MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác Cách giải.. + Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượ
Trang 1I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.Công thức cộng
1) cos(a b+ =) cos cosa b−sin sina b
2) cos(a b− =) cos cosa b+sin sina b
3)sin(a b+ =) sin cosa b+cos sina b
4)sin(a b− =) sin cosa b−cos sina b
5)tan( ) tan tan
1 tan tan
a b
+ + =
− 6) tan( ) tan tan
1 tan tan
a b
a b
−
− =
+
2 Công thức nhân
2.1 Công thức nhân đôi
1)cos 2a=cos2a−sin2a
2)sin 2a=2sin cosa a
3)tan 2 2 tan2
1 tan
a a
a
=
−
2.1.1.Công thức hạ bậc:
1) 2 1 cos 2
cos
2
a
a= +
2)sin2 1 cos 2
2
a
a= −
3) 2 1 cos 2
tan
1 cos 2
a a
a
−
=
+
2.1.3 Công thức tính theo tan
2
a t
= 1)
2 2
1
cos
1
t
a
t
−
=
+
2)sin 2 2
1
t
a
t
=
+
3)tan 2 2
1
t
a
t
=
−
2.2 Công thức nhân ba
1) cos3a=4cos3a−3cosa
2) sin 3a=3sina−4sin3a
3)
3 2
3tan tan
tan 3
1 3 tan
a
a
−
=
−
3 Công thức biến đổi tích thành tổng
1) cos cos 1[cos( ) cos( )]
2
a b= a b+ + a b−
2)sin sin 1[cos( ) cos( )]
2
a b= − a b+ − a b−
3) sin cos 1[sin( ) sin( )]
2
a b= a b+ + a b−
4 Công thức biến đổi tổng thành tích
1) cos cos 2cos cos
a b a b
2) cos cos 2sin sin
a b a b
a b a b
Trang 24)sin sin 2cos sin
a b a b
Một số công thức cơ bản
1) cos sin 2 cos( )
4
a+ a= a−π
2) cos sin 2 sin( )
4
a+ a= a+π
3) cos sin 2 cos( )
4
a− a= a+π
4) cos sin 2 sin( )
4
a− a= − a−π
5)cos4a+sin4a= −1 2sin2acos2a
6) cos6a+sin6a= −1 3sin2acos2a
II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
2
x a k
π
= +
= ⇔ = − + ∈¢
a là góc tính bằng radian, chẳng hạn ,
a=π a=π
; 1 sin− ≤ a≤1
2
x a k
x a k
π π
= +
= ⇔ = − + ∈¢
3 Phương trình tanx=tana
2
x≠ +π kπ k∈¢
tanx=tana⇔ = +x a kπ, (k∈¢)
4 Phương trình cotx=cota
Điều kiện x≠ +π kπ, (k∈¢)
cotx=cota⇔ = +x a kπ,(k∈¢)
III MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1 Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác
Cách giải
+ Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta biến đổi về dạng phương trình lượng giác cơ bản
+ Đối với phương trình bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác ta đặt ẩn phụ, sau đó giải phương trình theo ẩn phụ
Lưu ý: Nếu đặt t=cosxhayt =sinxthì điều kiện t ≤1
2 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là Phương trình có dạng
a x b+ x c= với , ,a b c∈¡ (1)
Cách giải
Cách 1 Chia hai vế của (1) cho a2+b2 ta được
Đặt cos 2a 2 ,sin 2b 2 .
Khi đó (2) trở thành cos sinx sin cosx 2c 2 sin(x ) 2c 2
(3) có nghiệm 2c 2 1 a2 b2 c2
a b
+
Trang 3Cách 2 Chia hai vế của (1) cho a rồi đặt b tan
a = α
Ta được sinx tan cosx c sin cosx sin cosx ccos
sin(x ) ccos
a
⇔ + = Phương trình này có nghiệm khi ccos 1
a α ≤
3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x
Đó là Phương trình dạng asin2 x b+ sin cosx x c+ cos2 x=0; , ,a b c∈¡ (2)
Cách giải
2
x= ⇔ = +x π kπ k∈
¢ thì thay vào (2) để xét
2
x= +π kπ
có là nghiệm của Phương trình (2) hay không
2
x≠ ⇔ ≠ +x π kπ k∈¢ thì chia cả hai vế của phương trình cho 2
cos x=0
ta được atan2 x b+ tanx c+ =0
Lưu ý Nếu Phương trình có vế phải khác 0 như asin2x b+ sin cosx x c+ cos2x d= thì ta biến đổi như sau
a x b+ x x c+ x d= x+ x rồi chuyển vế phải sang trái
Ngoài ra ta cũng có thể giải được Phương trình (2) nhờ các công thức sau
2 1 cos 2
cos
2
a
a= +
; sin2 1 cos 2
2
a
a= −
; sin 2a=2sin cosa a Đối với Phương trình bậc ba chỉ có sin x và cos x
a x b+ x x c+ x x d+ x=
Ta cũng biến đổi đưa về dạng bậc ba đối với tan x
4 Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x
Phương trình đối xứng với sin x và cos x là Phương trình có dạng
(sin cos ) sin cos 0; , ,
a x+ x +b x x c+ = a b c∈¡ (3)
Cách giải Đặt sin cos 2 sin ,
4
t= x+ x= x+π
điều kiện t ≤2 Khi đó
2
2
t
t = + x x⇒ x x= − Thay vào Phương trình (3) ta được
2
2
( 1)
2
b t
at+ − + = ⇔c bt + at+ c b− = (*)
Giải Phương trình (*) tìm t và chọn nghiệm thỏa t ≤2
Lưu ý Cách này cũng áp dụng được cho Phương trình (sina x−cos )x +bsin cosx x c+ =0
Bằng cách đặt sin cos 2 sin( )
4
t= x− x= x−π
;điều kiện t ≤2 Khí đó
2
1
2
t
x x= −
IV CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Để giải các Phương trình này ta cần biến đổi về các Phương trình lượng giác đã biết cách giải
1 Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba
2 Dạng phân thức, ta phải đặt điều kiện cho mẫu thức khác 0
3 Dạng chứa tan x và cot x , ta cần phải đặt điều kiện cho tan x và cot x xác định.