = − dx = − +C = x + + C x e e e e (ln − 1) ex ln e ln e e) tan2 xdx = − dx = tan x − x + C cos2 x sin2 x + cos2 x 1 f) dx = dx = + dx = tan x − cot x + C 2 cos2 x sin2 x sin xcos x sin2 xcos2 x 8.3 Tìm nguyên hàm F (x) hàm số sau a) f (x) = − x2 , biết F (2) = c) f (x) = (x + 1)(x − 1) + 1, biết F (0) = 1 b) f (x) = x − + 2, biết F (1) = x √ d) f (x) = x + x3 + 1, biết F (1) = Nguyễn Minh Hiếu e) f (x) = ax + b , biết F (−1) = 2, F (1) = F (2) = x2 Lời giải a) Ta có F (x) nguyên hàm f (x) = − x2 nên có dạng F (x) = − x2 dx = 2x − x3 + C x3 ⇔ − + C = ⇔ C = Vậy F (x) = 2x − + 3 3 x2 1 x − + dx = + +2x+C b) Ta có F (x) nguyên hàm f (x) = x− +2 nên có dạng F (x) = x x x x2 Lại có F (1) = ⇔ + + + C = ⇔ C = − Vậy F (x) = + + 2x − 2 x x3 c) Ta có F (x) nguyên hàm f (x) = (x + 1)(x − 1) + = x nên có dạng F (x) = x2 dx = + C x3 Lại có F (0) = ⇔ C = Vậy F (x) = + √ 3x x4 3 + + x + C d) Ta có F (x) nguyên hàm f (x) = x + x + nên có dạng F (x) = f (x)dx = 4 3x x4 Lại có F (1) = ⇔ + + + C = ⇔ C = Vậy F (x) = + + x 4 4 b ax2 b b ax + dx = e) Ta có F (x) nguyên hàm f (x) = ax + nên có dạng F (x) = − + C x x   x  F (−1) =  2a + b + C =  a=1 x b = −1 Vậy F (x) = F (1) = a−b+C =4 ⇔ Lại có ⇔ + +    x F (2) = C = 25 2a − 12 b + C = Lại có F (2) = 1 thỏa F (1) = −1 Tìm x để 2F (x) = − x F (x) + 8.4 Gọi F (x) nguyên hàm f (x) = nên có dạng F (x) = x Lại có F (1) = −1 ⇒ C = −1 Do F (x) = ln |x| − 1 Khi 2F (x) = − ⇔ 2(ln |x| − 1) = − (∗) F (x) + ln |x| ln |x| = Với điều kiện x = ±1 ta có (∗) ⇔ 2ln2 |x| − ln |x| − = ⇔ ln |x| = − 21 Vậy x = ±e x = ± √ e Lời giải Ta có F (x) nguyên hàm f (x) = dx = ln |x| + C x ⇔ x = ±e x = ± √1e (thỏa mãn) §2 Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm 8.5 Tìm họ nguyên hàm sau a) I = (3x + 3) dx b) I = dx − 9x c) I = d) I = 4x − dx 2x + e) I = sin2 xdx f) I = e3x+1 + cos 5x dx sin 5x sin xdx Lời giải 10 (3x + 3) 10 +C = (3x + 3) + C 10 30 7 b) I = − d(2 − 9x) = − ln |2 − 9x| + C − 9x 1 1 3x+1 c) I = e dx + cos 5xdx = e3x+1 d(3x + 1) + cos 5xd (5x) = e3x+1 + sin x + C 5 3 d) I = 2− dx = 2dx − d(2x + 1) = 2x − ln |2x + 1| + C 2x + 2x + − cos 2x 1 1 1 e) I = dx = − cos 2x dx = dx − cos 2xd (2x) = x − sin 2x + C 2 2 4 1 1 f) I = (cos 4x − cos 6x) dx = cos 4xd (4x) − cos 6xd (6x) = sin 4x − sin 6x + C 12 12 a) I = (3x + 3) d(3x + 3) = http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân 8.6 Tìm họ nguyên hàm sau 2012 x(x2 + 1) dx √ + ln x dx x a) I = d) I = b) I = tan xdx c) I = e) I = cos5 xdx f) I = ex dx +1 x √ dx x2 + ex Lời giải a) I = 2013 b) I = c) I = d) I = e) I = f) C1: I (x2 + 1) 2012 (x2 + 1) 2013 d(x2 + 1) = 2013 +C = (x2 + 1) 4026 + C sin x dx = − d (cos x) = − ln |cos x| + C cos x cos x d (ex + 1) = ln |ex + 1| + C ex + √ (1 + ln x) 2 (1 + ln x) + ln x (1 + ln x) d (1 + ln x) = + C = + C 3 2sin3 x sin5 x cos4 x cos xdx = − sin2 x d (sin x) = sin x − + + C 1 x2 + −1 + C = x2 + + C = x2 + d x2 + = 2 C2: I = d x2 + = x2 + + C 8.7 Tìm họ nguyên hàm sau a) I = x (x − 1) d) I = √ 2012 dx b) I = e2x dx ex + e) I = x3 dx +1 ln x − dx x ln x x2 c) I = x5 f) I = √ sin3 x + cos xdx Lời giải a) Đặt u = x − ⇒ du = dx Ta có (u + 1)u2012 du = I= u2013 + u2012 du 2014 = u2014 u2013 (x − 1) + +C = 2014 2013 2014 2013 + (x − 1) 2013 +C b) Đặt u = x2 + ⇒ du = 2xdx Ta có x2 x dx = x2 + u−1 1 du = 1− du u u 1 = (u − ln |u|) + C = x + − ln x2 + + C 2 I= c) Đặt u = √ x3 + ⇔ u2 = x3 + ⇒ 2udu = 3x2 dx Ta có x3 x2 I= = d) Đặt u = √ 2u du = u4 − u2 du 3 √ √ x3 + x3 + +C = + +C 15 x3 + 1dx = u5 u3 + u2 − u ex + ⇔ u2 = ex + ⇒ 2udu = ex dx Ta có I= =2 e) Đặt u = ln x ⇒ du = ex ex √ x dx = e +1 u2 − 2udu = u2 − du u √ √ ex + u3 −u +C = − ex + + C 3 dx Ta có x I= 2u − du = u 2− u du = 2u − ln |u| + C = ln x − ln |ln x| + C http://mathqb.eazy.vn x3 + 1dx Nguyễn Minh Hiếu f) Đặt u = √ + cos x ⇔ u2 = + cos x ⇒ 2udu = − sin xdx Ta có I= √ sin2 x sin x + cos xdx = − u2 − =− =2 2u5 u7 − − cos2 x +C = √ + cos x sin xdx −u4 + 2u2 2u2 du = u.2udu = − √ + cos x 7 − √ + cos x u6 − 2u4 du +C 8.8 Tìm họ nguyên hàm sau a) I = (x − 1) ex dx b) I = x cos xdx c) I = x2 ln xdx d) I = ln (2x + 1) dx e) I = x2 e2x−1 dx f) I = ex sin xdx Lời giải u=x−1 ⇒ dv = ex dx a) Đặt du = dx Ta có v = ex I = (x − 1)ex − u=x ⇒ dv = cos xdx b) Đặt ex dx = (x − 1)ex − ex + C = (x − 2)ex + C du = dx Ta có v = sin x I = x sin x − du = x1 dx Ta có v = x3 u = ln x ⇒ dv = x2 dx c) Đặt I= x3 ln x − u = ln(2x + 1) ⇒ dv = dx d) Đặt u = x2 ⇒ dv = e2x−1 dx I1 = f) Đặt 2x dx = 2x + 1 2x−1 x e − 1− 2x + xe2x−1 dx = 2x−1 xe − 2 e2x−1 dx = dx = x − ln |2x + 1| + C 2 2x−1 x e − I1 2x−1 2x−1 xe − e +C 2x−1 2x−1 2x−1 x e − xe − e +C = 2x2 − 2x + e2x−1 + C 2 4 u = ex du = ex dx ⇒ Ta có dv = sin xdx v = − cos x I = −ex cos x + Lại đặt x3 x3 ln x − +C du = dx Ta có v = 21 e2x−1 u=x ⇒ dv = e2x−1 dx Vậy I = x2 dx = du = 2xdx Ta có v = 12 e2x−1 I= Đặt x3 x3 dx = ln x − x 3 du = 2x+1 dx Ta có v=x I = x ln(2x + 1) − e) Đặt sin xdx = x sin x + cos x + C u = ex ⇒ dv = cos xdx ex cos xdx = −ex cos x + I1 du = ex dx Ta có v = sin x I1 = ex sin x − Vậy I = −ex cos x + ex sin x − I ⇔ I = ex sin xdx = ex sin x − I x e (sin x − cos x) + C http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân §3 Tích Phân 8.9 Tính tích phân sau a) I = e−x dx (2x − 1) e) I = 2012 dx f) I = Lời giải a) I = x5 √ − 4xdx −1 e b) I = ln |x||1 = ln e − ln = = 1 sin 3x cos 3xdx c) I = 1 ln d) I = dx x b) I = 5x dx c) I = π e π π 1 sin − sin = 3 = 2013 1 (2x − 1) e) I = 2013 d) I = −e−x = 4026 ln = − e− ln − e0 = (5 − 4x) (5 − 4x) dx = − 2 f) I = −1 = −1 13 8.10 Tính tích phân sau π π e2−5x dx a) I = 0 d) I = sin 2x + b) I = (−2x + 1) dx e) I = √ π dx dx cos2 2x c) I = 0 f) I = 3x + 2dx −1 dx (3 − 5x) Lời giải 1 a) I = − e2−5x d (2 − 5x) = − e2−5x e2 − e−3 = π π π d 2x + sin 2x + 6 b) I = π = − cos 2x + π c) I = 1 d (2x) = tan 2x cos2 2x 0 (−2x + 1) (−2x + 1) d (−2x + 1) = − 16 (3x + 2) dx = e) I = 3(3x + 2) = = √ π 1 d) I = − √ π = 12 − = 0 √ 3 625 −3 (3 − 5x) f) I = −2 dx = −2(3 − 5x) −1 = 11 288 −1 8.11 Tính tích phân sau ln 2 6x − 4x + dx a) I = x b) I = (e + 2x) dx π cos2 2xdx d) I = 2cos x + dx − sin2 x e) I = Lời giải a) I = 2x3 − 2x2 + x x b) I = e + x ln 2 = = + ln2 2− x+1 dx = (2x − ln |x + 1|)|0 = − ln http://mathqb.eazy.vn 2x − dx x+1 0 π c) I = c) (CĐ-2010) I = √ f) I = √ dx x+1− x−1 Nguyễn Minh Hiếu π d) I = (1 + cos 4x) dx = π x + sin 4x = 0 π e) I = π+2 16 π 2cos2 x + dx = cos2 x 2+ cos2 x π dx = (2x + tan x)|04 = π+2 √ f) I = x+1+ √ (x + 1) + (x − 1) dx x − dx = 3 = (x + 1) + (x − 1) √ Tổng quát 8.1 I = √ √ 7−3 3+2 = dx √ ax + b ± ax + c Nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp 8.12 Tính tích phân sau 2x + a) I = √ x dx b) I = π d) I = x+ x dx x x cos dx 2 x(x − 1) f) I = 0 + sin c) I = x2 − 3x + dx x−2 e) I = cos 3x cos xdx π 2 2009 dx Lời giải 4 a) I = 2x + x 2x x + dx = = 1 x +2+ x b) I = 59 x3 + 2x − x dx = 275 12 = 2 π c) I = cos x + sin x dx = 2 sin π x − cos x 2 = 0 π 2 d) I = π 1 sin 2x + sin 4x (cos 2x + cos 4x) dx = = 0 x−1+ e) I = x−2 dx = =e− − ln 2 (x − + 1) (x − 1) f) I = x2 − x + ln |x − 2| 1 √ + 2 2009 2011 (x − 1) dx = 2010 + (x − 1) 2009 dx = (x − 1) 2011 2010 + (x − 1) 2010 =− 4042110 8.13 Tính tích phân sau |x − 1| dx a) I = |2x − |x + 1|| dx e) I = −2 2π x2 − 4x + − dx h) I = (|x + 1| + |x − 2|) dx f) I = −2 √ 2π − cos 2xdx 0 x2 − x dx c) (D-03) I = x2 − 3x + dx g) I = |3 − x| dx b) I = −2 d) I = i) (BĐT-103) I = √ + sin xdx Lời giải |x − 1| dx + a) I = −2 = |x − 1| dx = 1 x − x2 + −2 x −x 2 (1 − x) dx + −2 (x − 1) dx = + = 2 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân |3 − x| dx + b) I = |3 − x| dx = = + 3 1 x − x3 x−x x − x dx = x − x dx + = 2 1 x − x + 1 + = 6 = 1 = + −1 −2 |2x − x − 1| dx = −1 −1 −2 (1 − x) dx + −1 − = 3x −x −2 −2 −2 −1 (x + 1) dx + + −2 x − + 2x + −1 ||x − 2| − 1| dx + 0 |x − 3| dx = − √ x +x |sin x| dx = π + 2π i) I = √ √ + − π |sin x| dx + x2 + 3x √ = 2π |sin x| dx = 2 cos x = √ 2+ √ 2+ http://mathqb.eazy.vn π sin xdx + √ 2π 2+ √ − sin xdx π √ = π 2π x π sin + √ x π sin + dx + 2 √ √ dx = 3π 1 + + = 2 2 π 2π √ x x sin + cos dx = 2 2 (−x + 3) dx √ = − cos x |x − 3| dx x −x 2π 2 + |−x + 1| dx + 1 2 (x − 1) dx + (−x + 1) dx + 1 + + + = 17 2 = ||x − 2| − 1| dx −2 |−x + 1| dx + = + |−x + 1| dx + x2 − 2x 2 = ||x − 2| − 1| dx = |x − 2| dx (x − 2) dx 2 2 |x − 2| dx + −2 (−x + 2) dx + x +x 3 −2 g) I = |x + 1| dx + −1 x − −x 2 |x + 1| dx + + + = 2 = −2 −1 = −1 −1 (−x − 1) dx + = 2 x −x + |x − 2| dx = −1 |x − 1| dx (x − 1) dx 1 x − x2 −2 |x + 1| dx + f) I = |x − 1| dx + −1 + |3x + 1| dx + 2 −1 −2 (−3x − 1) dx + = 1 = + = 6 −1 |2x + x + 1| dx + e) I = √ x3 3x2 − + − 2x −x2 + 3x − dx x − 3x + dx + x3 3x2 − + 2x 2 x − 3x + dx = x − 3x + dx + x2 − x dx dx + 2 = 2 d) I = (−3 + x) dx = + = 2 c) I = = x2 −3x + h) I = (3 − x) dx + 3 x2 3x − √ 3π x π sin + dx + 2π − sin √ x π x π + dx = −2 cos + 4 3π √ 2π sin x π + dx 3π 3π √ x π + 2 cos + 2π 3π √ = Nguyễn Minh Hiếu §4 Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân 8.14 Tính tích phân sau 1 dx (x − 2) (x + 1) a) I = b) I = d) (DB-07) I = x (x − 1) dx x2 − e) I = 5x − 13 dx x2 − 5x + c) I = x4 dx −1 x2 3x − dx x2 + 6x + f) (B-2012) I = 0 x3 dx x4 + 3x2 + Lời giải a) C1: (Phương pháp đồng hệ số) A B A (x + 1) + B (x − 2) (A + B) x + A − 2B Ta có = + = = (x − 2) (x + 1) x−2 x+1 (x − 2) (x + 1) (x − 2) (x + 1) A+B =0 A = 13 Khi Đồng hệ số ⇔ A − 2B = B = − 31 5 1 dx − x−2 I= 3 1 dx = (ln |x − 2| − ln |x + 1|) x+1 = 3 ln C2: (Phương pháp trị số riêng) A B A (x + 1) + B (x − 2) Ta có = + = ⇒ = A (x + 1) + B (x − 2) (x − 2) (x + 1) x−2 x+1 (x − 2) (x + 1) 1 Cho x = A = ; cho x = −1 B = − Khi 3 5 I= 1 dx − x−2 3 1 dx = (ln |x − 2| − ln |x + 1|) x+1 = 3 ln C3: (Kỹ thuật thêm bớt hay gọi kỹ thuật nhảy tầng lầu) I= (x + 1) − (x − 2) dx = (x − 2) (x + 1) 1 − x−2 x+1 = dx (ln |x − 2| − ln |x + 1|) ln = 5x − 13 5x − 13 A B (A + B) x − 2A − 3B = = + = x2 − 5x + (x − 3)(x − 2) x−3 x−2 (x − 3)(x − 2) A+B =5 A=2 Đồng hệ số ⇔ Khi −2A − 3B = −13 B=3 b) Ta có 1 dx + x−3 I=2 1 dx = ln |x − 3||0 + ln |x − 2||0 = − ln 18 x−2 x +1+ x −1 c) Ta có I = dx = x3 +x 3 3 22 dx = + x −1 + 2 x2 dx −1 1 A B (A + B) x + A − B Lại có = = + = x −1 (x − 1)(x + 1) x−1 x+1 (x − 1)(x + 1) A+B =0 A = 21 Đồng hệ số ⇔ Khi A−B =1 B = − 12 22 I= + 3 1 dx − x−1 2 d) Ta có I = 22 dx = + (ln |x − 1| − ln |x + 1|) x+1 2 x2 − x dx = x2 − −x + 1+ x −4 dx = x|0 + −x + dx = + x2 − = 22 + ln 2 −x + dx x2 − http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân −x + A B (A + B)x + 2A − 2B −x + = = + = x2 − (x − 2)(x + 2) x−2 x+2 x2 − A + B = −1 A = 21 Đồng hệ số Khi ⇔ 2A − 2B = B = − 32 Lại có 1 dx − x−2 I =1+ 1 dx = + ln |x − 2| x+2 1 ln |x + 2| − = + ln − ln 3x − A A(x + 3) + B Ax + 3A + B 3x − B = = = x+3 + = 2 x2 + 6x + (x + 3) (x + 3) (x + 3) (x + 3) A=3 A=3 Đồng hệ số ⇔ Khi 3A + B = −1 B = −10 e) Ta có 1 dx − 10 x+3 I=3 1 f) Ta có I = 1 (x + 3) dx = ln |x + 3||0 + 10 x+3 = ln − x2 dx2 (x2 + 1) (x2 + 2) x2 A B (A + B)x2 + 2A + B Lại có: = + = (x + 1) (x2 + 2) x2 + x2 + (x2 + 1) (x2 + 2) A+B =1 A = −1 Đồng hệ số ⇔ Khi 2A + B = B=2 1 dx2 + x +1 I=− 1 dx2 = − ln x2 + x +2 + ln x2 + = ln − ln 2 8.15 Tính tích phân sau a) I = −1 √ 3x2 + 3x + dx x3 − 3x + b) I = dx x + x3 d) I = x2 − 3x + dx x (x2 + 2x + 1) e) I = − x4 dx x + x5 c) I = 1 f) I = 1 4x − dx (x + 2)(x2 + 1) (x2 + 3x + 2) dx Lời giải 3x2 + 3x + 3x2 + 3x + A B C = = + + 2 x − 3x + x − (x − 1) x+2 (x − 1) (x + 2) 2 A (x − 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x − 1) (A + C)x + (A + B − 2C)x − 2A + 2B + C = = 2 (x − 1)  (x + 2) (x − 1) (x + 2)   A+C =3  A=2 A + B − 2C = B = Khi Đồng hệ số ⇔   −2A + 2B + C = C=1 a) Ta có I= 0 dx + x−1 −1 −1 (x − 1) dx = ln |x − 1||−1 − x+2 x−1 dx + −1 0 + ln |x + 2||−1 = −1 − ln 2 A x2 − 3x + x2 − 3x + B C = = + + 2 x (x + 2x + 1) x x + (x + 1)2 x(x + 1) A(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx (A + B)x2 + (2A + B + C)x + A = = 2 x(x + 1)  x(x + 1)   A+B =1  A=2 2A + B + C = −3 ⇔ B = −1 Khi Đồng hệ số   A=2 C = −6 b) Ta có 2 I=2 http://mathqb.eazy.vn dx − x+1 dx − x 1 (x + 1) dx = ln |x| − ln |x + 1| + x+1 = ln −1 Nguyễn Minh Hiếu A x2 + + B(x + 2) + 2Cx(x + 2) 4x − A B 2Cx = + + = (x + 2)(x2 + 1) x + x2 + x2 + (x + 2)(x2 + 1) (A + 2C) x2 + (B + 4C) x + A + 2B = (x + 2)(x   + 1)  A + 2C =  A = −2 B + 4C = B = Khi Đồng hệ số ⇔   A + 2B = −2 C=1 c) Ta có 1 I = −2 √ 3 dx = x + x3 d) I = √ √ ln |x| − ln + x2 2 1−x dx = x (1 + x4 ) e) I = dx = x (1 + x2 ) = √ = f) I = (x2 + 3x + 2) 1 x − x + x2 dx ln 2 2 dx − x 1 = ln 1 + x4 − 2x4 dx = x (1 + x4 ) ln |x| − ln + x4 = x +1−x dx = x (1 + x2 ) 1 x2 0 √ 2x dx = −2 ln |x + 2| + ln x2 + +1 dx + x+2 x3 dx + x4 1 = ln 17 dx = (x + 2) − (x + 1) (x + 1)(x + 2) 1 − x+1 x+2 dx = dx 1 1 (x + 2) − (x + 1) − −2 = dx + − (x + 1)(x + 2) dx = − x + x + (x + 1)(x + 2) (x + 2) (x + 1) 0 0   1 2 = − 2 dx − dx = − (ln |x + 1| − ln |x + 2|)|0 = + ln x+1 x+2 3 1 0 8.16 Tính tích phân sau 1 dx + x2 a) I = b) I = c) I = 2 − x2 dx √ e) I = 0 x3 dx x8 + √ d) I = 1 dx + x2 x2 dx − x2 √ dx x x2 − f) I = √ Lời giải π π a) Đặt x = tan t, t ∈ − ; dt = (1 + tan2 t)dt ⇒ dx = 2 cos2 t π Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Ta có π π (1 + tan2 t)dt = + tan2 t I= π dt = t|04 = π √ √ π π b) Đặt x = tan t, t ∈ − ; ⇒ dx = dt = 3(1 + tan2 t)dt 2 cos2 t π Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Ta có √ π I= π √ 1 + tan2 t dt = √ + 3tan t π π c) Đặt x4 = tan t, t ∈ − ; 2 π π dt = √ t|06 = √ ⇒ 4x3 dx = dt = (1 + tan2 t)dt cos2 t 10 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân Tổng quát 8.8 I = (ax + b)(ax + c) dx |ax + b| + Đặt u = |ax + c| 8.20 Tính tích phân sau a) (D-09) I = ln ln 2x √ d) (DB-03) I = dx + e−x b) I = e dx ex − e e) I = ln e (10 − ln √ + ln x dx x g) I = ln dx ex − ex ) x2 + ex + 2x2 ex dx + 2ex e x √ ex −1 ln x f) (B-2010) I = dx e e dx x ln x − ln x + h) I = c) (A-2010) I = √ i) (B-04) I = x(2 + ln x) + ln x ln x dx x 1 Lời giải 3 ex − (ex − 1) dx = ex − a) I = ln dx = + e1x b) I = ex − dx = (ln |ex − 1| − x)|1 = ln e2 + e + − ex − 1 ln 2 ex dx = + ex x x (1 + 2e ) + e dx = + 2ex c) I = ln ln dex = ln |1 + ex ||0 = ln + ex x ex x + + 2ex dx = 0 x3 = ln √ x d(1 + 2ex ) + 2ex 0 1 + 2e = + ln 3 x e e √ x dx e −1 d) Ta có I = Đặt u = 1 + ln |1 + 2ex | 1 x dx + 2 ln ex − ⇔ u2 = ex − ⇒ 2udu = ex dx Đổi cận: x = ln ⇒ u = 1; x = ln ⇒ u = Ta có I= u2 + 2udu = u u2 + du = u3 +u = 20 √ e) Đặt u = ex − ⇔ u2 = ex − ⇒ 2udu = ex dx Đổi cận: x = ln ⇒ u = 1; x = ln ⇒ u = Ta có 2 1 2udu = (9 − u)u I= f) Đặt u = + ln x ⇒ du = 1 = ln 3 u−2 du = u2 − u u2 + ln3 x d ln x = ln x + ln4 x dx Đổi cận: x = ⇒ u = 0; x = x 2 du = u2 − 3u + I= e = √ e⇒u= 15 = ln − Ta có 2 1 − u−2 u−1 (u − 1) − (u − 2) du = (u − 1)(u − 2) = (ln |u − 2| − ln |u − 1|)||02 = ln http://mathqb.eazy.vn u h) Đặt u = ln x ⇒ du = ln |u| + du = e + ln3 x dx = x dx Đổi cận: x = ⇒ u = 2; x = e ⇒ u = Ta có x I= du 1 = (ln |3 + u| − ln |3 − u|) g) I = 1 + 3−u 3+u 1 e (3 + u) + (3 − u) du = (3 + u)(3 − u) du dx Nguyễn Minh Hiếu i) Đặt u = √ + ln x ⇔ u2 = + ln x ⇒ 2udu = dx x Đổi cận: x = ⇒ u = 1; x = e ⇒ u = Ta có I= u2 − 2u u du = 3 u4 − u2 du = u5 u3 − = 1 116 135 8.21 Tính tích phân sau (x − 2) e2x dx a) (D-06) I = e−2x + x ex dx c) (D-2012) I = b) (CĐ-09) I = 0 ln x dx x3 d) (D-08) I = π ln x2 − x dx e) (D-04) I = + ln(x + 1) dx x2 f) (A-2012) I = x (1 + sin 2x) dx Lời giải a) Đặt u=x−2 ⇒ dv = e2x dx du = dx Ta có v = 21 e2x dx e2x dx = − 1 − 3e2 = xex dx = −e−x u=x ⇒ dv = ex dx e2 + − e2x e−x dx + Đặt − e−2x + x ex dx = b) Ta có I = 1 I = (x − 2)e2x 0 xex dx = − + + e xex dx du = dx Ta có v = ex 1 I = − + xex |0 − e ex dx = − 1 + e − ex |0 = − e e π c) Ta có I = x2 (x + x sin 2x) dx = Đặt π + π π2 x sin 2xdx = + 32 x sin 2xdx du = dx Ta có v = − 12 cos 2x u=x ⇒ dv = sin 2xdx π x − cos 2x 32 I= π π π + cos 2xdx = π2 + sin 2x 32 d) Đặt u = ln x ⇒ dv = x13 dx u = ln x2 − x dv = dx I = x ln x − x π2 + 32 2 + 1 1 dx = − ln − x 4x2 = 1 − ln 16 du = x2x−1 −x dx Ta có v=x ⇒ = du = x1 dx Ta có v = − 2x1 ln x I=− 2x e) Đặt π − 2x − x dx = ln − ln − x −x 2x − dx x−1 = ln − ln − 2+ x−1 dx = ln − ln − (2x + ln |x − 1|)|2 = ln − 2 ln(x + 1) + x2 x2 f) Ta có I = 1 dx = − x 3 + ln(x + 1) dx = + x2 ln(x + 1) dx x2 16 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân du = x+1 dx Ta có v = −x u = ln(x + 1) ⇒ dv = x12 dx Đặt 3 ln(x + 1) I= − x + dx = − ln + ln + x(x + 1) 3 1 − x x+1 2 + ln − ln 3 dx = 8.22 Tính tích phân sau π e x dx + cos 2x a) I = b) (D-2010) I = ln 3 + ln x (1 + x) dx √ x + dx −1 π x xe √ x dx e +1 e) I = x e2x + ln xdx c) I = d) (B-09) I = 2x − x + x sin x dx cos2 x f) (B-2011) I = 0 Lời giải π x dx 2cos2 x a) Ta có I = Đặt du = dx Ta có v = 12 tan x u=x ⇒ dv = 2cos x dx I = x tan x = x e π − 2x + √ = 0 2x xe dx + −1 I1 = xe2x √ π − ln x + dx = d cos x cos x √ x x + 1dx = I1 + I2 −1 du = dx Ta có v = 21 e2x u=x ⇒ dv = e2x dx Đặt u = π π sin x dx = + cos x π −1 Đặt π π tan xdx = − π + ln |cos x| c) Ta có I = π 0 − −1 e2x dx = 1 − e2x 2e2 −1 = −1 − 4e2 x + ⇔ u3 = x + ⇒ 3u2 du = dx Đổi cận: x = −1 ⇒ u = 0; x = ⇒ u = Ta có 1 u6 − u3 du = u − u.3u du = I2 = u7 u4 − =− 28 = 2− − − 4e 28 4e u = + ln x du = x1 dx ⇒ Ta có 1 dv = (1+x) v = − 1+x Vậy I = I1 + I2 = d) Đặt I=− + ln x 1+x 3 + u=x x dv = √eex +1 ⇒ I = 2x 1 − x 1+x 27 + ln 16 du = √ dx Ta có v = ex + √ ln ex +1 ln √ −2 ln ex + 1dx = ln − http://mathqb.eazy.vn 3 − ln 1+x−x dx = + x(1 + x) 1 − ln 3 = + (ln |x| − ln |1 + x|)|1 = 4 e) Đặt 3 − ln dx = + x(1 + x) 17 √ ex ex + dx ex dx Nguyễn Minh Hiếu √ Lại đặt u = ex + ⇔√u2 = ex + ⇒ 2udu = ex dx Đổi cận: x = ⇒ u = 2; x = ln ⇒ u = Ta có 2 u 2udu = ln − u −1 √ I = ln − √ 2 4t|√ = ln − −2 √ √ 1+ f) Ta có I = 1|)|√ Đặt I= √ π π x sin x dx = tan x|03 + cos2 x u=x ⇒ sin x dv = cos x dx x 3+ cos x π √ 3+ − 2π − 2 = 3+ √ du 2−1 π √ x sin x dx = 3+ cos2 x x sin x dx cos2 x π √ 2π dx = + − cos x π √ 2π cos x 3+ dx = − cos2 x d (sin x) − sin2 x π √ − sin x + + sin x 2π d (sin x) = + − (1 − sin x)(1 + sin x) √ 1 − u−1 u+1 = ln − + + ln 0 = √ du = dx Ta có v = cos1 x π π du √ (u + 1) − (u − 1) du = ln − + − (u + 1)(u − 1) √ π dx + cos2 x −1 = ln − + − (ln |u − 1| − ln |u + π u2 1 + + sin x − sin x d (sin x) 2π − (ln |1 + sin x| − ln |1 − sin x|) π = √ 3+ √ 2π − ln + 3 8.23 Tính tích phân sau π ln 2 x a) I = x e dx b) (DB-07) I = eπ π ex cos xdx e2x sin2 xdx e) (BĐT-37) I = f) I = 0 π2 x3 ex dx g) (DB-03) I = h) (DB-04) I = x3 ln2 xdx c) (D-07) I = x cos xdx π d) I = e √ x sin √ cos (ln x) dx e5 ln x ln (ln x) dx x i) I = xdx e2 Lời giải a) Đặt u = x2 ⇒ dv = ex dx du = 2xdx Ta có v = ex ln I= ln x2 ex ln 2 x Lại đặt u = 2x ⇒ dv = ex dx 2xex dx e 2xdx = 2ln − − du = 2dx Ta có v = ex ln 2 I = 2ln − ln 2xex |0 ln 2ex dx = 2ln2 − ln + 2ex |0 + = 2ln2 − ln + b) Đặt u = x2 ⇒ dv = cos xdx du = 2xdx Ta có v = sin x π I = x2 sin x π − π π2 2x sin xdx = − 2x sin xdx 18 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân u = 2x ⇒ dv = sin xdx Lại đặt du = 2dx Ta có v = − cos x π 2 π + 2x cos x|0 − I= π 2 cos xdx = π π2 π2 − sin x|02 = −2 4 x du = ln x dx Ta có x4 v= u = ln2 x ⇒ dv = x3 dx c) Đặt x4 I= ln x e e − e x4 ln x e4 dx = − x x3 ln xdx 1 du = x1 dx Ta có v = x4   e e e4 1  x4 e4 I= − ln x − x3 dx = − 4 4 u = ln x ⇒ dv = x3 dx Lại đặt e4 x4 − 16 u = ex ⇒ dv = cos xdx d) Đặt = 5e4 − 32 du = ex dx Ta có v = sin x π π π π ex sin xdx = e − I = ex sin x|0 − u = ex ⇒ dv = sin xdx Lại đặt e ex sin xdx du = ex dx Ta có v = − cos x  π π π  I = e −  −ex cos x|02 +  π π e2 −  ex cos xdx = e − − I ⇔ I = π π e sin xdx = 2x e) Ta có I = 2x Đặt e 2x (1 − cos 2x) dx = e2x 0 π − e2x cos 2xdx = e2π − 1 − I1 2x du = 2e dx Ta có v = 21 sin 2x u=e ⇒ dv = cos 2xdx π π I1 = e2x sin 2x Lại đặt π − π e 2x e2x sin 2xdx sin 2xdx = − 0 du = 2e2x dx u = e2x ⇒ Ta có dv = sin 2xdx v = − 12 cos 2x   π π e2π − e2π − I1 = −  − e2x cos 2x + e2x cos 2xdx = − I1 ⇔ I1 = 2 0 Vậy I = f) Đặt e2π − 1 e2π − e2π − − = 4 u = cos(ln x) du = − x sin(ln x)dx Ta có ⇒ dv = dx v=x eπ I= eπ x cos(ln x)|1 eπ π sin (ln x) dx = −e − + + Lại đặt u = sin(ln x) ⇒ dv = dx sin (ln x) dx du = x1 cos(ln x)dx Ta có v=x eπ e π I = −eπ − + x sin(ln x)|1 − cos (ln x) dx = −eπ − − I ⇔ I = − http://mathqb.eazy.vn 19 eπ + Nguyễn Minh Hiếu 1 g) Đặt t = x ⇒ dt = 2xdx Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Ta có I = tet dt u=t ⇒ dv = et dt Lại đặt du = dt Ta có v = et  I=  1 t te 1 e − et et dt = − = √ h) Đặt t = x ⇔ t2 = x ⇒ 2tdt = dx Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = π ⇒ t = π Ta có π π u = 2t2 ⇒ dv = sin tdt Đặt 2t2 sin tdt t sin t.2tdt = I= du = 4tdt Ta có v = − cos x π I = −2t cos t π π + 4t cos tdt = 2π + u = 4t ⇒ dv = cos tdt Lại đặt 4t cos tdt du = 4dt Ta có v = sin t π I = 2π + π 4t sin t|0 π sin tdt = 2π + cos t|0 = 2π − −4 i) Đặt t = ln x ⇒ dt = dx Đổi cận: x = e2 ⇒ t = 2; x = e5 ⇒ t = Ta có I = x t ln tdt Đặt u = ln t ⇒ dv = tdt du = 1t dt Ta có v = t2 t2 I= ln t = 5 − t2 25 dt = ln − ln − t 2 tdt 25 ln − ln − t2 = 25 21 ln − ln − §5 Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác 8.24 Tính tích phân sau π π sin2 xdx a) I = b) I = π tan xdx dx cos4 x dx sin x e) I = h) I = dx cos3 x f) I = π π sin2 x tan xdx π π g) I = π π d) I = cos5 xdx c) I = sin2 x dx cos4 x π i) I = π dx cos xsin2 x Lời giải π a) I = (1 − cos 2x) dx = 1 x − sin 2x π = π − 20 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân π π sin x dx = − cos x b) I = π 1 d (cos x) = − ln |cos x||04 = ln cos x π π − sin x d (sin x) = cos x cos xdx = c) I = π 2sin3 x sin5 x sin x − + 2 = 0 π π 1 dx = cos2 x cos2 x d) I = tan3 x tan x + + tan x d (tan x) = 0 π π π sin x 1 d (cos x) = − dx = − − cos x sin x π e) C1: I = π 3 π = 15 − cos x + + cos x d (cos x) (1 − cos x)(1 + cos x) π π =− 1 + + cos x − cos x π π d (cos x) = − (ln |1 + cos x| − ln |1 − cos x|) C2: I = sin x2 cos x2 π π π = ln π π cos x dx = cos4 x d (sin x) = − sin2 x d (sin x) 1 + − sin x + sin x + sin x + − sin x (1 + sin x)(1 − sin x) π = π x x d tan = ln tan tan x2 2 π f) I = π dx 2cos2 x2 tan x2 dx = π π = π = π d (sin x) π = (1 − sin x) = + (1 + sin x) (1 − sin x) (1 + sin x) π π 1 − − sin x + sin x + + d (sin x) − sin x + + sin x d (sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) π = 1 + 1 + + sin x − sin x d (sin x) = 1 + (ln |1 + sinx| − ln |1 − sinx|) π π sin x sin x dx = cos x g) I = = π h) I = 1 + ln 3 cos x − d (cos x) = cos x cos x d (cos x) = ln − π 1 − cos6 x cos4 x π 1 dx − cos4 x cos2 x dx = 0 1 dx cos2 x cos2 x π + tan2 x d (tan x) − + tan2 x d (tan x) = cos x − π π = π π − cos2 x dx = cos6 x tan x + 2tan x tan x + π π = cos2 x − ln |cos x| i) I = π π − tan x + π tan3 x = π cos x dx = cos2 xsin2 x http://mathqb.eazy.vn π π d (sin x) = − sin2 x sin2 x 21 π 15 − sin2 x + sin2 x d (sin x) − sin2 x sin2 x ln Nguyễn Minh Hiếu π π 1 + sin2 x − sin2 x = π =− d (sin x) = π − sin x + + sin x d (sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) π π π sin x π 1 d (sin x) + sin2 x + π 1 + + sin x − sin x d (sin x) π = − √ + (ln |1 + sin x| − ln |1 − sin x|) π π 2 = − √ + ln + √ 3 8.25 Tính tích phân sau π π − 2sin2 x dx + sin 2x a) (B-03) I = π sin 2x cos x dx + cos x b) (B-05) I = 0 π esin x + cos x cos xdx c) (D-05) I = π sin 2x d) (A-06) I = dx.e) I = cos2 x + 4sin x π cos x √ dx + cos 2x x sin x + (x + 1) cos x dx x sin x + cos x f) (A-11) I = 0 Lời giải π π cos 2x dx = + sin 2x a) I = 1 d (1 + sin 2x) = ln |1 + sin 2x| + sin 2x π b) Ta có I = Đặt u = + cos x ⇒ du = − sin xdx Đổi cận: x = ⇒ u = 2; x = I=2 2 (u − 1) du = u u−2+ u 1 ln 2 π ⇒ u = Ta có 2 u2 − 2u + ln |u| du = = ln − 1 π π esin x + cos x cos xdx = π esin x cos xdx + π cos2 xdx π esin x d (sin x) + = = sin xcos2 x dx + cos x c) I = π π (1 + cos 2x) dx = esin x π 1 x + sin 2x + =e+ π − cos2 x + sin x ⇔ u2 = cos2 x + sin x ⇒ 2udu = sin x cos xdx π Đổi cận: x = ⇒ u = 1; x = ⇒ u = Ta có d) Đặt u = 2 I= udu = u u π dx = √ 2 − 2sin x = π cos x e) Ta có I = cos x − sin2 x dx Đặt sin x = sin t, t ∈ − π2 ; π2 ⇒ cos xdx = cos tdt π π Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Ta có π √ I= 2 cos tdt = 2 − 4sin t π √ dt = t √ π = 2π 12 π x sin x + x cos x + cos x dx = x sin x + cos x f) Ta cos I = π √ 1+ x cos x x sin x + cos x dx 22 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân π π x cos x π dx = + x sin x + cos x π = x|0 + x cos x dx x sin x + cos x Đặt u = x sin x + cos x ⇒ du = (x cos x) dx Đổi cận: x = ⇒ u = 1; x = 4+π π ⇒ u = √ Ta có 4 4+π √ 4+π √ 4+π π du = ln |u||14 = + ln √ u 4 π I= + 8.26 Tính tích phân sau π π a) I = cos2 x cos2 x + tan x dx b) (A-08) I = dx 3sin x + cos2 x c) I = π 2 π dx + sin x d) I = π tan4 x dx cos 2x e) I = π dx + sin x + cos x 0 Lời giải π π d (tan x) = + tan2 x + tan x a) I = π b) I = π tan4 x dx = 2cos2 x − 0 π = (tan x + 1) tan4 x dx = cos2 x − cos12 x −tan2 x − + 1 − tan x + + tan x (1 − tan x)(1 + tan x) −tan2 x − + 2 d (tan x + 1) = − π tan x + π = tan4 x d (tan x) − tan2 x d (tan x) π = 1 + + tan x − tan x d (tan x) tan3 x − tan x + (ln |1 + tan x| − ln |1 − tan x|) − = π c) Ta có I = π 0 √ √ 10 = ln + − 27 1 dx + dx 2 3sin x + cos x 3sin x + cos2 x π π dx + cos2 x 3tan2 x + = π π √ dx = I1 + I2 sin2 x + cot2 x π √ π π 1 Đặt tan x = tan t, t ∈ − ; ⇒ dx = dt = + tan2 t dt 2 cos x cos2 t π π Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Ta có π I1 = √ 1 + tan2 t dt = √ t tan t + √ tan t, t ∈ π π Đổi cận: x = ⇒ t = ; Đặt cot x = I2 = √ 1 + tan2 t dt = √ t + 3tan t π π π Vậy I = I1 + I2 = √ + √ = √ 3 3 http://mathqb.eazy.vn π π = √ 3 √ √ π π − ; ⇒ − dx = dt = + tan2 t dt 2 cos t sin x π x = ⇒ t = Ta có π cos x cos x + f) (BĐT-57) I = 23 π π = √ π dx Nguyễn Minh Hiếu π π dx = + sin x2 cos x2 d) I = 1 cos2 x cos2 x2 dx + tan x2 π =2 + tan2 x2 x =− x d tan + tan x2 + tan Nhận xét Nếu tích phân có cận từ đến π = π nhân tử mẫu với − sin x Còn cận từ đến π bạn giải ? π π e) I = sin x cos x + dx = 2cos2 x2 π = tan x2 + √ f) I = d tan x x = ln tan + 2 π √ dx = cos x (cos x − sin x) = √ dx tan x2 + 2cos2 x2 π = ln π dx cos2 x (1 − tan x) π √ d(tan x) = − ln |1 − tan x| − tan x π = √ ln √ 3+ §6 Ứng Dụng Của Tích Phân 8.27 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau c) y = −x3 − 3x2 trục hoành −3x − hai trục tọa độ x−1 d) y = x − 2x y = −x2 + 4x e) (A-07) y = (e + 1) x, y = (1 + ex ) x f) (B-02) y = a) y = x2 − 2x; Ox; x = −1 x = b) y = 4− x2 y = x √ Lời giải x=0 nên diện tích hình phẳng cần tìm x=2 x2 − 2x dx x − 2x dx + S= −1 0 2 −1 = 2x − x2 dx x − 2x dx + = y y = x2 − 2x a) Vì x2 − 2x = ⇔ x3 − x2 + x −1 O x2 − −1 x3 = (đvdt) y b) Vì −3x − 1 = ⇔ x = − nên diện tích hình phẳng cần tìm x−1 S= − 31 −3x − dx = x−1 −3x − dx = x−1 − 13 −3 − x−1 y= −3x−1 x−1 dx − 13 = (−3x − ln |x − 1|)|− = ln − (đvdt) − 13 O 24 x http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân y x=0 nên diện tích hình phẳng cần tìm x = −3 c) Vì −x3 − 3x2 = ⇔ −3 3 −x − 3x dx = S= x + 3x x dx −3 −3 = O 0 x + x3 = −3 27 (đvdt) y = −x3 − 3x2 x=0 nên diện tích hình phẳng cần tìm x=3 3 2 2x2 − 6x dx x − 2x − −x + 4x dx = S= 6x − 2x2 dx = = − 2x y 2x 3x2 − y = x2 d) Vì x2 − 2x = −x2 + 4x ⇔ x O 3 = (đvdt) 0 y = −2x2 + 4x x=0 nên diện tích hình x=1 e) Vì (e + 1)x = (1 + ex ) x ⇔ x (e − ex ) = ⇔ y phẳng cần tìm |ex − xe | dx ex2 (ex − xe ) dx = u=x ⇒ dv = ex dx 1 x = Đặt x |(e + 1) x − (1 + e ) x| dx = S= 1+e x − e xe dx = − x xex dx du = dx Ta có v = ex O S= e − xex |0 + e 1 ex = − + ex |0 = e − (đvdt) 2 f) Vì 4− √ x2 x2 x2 x4 = √ ⇔4− = ⇔ x = ±2 nên diện tích hình phẳng cần tìm 4 32 √ 2 4− S= √ −2 √ 2 = √ −2 Đặt x2 √ 2 x − √ dx = 4 x2 x3 − dx − √ 12 4− √ −2 √ 2 √ 2 √ −2 x2 x2 − √ 4 4− = √ −2 dx x2 dx − √ x π π π = sin t, t ∈ − ; ⇒ dx = cos tdt Đổi cận x = ±2 ⇒ t = ± Ta có 2 2 http://mathqb.eazy.vn 25 x Nguyễn Minh Hiếu π y π 4 − 4sin2 t.4 cos tdt − S= = −π 8cos2 tdt − y = 4x√2 −π 4− y= x2 π (1 + cos2t) dt − =4 π 8 = (4t + sin 2t)|−4 π − 3 −4 −2√2 −π √ 2 O x (đvdt) = 2π + 8.28 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a) (A-02) y = x2 − 4x + y = x + b) (BĐT-96) y = 2x 27y = 8(x − 1)3 c) y = x3 ; x + y = trục hoành d) y = 27 x ; y= x2 27 y = x2 Lời giải 2 −x + 3x − dx + x − 5x dx + = 5x − x = x − 3x + dx + 5x x − 5x − x2 dx O x 3 + dx + x2 − 5x dx = + x2 − 4x + − (x + 3) dx + x y x2 − 4x + − (x + 3) dx x − 4x + − (x + 3) dx + | − 4x + y = |x S= x=1 x=3 = x2 − 4x + = ⇔ y x=0 x=5 nên diện tích hình phẳng cần tìm a) Vì x2 − 4x + = x + ⇔ x 3x − + 6x 3 + 5x2 x3 − = 109 (đvdt) 33 y √ y + = ⇔ y = ±2 nên diện tích hình phẳng cần tìm b) Ta có y = 2x ⇔ x = 12 y , 27y = 8(x − 1)3 ⇔ x = + Vì y =1+ 2 y2 ⇔ 3 y2 −33 y √ 2 S= √ −2 = √ 2 √ 2 y − 1+ 2 y5 y3 + 2y − y2 dy = √ 2 √ −2 3 y2 +2−y 2 y dy √ −2 √ 88 = (đvdt) 15 O = 2x 27y = 8(x − 1)3 x √ −2 Nhận xét Ở tập việc rút ẩn y theo ẩn x khó khăn đưa diện tích cần tính tích phân theo biến y phù hợp 26 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Nguyên Hàm - Tích Phân √ √ c) C1: Ta có y = x3 ⇔ x = y, x + y = ⇔ x = − y Vì y = − y ⇔ y = (2 − y) ⇔ y = nên diện tích hình phẳng cần tìm 1 √ | y − (2 − y)| dy = S= √ (2 − y − 2y − = 3 y − y4 (đvdt) = y = x3 y y) dy C2: (Cần phải vẽ hình) Ta có x + y = ⇔ y = − x Khi x3 = ⇔ x = 0; − x = ⇔ x = x3 = − x ⇔ x = Dựa vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm x + x O y = 2 S= (2 − x) dx = x dx + x4 1 x2 2x − + = (đvdt) x2 27 x2 27 ⇔ x = 0, x2 = ⇔ x = = ⇔ x = Dựa 27 x 27 x vào hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm y x2 x − 27 S= dx 3 3 x x − 81 = 27 x2 − x 27 dx + + y= 27 x y= x2 27 x3 27 ln |x| − 81 y = x2 d) Ta có x2 = = 27 ln (đvdt) O x 8.29 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong sau quay quanh Ox a) y = 13 x3 − x2 , y = 0, x = x = b) (BĐT-42) y = xex , x = trục hoành c) (B-07) y = x ln x; y = x = e d) y = − x2 y = x2 + Lời giải a) Thể tích khối tròn xoay cần tìm 3 x − x2 Vx = π x − x + x4 dx dx = π =π y 3 x7 x6 x5 − + 63 81π = (đvtt) 35 O x y = 31 x3 − x2 b) Vì xex = ⇔ x = nên thể tích khối tròn xoay cần tìm 1 x Vx = π Vx = du = 2xdx Ta có v = 21 e2x u=x ⇒ dv = e2x dx Đặt π 2x x e u=x ⇒ dv = e2x dx πe2 π Vx = − xe2x 2 πe −π du = dx Ta có v = 12 e2x O 1 π + y = xex xe2x dx e2x dx = π 2x e = π e − (đvtt) http://mathqb.eazy.vn e xe2x dx = −π y Lại đặt x2 e2x dx (xe ) dx = π 27 x Nguyễn Minh Hiếu c) Vì x ln x = ⇔ x = nên thể tích khối tròn xoay cần tìm e e x2 ln2 xdx (x ln x) dx = π Vx = π e π Vx = x3 ln2 x y e 2π − xl nx du = x2 ln xdx Ta có v = x3 u = ln2 x ⇒ dv = x2 dx e πe3 2π x ln xdx = − 3 x3 ln xdx Lại đặt y= Đặt O e x du = x1 dx Ta có v = x3 u = ln x ⇒ dv = x2 dx πe3 2πx3 ln x Vx = − e e 2π + x2 dx = πe3 2πx3 + 27 e π 5e3 − (đvtt) 27 = y y = x2 + d) Ta có − x2 = x2 + ⇔ x = ±1 Dựa vào hình vẽ ta tích khối tròn xoay cần tìm y = − x2 − x2 Vx = π − x2 + 2 dx −1 −1 O = 12π − x2 dx = 12π x− x x3 = 16π (đvtt) −1 −1 8.30 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong sau quay quanh Oy x2 a) (BĐT-63) y = 2x − x2 y = b) y = x2 , y = 27 x y = 27 d) 4y = x2 y = x c) y = (x − 1) x = Lời giải √ a) Ta√có y = 2x − x2 ⇔√ (x − 1) = − √ y ⇔ |x − 1| = − y nên với x ≥ x = + − y; với x < x = − − y Khi + − y = − − y ⇔ y = Dựa vào hình vẽ ta tích khối tròn xoay cần tìm 1 Vy = π 1+ 1−y − 1− 1−y − ydy dy = 4π y √ Đặt u = − y ⇔ u2 = − y ⇒ 2udu = −dy Đổi cận: y = ⇒ u = 1; y = ⇒ u = Ta có Vy = 4π u.2udu = 8πu3 = y = 2x − x2 8π (đvtt) −2 O x x2 27 y = nằm góc phần tư 27 x 27 27 ⇔x= 27y xét x, y > ta có y = x y b) Từ hình vẽ thấy hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 ; y = thứ Do xét x, y ≥ ta có y = x2 ⇔ x = √ y, y = x2 ⇔x= 27 28 http://mathqb.eazy.vn Chuyên đề Ngun Hàm - Tích Phân Khi √ 27y ⇔ y = 0; y= √ y= 27 ⇔ y = y 27y = 27 ⇔ y = Dựa vào hình vẽ ta tích khối tròn y xoay cần tìm y Vy = π 27y 27 y dy + π = 27π 27πy = 9 ydy + 729π 729π − y http://mathqb.eazy.vn 9 3 √ ( y) dy dy − π dy − π y2 y2 + ydy y = x2 y= 27 x y= x2 27 = 243π (đvtt) −9 29 −3 O x ... (tan x + 1) tan4 x dx = cos2 x − cos12 x −tan2 x − + 1 − tan x + + tan x (1 − tan x)(1 + tan x) −tan2 x − + 2 d (tan x + 1) = − π tan x + π = tan4 x d (tan x) − tan2 x d (tan x) π = 1 + + tan... dx cos2 x cos2 x π + tan2 x d (tan x) − + tan2 x d (tan x) = cos x − π π = π π − cos2 x dx = cos6 x tan x + 2tan x tan x + π π = cos2 x − ln |cos x| i) I = π π − tan x + π tan3 x = π cos x dx =... x + tan x dx b) (A -08) I = dx 3sin x + cos2 x c) I = π 2 π dx + sin x d) I = π tan4 x dx cos 2x e) I = π dx + sin x + cos x 0 Lời giải π π d (tan x) = + tan2 x + tan x a) I = π b) I = π tan4 x