Góc giữa hai đường thẳng: a, Định nghĩa: - Cho 2 đường thẳng 1 cắt 2 thì sẽ tạo thành 4 góc và góc nhỏ nhất trong 4 góc nói trên được gọi là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau... Viết [r]
(1)Chuyên đề 1: Phương pháp tọa độ mặt phẳng Vấn đề 1: Phương trình đường thẳng I Phương trình đường thẳng: Phương trình dạng tổng quát: Đường thẳng qua M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến n (a;b) thì có phương trình: : a(x - x0) + b(y - y0) = ax + by + c = (c = -ax0 -by0 ; a2 + b2 0) Chú ý: *1 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn b c (1) - x y 1(a, b, c 0) c a y x 1 c c a b x y c c 1(m ; n ) m n a b : x y 1 m n Ox = M( m;0 ) Oy N (0; n) *2 Phương trình đường thẳng qua M0(x0;y0) có hệ số góc k: : y kx b M0 y0 = kx0 b b y0 k x0 : y kx y kx0 y k ( x x0 ) y (3) Ví dụ: Cho A(2;1) viết phương trình đường thẳng qua A và hợp với chiều dương trục Ox góc 60 Ta có: hệ số góc đường thẳng là k tan 60 : y ( x 2) y *3 Phương trình qua điểm phân biệt: Cho A( x A ; y A ) và B ( x B ; y B ) AB( x B x A ; y B y A ) Chọn n ( yB yA; xA xB) AB Vậy Ab qua A( x A ; y A ) và nhận n làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: ( y B y A )( x x A ) ( xB x A )( y y A ) x xA y yA (4) xB x A y B y A Công thức (4) gọi là phương trình đường thẳng qua điểm A và B Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng AB biết A(5;1); B (2;4) Phương trình đường thẳng AB là: Lop10.com (2) x y 1 x 25 3 y x y 22 3 Bài 1: Cho ABC biết A(3;6); B (1;2); C (6;3) a, Viết phương trình các cạnh ABC b, Viết phương trình các đường trung tuyến ABC c, Viết phương trình các đường cao ABC, từ đó suy tọa độ trực tâm H H ABC Phương trình dạng tham số: a, Định nghĩa Vectơ phương: - u (u 0) gọi là vectơ phương đường thẳng u có giá song song trùng * Chú ý: + Nếu u là vectơ phương thì k u (k 0) là vectơ phương + Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết nó qua điểm và có vectơ phương b, Phương trình dạng tham số: - Cho đường thẳng qua M0( x0 ; y ) và có vectơ phương u (a;b) Lấy M(x;y) bất kì thuộc M M =t u x x0 ta x x0 at 2 (a +b ) (5) y y tb y y bt Công thức trên gọi là Phương trình tham số đường thẳng mặt phẳng * Chú ý: u (a;b) là vectơ phương đường thẳng thì n (b;-a) là vectơ pháp tuyến đường thẳng Phương trình dạng chính tắc: x x0 t a (a 0) x x0 y y (5) (6) y y a b t (b 0) b - Công thức (6) gọi là phương trình chính tắc đường thẳng Ví dụ: Cho ( d ) : x y 1, Hãy tìm tọa độ điểm thuộc d và viết phương trình tham số đường thẳng x 5t 2, Hệ ( I ) có phải là phương trình tham số (d) không ? y t 3, Tìm tọa độ điểm M (d ) cho OM= 1, Lấy A(3;0) (d ) Lop10.com (3) (d ) có vectơ pháp tuyến u (2;-3) (d ) có vectơ phương v (3;2) x 3t Phương trình tham số (d ) là y 2t 2, (I ) là phương trình đường thẳng qua B(2;- ) (d ) phương trình (I ) có vectơ 1 phương b ( ;1) = u b là vectơ phương (d ) 2 Vậy (I ) là phương trình tham số (d ) 3, M(3+3t; 2t) (d ) (3 3t ) (2t ) 18t 9t 4t 2 OM=2 13t 18t 24 10 t M ( ; ) 13 13 13 t 1 M (0;2) Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M1 ( 24 10 ; ) và M (0;2) 13 13 Vị trí tương đối hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng: a, Định nghĩa: - Cho đường thẳng 1 cắt thì tạo thành góc và góc nhỏ góc nói trên gọi là góc hai đường thẳng cắt *Chú ý: gọi là góc 1 và thì o 90 o = o 1 1 // 90 o 1 b, Cho 1 : a1 x b1 y c1 , : a2 x b2 y c2 Gọi là góc 1 và 1 có vectơ pháp tuyến n1 (a1 ; b1 ) có vectơ pháp tuyến n2 (a2 ; b2 ) Khi đó: (n1 ; n2 ) cos cos(n1 ; n2 ) cos | cos(n1 ; n2 ) | o 180 (n1 ; n2 ) cos cos(n1 ; n2 ) cos | a1.a2 b1.b2 | a12 b12 a2 b2 Lop10.com (4) c, Cho (d1 ) : y k1 x b1 ; (d ) : y k x b2 (d1 ) (d ) k1k k k (d1 ) //( d ) b1 b2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm M0(x0;y0) và đường thẳng : ax by c ax by c Khoảng cách: d ( M ; ) 2 a b Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng: Cho 1 : a1 x b1 y c1 , : a2 x b2 y c2 a x b1 y c1 a x b2 y c2 Phương trình đường phân giác: 2 2 a1 b1 a2 b2 Bài 2: Lập phương trình các cạnh ABC B (2;1) , đường cao AH: x y 27 ,đường phân giác CC’: x y - Viết phương trình cạnh BC: vì BC AH nên BC nhận vectơ phương a (4;3) AH làm vectơ pháp tuyến và qua BC B (2;1) nên có phương trình: BC: 4( x 2) 3( y 1) x y - Tìm tọa độ điểm C: Tọa độ điểm C là nghiệm hệ phương trình: 4 x y x C (1;3) x y y - Viết phương trình cạnh AC: gọi k là hệ số góc đường thẳng AC Vì AC qua C (1;3) nên có phương trình y k ( x 1) kx y k Theo bài ta có: cos( AC ; CC ' ) cos( BC ; CC ' ) |k 2| |4 6| |k 2| 2 2 5 k 1 k 1 | k | k k 4k 4k 3k 4k k (3k 4) k k Ta loại nghiệm k= vì đó chính là cạnh BC AC: y - Tìm tọa độ điểm A: Tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình: Lop10.com (5) 3 x y 27 x 5 A(5;3) y y - Viết phương trình cạnh AB: x5 y 3 4 4 x 20 y 21 4 x y x y 0( AB) BTVN: Cho hai cạnh mặt phẳng tọa độ là: x y ; x y 21 Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm gốc tọa độ - Gọi ABC là tam giác bài toán, gọi phương trình tọa độ AB và AC là: x y và x y 21 Khi đó điểm A là nghiệm hệ sau: 5 x y x A(0;3) x y 21 y Ta có AH (0;3) Vectơ phương đường thẳng AC là u (7;4) Vì BH AC nên BH nhận u (7;4) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 7( x 0) 4( y 0) 7 x y Ta có tọa độ điểm B là nghiệm hệ sau: x y x 4 B (4;7) x y x BC nhận AH (0;3) làm vectơ pháp tuyến và qua điểm B(-4;-7) nên có phương trình: ( x 4)0 ( y 7)(3) y Vậy phương trình cạnh BC là y Bài 4: Hãy lập phương trình các cạnh AB, AC, BC Biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình: x y 0; y - Vì A không thuộc hai đường trung tuyến đã cho, đặt BB': x y 0; CC ': y (B’ là trung điểm AC, C’ là trung điểm AB) Vì G là trọng tâm ABC tọa độ G là nghiệm hệ: x y x G (1;1) y 1 y 1 Gọi A’ là trung điểm BC: AG (0;2); GA'( x A' 1; y A' 1) x x 1 Ta có: GA' AG A' A' A' (1;0) y A' 1 y A' Lop10.com (6) xB y B y 1 C B (3;1); C (5;1) Theo bài ta có: x x C B y B yC x 1 y 3 Phương trình cạnh AB: x y 1 1 x 1 y Phương trình cạnh AC: x 2y 1 1 x y 1 Phương trình cạnh BC: x y 11 Bài 5: Lập phương trình các cạnh tam giác ABC Trong mặt phẳng tọa độ O xy biết C (4;5) và đường cao có phương trình: x y và x y 13 - Tọa độ điểm C không thỏa mãn phương trình đường cao đã cho Gọi AA’: x y và BB’: x y 13 Khi đó phương trình cạnh BC qua C (4;5) và nhận n1 (3;5) làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình: ( x 4)(3) ( y 5)5 3 x 12 y 25 x y 13 Phương trình cạnh AC qua C và nhận n2 (8;3) làm vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình: ( x 4)(8) ( y 5)3 8 x 32 y 15 x y 17 5 x y x 1 8 x y 17 y Tọa độ điểm A là nghiệm hệ sau: 3 x y 13 x Tọa độ điểm B là nghiệm hệ sau: 3 x y 13 y 2 x 1 y Phương trình cạnh AB là: 5 x y x y 5 Bài 6: Cho điểm P(2;3), Q(4;-1), R(-3;5) là các trung điểm các cạnh AB, BC, CA Hãy lập phương trình các cạnh ABC Ta có PQ(2;4) , QR(7;6) , PR(5;2) Phương trình đường thẳng AB qua P(2;3) và nhận QR(7;6) làm vectơ phương nên ta có phương trình: Lop10.com (7) x2 y 3 x 12 7 y 21 x y 33 7 x 4y Phương trình đường thẳng AC qua Q(4;-1) và nhận PR(5;2) làm vectơ phương nên ta có phương trình : x y 1 2x y 2x y 5 Phương trình đường thẳng AC qua R(-3;5) và nhận PQ(2;4) làm vectơ phương nên ta có phương trình: x3 y 5 2x y 4 Bài 7: Cho điểm A(-1;2) và B(3;4) Tìm C trên đường thẳng : x y cho ABC vuông C - Gọi C (2 y 1; y ) Ta có: AC (2 y 1; y 2); BC (2 y 3; y 4) Do ABC vuông C nên ta có: AC BC y (2 y 4) ( y 2)( y 4) y 02 y y 02 y y y0 y 14 y y0 Với y x0 C (4;2) 8 Với y0 x0 C ( ; ) 5 5 Bài 8: Lập phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết A(-4;5) và đường chéo có phương trình: x y Phương pháp: Vì tọa độ A không thỏa mãn phương trình đường chéo đã cho nên BD: x y Tìm I = AC BD Tìm C, tìm B, D Bài (ĐH- KB- 2010):Cho ABC vuông A có C(-4;1), phân giác góc A có phương trình: x y Viết phương trình BC biết diện tích ABC =24 và có hoành độ dương - Đặt d: x y Vì d là phân giác góc A nên CA// Ox y A x A A(4;1) Vì ABC vuông A mà CA// Ox nên AB Ox x B Lop10.com (8) 1 AB AC 24 AB.8 24 AB 2 Mà y A y B B (4;7) x y 1 Vậy phương trình BC: x y 32 x y 16 Bài 10 (ĐH- KA- 2010): Cho ABC cân A, A(6;6) Đường thẳng qua trung điểm các cạnh AB, AC và có phương trình: x y Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết E(1;-3) nằm trên đường cao qua đỉnh C ABC Bài 11(ĐH- KD- 2010): Cho A(0;2) và là đường thẳng qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên Viết phương trình đường thẳng , biết d(H;Ox)=AH Lại có S ABC =24 Lop10.com (9)