skkn RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN Đặc thù của PTLG thường là có vô số nghiệm và công thức nghiệm cho mộtPTLG có thể có những hình t

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

Đặc thù của PTLG thường là có vô số nghiệm và công thức nghiệm cho mộtPTLG có thể có những hình thức biểu diễn khác nhau Dung lượng kiến thức ởphần này tương đối lớn, số lượng tiết học trên lớp chỉ đảm bảo cho các em nắmvững kiến thức cơ bản Để giải quyết tốt các đề bài PTLG có điều kiện ở mức độthi đại học và cao đẳng, học sinh cần tìm tòi thêm và phải liên hệ tốt với kiếnthức về công thức lượng giác

Nhằm giúp đỡ học sinh có kỹ năng tốt trong việc kết hợp nghiệm với điềukiện của PTLG có điều kiện qua đó có được những phương án giải quyết tối ưu

và trọn vẹn cho mỗi bài toán PTLG có điều kiện, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề:

“RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN”

2 Mục đích nghiên cứu

Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng tiếp cận vấn đề từ nhiềugóc độ khác nhau từ đó chọn được một phương pháp kết hợp nghiệm với điềukiện phù hợp nhất đối với mỗi bài toán PTLG cụ thể Qua đó có thể rút ngắnđáng kể thời gian để có được lời giải trọn vẹn, ngắn gọn, mạch lạc

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học

+ Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của họcsinh trong quá trình giải quyết bài toán phương trình lượng giác có điều kiện Từ

đó đề xuất các phương án giải quyết, tổng kết thành bài học kinh nghiệm

4 Phạm vi nghiên cứu

tổng hợp và đúc kết những kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy vấn đề này mà chủyếu là đối với học sinh đang học lớp 11.

5 Điểm mới của chuyên đề

Chuyên đề tập trung rèn luyện cho học sinh kỹ năng kết hợp nghiệm vàđiều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện Đặc biệt là cố gắng giúp họcsinh nhận định được nên áp dụng phương pháp nào cho mỗi bài toán cụ thể.Chuyên đề cũng chú ý rèn luyện cho học sinh biết kết hợp các phương pháp kếthợp nghiệm và điều kiện trong một bài toán phương trình lượng giác

Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau:

Công thức nhân đôiCông thức hạ bậcCác hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác

Khi đó 1 sin os2 sin 4 1 cos

.2 6

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B)

Giải phương trình cot sin 1 tan tan 4

.2 6

Ví dụ 4: (Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán_Tập 2 _Trần Phương)

x c x

x x



Lời giải: Điều kiện sin 2x 0

Khi đó phương trình đã cho trở thành

2.2 Một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Giải phương trình cos3 tan 5x x sin 7x

Lời giải: Điều kiện cos5x 0

Khi đó phương trình đã cho trở thành

k x

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A)

Giải phương trình 1 sin2x+ cos 22 2 sinx sin 2

Lời giải: Điều kiện sinx  0 cosx 1

Khi đó phương trình đã cho trở thành

Giả sử sinx  0 cosx 1, khi đó  *  0 1   2 (vô lí)

Do đó phương trình tương đương với

2

2 4

 1  cosx 1 thoả mãn điều kiện, do đó ta được x k 2 ,  k Z

Tiếp theo giả sử c xos   0 sinx 1, thay vào (2) ta được   3 1 0  (vô lí)Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm

Giả sử c xos   0 sinx 1, thay vào (*) ta được    1 2 1   0(vô lí)

Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện

x  k x k  x  k  k Z

Ví dụ 5: Giải phương trình tan 5 tan 2x x 1

Lời giải: Điều kiện  

Từ đó suy ra điều kiên (2) luôn được thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  

3 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG)

3.1 Kiến thức cơ sở

+ Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên

ĐTLG

2

x   k  được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG;

x   k được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua O;

2 3

k

x    được biểu diễn trên ĐTLG bởi 3 điểm cách đều nhau, tạo thành

3 đỉnh một tam giác đều nội tiếp ĐTLG;

2

k x

n





  được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành

n đỉnh một đa giác đều nội tiếp ĐTLG.

+ Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm không thoả mãn điều kiện (đánh

dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”) Những điểm đánh dấu

“o” mà không trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoả mãnđiều kiện

3.2 Một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D)

Giải phương trình sin2x +2cos sinx 1 0



O

y

x

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A)

Giải phương trình 2 cos 6 sin 6  sin cos

2 4

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng

giác ta được nghiệm của phương trình là

5

2 4



54



2

2 3

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác

Ta được nghiệm của phương trình là

2

x k .

Các bài tập tương tự



43





II Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế

Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một vài vấn

đề cần chú ý như sau

1/ Nếu một bài toán PTLG có thể kết hợp nghiệm với điều kiện theo cả

ba phương pháp trên thì nên áp dụng theo phương pháp nào?

Với vấn đề này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy phương pháp 1 là ít thaotác hơn cả Vi vi vậy nếu làm được theo phương pháp 1: “Biểu diễn nghiệm (củaphương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm

số lượng giác”là ngắn gọn hơn cả

2/ Khi làm bài thi nếu áp dụng phương pháp 3: “Biểu diễn trên ĐTLG”,

do yêu cầu thẩm mỹ và tính chính xác nên sẽ mất rất nhiều thời gian trình bày Vậy có được phép bỏ qua phần vẽ hình ở khâu kết hợp điều kiện không?

Với vấn đề này, có thể cho phép học sinh không trình bày hình vẽ vàotrong bài làm nhưng yêu cầu học sinh phải phác hoạ ra nháp và thực hiện đúngcác thao tác như đã nói trong phương pháp để có kết luận chính xác Đồng thờikhi trình bày vào bài làm phải nói rõ là kết hợp trên ĐTLG ta được nghiệm củaphương trình là…

3/ Có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán PTLG có điều kiện không? Làm sao biết mỗi bài toán nên kết hợp nghiệm theo phương pháp nào?

Câu trả lời là không có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bàitoán

Với những bài toán không áp dụng được theo phương pháp 1 thì ta tìmcách áp dụng phương pháp 2 và 3 Phương pháp 3 có thể coi là phổ biến hơnphương pháp 2 nhưng trong một số bài toán mà việc biểu diễn nghiệm và điềukiện cần quá nhiều điểm hoặc các điểm biểu diễn trên ĐTLG quá gần nhau…thìphương pháp 3 gặp khó khăn và gần như không thể thực hiện được trong giới hạn

về thời gian cũng như năng lực của học sinh Khi đó phương pháp 2 lại phù hợphơn ( ví dụ 1, ví dụ 5 của phương pháp 2 minh hoạ cho điều này)

III Hướng phát triển chuyên đề:

Do thời gian có hạn nên chuyên đề chỉ đề cập những phương pháp cơ bản về kếthợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện Chuyên đề

có thể nghiên cứu để mở rộng với các bài toán giải hệ phương trình lượng giáchoặc hệ lượng giác hỗn hợp, cũng như các phương trình kết hợp giữa hàm sốlượng giác và các hàm số mũ, lôga rít và hàm số dưới dấu căn…

C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY

Trong quá trình giảng dạy tôi đã đem các vấn đề trên áp dụng vào hai buổidạy tăng cường (sau khi đã dạy cho học sinh phương pháp giải phương trìnhlượng giác) Kết quả cụ thể như sau:

Nội dung kiểm nghiệm Lớp 11A4 (chưa được học tăng cường)

Lớp 11A3 (đã được học tăng cường)

(Thời gian làm bài: 15 phút)

05/44 học sinh giải quyếttrọn vẹn bài toán

35/42 học sinh giảiquyết trọn vẹn bàitoán

34/44 học sinh chỉ biếnđổi đến phương trình

2 os 4c x c os 4x 1 0  màkhông tìm được điềukiện hoặc mất quá nhiềuthì gian vào việc tìm rađiều kiện cụ thể chophương trình

06/44 học sinh kết hợpngiệm theo phương phápbiểu diễn trên ĐTLGnhưng không đủ nghiệmhoặc thừa nghiệm

02/42 học sinh khôngthể giải quyết trọnvẹn bài toán do mảitìm ra điều kiện cụthể

05/42 học sinh khôngthể giải quyết trọnvẹn bài toán do kếthợp nghiệm theophương pháp biểudiễn trên đường trònđơn vị và dẫn đếnthừa hoặc thiếunghiệm

Không có học sinh nàogiải quyết trọn vẹn bàitoán theo phương phápbiểu diễn nghiệm và điềukiện thông qua cùng mộthàm số lượng giác

31/42 học sinh giảiquyết trọn vẹn bàitoán nhờ phươngpháp biểu diễnnghiệm và điều kiệnthông qua cùng mộthàm số lượng giác

hợp nghiệm và điều kiệntrên ĐTLG

quyết trọn vẹn các bàitoán theo phươngpháp kết hợp nghiệm

và điều kiện trênĐTLG

D KẾT LUẬN:

Chuyên đề được hoàn thành với sự tổng hợp, tham khảo tài liệu và đúc rút,tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy, về cơ bản chuyên đề đã đạt được cácmục tiêu đề ra Nhưng để chuyên đề có tính ứng dụng cao và sát thực tiễn hơnkính mong các thầy cô, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán – tin, trường THPT

Mê Linh, tiếp tục đọc kỹ bản thảo, thảo luận để đóng góp, bổ sung cho chuyên

đề Hi vọng chuyên đề này có thể được coi là một tài liệu để các đồng nghiệptham khảo nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy linh hoạt trong giải toán nóichung và giải phương trình lượng giác nói riêng

Xin chân thành cảm ơn!

Mê Linh, ngày 15 tháng 11 năm 2011

Người thực hiện

Nguyễn Hồng Sáng

E TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa môn Toán lớp 10, 11, 12 cơ bản_NXB Giáo dục

2 Sách giáo khoa Bài tập môn Toán lớp 10, 11, 12 cơ bản_NXB Giáo dục

3 Sách giáo khoa môn Toán lớp 10, 11, 12 nâng cao_NXB Giáo dục

4 Sách giáo khoa Bài tập môn Toán lớp 10, 11, 12 nâng cao_NXB Giáo dục

5 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ_NXB Giáo dục

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 1

B NỘI DUNG 3

I) MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM PHỔ BIẾN: 3

1 Biểu diễn nghiệm và điều kiện qua cùng một hàm số lượng giác: 3

2 Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập: 7

3 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác: ……….10

II) MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ VÀO THỰC TẾ…… 16

III) HƯỚNG PHÁT TRIỂN CHUYÊN ĐỀ: 16

C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY………18

D KẾT LUẬN: 17

E TÀI LIỆU THAM KHẢO 20