Chuyên đề 1: Loại nghiệm không thích hợp trong phương trình lượng giác

Khi giải pt lượng giác có chứa ẩn ở mẫu chúng ta thường đặt điều kiện: x  x0 .. Ta thÊy ®iÓm ngän cung..[r]

N¨m häc 2009 - 2010 Gi¸o viªn Lª SÜ Minh Chuyên đề1: lo¹i nghiÖm kh«ng thÝch hîp phương trình lượng giác I.Phương pháp loại nghiệm hình học 1.Phương pháp Khi giải pt lượng giác có chứa ẩn mẫu chúng ta thường đặt điều kiện: x  x0  m2 k 2 và giải phương trình chúng ta tìm x =   §Ó lo¹i ®i nghiÖm kh«ng p n thÝch hîp ta lµm nh­ sau: 1) Biểu diễn trên đường tròn lượng giác p điểm cung x0  cung   k 2 n 2) LÊy nghiÖm pt lµ c¸c ®iÓm ngän cña cung   m2 vµ n ®iÓm ngän cña p m2 k 2 mµ kh«ng trïng víi cung x0  p n C¸c vÝ dô VD1.Gi¶i pt sau Gi¶i  tan x  cot x (cos x  sin x) cot x  sin x  cos x     x  sin x     §iÒu kiÖn: sin x  tan x  cot x  x  cot x    cot x   Khi đó:  tan x  cot x   (cos x  sin x)  cotx - = cot x  Cosx  sin x = sin x m (mZ)  m (Cosx - sinx) cos x cos x sin x (cos x  sin x)  2cosx(cosx - sinx) = (Cosx - sinx) sin x cos x   cot x  x   k   (kZ)     cos x   x     k 2  cos x  sin x    2 cos x     k bị loại, đó ta biểu diễn trên đường tròn lượng giác y m    ®iÓm ngän c¸c cung ;  m ;   k 2 4 Tõ ®iÒu kiÖn ta thÊy nghiÖm x  Ta thÊy ®iÓm ngän cung   k 2 trïng nªn bÞ lo¹i VËy nghiÖm cña pt lµ: x =    k 2 Lop11.com 3 o .  x N¨m häc 2009 - 2010 Gi¸o viªn Lª SÜ Minh Bài tập.Giải các phương trình sau 1)  cot x   cos x sin 2 x 2) 2tanx + cotx = +  k   §s: x =  k §s: x = sin x 3(sin x  tan x)  cos x  tan x  sin x cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  ) 1 4) sin x  3) cos x  sin x cos x  cos x  sin x  1 6) 2Sin3x = 2Cos3x + sin x Cosx cos x  sin x 7) 5( Sinx + ) = Cos2x +  sin x 5) II Phương pháp loại nghiệm đại số sin x cot x 1 VD2.Gi¶i pt sau: cos x Gi¶i sin x  §iÒu kiÖn:  cos x  cos x sin x cot x  cos x  sinxcos5x = sin5xcos9x   sinx Khi đó: sin x cos x 1 (sin x  sin x)  (sin 14 x  sin x)  Sin6x = Sin14x  2 m  x  6 x  14 x  m2      x    m 6 x    14 x  m2  20 10 Víi x = m 5m m m ta cã Sin5x = sin = Sin( + m  ) = Sin 4 4 Cos9x = cos Tõ m  m m m9  2m ) = cos = cos( 4 4k , m   0 m   0  m   k  m k  m   4k + 4k + 4k ta cã m = + 4k hoÆc m = + 4k  3 + k 4  m  m  m  k Víi x   ta cã Sin5x = Sin(  ) 0  20 10 4  + 2m  4k đúng với m, k  Z VËy nghiÖm pt lµ: x = Cos9x = Cos( 9 m9  ) 20 10 + k ; x =  0 9 m9  20 10    k  18m Lop11.com  + 20k đúng với m, k  Z N¨m häc 2009 - 2010 Gi¸o viªn Lª SÜ Minh  k  3  VËy c¸c nghiÖm cña pt lµ: x = + k  ; x = + k ; x  20 10 4 VD3.Gi¶i pt: (1  sin x) cos x  (1  sin x)(1  sin x) Gi¶i  Sinx   §iÒu kiÖn:  sin x  Khi đó: (kZ) (1  sin x) cos x   cosx - 2sinxcosx = (1 + sinx - 2sin2x) (1  sin x)(1  sin x)  Cosx - sin2x =     x    k 2  7   k 2  x      x   k 2  (sinx + cos2x)  Cosx - sinx = sin2x + cos2x 3 1   Cosx sinx = sin2x + cos2x  Cos(x + ) = Cos(2x - ) 2 2    x   m 2 ( m  Z)    x     m 2 18   m2  Ta thÊy nghiÖm x = + m2  bÞ lo¹i, ta xÐt x    18  m2    -  + k2   + 6m  18k đúng  m, k  Z 18  m2    7 + k2   6m  11 + 18k đúng  m, k  Z 18  m2     + k2   6m  + 18k đúng  m, k  Z 18  m2 VËy nghiÖm cña pt lµ: x    ( m  Z) 18     x   x   m2    x    2 x    m2  Bµi tËp.Gi¶i c¸c pt sau: 1) Cot3xcotx = 2) Cos3xtan5x = sin7x §s: x = k ; x =  m  20 10 Cot x  tan x  16(1  cos x) 3) cos x 4) tan5xtan2x = 5) tanx - 3cotx = 4(sinx + cosx) Lop11.com N¨m häc 2009 - 2010 Gi¸o viªn Lª SÜ Minh Lop11.com