Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình tham số của đương thẳng d đi qua T và vuông góc với (P)... Chứng minh A,B,C không thẳng hàng .Viết phương trình mp(ABC).[r]
(1)§ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Tọa độ điểm véc tơ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz:
1 M x( M;y zM; M) OM x i y j z kM M M a( ; ; )a a a1
a a i a j a k
2. Bi ểu thức tọa độ phép tốn véc tơ
Trong khơng gian Oxyz Cho a( ; ; )a a a1 2 3 b( ; ; )b b b1 2 3 ta có a b (a1b a1; 2b a2; 3b3)
; k a.(ka ka ka1; 2; 3)
a bcùng phương
1 2 3 :
a kb
k R a kb a kb
a kb
;
1 2 3
a b
a b a b
a b
Cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) AB(xB x yA; B y zA; B zA)
I trung điểm AB M
2 ; ;
B A B A B
A x y y z z
x
3. Tích vơ hướng ứng dụng
Trong khơng gian Oxyz, tích vơ hướng a( ; ; )a a a1 2 3 b( ; ; )b b b1 2 3 là: a b a b c os(a; ) b a b1 1a b2 2a b3 3
a a12a22a32 ; AB (xB xA)2(yB yA)2(zB zA)2
2 12 22 2 23 2
1 3
. . .
s( , )
.
a b a b a b
co a b
a a a b b b
(với a0 , b0)
a b vng góc a b1 a b2 2a b3 0
4. Phương trình mặt cầu
Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán kính r có phưong trình (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2
Phương trình : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2+B2+C2-D >
phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C) , bán kính r A2 B2 C2 D
B BÀI TẬP:
Bài Viết tọa độ vectơ say đây: a2ij+3K ; b7i 8k; c9k; Bài Cho ba vectơ
a = ( 2; -1 ; ),b= ( -1; -2; 2) , c = (-2 ; 1; )
a. Tìm tọa độ vectơ :
v= -2a+ 3b- 5c u = 3a- 2c
b. Chứng tỏ
a bvà b c
Bài Cho vectơ
a = (1; 2; 3) Tìm tọa độ vectơ x, biết rằng:
a) a x 0
b) a x 4a
Bài Cho ba điểm : A(1;3;7), ( 5; 2;0), (0; 1; 1).B C
a CMR A, B, C khơng thẳng hàng
b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC c Tính chu vi tam giác ABC
d Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành e Tìm tọa độ điểm E để tam giác ABE vuông A
(2)Bài Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5)
a Tìm tọa độ đỉnh cịn lại
b Tìm tọa độ trọng tâm G, G’ tứ diện A.A’BD C’.CB’D’ c Chứng tỏ rằng: 3GG’ = AC’
Bài 6: Xác định tọa độ tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau đây:
a 2
y z x y
x
b 2
y z x y z
x
c 2
x y z x y z
d 3
y z x y z
x
Bài 7.Viết phương trình mặt cầu:
a Tâm I(2;1;-1), bán kính R =
b Đi qua điểm A(2;1;-3) tâm I(3;-2;-1) c Hai đầu đường kính A(-1;2;3), B(3;2;-7)
d Đi qua bốn điểm (0; 0; 0), A(2; 2; 3), B(1; 2; -4), C(1; -3; -1) e Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) tâm I thuộc 0x
§ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng:
n ≠ 0 véctơ pháp tuyến mặt phẳng () n ()
2 Phương trình tổng quát mặt phẳng
Định nghĩa: Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A2+B2+C2 ≠ 0
được gọi phương trình tổng quát mặt phẳng
Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = có véctơ pháp tuyến n( ; ; )A B C
Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận n( ; ; )A B C
làm vectơ pháp tuyến có
phương trình dạng: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) =
Nếu (P) có cặp vectơ a( ; ; ), b ( ; ; )a a a1 b b b1
khơng phương có giá song song nằm (P) vectơ pháp tuyến (P) xác định
n = 3 1 2 3 1 2
2 3 1 a a a a a a
, ; ; ( ; ; )
b b b b b b
a b a b a b a b a b a b a b
* Các trường hợp riêng phương trình măt phẳng
Trong không gian Oxyz cho mp(): Ax + By + Cz + D = Khi đó:
D = ()đi qua gốc tọa độ.
A=0 ,B0 ,C 0, D 0 ( ) song song với trục Ox
A=0 ,B = ,C0, D 0 ( ) song song mp (Oxy )
(Các trường hợp lại xét tương tự)
A,B,C,D0 Đặt a D , b D ,c D
A B C
Khi ( ): x y z
a b c
3 Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho ( ): Ax+By+Cz+D = 0, ( ’):A’x+B’y+C’z+D’=
( )cắt ( ’) A : B : C ≠ A’: B’: C’
( ) // ( ’) A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
( ) ≡ ( ’) A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Đặc biệt: ( ) ( ’) n n1 0 A A B B C C ' ' ' 0
4 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
(3)0 0
0 2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
B BÀI TẬP
Bài Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M có vtpt n
biết a ĐiểmM 3;1;1 , n 1;1; 2
b M2;7; , n 3; 0;1
c, M 4; 1; , n 0;1;3 d, M 2;1; , n 1; 0; 0
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2)
a Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AC
c Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB song song với CD d Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD vng góc với mp(ABC)
Bài Lập phương trình mp qua điểm M song song với mp biết:
a M 2;1;5 , Oxy b M1;1; , :x 2y z 100
c M 1; 2;1 , : 2x y 3 0 d M 3;6; , : x z 10
Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;1;1)
a Song song với trục 0x 0y b Song song với trục 0x, 0z c Song song với trục 0y, 0z
Bài 6: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;-1;1) B(2;1;1) :
a Cùng phương với trục 0x b Cùng phương với trục 0y c Cùng phương với trục 0z
Bài 7: Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) biết :
a (P) qua điểm A(-1;3;-2) nhận n(2,3,4); làm VTPT
b (P) qua điểm M(-1;3;-2) song song với (Q): x+2y+z+4=0 c (P) qua I(2;6;-3) trục Ox
Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - z - = 0
a Viết phương trình mp (Q) qua gốc tọa độ O song song với mp (P) b Tính khoảng cách (P) (Q)
Bài 9*: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z +5 = (Q): 2x – z =
a. Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt
b. Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) qua
A(-1;2;3)
c. Lập phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) song song với
Oz
d. Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O vng góc với hai mặt phẳng (P)
(Q)
Bài 10: Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) trường hợp sau:
a Đi qua hai điểm A(0;-1;4) song song với giá hai véc-tơ a3;2;1 b 3;0;1
b Đi qua hai điểm B(4;-1;1) C(3;1;-1) song song với trục 0x
Bài 11: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)
a Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD) b Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua cạnh AB song song vói CD
Bài 12:Viết phương trình tổng quát (P)
(4)b Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vng góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0 c Chứa 0x qua A(4;-1;2) ,
d Chứa 0y qua B(1;4;-3)
Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) không gian 0xyz
a Viết phương trình mặt phẳng (P) trung trực AB
b Viết phương trình mp(Q) qua A vng góc (P) vng góc với (y0z) c Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A song song với mp(P).
Bài 16: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x+ky+3z – = 0; (Q): mx - 6y - 6z+2 = 0
a Xác định giá trị k m để hai mặt phẳng (P) (Q) song song nhau, lúc tính khoảng cách hai mặt phẳng
b Trong trường hợp k = m = chứng tỏ (P) (Q) cắt nhau, tính góc (P) (Q)
Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh
a Chứng minh mp(AB’D’) song song mp(BC’D) b Tính khoảng cách giửa hai mặt phẳng
c Chứng minh A’C vuông góc (BB’D’D)
§ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
2. Phương trình tham số đường thẳng:
* Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M0(x0;y0;z0) có vec tơ phương
1 ( ; ; )
a a a a :
0
0
0
(t R)
x x a t y y a t z z a t
* Nếu a1, a2 , a3 khác khơng Phương trình đường thẳng viết dạng tắc sau:
0
1
x x y y z z
a a a
3. Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng :
' ' 1
' '
2
' '
0 3
'
: ' : '
'
o o
o o
o
x x a t x x a t
d y y a t d y y a t
z z a t z z a t
d có vtcp a (a1;a2;a3)đi qua M(xo;yozo); d’có vtcp ( ; ; ')
3 ' '
' a a a
a qua M’(x
o;yozo);
a d // d’
' '
.
d M
a k a
'
, phương
' không phương
a a MM
b d ≡ d’
' '
.
d M
a k a
'
, , ' phương
(5)c d cắt d’ Hệ Phương trình ' ' 1 ' ' 2 ' '
0 3
' ' ' o o o o o
x a t x a t y a t y a t z a t z a t
(I) có nghiệm
' '
, không phương '=0
a a
a a MM
d d chéo d’ a, a' khơng phương hệ phương trình (I) vơ nghiệm
'
'
a a MM
2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
Trong Kg Oxyz cho (α): Ax+By+Cz+D =
1 : o o
x x a t d y y a t
z z a t
Xét hệ phương trình:
1 : o o
x x a t y y a t d
z z a t Ax By Cz D
(1)
Hệ Phương trình (1) vơ nghiệm d // (α)
Hệ Phương trình (1) có nghiệm d cắt (α) Nghiệm (x; y; z) hệ (1)
tọa độ giao điểm
Hệ Phương trình (1) có vơ số nghiệm d(α)
Đặc biệt : (d) ( ) a n , phương
B BÀI TẬP
Bài 1: Lập phương trình tham số đường thẳng (d) trường hợp sau :
a (d) qua điểm M(1;0;1) nhận a(3; 2;3)làm VTCP
b (d) qua điểm A(1;0;-1) B(2;-1;3)
c (d) qua A(2; -1; 3) vng góc mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + =
Bài : Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(2;3;-5) song song với đường thẳng (d) có
phương trình: : 2 , t R
1 x t
d y t
z t
Bài 3: Viết phương trình tham số, tắc đường thẳng (d) trường hợp sau:
a Đi qua hai điểm A(1;3;1) B(4;1;2)
b Đi qua M(2; -1; 1) vng góc với mặt phẳng (P): 2x – z + 1= Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
c (d) giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : 2P xy z40 , ( ) :Q x y2z20
Bài 4: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau:
a d: t z t y t x 4 6 3 2 2 3
d’ :
(6)b d: t z t y t x 3 2 1
d’: ' 2 2 ' 2 1 ' 2 1 t z t y t x
Bài 5: Cho hai đường thẳng
1 1 :
y z
x
d t
31 2 21 : R t z ty t x d
a) CMR hai đường thẳng cắt Xác định toạ độ giao điểm
b) Viết phương trình tổng qt mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2)
Bài : Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng (P), tìm giao điểm có.
a) t, R
2 3 1 : t z t y t x
d , (P): x-y+z+3=0
b) t, R
1 9 4 12 : t z t y t x
d , (P): y+4z+17=0
Bài 7: Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng d:
t z t y t x 2 1 2
a Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d b Tìm tọa độ điể A’ đối xứng với A qua đường thẳng d
Bài 8: Cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng ():xyz10
a Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M ()
b Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ()
c Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ()
Bài Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6).
a Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC) c Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC)
d Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB
Bài 10 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh
a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BD) (B’D’C) b Chứng tỏ AC’ vng góc mặt phẳng (A’BD) (B’D’C)
(7)Bài 1: (Đề thi tốt nghiệp 2006) Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0;
4)
1 Chứng minh tam giác ABC vuông Viết phương trình tham số đương thẳng AB
2 Gọi M điểm cho MB 2MC Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc
với đường thẳng BC
Bài 2: (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 1)Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) mặt phẳng )
( có phương trình x + 2y – 2z + = 0.
1 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm góc tọa độ O tiếp xúc mặt phẳng ().
2 Viết phương trình tham số đường thẳng ( ) qua điểm E vng góc mặt phẳng ().
Bài 3: (Đề thi tốt nghiệp 2007 Lần 2) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 0; 2), N(3; 1; 5)
và đường thẳng (d) có phương trình
t z
t y
t x
6 3
2 1
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng (d) Viết phương trình tham số đương thẳng qua hai điểm M N
Bài 4: (Đề thi tốt nghiệp 2008) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2;
4; 3) C(2; 2; -1)
1 Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
Bài 5: (Đề thi tốt nghiệp 2009)
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S):
12 22 22 36
y z
x (P): x + 2y + 2z +18 =
1 Xác định tọa độ tâm T bán kính mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đương thẳng d qua T vng góc với (P) Tìm tọa độ giao
điểm d (P)
Bài 6:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) mặt phẳng (P) có phương trình
6y+8z+1=0
1.Viết phương trình tham số đường thằng d qua hai điềm M N
2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) mặt phẳng tiếp diện
Bài 7: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4)
1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm A,B,C Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A có đường kính
Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 1;0 đường thẳng d:
1 2
x t
y t
z t
1 Viết phương trình mặt phẳng P qua A vng góc với d
2 Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài 9: Trong KgOxyz cho điểm A(2;0;1), đường thẳng (d):
1 2
x t
y t
z t
và mặt phẳng (P):
0
2x yz
1 Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng (d)
(8)1 Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng Viết phương trình mp(ABC). 2 Viết phương trình tham số đường thẳng BC.
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho điểm A( ; -3 ; -1), B( -2; ; 3)
1/ Viết phương trình đường thẳng AB
2/Viết phương trình mặt phẳng qua gốc toạ độ vng góc AB
Bài 12: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;2;3) đường thẳng d có phương trình x -1 y +1 z -1
= =
2
1) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc d 2) Tìm tọa độ giao điểm d mặt phẳng
Bài 13: Trong không gian Oxyz , cho A(2 ;-3;1) mp (Q) : x + 3y - z + =
1 Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua A vng góc với (Q)
2 Tìm tọa độ H hình chiếu A (Q).Suy tọa độ A' đối xứng A qua (Q)
Bài 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;2;0 , B0;2;1 , C1;1;2 , (3; 2; 2) D
1 Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Suy DABC tứ diện
2 Viết phương trình mặt cầu ( )S tâmD tiếp xúc mặt phẳng (ABC)
Bài 15: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)
1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M song song với mặt phẳng x 2y3z 0
2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) tiếp xúc với mặt phẳng ( )
Bài 16: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 1;0 đường thẳng d:
1 2
x t
y t
z t
1 Viết phương trình mặt phẳng P qua A vng góc với d
2 Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
Bài 17:Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :x y z
1 2
điểm A(3;2;0)
1 Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A lên d
2 Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d
Bài 18:Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1,0,0); B(0,2,0); C(0,0,3)
1 Viết phương trình tổng quát mặt phẳng qua ba điểm:A, B, C
2 Gọi (d) đường thẳng qua C vuông góc mặt phẳng (ABC) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (Oxy)
Bài 19: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : 2x + y + z – = đường thẳng :
2
3
x t
y t
z t
( t tham số)
1 Tìm giao điểm I ()
2 Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc với ()
Bài 20:Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) đường thẳng (d) có phương trình
x 2t
y t
z t
(9)