Chuyên đề 5 Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU CHUYÊN ĐỀ 5: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân — Cho hàm số f ( x) liên tục K và a, b  K Hàm số F( x) được gọi là nguyên hàm của f ( x) K thì F(b)  F( a) được gọi là tích phân của f ( x) từ a đến b và được kí hiệu là b  f ( x)dx Khi a b đó: I   f ( x)  dx  F( x) a  F(b)  F(a) , với a gọi là cận dưới, b là cận b a — Đối với biến số lấy tích phân, ta có thễ chọn bất kì một chư̂ khác thay cho x , nghĩa là: b b b a a a I   f ( x)  dx   f (t )  dt   f (u)  du        F(b)  F( a) — Nếu hàm số y  f ( x) liên tục và không âm đoạn a; b thì diện tích S của hình thang cong b giới hạn bỡi đồ thị cũa y  f ( x), trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b là: S   f ( x)  dx  a Tính chất của tích phân  b  a  a f ( x)  dx    f ( x)  dx và b a  f ( x)  dx  b b  k  f ( x)  dx  k   f ( x)  dx, với ( k  0)  a a b b b a a a   f ( x)  g( x)  dx   f ( x)  dx   g(x)  dx   b  a a c b a c f ( x)  dx   f ( x)  dx   f ( x)  dx  Dạng toán Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số b b   f ( x)  u( x)  dx  F u( x) a  F u(b)  F u(a)  a – Bước Biến đổi để chọn phép đặt t  u( x)  dt  u( x)  dx (xem lại các phương pháp đỗi biến số phần nguyên hàm )  x  b t  u(b)   x  a t  u( a) – Bước Đổi cận:  (nhớ: đổi biến phải đổi cận) u( b ) – Bước Đưa dạng I   f (t )  dt đơn giản và dễ tính toán u( a ) BÀI TẬP VẬNDỤNG BT Tính tích phân sau: THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 117 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Ph­¬ng ph¸p I1  f(ax  b)n  xdx  § Æt t  ax  b  dt  a.dx   m   xn  Ph­¬ng ph¸p  I  § Æt t  x n 1   dt  (n  1)x n dx  Dạng toán:   n 1   dx    ax    n Ph­¬ng ph¸p I3   f(ax  b)  xdx  § Æt t  ax  b  dt  2ax.dx  a) I   x.(1  x)19 dx ĐS: I   120 ĐS: I   168 ĐS: I   660 ĐS: I   168 b) I    x.(1  x ) dx 0 c) I   x2 ( x  1)9 dx 1 d) I   x5 (1  x3 )6 dx x3 dx 1 x e) I   f) x3 dx (1  x ) I g) I   ĐS: I    ln  ĐS: I  x5 dx x2  1  16 ĐS: I  ln   h) I   (1  3x)  (1  x  3x2 )10 dx ĐS: I  611   22 BT Tính tích phân sau (phương pháp : đặt t  n f ( x)  t n  f ( x)  n.t n1 dt  f ( x).dx và đổi cận) x a) I   x1 ĐS: I   dx Đề thi dự bị THPT Quốc Gia năm 2015 b) I   x  x2 dx ĐS: I  2 1  Đề thi Đại học khối B năm 2013 c) I   x  x dx ĐS: I  45  Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Khuyến – Tp Hồ Chí Minh d) I   ( x  1)2 x  dx 1 ĐS: I  142  105 Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Trâi – Tp Hồ Chí Minh e) I   2dx 4x    ĐS: I   ln THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 118 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nghèn – Hà Tĩnh x 1  dx  x2 f) I ĐS: I   ln Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần x2  x  g) I   2x   dx  ĐS: I  478  15 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lê Quí Đôn – Đà Nă̂ng      dx  x1 x2 h) I    e x  ĐS: I  e  91  15 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hàn Thuyên – Bắc Ninh – Lần i) I 2x  1  x2  x  1 j) I dx  dx   x 3x  ĐS: I  2.(  1) ĐS: I  ln  ln Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lê Quí Đôn – Bình Định k) I   dx x x 1 3  ĐS: I  ln 32  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Mạc Đĩnh Chi – Tp Hồ Chí Minh l) e I x +1 x  dx  ĐS: I  e9 – e5  Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Du – Tp Hồ Chí Minh BT Tính tích phân sau (căn thức cũa logarit, mũ lượng giác): e a) I   b) I  ln x x  ln x e e  e3 ln x c) I   x ln x  1 e e) I   I g) I  ln  ( e x  1)3 e2x ln e 1 ln e x  dx  x e 1 x ĐS: I   76  15  ĐS: I   27 e x dx 42  ĐS: I  x  3ln x  dx  ĐS: I   dx  ln x.dx f)  ln x x  ln x d) I    dx   ĐS: I    dx  ĐS: I  20   ĐS: I  2  THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 119 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM h) I  ln x e dx 3  e x  2e x  i) I ln16  dx e 4 x  ĐS: I  ln 80  63  ĐS: I  ln  j) TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU I   cos x 3sin x   dx  ĐS: I  14  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Bình Thạnh – Tây Ninh  k) I   (sin x   cos x )sin x.dx   ĐS: I    l) sin x  sin x I  3cos x   dx  sin x.dx m) I   cos x  sin x 2 ĐS: I   dx   n) I    cos3 x sin x.cos x.dx 2  34  27 ĐS: I   ĐS: I   91 BT Tính tích phân sau (liên hợp và biến đỗi ): xdx a) I   x  x2  1 x3 dx b) I   x  x 1 c) I  0 ĐS: I  dx  ĐS: I  253 5   60 ĐS: I  11  ln dx   x   x2 1 x  x 1 x3  3x x x2   2 x  3x  x h) I    x2  x  1   g) I   i) ĐS: I   dx 1 I x 4 1 1 x e) I   x3 x  x3 d) I   f)  x   ĐS: I  dx  ĐS: I  dx  dx  cos x  I   sin x  sin x   dx   3cos x     ln(  1)  ĐS: I   ln ĐS: I    ĐS: I   118  405 THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 120 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM I j) x ĐS: I  dx 1 x x TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU 80  BT Tính tích phân sau (trường hợp không đặt t  căn):   Bài toán tổng quát: Tính tích phân I   f ( a2  x2 )  x2n  dx , với n    Phương pháp: Đặt x  a sin t hoặc x  a cos t Mấu chốt việc đặt ẩn phụ xuất phát từ công thức sin t  cos2 t  Thật vậy a2  x2  a2  a2 sin2 t  a2 (1  sin2 t )  a cos2 t  a cos t , ta sê tương tự nếu đặt x  a cos t Mục đích chính của vi ệc đặt ẩn này là giúp khai d ễ dàng a a) I   x2 a2  x2 dx , (a   ) ĐS: I  a b) I   dx a2  x2 , ( a  0)  c) I    x2 dx   ĐS: I    ĐS: I   d) I     x dx  a  16  ĐS: I    e) I   x2  x2 dx  ĐS: I   I   x2  x2 dx  f) ĐS: I    16 ĐS: I  2  ĐS: I   2016 3    ln 2016 g) I  2  x2 dx 1 x   2016 x x  x dx  2016 x h) I   I   ( x  1)  x dx  i) ĐS: I    BT Tính tích phân sau (trường hợp không đặt t  căn):   Bài toán tổng quát: Tính tích phân I   f ( x2  a2 )m  x2 n  dx , với  n ,  m  Phương pháp: Đặt x  a tan t hoặc x  a cot t THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 121 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Có phép đặt ẫn phụ này là xuất phát từ công thức tan2 t   nên biểu cos2 t x2  a2  a2 tan t  a2  a2 (tan t  1)  thức: a2 a   cos a cos a Mục đích chính củ a việc đặt ẩn này là giúp khai d ễ dàng a dx a) I   , ( a  0)  x2  a2 a b) I   a2  x2 dx  ĐS: I  ln(1  2) ĐS: I  a2   ln(  1)     ĐS: I  a4   ln(1  2)     a c) I   x2 x2  a2 dx , (a  0)   dx  1 x d) I   ĐS: I   x3 dx  1 x e) I   f) dx I x2  ĐS: I     16 ĐS: I  ln(1  2) g) I   x2  1.dx  ĐS: I  h) I   x2 x2  4.dx  ln(1  2) 2 ĐS: I   2ln(1  2) i) I  dx  x2 j) x  x1 2 x  2x   3 m) I   e n) I   dx  dx k) I   I ĐS: I  ln(1  2) I l)  (1  x ) x2  x2  dx  x  3ln x 32  ĐS: I  ln(2  3)  ln ĐS: I  1  dx  dx ĐS: I  ln ĐS: I  2  ln  ĐS: I  2  ln(2  3) BT Tính tích phân sau (trường hợp không đặt t  căn): THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 122 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU   Bài toán tổng quát: Tính tích phân I   f ( x2  a2 )m  x2 n  dx , với n    Phương pháp: Đặt x  x2  a2  thức: a a a hoặc x  biểu , chẳng hạn đặt x  cos t sin t cos t a2  cos t sin t sin t  a  a  a a  a tan t cos t cos t cos t cos t sint cost dấu, nghĩa là t thuộc góc phần tư thứ nhất thứ ba     3   t  0;   ;    2   2a dx a) I   , ( a  0) x2  a2 a ĐS: I  ln(2  3) 2a b) I   x2  a2 dx , ( a  0) a  c) I  x  1dx    ĐS: I  dx  x2  ĐS: I  10  ln  ĐS: I  ln(1  2) x2  dx  x2 f) I   ln(1  2) 2 3  d) I   x2  9.dx e) I  ĐS: I  a2   ln(2  3)  ĐS: I    ln(2  3) BT Tính tích phân sau (trường hợp không đặt t  căn):   ax  Ph­¬ng ph¸p A f  dx  Đặt  a x    x  a cos 2t   ax a  a cos 2t sin t sin t     ax a  a cos 2t cos t cos t dx B ( a  bxn )  n a  bxn  Ph­¬ng ph¸p Đặt x    t  s s Ph­¬ng ph¸p C   R  ax  b , , k ax  b  dx  Đặt t n  ax  b với n là BCNN s1 ; s2 ; ; sk       dx D ( ax  b)(cx  d)  64 a) I   dx x x  Ph­¬ng ph¸p  Đặt t  ax  b  cx  d ĐS: I  11  ln  THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 123 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM b) I   1 x x 2 x  x2 d) I   e) I   I g) I   x2  x I j) I  ĐS: I   ln    ĐS: I  3  6   6ln 2x dx  x2 x2  4x  dx  (1  xn )  n  xn dx (1  x )   x 2 ĐS: I  ln 1 ĐS: I  ln dx 1  ĐS: I    x  dx  x 1 i) ĐS: I     dx  dx h) I   dx  27 c) I   f) x TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU  ĐS: I   ĐS: I  xdx 3x   x   ĐS: I  n  (  1)2    17   BT Tính tích phân sau (đỗi biến cũa hàm logarit): b x x Ph­¬ng ph¸p Bài toán: Tính I   f (ln x)   dx  Đặt t  ln x  dt   dx  a Nếu f (ln x) có chứa m  n.ln x với m, n số ta đặt t  m  n.ln x Bởi lẻ x vi phân dt  n   dx không bị tính tổng quát so với đặt t  ln x làm cho việc xử lý toán sau đặt ẩn phụ đơn Ngoài ra, gặp thức , ta cũng đặt t  n f (ln x)  Nếu có chứa log a x ta chuyển ln x công thức: log a x  log a e.log e x  e ln x dx x a) I   ln x  ln a ĐS: I   Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n An Ninh – Tp Hồ Chí Minh  ln x dx  x e b) I   ĐS: I   THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 124 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM  ln x  dx  x TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU e c) I   ĐS: I  Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THPT Marie Curie – Tp Hồ Chí Minh e4 d) I    ln x  dx  x ĐS: I  16 Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THPT Tạ Quang Bữu – Tp Hồ Chí Minh e ln x  dx  x ĐS: I    ln x  dx  x ĐS: I   e) I   e f) I Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Định Thiện Lý – Tp Hồ Chí Minh  ln x  dx  x e g) I   ĐS: I   Đề thi Học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Phan Bội Châu – Tp Hồ Chí Minh e ln x  dx  x(2  ln x) h) I   3 ĐS: I    ln  Đề thi Đại học khối B năm 2010 i) I e2 dx  x ln x.ln ex  ĐS: I  ln  ln x  ln x   dx  x ĐS: I  2e   e e j) I Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Cần Thơ  x ln x  dx  x2 k) I   ĐS: I   ln 2  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Trần Phú – Tây Ninh l) I x ln( x2  4)  dx  x2  ĐS: I  ln  ln  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyê̂n Thị Minh Khai – Hà Tĩnh e m) I   ln x   dx  x ln x  ĐS: I  ln(1  e) Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lê Duẫn – Tây Ninh  ln x  dx   x ln x e n) I   e ln x  dx  x(1  ln x) o) I   ĐS: I  ln ĐS: I  e2  ln  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Số Bảo Thắng – Lào Cai – Lần THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 125 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM ln x   dx  x ln x  x TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU e p) I   ĐS: I   ln Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Đan Phượng – Hà Nội  ln x  dx  x e q) I   ĐS: I  10 16   3 Đề thi học kỳ II năm 2014 – Trường Quốc Tế Việt Úc – Tp Hồ Chí Minh  3ln x dx x e r) I   ĐS: I  14  Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Trần Hư̂u Trang – Tp Hồ Chí Minh e3 s) I   t) I ln x x  ln x e dx  dx x  ln x ĐS: I  15  ln   ĐS: I    ln x  ln x  dx  x ĐS: I  2 1  ln(3  x)  ln(3  x)  dx   x2 ĐS: I  ln 2  12 e u) I   1 v) I   w) I   ln( x   1) x 1 x 1  dx  xe x  dx  x x( e  ln x) e x) I   e2 y) I   e ( x  1)ln x   dx  x ln x ĐS: I  ln  ln 2 ĐS: I  ln ĐS: I  ee   e e4  e2   ln 2 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hồng Quang – Hải Dương – Lần e2 z) I   ln x   dx  x  (8 ln x  ln x  3) ĐS: I  ln 19  BT 10 Tính tích phân sau (đỗi biến cũa hàm số mû ): 1 a) I   xe x dx ĐS: I  ( e  1) Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Cần Thạnh – Tp Hồ Chí Minh b) I   (2 x  1).e x  x dx ĐS: I  0 c) I  ln e x dx  x  1)2  (e ĐS: I   Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Đào Duy Anh – Tp Hồ Chí Minh THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 126 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM z) I   (4 x  1)e x dx TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU ĐS: I  e 3  2 Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Ngô Gia Tự – Tp Hồ Chí Minh e aa) I   ( x  2)ln xdx ĐS: I  e2   Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Sao Việt – Tp Hồ Chí Minh  bb) I   x.sin x.dx ĐS: I  2   16 Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Tân Phong – Tp Hồ Chí Minh  cc) I   x cos xdx ĐS: I  2   16 Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Bình Phú – Tp Hồ Chí Minh I   ( x  1).e x dx dd) ĐS: I   e2  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Phù Cừ – Hưng Yên  ee) I   3x.cos x dx ĐS: I  3  Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Tạ Quang Bữu – Tp Hồ Chí Minh ff) I   ( x  1)e x dx ĐS: I  5e   Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Hư̂u Cãnh – Tp Hồ Chí Minh  gg) I   (3  x)cos xdx  ĐS: I    Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Khuyến – Tp Hồ Chí Minh  hh) I   ln(cos x) dx  cos x ĐS: I  ln  1  Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Hùng Vương – Tp Hồ Chí Minh ii) I =  ln( x + 1)  dx  ( x + 2)2 ĐS: I  ln  ln Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Du – Tp Hồ Chí Minh e jj) I   x2 ln xdx 9 ĐS: I  e3   Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Hiền – Tp Hồ Chí Minh THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 134 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM kk) I   x.(3x  1).dx TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU ĐS: I  ll) I ln e x mm) I   x dx  ex  x.ln( x   x )  x2 ĐS: I  ln  ln  dx  nn) I   x.ln( x2  x  1).dx ĐS: I  ln(1  2)  ĐS: I  ln  x2  x  ln xdx x  2x  e oo) I e pp) I   x.ln x.dx qq) I   ( x2  1).sin x.dx   12 ĐS: I  3e  e 1  ln  e 1 ĐS: I  e2    52 12   ln ln ĐS: I    e rr) I   cos(ln x).dx e   ĐS: I   ss) I   ( x  x).e x dx ĐS: I  e  tt) I   e cos x.dx x ĐS: I  e    1   uu) I   e cos x.dx x  vv) I   5e x sin x.dx e2   ĐS: I   ĐS: I   e  3 ww) I   e sin x.dx 3x xx) I   e x sin ( x).dx 4e   ĐS: I  25 ĐS: I  2 ( e  1)   2 BT 16 Tính tích phân (tách tích phân A và B với A dạng bản, B là tích phân phần):  a) I   x(1  s in2x)dx ĐS: I  2     72 24 Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Trần Hư̂u Trang – Tp Hồ Chí Minh e b) I   x(1  ln x)dx ĐS: I  3e   4 THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 135 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Trần Nhân Tông – Tp Hồ Chí Minh c) I   (1  x)  (2  e x )  dx  ĐS: I  e2   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyê̂n Trung Thiên – Hà Tĩnh – Lần  d) I   x.( x  sin x).dx ĐS: I  3   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chu Văn An – Hà Nội e) I   (2x3  ln x).dx ĐS: I  13  ln 2 Đề thi minh họa THPT Quốc Gia năm 2015 – Bộ GD & ĐT x  ln x  dx  x2 f) I ĐS: I   ln Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Thanh Chương III – Nghệ An ln( x.e x )  dx  ( x  2) g) I   ĐS: I  5ln ln    Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Minh Châu – Hưng Yên – Lần  x2 e x  dx  x h) I   ĐS: I  ln  e Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – Lần 1 i) I   x.(1  e x ).dx ĐS: I  e2   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lạng Giang Số – Bắc Giang – Lần ex  x  dx  ex j) I e ĐS: I    Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Lào Cai k) I   ( x  e x ).x.dx ĐS: I  3e   12 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hà Tînh – Hà Tĩnh – Lần  l) I   x.( x  sin x).dx ĐS: I   3  24 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An – Lần  m) I   x.(1  sin x).dx ĐS: I  2   32 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Hà Tînh THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 136 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM n) I   x  ln x  dx  x TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU ĐS: I  ln  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh e o) I   x.(1  ln x).dx ĐS: I  e2   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Quang Trung – Tây Ninh e p) I   x.(5  ln x).dx ĐS: I  e5  e2   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Chuyên Nguyê̂n Quang Diêu – Đồng Tháp – Lần  q) I   ( x  cos 3x).x.dx ĐS: I  3   81 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyê̂n Duy Trinh – Nghệ An r) I    x  ln( x  1)  dx  ĐS: I   5ln  ln Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyê̂n Hiền – Đà Nă̂ng  s) I   e x (1  xe 2 x cos x).dx ĐS: I  e  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Bình Dương  t) I   cos x.( x  sin x).dx  ĐS: I   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hồng Quang – Hải Dương – Lần  u) I   (2 cos x  x sin x).dx ĐS: I  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Bắc Bình – Bình Thuận v) I   x.(4x2  e x ).dx ĐS: I  e2   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Như Thanh – Thanh Hóa  w) I   ( x  sin x)2 dx ĐS: I  3    24 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Quãng Ngâi x) I   ( x2  x.e x ).dx ĐS: I   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Quãng Nam THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 137 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM y) I   (2  x3  x.e x ).dx TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU ĐS: I  13  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lý Tự Trọng – Nam Định – Lần e2 z) I   (1  ln x).x.dx ĐS: I  e 5e  3e  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Vînh Long  aa) I   x.( x2  sin x).dx ĐS: I  4  64 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Cỗ Loa – Hà Nội – Lần  bb) I   x.sin x.cos x.dx ĐS: I   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần  cc) I   ( x  cos2 x).x.dx ĐS: I  3 2      81 18 12 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Vînh Phúc – Vĩnh Phúc e I   x.(2 x  ln x).dx dd) ĐS: I  2e  e   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – Sỡ GD & ĐT Bạc Liêu  ee) I   x.(1  sin x).dx ĐS: I  2   32 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần  ln( x  1) dx  x2 ff) I   ĐS: I  ln  ln Đề thi Đại học khối A năm 2012  gg) I   x  e x     dx x  1 ĐS: I   ln BT 17 Tính tích phân (tách tích phân A và B, với A sữ dụng đỗi biến , B sữ dụng từng phần ): a) I   ( e x  3x2  1).x.dx ĐS: I  16  Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Nguyê̂n Bĩnh Khiêm – Tp Hồ Chí Minh  b) I   ( x  cos2 x)sin xdx ĐS: I   Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Đức Trí – Tp Hồ Chí Minh THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 138 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM e  1   c) I    x   ln xdx x TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU ĐS: I  e   4 Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT An Lạc – Tp Hồ Chí Minh  x  tan x  dx  cos2 x d) I    ĐS: I    ln  Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Phan Bội Châu – Tp Hồ Chí Minh   e) I   (sin 2x  e x ).x.dx 2 2 ĐS: I   e   Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nam Kỳ Khỡi Nghîa (đề 122) – Tp Hồ Chí Minh  f) I   ( e x  cos 3x).x.dx 2 ĐS: I  e  13  18 Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nam Kỳ Khỡi Nghîa (đề 121) – Tp Hồ Chí Minh e  g) I    x    ln x    ln x  dx  x  ĐS: I  e 13   12 Đề thi học kỳ II năm 2014 – THCS & THPT Nguyê̂n Bĩnh Khiêm – Tp Hồ Chí Minh  h) I   (sin x  x)cos xdx ĐS: I    11  Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Lê Minh Xuân – Tp Hồ Chí Minh i) I   x.( x   ln x).dx ĐS: I   j)   I   x  sin x  dx x    k) I  ln  e ( x  x e x  1).dx 16  ln   15 ĐS: I  ln 2  2    16 ĐS: I  ln   l) e   I    x  ln x.dx   x  ln x m) I   x.(e x  x  1).dx ĐS: I  e 19    12 ĐS: I  31   60 4e ĐS: I  2 2  1 n) I   x.(e x  x2  1).dx Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyê̂n Công Trứ – Quảng Ngãi   3x2 ln x  dx   x  ln x e  o) I    ln x ĐS: I   2  2e  THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 139 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM p) I   (2e x  e x ).x.dx TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU ĐS: I  e Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp HCM – Lần 1   q) I    x.e x  x4    dx  x5   ĐS: I   ln  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Hồng Quang – Hải Dương – Lần  r) I   ( x   tan x).sin x.dx ĐS: I     Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Nguyê̂n Bĩnh Khiêm – Quảng Nam   ln x   ln x   dx   x 1  e s) I    ĐS: I  22   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Vô Nguyên Giáp – Quảng Bỉnh  2 I    x    ln x  dx  x 1 e t) ĐS: I  e2   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Nguyê̂n Huệ – Hà Nội – Lần u) I   x.( x   ln x).dx ĐS: I    ln   15 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh x2  ln(1  x)  dx  1 x  v) I   ĐS: I  ln  ln 2   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Thành Nhân – Tp Hồ Chí Minh ln x  x ln( x  2)  dx  x e w) I   ĐS: I  e2  ln e   ln( e  2)    2 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Nguyê̂n Xuân Nguyên – Thanh Hóa – Lần x) I   (  3x2  e x ).x.dx ĐS: I  16  Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp Hồ Chí Minh BT 18 Tính tích phân (Sữ dụng đỗi biến trước , rồi tính tích phân từ ng phần sau): 2 a) I   cos x dx ĐS: I    2 b) I   sin x dx ĐS: I  2  c) I   sin x.ln(1  cos x).dx ĐS: I   THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 140 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Phan Đình Phùng – Hà Nội b BT 19 Tính tích phân sau (kỹ thuật chọn hằng số C phù hợp để  v.du đơn giãn hơn): a a) I   x.ln( x  1).dx ĐS: I  ln   Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Trâi – Tp Hồ Chí Minh b) I   (4 x  5)ln(2 x  3) dx ĐS: I  16  15ln 1 Đề thi học kỳ II năm 2014 – THPT Nguyê̂n Tất Thành – Tp Hồ Chí Minh c) I   (2 x  1).ln( x  1).dx ĐS: I   ln d) I   x.ln(2  x2 ).dx  ln(sin x  cos x) dx  cos2 x e) I   f) I   ( x  5).ln(2 x  1).dx g) I  e x ln( e x  1).dx  ĐS: I  3ln  ln   ĐS: I   ln 2 ĐS: I  ln  ln   57 ln ĐS: I  3ln  ln  h) I   ln 2  x( x2  3) dx ĐS: I  5ln  ln  ln(4 x2  x  3) dx  ( x  1)3 ĐS: I  5x  3ln( x  2)  dx  ( x  1)2 ĐS: I  ln  ln   i) I j) I 15 ln15  ln  ln Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 2015 – THPT Chuyên Vînh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 4  k) I      l) I     ln( x  x  1).dx x log (3sin x  cos x) sin x ln x.dx  ( x  2) m) I   dx  ĐS: I  ln  ĐS: I   23   ln  3ln    ln  4 ĐS: I  ln  ln BÀI 2: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH I Diện tích hình phẳng: THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 141 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Các toán: Đồ thị:  Diện tích hình phẳng giới bạn đường cong, trục Ox và hai đường thẳng: y  y  f ( x) Ox( y  0)   x  a  x  b y=f(x) b S   f ( x) dx O a b x a  Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong và hai đường thẳng: y  y  f ( x)  y  g ( x)   x  a  x  b y=f(x) y=g(x) b S   f ( x)  g ( x) dx O a b x a y  Diện tích hình phẳng tạo đường cong, trục Ox đường thẳng:  y  f ( x)  Ox( y  0) x  a   Tìm hoành độ giao điểm x  xo của y=f(x) O xo a x đường cong trục Ox a S  f ( x) dx Nếu xo  a xo THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 142 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU S xo  f ( x) dx Nếu xo  a a Y  Diện tích hình phẳng tạo hai đường cong: y=f(x)  y  f ( x)   y  g ( x)  Tìm tất hoành độ giao y=g(x) điểm x1 , x2 , , xi của hai đường cong (là nghiệm của phương trình f ( x)  g ( x) ) O x1 x2 x3  Với x1  x2   xi , diện tích hình phẳng được tính công thức: xi S   f ( x)  g ( x) dx x1 Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  x  , y  , x  x6 Giải: Ta có diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  x  , y  , x  x  được tính: 6 S   x  x  dx   x  x  dx   x  3x  dx 2 2 4 S     x  3x   dx    x  3x   dx  x 3x   x3 3x 6 S     4x      x   20(dvdt ) 2  2  4 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x.e x x  trục Ox Giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm: xe   x  x Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x.e x x  trục Ox được tính: THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 143 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM 1 0 TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU S   xe x dx   xe x dx Các em tự tính tích phân tìm kết Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x ln  x  1 y  x Giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x  x  x ln  x  1  x  x  ln  x  1  1     ln  x  1   x  e  Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x ln  x  1 y  x được tính: e 1 S  x ln  x  1  x dx  e 1 e 1 e 1 0   x  x ln  x  1  dx   xdx   x ln  x  1 dx Các em tự tính tích phân tìm kết Chú ý:  Do diện tích được tính tích phân dưới trị tuyệt đối nên phải xét xem hàm số âm hay dương khoảng để mở trị tuyệt đối  Một mẹo nhỏ em cần thay giá trị bất kì khoảng xét để biết được hàm số âm hay dương khoảng Bài tập: 1)Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y  x  x  x , y  , x  x  3 b) y  sin x cos x , y  , x  x   c) y  ( x  1) e , y  , x  x  x d) y  ln x , y  , x  x  e x e) y  xe , y   x ,và đường thẳng x  x THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 144 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM f) y  x  x y  x  x g) y  1   ,y x  , x  2 cos x sin x h) y  e , y  e x i) TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU 2 x x  y  x y   x II Thể tích khối tròn xoay Bài toán Đồ thị  Thể tích vật tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường cong: y  f ( x) và hai đường thẳng x  a, x  b  Xoay quanh Ox: b V     f ( x) dx O a b x a  Thể tích vật tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường cong: y  f ( x) và hai đường thẳng y  a, y  b  Ta biến đổi y  f ( x)  x  g(y) y b  Xoay quanh Oy: b V     g ( y ) dy a a O THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia x TRANG 145 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU  Thể tích vật tròn xoay tạo hai đường cong: y  f ( x) y  g ( x) y  Xác định diện tích tạo hai đường cong  Tìm tất hoành độ giao điểm x1 , x2 , , xi của hai đường cong  Với x1  x2   xi , thể tích hình x1 O x2 x tròn xoay được tính công thức: xi V   f ( x)  g ( x) dx x1 Ví dụ 1: Cho hình phẳng S giới hạn đường y  x  x x  x  trục hoành Tính thể tích khối tròn xoay cho S xoay quanh Ox Giải: Ta tích khối tròn xoay cho S xoay quanh Ox được tính:  x5 x 4 x3  241 V    x  x  dx    x  x  x  dx      (dvdt )   30   1 2 2 Ví dụ 2: Cho hình phẳng S giới hạn hai đường y  x y  x  a) Tính thể tích khối tròn xoay cho S xoay quanh Ox b) Tính thể tích khối tròn xoay cho S quay quanh Oy Giải:  x 1 x   x   x  a) Phương trình hoành độ giao điểm: x  x    Thể tích khối tròn xoay cho S xoay quanh Ox được tính: THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 146 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM  V   x  TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU 4   x   dx     x  x  dx     x  x   dx 2 1  x3 x  9 V      4x   (dvtt ) 2   b) Ta có: y  x  x  y y  x   x  y  Phương trình hoành độ giao điểm y  y  y2   y  Thể tích khối tròn xoay cho S xoay quanh Oy đươc tính:   2 V    y    y   dy    y  y  y  dx  81   6   V     y  y  y   dx 81  1  y5 y3 6 V      y2  y   405 3 12 V (dvtt ) Bài tập: 1)Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình phẳng quay quanh Ox: a) y  x  , trục hoành, x  x  b) y  ln x , y  x  e c) y  tan x , x  x   d) y  xe , y  x  x e) y   x , y  x  f) y  x  x , y  , x  x  g) y  x x  , y  x  15 THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 147 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT ĐIỂM h) y  TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU x ,y x 1 2 2)Tính thể tích khối tròn xoay tạo hình phẳng quay quanh Oy: x2 a) y  , y  , y  trục Oy b) y  c) x , y  y   x y  x.2 x y  2x THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 148 [...]...  1 4  y5 y3 6 V      2 y2  4 y   4 05 3 3 12 V (dvtt ) 5 Bài tập: 1)Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng khi quay quanh Ox: a) y  x  1 , trục hoành, x  1 và x  2 3 b) y  ln x , y  0 và x  e c) y  tan x , x  0 và x   3 d) y  xe , y  0 và x  1 x e) y  4  x , y  x  2 2 f) 2 y  x 2  x , y  0 , x  0 và x  1 g) y  x x  1 , y  0 và x  15 4 2 THẦY... tính tích phân và tìm kết quả Chú ý:  Do diện tích được tính bởi tích phân dưới trị tuyệt đối nên phải xét xem hàm số âm hay dương trên các khoảng để mở trị tuyệt đối  Một mẹo nhỏ là các em chỉ cần thay giá trị bất kì trong khoảng xét để biết được hàm số âm hay dương trên khoảng đó Bài tập: 1)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y  x  5 x  6 x , y  0 , x  1 và. .. THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Quang Trung – Tây Ninh e p) I   x. (5 2  ln x).dx ĐS: I  1 8 e5  e2  7  4 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – Chuyên Nguyê̂n Quang Diêu – Đồng Tháp – Lần 2  2 q) I   ( x  cos 3x).x.dx ĐS: I  0 3 2   81 9 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Nguyê̂n Duy Trinh – Nghệ An 4 5 3 r) I    x  ln( x  1)  dx  ĐS: I   5ln 5  2 ln 2 1 Đề thi...   57 ln 3 8 ĐS: I  3ln 3  2 ln 2  1 0 3 h) I   ln 2  x( x2  3) dx ĐS: I  5ln 5  4 ln 2  3 2 ln(4 x2  8 x  3) dx  ( x  1)3 0 ĐS: I  5x  3ln( x  2)  dx  ( x  1)2 0 ĐS: I  ln 3  4 ln 2   1 i) I j) I 1 15 3 ln 15  ln 3  4 ln 2 8 2 9 2 5 2 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Chuyên Vînh Phúc – Vĩnh Phúc – Lần 4 4  k) I    1  1  2 l) I  4  1   ln(... x.dx  2 1 ( x  2) m) I   dx  ĐS: I  5 ln 5  4 ĐS: I  1  23   ln 2  3ln 3    ln 2  2 4 3 2 ĐS: I  ln 3  ln 2 BÀI 2: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH I Diện tích hình phẳng: THẦY TÀI : 0977.413.341 – chia sẻ tài nguyên luyện thi THPT Quốc Gia TRANG 141 TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU Các bài toán: Đồ thị:  Diện tích hình phẳng giới bạn bởi một đường...  dx  x5  1  ĐS: I  1  ln 2  5 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Hồng Quang – Hải Dương – Lần 2  4 r) I   ( x  2  tan 2 x).sin x.dx ĐS: I  2  0  2  8 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Chuyên Nguyê̂n Bĩnh Khiêm – Quảng Nam  3  ln x   2 ln x   dx   x 1  e s) I    ĐS: I  22  6 3  3 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Chuyên Vô Nguyên Giáp... dx  x 1 e t) ĐS: I  e2  5  4 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Chuyên Nguyê̂n Huệ – Hà Nội – Lần 3 2 u) I   x.( x  1  ln x).dx ĐS: I  1 8 3 4 2 3   2 ln 2   5 15 4 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Lê Quí Đôn – Tây Ninh 0 x2  ln(1  x)  dx  1 x  1 v) I   ĐS: I  2 ln 2  ln 2 2 5   2 4 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Thành Nhân – Tp Hồ...   xe x dx   xe x dx Các em tự tính tích phân và tìm kết quả Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln  x  1 và y  x Giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x  0 x  0 x ln  x  1  x  x  ln  x  1  1  0    ln  x  1  1  x  e  1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln  x  1 và y  x được tính: e 1 S  x ln  x... Gia năm 20 15 – THPT Lý Tự Trọng – Nam Định – Lần 2 e2 z) I   (1  ln x).x.dx ĐS: I  e 5e 4  3e 2  4 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – Sỡ GD & ĐT Vînh Long  2 aa) I   x.( x2  sin x).dx ĐS: I  0 4  1 64 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Cỗ Loa – Hà Nội – Lần 3  2 bb) I   x.sin x.cos 2 x.dx 5 9 ĐS: I   0 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Chuyên Hùng... x  2 x x  1 x  2 và trục hoành 2 Tính thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Ox Giải: Ta có thể tích khối tròn xoay khi cho S xoay quanh Ox được tính:  x5 2 x 4 4 x3  2 241 V    x  2 x  dx    x  2 x  4 x  dx      (dvdt )   1 5 4 3 30   1 1 2 2 2 2 4 3 2 Ví dụ 2: Cho hình phẳng S giới hạn bởi hai đường y  3 x và y  x  2 a) Tính thể tích khối tròn xoay ... thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Chuyên Đại học Vinh – Lần x2  x  g) I   2x   dx  ĐS: I  478  15 Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Chuyên Lê Quí Đôn – Đà Nă̂ng... tương ứng với số lần lấy nguyên hàm — Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm phần luân hồi BÀI TẬP VẬN DỤNG BT 15 Tính tích phân (dạng tích phân phần bản):  a) I   2x... Gia năm 20 15 – THPT Chuyên Nguyê̂n Bĩnh Khiêm – Quảng Nam   ln x   ln x   dx   x 1  e s) I    ĐS: I  22   Đề thi thữ THPT Quốc Gia năm 20 15 – THPT Chuyên Vô Nguyên Giáp