CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ DIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phương trình lượng giác KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos 2 a – sin 2 a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos 2 a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin 2 a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tan(a + b) = tan2a = tan(a - b) = 3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos 2 a = 1 2 2 cos a+ sin 2 a = 4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos .cos cosa - cosb = -2.sin .sin sina + sinb = 2.sin .cos sina - sinb = 2.cos .sin sin( ) tan tan osacosb a b a b c + + = sin( ) tan tan osacosb a b a b c − − = 5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)] [ ] 1 sin osb= sin( ) sin( ) 2 ac a b a b + + − [ ] 1 os sinb= sin( ) sin( ) 2 c a a b a b + − − 6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x ra d -π - - - - - - - 0 π đ ộ -180 o -150 o -135 o -120 o - 90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o sin 0 - - - -1 - - - 0 1 0 cos -1 - - - 0 1 0 - - - -1 NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 1 Phương trình lượng giác tan 0 1 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 cot || 1 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình sinx=a.( -1≤ a ≤ 1) sinx = a ⇔ arcsina+k2 arcsina+k2 x x π π π =   = −  ; k ∈ Z +sinx = sinα ⇔ +k2 +k2 x x α π π α π =   = −  ; k ∈ Z ( a = sinα) sinx = 0 ⇔ x = kπ; k ∈ Z sinx = 1 ⇔ x = + k2π; k ∈ Z sinx = -1 ⇔ x = -+ k2π; k ∈ Z 2.Phương trình cosx=a.( -1≤ a ≤ 1) cosx = a ⇔ arccosa+k2 arccosa+k2 x x π π =   = −  ; k ∈ Z +cosx = cosα ⇔ +k2 +k2 x x α π α π =   = −  ; k ∈ Z ( a = cosα) cosx = 0 ⇔ x = + kπ; k ∈ Z cosx = 1 ⇔ x = k2π; k ∈ Z cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z 3.Phương trình tanx=a. TXĐ: \ , 2 k k π π   + ∈     ¢¡ + t anx=a x=arctana+k ,k π ⇔ ∈¢ + tanx=tan x= +k ,k α α π ⇔ ∈¢ tanx=1 x= , 4 tanx=-1 x=- , 4 t anx=0 x= , k k k k k k π π π π π ⇔ + ∈ ⇔ + ∈ ⇔ ∈ ¢ ¢ ¢ 4.Phương trình cotx=a. TXĐ: { } \ ,k k π ∈¢¡ + t x=a x=arccota+k ,kco π ⇔ ∈¢ + cotx=cot x= +k ,k α α π ⇔ ∈¢ cotx=1 x= , 4 cotx=-1 x=- , 4 t x=0 x= , 2 k k k k co k k π π π π π π ⇔ + ∈ ⇔ + ∈ ⇔ + ∈ ¢ ¢ ¢ III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ( 2 2 0a b+ ≠ ) 2 2 2 2 2 2 sinx+ osx= a b c c a b a b a b ⇔ + + + đặt: 2 2 2 2 os = sin a c a b b a b α α   +    =  +  NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 2 Phương trình lượng giác phương trình trở thành: 2 2 sinx os osx sin c c c a b α α + = + 2 2 sin( ) c x a b α ⇔ + = + *Chú ý +Phương trình có nghiệm khi 2 2 2 c a b≤ + +Nếu . 0, 0a b c≠ = thì: sin cos 0 tan b a x b x x a + = ⇔ = − 2.Phương trình : 2 2 asin sinxcosx+ccos 0x b x+ = (1) +Nếu a = 0: 2 sinxcosx+ccos 0b x = osx(bsinx+ccosx)=0c⇔ osx=0 bsinx+ccosx=0 c  ⇔   +Nếu c = 0: 2 asin sinxcosx=0x b+ sinx(asinx+bcosx)=0⇔ sinx=0 asinx+bcosx=0  ⇔   +Nếu 0, 0,cos 0a c x≠ ≠ ≠ : 2 2 2 2 2 sin sinxcosx cos (1) 0 cos cos cos x x a b c x x x ⇔ + + = 2 tan t anx+c=0a x b⇔ + BÀI TẬP. Bài 1.Giải các phương trình: a) 2 cot(5 ) 0 8 x π − = b) 2 2cos 3 cos 0x x+ = c) 3 sin 3 cos3 2x x− = d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x + + = Giải. a) 2 cot(5 ) 0 8 x π − = ⇔ 5 8 2 x k π π π − = + ⇔ 5 k x π π = + b) 2 2cos 3 cos 0x x+ = cos 0 2 , 3 5 cos 2 2 6 x x k k x x k π π π π  =  = +   ⇔ ⇔ ∈   = −  = ± +     ¢ c) 3 sin 3 cos3 2x x− = 3 1 sin 3 cos3 1 2 2 x x⇔ − = ⇔ sin (3 ) 6 x π − = 1 ⇔ 3 2 6 2 x k π π π − = + ⇔ 2 2 9 3 k x π π = + d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x + + = ⇔ sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 sin 0 tan 2 arctan 2 x x k x x k π π = =   ⇔ ⇔   = = +   Bài 2.Giải các phương trình: a) 3 3 tan(3 ) 0 5 x π + = ⇔ 3 3 5 x k π π + = ⇔ 5 3 k x π π = − + NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 3 Phương trình lượng giác b) 2 2sin sin 1 0x x − − = 2 2 sin 1 2 , 1 6 sin 2 7 2 6 x k x x k k x x k π π π π π π  = +  =     ⇔ ⇔ = − + ∈   = −    = +   ¢ c) sin 5 cos5 2x x + = − 1 1 sin 5 cos5 1 2 2 x x⇔ + = − ⇔ sin (5 ) 4 x π + = - 1 ⇔ 5 2 4 2 x k π π π + = − + ⇔ 3 2 20 5 k x π π = − + d) 2 2 3sin sin 2 cos 3x x x+ + = 2 2sin cos 2cos 0 2cos (sin cos ) 0x x x x x x⇔ − = ⇔ − = 2 cos 0 2 tan 1 4 x k x x x k π π π π   = +   = ⇔ ⇔   =   = +     e. cos2 3sin 2 0x x+ − = 2 2 1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0x x x x⇔ − + − = ⇔ − + = 2 2 sin 1 2 , 1 6 sin 2 5 2 6 x k x x k k x x k π π π π π π  = +  =     ⇔ ⇔ = + ∈   =    = +   ¢ f. 3sin cos 2x x+ = 3 1 2 sin cos 2 2 2 x x⇔ + = 2 sin cos cos sin 6 6 2 x x π π ⇔ + = sin( ) sin 6 4 x π π ⇔ + = ⇔ 2 2 6 4 12 , 3 7 2 2 6 4 12 x k x k k x k x k π π π π π π π π π π   + = + = +   ⇔ ∈     + = + = +     ¢ g. 3sin cos 2x x− = 3 1 2 sin cos 2 2 2 x x⇔ − = 2 sin cos cos sin 6 6 2 x x π π ⇔ − = sin( ) sin 6 4 x π π ⇔ − = NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 4 Phng trỡnh lng giỏc 5 2 2 6 4 12 , 3 11 2 2 6 4 12 x k x k k x k x k = + = + = + = +  h. 2cos2 3cos 1 0x x + = 2 4cos 3cos 1 0x x = cos 1 2 , 1 1 cos arccos( ) 2 4 4 x x k k x x k = = = = +  i. 2 2 2sin 3sin cos 5cos 0x x x x+ = 2 2 n 3 n 5 0ta x ta x + = tan 1 4 , 5 5 tan arctan( ) 2 2 x x k k x x k = = + = = +  Bi 3.Gii cỏc phng trỡnh: a. 3sin sin 2 0x x+ = b. 2 2cos 2sinx x = c. sin sin3 sin5 0x x x+ + = d. sin sin3 sin5 cos cos3 cos5x x x x x x+ + = + + e. 2 2 2sin 5sin cos 4cos 2x x x x = f. 2 2 2cos 2 3sin 2x x+ = g. 2 2 sin 2 cos 3 1x x+ = h. tan .tan5 1x x = i. 5cos2 12sin2 13x x = j. 2sin 5cos 4x x = k. 2cos 3sin 2x x+ = Bi 4.Gii cỏc phng trỡnh: a. tan cot 2x x+ = b. 2 (3 cot ) 5(3 cot )x x+ = + c. 3(sin3 cos ) 4(cos3 sin )x x x x = d. 2 2 4sin 3 3sin 2 2cos 4x x x+ = e. 2 2 2 2 sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x+ + + = f. 4 2 4sin 12cos 7x x+ = Bi 5. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau : a) 2 cot(5 ) 0 8 x = b) 2 2cos 3 cos 0x x+ = c) 3 sin 3 cos3 2x x = d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x + + = Baứi giaỷi : a) 2 cot(5 ) 0 8 x = 5 8 2 x k = + 5 k x = + b) 2 2cos 3 cos 0x x+ = cos 0 3 cos 2 x x = = 2 5 2 6 x k x k = + = + c) 3 sin 3 cos3 2x x = Nguyễn trung tiến tr ờng thpt kiến an 5 Phương trình lượng giác 3 1 sin3 cos3 1 2 2 x x − = ⇔ Sin (3 ) 6 x π − = 1 ⇔ 3 2 6 2 x k π π π − = + ⇔ 2 2 9 3 k x π π = + d) 2 2 sin sin 2 2cos 2x x x + + = ⇔ sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 ⇔ sin 0 tan 2 x x = = ⇔ arctan 2 x k x k π π = = + Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc : a) 3 3 tan(3 ) 0 5 x π + = ⇔ 3 3 5 x k π π + = ⇔ 5 3 k x π π = − + b) 2 2sin sin 1 0x x − − = ⇔ sin 1 1 sin 2 x x = = − ⇔ 2 2 2 6 7 2 6 x k x k x k π π π π π π = + = − + = + c) sin 5 cos5 2x x + = − 1 1 sin 5 cos5 1 2 2 x x+ = − ⇔ Sin (5 ) 4 x π + = - 1 ⇔ 5 2 4 2 x k π π π + = − + ⇔ 3 2 20 5 k x π π = − + d) 2 2 3sin sin 2 cos 3x x x + + = ⇔ cos 0 tan 1 x x = = ⇔ 2 4 x k x k π π π π = + = + Câu 3(3đ) : Giải các phương trình sau: a. 2sin 1 0− =x b. 2cos 3 0− =x c. cos2 3sin 2 0x x+ − = d. 3 sin cos 2− =x x a) sin sin 6 =x π 2 6 5 2 6  = +  ⇔   = +   x k x k π π π π b) cos cos 6 =x π 2 6 ⇔ = ± +x k π π c) 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x sin 1 1 sin 2 =    =  x x 0.25đ*2 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +    = +    = +   x k x l x l d) 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +    = +   x k x k 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ*3 Câu 4(3đ) : Giải các phương trình sau: NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 6 Phương trình lượng giác a. 2sin 3 0− =x b. 2cos 1 0 − = x c. cos2 3sin 2 0x x + − = d. 3 sin cos 2+ =x x a) sin sin 3 =x π 2 3 2 2 3  = +  ⇔   = +   x k x k π π π π b) cos cos 3 =x π 2 3 ⇔ = ± +x k π π c) 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x sin 1 1 sin 2 =    =  x x 0.25đ*2 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ 2 2 2 6 5 2 6  = +    = +    = +   x k x k x k π π π π π π d) 3 1 2 sin cos 2 2 2 + =x x 2 12 7 2 12  = +    = +   x k x k π π π π 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ*3 Câu 5(3đ) : Giải các phương trình sau: a. 2sin 1 0 − = x b. 2cos 2 0− =x c. 2 cos2x -3cosx +1 =0 d. 3 sin cos 2− =x x a) sin sin 6 =x π 2 6 5 2 6  = +  ⇔   = +   x k x k π π π π b) cos cos 4 =x π 2 4 ⇔ = ± +x k π π c) 2 4cos 3cos 1 0− − =x x cos 1 1 cos 4 =    = −  x x 0.25đ*2 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ 2 1 arccos 2 4 =      = ± − +  ÷     x k x k π π d) 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +    = +   x k x k 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ*3 Câu 6(3đ) : Giải Phương trình a. 3 sin cos 2x x− = b. cos2 3sin 2 0x x + − = c. cos 2 x + sinx +1=0 a/ 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x sin sin 6 4 π π   − =  ÷   x ⇔ 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +    = +   x k x k NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 7 Phương trình lượng giác b 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x sin 1 1 sin 2 =    =  x x ⇔ 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +    = +    = +   x k x l x l c. 4 6 x k x k π π π π  = +    = +   Câu 7 a. cos2 3sin 2 0x x+ − = b.sin 2 x +3sinx cosx -5 cos 2 x= 0 c.2 cos 2 x -3cosx +1 =0 Đáp án a 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x sin 1 1 sin 2 =    =  x x ⇔ 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +    = +    = +   x k x l x l b sin cos , 2 2t x x t= − − ≤ ≤ 2 1 sin .cos 2 t x x − = PT ⇔ 2 12 11 0t t− + − = ( ) 1 11 t t loaïi =   =  2 2 2 x k x k π π π π  = +   = +  c. π π π =    = ± +  2 2 3 x k x k câu 8. a. Giải các Phương trình sau: 2cos x 1 0 3 π   + + =  ÷   b.sin 2 x +3sinx cosx -5 cos 2 x= 0 a/ 1 2 2cos x 1 0 cos x cos 3 3 2 3 π π π     + + = ⇔ + = − =  ÷  ÷     x k2 3 x k2 π  = + π  ⇔   = −π + π  b/ sin cos , 2 2t x x t= − − ≤ ≤ (0,25) NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 8 Phương trình lượng giác 2 1 sin .cos 2 t x x − = (0,25) PT ⇔ 2 12 11 0t t− + − = (0,25) ( ) 1 11 t t loaïi =   =  (0,25) 2 2 2 x k x k π π π π  = +   = +  (0 Câu9: Giải các Phương trình sau a. 2 2sin x 3sin x 1 0− + = b. 3sin x sin 2x 0 + = c. 2sin x 2cos x 2− = Đs a. π π π π  = +    = +   2 2 2 6 x k x k b. x=k360 0 c. π π π π  = +    = +   5 24 13 24 x k x k Câu 10.(2đ) : Giải Phương trình a. tan(x +20 0 ) = 2 1 b. sinx + sin2x = cosx + cos3x c.4sin 2 x -5sinx cosx -6 cos 2 x= 0 DS a. x=10 0 +k180 0 b. π π π π = +    = +  2 2 6 3 x k x k c. π π = +    = − +  arctan2 1 arctan( ) 2 x k x k Câu 11(2đ) : Giải Phương trình a. 3 sin cos 2x x− = b. cos2 3sin 2 0x x+ − = 1a) 3 1 2 sin cos 2 2 2 − =x x sin sin 6 4 π π   − =  ÷   x ⇔ 5 2 12 11 2 12 π π π π  = +    = +   x k x k 1b) 2 2sin 3sin 1 0− + − =x x NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 9 Phương trình lượng giác sin 1 1 sin 2 =    =  x x (0,25) ⇔ 2 2 2 6 5 2 6 π π π π π π  = +    = +    = +   x k x l x l (0,25*2) Câu 12(2đ) a. 2 4 tan 7 tan 3 0x x− + = b.sin(2x + 3 π ) = - 2 2 Đáp án : a. sin(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5) 6 6 18 3 k x x k x π π π π π − ≠ ⇔ − ≠ ≠ + b. 7 2 2 3 4 24 (0.25*4) 5 11 2 2 3 4 24 x k x k x k x k π π π π π π π π π π   + = − + = − +   ⇔     + = + = +     Câu 13(2đ) a. 2 2cot 5 t 3 0x co x− + = b.cos(2x + 3 π ) = - 2 2 c. 2 2 2 cos 2 3sin 2x + = Đáp án : a. 2 cos(3 ) 0(0.25) 3 (0.25), (0.5) 6 6 2 18 3 k x x k x π π π π π π − ≠ ⇔ − ≠ + ≠ + cos 1 4 3 3 cot cot 2 2 x x k x x arc k π π π  = = +       =   = +    b. 7 2 2 3 4 24 (0.25*4) 2 2 3 4 24 x k x k x k x k π π π π π π π π π π   + = − + = − +   ⇔     + = + = − +     c. 2 cos2 1 4cos 2 3cos2 1 0 1 cos2 4 2 2 1 1 1 2 arccos( ) 2 arccos( ) 4 2 4 x x x x x k x k k Z x k x k π π π π =   − − = ⇔  = −   = =     ⇔ ⇔ ∈   = ± − + = ± − +     5 5sin sin 0x x− = h. cos7 sin5 3(cos5 sin 7 )x x x x− = − NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 10 [...]... RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN I CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN: 1 Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác: 1.1 Kiến thức cơ sở: Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau: Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng. .. phương trình khi m = 1 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 23 Cho phương trình: sin x + m cos x = 2 (*) a.Giải phương trình khi m = 3 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 22 Cho phương trình: NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 17 (*) tr êng Phương trình lượng giác 2sin x + cos x + 1 = m (*) Bài 24 Cho phương trình: sin x − 2cos x + 3 1 a.Giải phương trình khi m = 3 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm. .. kiÕn an 31 tr êng Phương trình lượng giác 2 Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập 2.1 Kiến thức cơ sở + Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác sin ( α + k 2π ) = sin α tan ( α + kπ ) = tan α ∀α ; co s ( α + k 2π ) = cosα cot ( α + kπ ) = cot α ∀α ; ∀α ; ∀α + Các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 2.2 Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Giải phương trình cos3x.tan... x) 6 tan α (*) Bài 20 Cho phương trình: 2 = sin x 1 + tan 2 α π a.Giải phương trình khi α = − 4 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Giải NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 16 tr êng Phương trình lượng giác 3π π − x) = − sin( − x) = − cos x 2 2 6 tan α = 6 tan α cos 2 α = 3sin 2α ,cos α ≠ 0 2 1 + tan α 5 − 4cos x (*) ⇔ = 3sin 2α ⇔ 3sin 2α sin x + 4cos x = 5 (**) sin x π a khi α = − phương trình trở thành:... Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x= π π +k 14 7 ( k ∈Z) Các bài tập tương tự 1/ 2 ( s inx − cos x ) 1 ; = tan x + cot 2 x cot x − 1 2/ 2sin x + c otx = 2sin 2 x + 1 ; 3/ s inx.cot5x = 1; cos9x 4/ tan 4 ( 2 − sin x +1 = 2 ) 2 x sin 3 x 4 cos x ; 1 2 5/ ( 4 cos 2 x − 3) sin 3x = NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 35 tr êng Phương trình lượng giác 3 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG) 3.1 Kiến thức. .. kiện, do đó ta được x = k 2π , ( 1) ( 2) k ∈Z Tiếp theo giả sử cosx = 0 ⇔ sin x = ± 1 , thay vào (2) ta được ±3 − 1 = 0 (vô lí) Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện Giải (2) ta được x = α ± arccos (với cosα = 1 + k 2π 13 k ∈Z , 2 3 ; sin α = ) 13 13  x = k 2π Vậy phương trình có nghiệm  x = α ± arccos 1 + k 2π   13  NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 33 k ∈Z tr êng Phương trình lượng giác. .. (vô lí) π  cos x = 0  x = 2 + kπ  Do đó phương trình tương đương với   π ⇔ cos  x − ÷ = 1  π x = + k 2π   4   4  NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 32 tr êng Phương trình lượng giác π   x = 2 + kπ Vậy phương trình có nghiệm là   x = π + k 2π  4  ( k ∈Z) Ví dụ 3: Giải phương trình 3s inx + 2 cos x = 3 ( 1 + t anx ) − 1 cos x Lời giải: Điều kiện cosx ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ± 1 Khi đó 1 ⇔ cos... 6 2 2 2  x= +k  8 2  2 2 Bài 19.Cho phương trình: 2sin x − sin x cos x − cos x = m (*) a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm b.Giải phương trình khi m = -1 Giải 1 1 (*) ⇔ (1 − cos 2 x) − sin 2 x − (1 + cos 2 x) = m ⇔ sin 2 x + 3cos 2 x = −2m + 1 2 2 2 2 a (*)có nghiệm khi: c ≤ a + b 2 ⇔ (1 − 2m) 2 ≤ 1 + 9 ⇔ 4m 2 − 4m − 9 ≤ 0 1 − 10 1 + 10 ⇔ ≤m≤ 2 2 b.Khi m = -1 phương trình trở thành: 1 3 3 sin...   x = 6 + k 2π 1 Đối chiếu với điều kiện ta được sin x = ⇔  2  x = 5π + k 2π  6  π   x = 6 + k 2π Vậy phương trình có nghiệm là   x = 5π + k 2π  6  NguyÔn trung tiÕn thpt kiÕn an 29 ( k ∈Z) ( k ∈Z) tr êng Phương trình lượng giác Ví dụ 4: Giải phương trình sin 4 2 x + cos 4 2 x = cos 4 4 x π π     tan  − x ÷tan  + x ÷ 4  4  Lời giải: Điều kiện  π  sin  4 − x ÷ ≠ 0    ... 23 tr êng Phương trình lượng giác cos 2 x ⇔ = 2cos 2 x ⇔ cos 2 x (1 − 2cos 2 x) = 0 cos 2 x π  x = + kπ   cos x = 0 2 ⇔ ⇔ cos 2 x = 1 / 2  x = ± π + kπ  6  π π Vậy ,phương trình có nghiệm: x = + kπ , x = ± + kπ 6 2 2 6 x + 1 = 3cos 8 x Bài 16 2cos 5 5 12 x 4x 4x 4x 4x ⇔ (1 + cos ) + 1 = 2(2cos 2 − 1) ⇔ 2 + 4cos3 − 3cos = 2(2cos 2 − 1) 5 5 5 5 5 4x Đặt: t = cos , −1 ≤ t ≤ 1 phương trình trở . Phương trình lượng giác KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb. cos 2x m x+ = (*) a.Giải phương trình khi 3m = b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm NguyÔn trung tiÕn tr êng thpt kiÕn an 17 Phương trình lượng giác Bài 24. Cho phương trình: 2sin cos 1 sin. x x − − = − + Bài 22. Cho phương trình: sin 2 cos 2 2cos 2sin m x m x m x m x − − = − − (*) a.Giải phương trình khi m = 1 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 23. Cho phương trình: sin cos