CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ DIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phương trình lượng giácRÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN I.. Biểu diễn nghiệm của phương trình hệ quả và điều kiện của phương trìn

KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos2a – sin2a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos2a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin2a

sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa

4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

cosa + cosb = 2.cos cos cosa - cosb = -2.sin sin sina + sinb = 2.sin cos sina - sinb = 2.cos sin

sin( )tan tan

5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)]

sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)]

sin osb= sin( 1  ) sin( ) 

Phương trình lượng giác

II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

a b

  sin(x) c

*Chú ý

+Phương trình có nghiệm khi c2  a2  b2

+Nếu a b  0, c  0 thì: sin a x b cos x 0 tan x b

 sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 tansinx x 02 x arctan 2x k k

2 ,1

6sin

26

Phương trình lượng giác

 2sin cos x x  2cos2 x   0 2cos (sin x x  cos ) 0 x 

2 , 1

6 sin

2 6

Bài 3.Giải các phương trình:

a 3sin x  sin 2 x  0 b 2 sinx  2cos x  2

c sin x  sin3 x  sin5 x  0

k 2cos x  3sin x  2

Bài 4.Giải các phương trình:

a tan x  cot x  2 b (3 cot )  x 2  5(3 cot )  x

c.3(sin 3 x  cos ) 4(cos3 x  x  sin ) x d 4sin2 x  3 3sin 2 x  2cos2 x  4

Bài 5 Giải các phương trình sau :

a) 2 cot(5 ) 0

8

x   b) 2

2cos x 3 cosx0c) 3 sin 3x cos3x2 d) sin2 xsin 2x2cos2x2

 sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0  sin 0

tan 2

x x

5 3

k

x   

Phương trình lượng giác

b) 2sin2x sinx1 0 

sin 1

1sin

2

x x



 

2226726

Câu 3(3đ) : Giải các phương trình sau:

a 2sinx1 0 b 2cosx 3 0 c cos 2x3sinx 2 0 d. 3 sinx cosx 2

2226526

21211

212

Câu 4(3đ) : Giải các phương trình sau:

a 2sinx 3 0 b 2cosx1 0 c cos 2x3sinx 2 0 d. 3 sinxcosx 2

2226526

Câu 5(3đ) : Giải các phương trình sau:

a 2sinx1 0 b 2cosx 2 0 c 2 cos2x -3cosx +1 =0 d. 3 sinx cosx 2

21211

212

Câu 6(3đ) : Giải Phương trình

a 3 sinx cosx 2 b cos 2x3sinx 2 0

212

Phương trình lượng giác

a 2sin2 x3sinx1 0

sin 1

1sin

b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0

a/ 2cos x 1 0 cos x 1 cos 2

b x=k3600

b sinx + sin2x = cosx + cos3x

c.4sin2x -5sinx cosx -6 cos2x= 0

2

Câu 11(2đ) : Giải Phương trình

a 3 sinx cosx 2 b cos 2x3sinx 2 0

1a) 3sin 1cos 2

212

3

) = - 2

3cot

cot2

Phương trình lượng giác

Phương trình asinx + bcosx = c

Bài 2 3(sin 5 x  cos ) 4(sin x  x  cos5 ) x  3sin 5 x  4cos5 x  4sin x  3cos x

3 sin5 4 cos5 4 sin 3 cos

Bài 3 3sin3 x  3 cos9 x   1 4sin 33 x  (3sin 3 x  4sin 3 )3 x  3 cos9 x  1

 sin 9 x  3 cos9 x  1 sin(9 ) sin

(*)  8sin x cos x  3 sin x  cos x  4(1 cos 2 )cos  x x  3sin x  cos x

4cos2 cos x x 3 sin x 3cos x

      2(cos3 x  cos ) x  3 sin x  3cos x

Phương trình lượng giác

8cos x 8cos x 3 sin x 3cos x

2 2sin 2cos 3,( )

2 6

6 2sin 1

5

2 6

t t

2cos (cos x x 1) (1 sin ) 0 x

      2(1 sin )(cos  2x x  1) (1 sin ) 0   x 

2(1 sin )(1 sin )(cos x x x 1) (1 sin ) 0 x

1 2sin cos x x 2(sin x cos ) 0 x

      (sin x  cos ) x 2  2(sin x  cos ) 0 x 

Phương trình lượng giác

Bài 12 1 cot 2 1 cos22

sin 2

x x

1 cos 2

x x

x

 sin 2 (1 cos2 ) cos2 (1 cos2 ) sin 2 x x x x x

sin 2 cos2 x x cos 2 (1 cos 2 ) 0 x x

     cos 2 (sin 2 x x  cos 2 x  1) 0 

cos2 0 sin 2 cos2 1

(sin x 3 cos )(sin x x 3 cos x 4sin cos ) 0 x x

sin x 3 cos x 4sin cos x x 0

sin cos x x cos x cos x 0

      cos ( sin cos x  x x  cos2x  1) 0 

2 2

Phương trình lượng giác

Bài 19.Cho phương trình: 2sin2 x  sin cos x x  cos2x m  (*)

a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.

b.Giải phương trình khi m = -1.

Bài 21.Giải các phương trình:

a 2 2(sin x  cos )cos x x   3 cos2 x b (2cos x  1)(sin x  cos ) 1 x 

c 2cos 2 x  6(cos x  sin ) x d 3sin x   3 3 cos x

e 2cos3 x  3sin x  cos x  0 f cos x  3 sin x  sin 2 x  cos x  sin x

  h sin x  cos x  cos2 x

i 4sin3x  1 3sin  x  3 cos3 x j 3cos 4sin 6 6

k cos7 cos5 x x  3 sin 2 x   1 sin 7 sin 5 x x l 4(cos4 x  sin )4 x  3sin 4 x  2

m cos2x  3 sin 2 x   1 sin2x n 4sin 2 x  3cos2 x  3(4sin x  1)

Bài 23 Cho phương trình: sin x m  cos x  2 (*)

a.Giải phương trình khi m  3

Phương trình lượng giác

Bài 1 5(sin cos3 sin 3 ) 3 cos2

Bài 2 cos 3 cos 22 x x  cos2x  0 1 1

(1 cos6 )cos2 (1 cos2 ) 0

Bài 4 5sin x  2 3(1 sin ) tan   x 2x (1)

Điều kiện: cos 0

2

x   x    k 

2 2

sin (1) 5sin 2 3(1 sin )

sin 5sin 2 3(1 sin )

1 sin

x x

2 6

x x x

Phương trình lượng giác

Bài 6 cos (2sin 3 2) 2cos2 1 1

2cos (2cos x x 3 2 sin x 4) 0

     2cos (2sin x 2x  3 2 sin x  2) 0 

2 sin

2

x x

2 4

2cos2 cos 4sin 2 2 2 sin 0

2

x

2 6 5

2 6

Bài 10 3cot2x  2 2 sin2x  (2 3 2)cos  x (1)

Điều kiện: sin x   0 x k  

x

    3cos x  2(1 cos )  2x  2cos2x  3cos x  2 0 

1 cos

2

x x

Bài 12 cos x  cos3 x  2cos5 x  0  (cos5 x  cos ) (cos5 x  x  cos3 ) 0 x 

Phương trình lượng giác

8

1 17 cos

8

x x x

sin 0 cos 1

Bài 15 sin 2 (cot x x  tan 2 ) 4cos x  2 x (1)

Điều kiện: sin 0

cos 2 0

x k x

x

x x

   cos 2 x (1 2cos2 ) 0  x 

cos2 1 / 2

x x

Phương trình lượng giác

3 (1 tan )

x

x x

(tan x 1)(tan x 2tan x 5tan ) 0 x

      tan (tan x x  1)(tan 2 x  2 tan x  5) 0 

tan 1

x x

x

x x

Bài 19 48 1 4 2 2 (1 cot 2 cot ) 0

Phương trình lượng giác

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

I CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN:

1 Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác:

1.1 Kiến thức cơ sở:

Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau:

Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác

Điều kiện:costan xx01 sint anxx11

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B)

Giải phương trình cot sin 1 tan tan 4

2

x

x c

Phương trình lượng giác

.26

Lời giải: Điều kiện sin 2x 0

Khi đó phương trình đã cho trở thành

2

2

os 2 0 sin 2 1sin 2 os 2 1 0 os 2 os 2 0

Phương trình lượng giác

Ví dụ 1: Giải phương trình cos3 tan 5x xsin 7x

Khi đó phương trình đã cho trở thành

22sin 5 os3 2sin 7 os5 sin 8 sin12

20 10

k x

k x

Khi đó phương trình đã cho trở thành

Giả sử sinx 0 cosx1, khi đó  *  0 1  2 (vô lí)

Do đó phương trình tương đương với

cos 0

2

24

Phương trình lượng giác

Vậy phương trình có nghiệm là 2  

24

cos 3sinx 2cos 1 3sinx 2cos 1 0

 1  cosx1 thoả mãn điều kiện, do đó ta đượcx k 2 , k Z

Tiếp theo giả sử c xos  0 sinx1, thay vào (2) ta được   3 1 0(vô lí)

Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện.

Ví dụ 4: Giải phương trình

2 2

Giả sử c xos  0 sinx1, thay vào (*) ta được   1 2 1  0(vô lí)

Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện.

Ta thấy vế trái của (3) chẵn, vế phải của (3) lẻ nên không tồn tại k n Z,  thoả mãn (3)

Từ đó suy ra điều kiên (2) luôn được thoả mãn

Phương trình lượng giác

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là  

3 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG)

3.1 Kiến thức cơ sở

+ Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG

2

x  k  được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG;

x  k được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua O;

23

n





  được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh một đa giác

đều nội tiếp ĐTLG

+ Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm không thoả mãn điều kiện (đánh dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”) Những điểm đánh dấu “o” mà không trùng với những điểm đánh dấu

“x” chính là những điểm thoả mãn điều kiện

3.2 Một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D)

Giải phương trình

sin2x +2costanx + 3x  sinx 1 0

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A)

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác (như

hình bên) ta được nghiệm của phương trình là

x

Phương trình lượng giác

Giải phương trình 2 cos 6 sin6  sin cos

24

Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác

Ta được nghiệm của phương trình là



5 4



Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác ta

được nghiệm của phương trình là

5

24



4 3





Các bài tập tương tự

1/ sinx sin 2 sin 3 3

cos os2 os3

Phương trình lượng giác

II Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế.

Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một vài vấn đề cần chú ý như sau

1/ Nếu một bài toán PTLG có thể kết hợp nghiệm với điều kiện theo cả ba phương pháp trên thì nên áp dụng theo phương pháp nào?

Với vấn đề này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy phương pháp 1 là ít thao tác hơn cả Vi vi vậynếu làm được theo phương pháp 1: “Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (củaphương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác”là ngắn gọn hơn cả

2/ Khi làm bài thi nếu áp dụng phương pháp 3: “Biểu diễn trên ĐTLG”, do yêu cầu thẩm mỹ và tính chính xác nên sẽ mất rất nhiều thời gian trình bày Vậy có được phép bỏ qua phần vẽ hình ở khâu kết hợp điều kiện không?

Với vấn đề này, có thể cho phép học sinh không trình bày hình vẽ vào trong bài làm nhưng yêu cầuhọc sinh phải phác hoạ ra nháp và thực hiện đúng các thao tác như đã nói trong phương pháp để có kếtluận chính xác Đồng thời khi trình bày vào bài làm phải nói rõ là kết hợp trên ĐTLG ta được nghiệm củaphương trình là…

3/ Có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán PTLG có điều kiện không? Làm sao biết mỗi bài toán nên kết hợp nghiệm theo phương pháp nào?

Câu trả lời là không có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán

Với những bài toán không áp dụng được theo phương pháp 1 thì ta tìm cách áp dụng phương pháp

2 và 3 Phương pháp 3 có thể coi là phổ biến hơn phương pháp 2 nhưng trong một số bài toán mà việcbiểu diễn nghiệm và điều kiện cần quá nhiều điểm hoặc các điểm biểu diễn trên ĐTLG quá gần nhau…thìphương pháp 3 gặp khó khăn và gần như không thể thực hiện được trong giới hạn về thời gian cũng nhưnăng lực của học sinh Khi đó phương pháp 2 lại phù hợp hơn ( ví dụ 1, ví dụ 5 của phương pháp 2 minhhoạ cho điều này)

III Hướng phát triển chuyên đề:

Do thời gian có hạn nên chuyên đề chỉ đề cập những phương pháp cơ bản về kết hợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện Chuyên đề có thể nghiên cứu để mở rộng với các bài toán giải hệ phương trình lượng giác hoặc hệ lượng giác hỗn hợp, cũng như các phương trình kết hợp giữa hàm số lượng giác và các hàm số mũ, lôga rít và hàm số dưới dấu căn…

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 - 2011

Bài 1: [ĐH A02] Tìm x0;2:5 sin x cos3x sin 3x cos 2x 3

Bài 2: [ĐH B02] sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x2  2  2  2

Bài 3: [ĐH D02] Tìm x0;14 : cos 3x 4 cos 2x 3cos x 4 0   

Bài 4: [Dự bị 1 ĐH02] Xác định m để phương trình sau cĩ ít nhất 1 nghiệm thuộc 0;

2 sin x cos x cos 4x sin 2x m 0  

Bài 5: [Dự bị 2 ĐH02] sin x cos x4 4 1cot 2x 1

a) Giải phương trình với a=1

3 b) Tìm a để phương trình trên cĩ nghiệm.

Bài 9: [Dự bị 6 ĐH02] 12 sin x

8cos x 

Bài 10: [ĐH A03] cos 2x 2 1

cot x 1 sin x sin 2x

cos 2x cos x 2 tan x 1  2

Bài 15: [Dự bị 1 ĐH B03] 3cos 4x 8cos x 2cos x 3 0 6  2  

5sin x 2 3(1 sin x) tan x  

Bài 20: [ĐH D04] 2 cos x 1 2sin x cos x     sin 2x sin x

Bài 21: [Dự bị 1 ĐH A04] sin x sin 2x  3 cos x cox2x  

Bài 22: [Dự bị 2 ĐH A04] 1 sin x  1 cos x 1 

Bài 23: [Dự bị 1 ĐH B04] 4 sin x cos x 3  3  cos x 3sin x

Phương trình lượng giác

Bài 25: [Dự bị 1 ĐH D04] sin 4x sin 7x cos3x cos6x

Bài 26: [Dự bị 2 ĐH D04] sin 2x 2 2 sin x cos x    5 0

Bài 27: [ĐH A05] cos 3x cos 2x cos x2  2 0

Bài 28: [ĐH B05] 1 sin cos x sin 2x cos 2x 0    

Bài 35: [Dự bị 2 ĐH D05] sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 0    

Bài 36: [ĐH A06] 2 cos x sin x 6 6  sin x cos x

Bài 41: [Dự bị 1 ĐH B06] 2sin x 1 tan 2x 3 2 cos x 12   2   2   0

Bài 42: [Dự bị 2 ĐH B06] cos 2x1 2 cos x sin x cos x     0

Bài 43: [Dự bị 1 ĐH D06] cos x sin x 2sin x 13  3  2 

Bài 44: [Dự bị 2 ĐH D06] 4sin x 4sin x 3sin 2x 6cos x 03  2   

Bài 45: [ĐH A07] 1 sin x cos x 2  1 cos x sin x 1 sin 2x 2   

Bài 46: [ĐH B07] 2sin 2x sin 7x 1 sin x2   

Bài 47: [ĐH D07]

2

x xsin cos 3 cos x 2

Bài 50: [Dự bị 1 ĐH B07] sin 5 cos 2 cos3

Bài 55: [ĐH B08] sin x3  3 cos x sin x cos x3  2  3 sin x cos x2

Bài 56: [ĐH D08] 2sin x 1 cos 2x  sin 2x 1 2cos x 

Bài 57: [CĐ 08] sin 3x 3 cos3x2sin 2x

Bài 58: [Dự bị 1 ĐH A08] tanxcotx4cos 22 x

Bài 59: [Dự bị 2 ĐH A08] sin 2 sin 2

Bài 62: [Dự bị 1 ĐH D08] 4 sin 4 xcos4xcos 4xsin 2x0

Bài 63: [Dự bị 2 ĐH D08] tan2 2 tan 2sin

x x

Bài 65: [ĐH B09] sin x cos x sin 2x  3 cos 3x2 cos 4x sin x  3 

Bài 66: [ĐH D09] 3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0  

Bài 67: [CĐ 09] 2

(1 2sin x) cos x 1 sin x cos x   

Bài 68: [ĐH A10] 1 sinx os2 sin 4 1 cos

Bài 69: [ĐH B10] sin2x+cos2 cosx x2cos 2x sinx 0

Bài 70: [ĐH D10] sin 2x c os2x3sinx cosx1 0

 





Bài 72: [DB A11] 9sinx6cosx 3sin 2xcos 2x8

Bài 73: [ĐH B11] sin 2 cosx xsin x cosx c os2xsinx cos x

Bài 74: [ĐH D11] sin 2 2cos sinx 1 0

-Phương trình lượng giác

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009

5 ;

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x

1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12

k x

k k x

D.2002 Tìm x0;14 : cos 3x 4 cos 2x 3cos x 4 0    (1)

Ta có : cos3x4 cos3x 3cosx

(1) cos 3x3cosx 4(1 cos 2 ) 0 x 

Bài toán thành : Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1

nghiệm thuộc đoạn 0;1

13



y   t   t

BBT

Phương trình (2) có ít nhất một nghiện trên đoạn 0;1

1

3 13

10

23

m m

Điều kiện : sin 2x 0

(1) 1 2sin2 cos2 1cos 2 1

14

66

4

2 sin 2x sin 3xtan x 1

cos x



Điều kiện : cosx  0

(1) sin4 xcos4x(2 sin 2 )sin 3 2 x x

2 sin 2 (2 sin 2 )2sin 3

62

k x

x x

x

'

y y



00

13





Phương trình lượng giác

coscos cos

2

x x

6sin 3cos 3 sin 2cos 3

Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm :

 2  2  2 2

2 a  2a1  3a1  4a  6a 4 01

sin 0

x x

3

28

x  m  ; m  

5

28

7

28

10

cos 2x 1cot x 1 sin x sin 2x

cos sin cos (cos sin )

sin (sin cos )

    ( vô nghiệm )

;4

x k k  

11

B2003 cot x tan x 4sin 2x  sin 2x2 (1)

Điều kiện : sin 2x 0

(1) cos sin 4sin 2 2

sin cos sin 2

2cos 2 4sin 2 2 2cos 2 4 1 cos 2 2

1 sin sin 1 cos cos

1 sin 1 cos 1 cos 1 sin

Phương trình lượng giác

13

DB 1

A2003

3 tan x tan x 2sin x   6cos x 0 Điều kiện : cosx 0

sin sin 2sin cos

3cos 1 2 cos sin 1 2cos 0

2

1cos

32

32

1cos2cos 5cos 2 0

2

x x

  2 x

2 3 cos x 2sin

2 4 12cos x 1

1 sin (1 sin )(cos 1) 2(sin cos ) 0

1 sin cos 1 sin cos sin 2sin 2cos 0

1 sin sin 1 sin cos cos 0

1 sin (1 sin ) cos (1 sin ) 0

Điều kiện : sin 2x 0 cos 2x1

(1) cot tan 2 cos 4

x  k k  

Phương trình lượng giác

(2cos 1)(2sin cos ) sin (2cos 1)

1

cos coscos

sin x sin 2x  3 cos x cox2x  

sin sin 2 3 cos 3 cos 2sin 3 cos 3 cos 2 sin 2

x

k x

k k x

(1) 2 (sin xcos ) 2 (1 sin )(1 cos ) 1x   x  x 

2 (sinx cos ) 2 1 (sinx x cos ) sin cosx x x 1

k k