Các công thức và phương trình lượng giác

I, Các đẳng thức lượng giác, 1, Công thức cơ bản.  Sin 2 x + Cos 2 x = 1  xTan xCos 2 2 1 1 +=  xCotg xSin 2 2 1 1 +=  Sin 2 x = (1–Cosx)(1+Cosx)  Sin 2 x = xTan xTan 2 2 1+  Cotgx.Tanx = 1  Tan 2 x = xCos xCos 21 21 + −  Sin 2 x = 2 21 xCos−  Cos 2 x = 2 21 xCos+  Sinx.Cosx = xSin2 2 1 2, Cung đối nhau.  Cos(–x) = Cosx  Sin(–x) = – Sinx  Tan(–x) = – Tanx  Cotg(–x) = – Cotgx 3, Cung bù nhau.  Sin =− )( x π Sinx  Cos −=− )( x π Cosx  Tan −=− )( x π Tanx  Cotg −=− )( x π Cotgx 4, Cung hơn kém.  Sin −=+ )( x π Sinx  Cos −=+ )( x π Cosx  Tan =+ )( x π Tanx  Cotg =+ )( x π Cotgx 5, Cung phụ nhau.  Sin ) 2 ( x− π = Cosx  Cos ) 2 ( x− π = Sinx  Tan ) 2 ( x− π = Cotgx  Cotgx ) 2 ( x− π = Tanx 6, Cung hơn kém.  Sin Cosxx =+ ) 2 ( π  Cos ) 2 ( x+ π = Sinx −  Tan ) 2 ( x+ π = Cotgx−  Cotg ) 2 ( x+ π = Tanx − Ghi nhớ: Cos đối – Sin bù – Phụ chéo. 7, Công thức cộng.  Sin(a + − b) = SinaCosb + − CosaSinb  Cos(a + − b) = CosaCosb − + SinaSinb  Tan(a+b) = TanaTanb TanbTana − + 1  Tan(a–b) = TanaTanb TanbTana + − 1  Cotg(a+b) = CotgbCotga CotgaCotgb + −1  Cotg(a–b) = CotgbCotga CotgaCotgb − +1 8, Công thức nhân đôi.  Sin2x = 2SinxCosx  Cos2x = Cos 2 x – Sin 2 x = 2Cos 2 x - 1 = 1 – 2Sin 2 x  Tan2x = xTan Tanx 2 1 2 −  Cotg2x = Cotgx xCotg 2 1 2 − Lưu ý:  Cosx = 22 22 x Sin x Cos − = 2Cos 2 1 2 − x = 1 – 2Sin 2 2 x  Sinx = 2Sin 2 x Cos 2 x 9, Công thức theo “t”. Đặt Tan 2 x = t ta có:  Sinx = 2 1 2 t t +  Cosx = 2 2 1 1 t t + −  Tanx = 2 1 2 t t − 10, Công thức nhân 3.  Sin3x = xx 3 sin4sin3 −  Cos3x = 4Cos 3 x – 3Cosx  Tan3x = xTan xTanTanx 2 3 31 3 − − 11, Công thức tích thành tổng.  CosxCosy= [ ] )()( 2 1 yxCosyxCos −++  SinxCosy = [ ] )()( 2 1 yxSinyxSin −++  SinxSiny= [ ] )()( 2 1 yxCosyxCos −−+− 12, Công thức tổng(hiệu) thành tích.  Sinx + Siny = 2Sin       −       + 22 yx Cos yx  Sinx – Siny = 2Cos       −       + 22 yx Sin yx  Cosx + Cosy = 2Cos       −       + 22 yx Cos yx  Cosx – Cosy = – 2Sin       −       + 22 yx Sin yx  Tanx + Tany = CosxCosy yxSin )( +  Tanx – Tany = CosxCosy yxSin )( −  Cotgx + Cotgy = SinxSiny yxSin )( +  Cotgx – Cotgy = SinxSiny xySin )( − Nguyễn Văn Định - Trường THPT Bỉm Sơn Trang số 1 13, Các hệ qủa thông dụng.  Sinx + Cosx =       −=       + 4 2 4 2 ππ xCosxSinx  Sinx – Cosx =       +−=       − 4 2 4 2 ππ xCosxSinx  4.Sinx.Sin(60 o – x).Sin(60 o + x) = Sin3x  4.Cosx.Cos(60 o – x).Cos(60 o + x) = Cos3x  1 + Sin2x = (Sinx + Cosx) 2  1 – Sin2x = (Sinx – Cosx) 2        += − + 41 1 π xTan Tanx Tanx        −−= + − 41 1 π xTan Tanx Tanx  Cotgnx – Tannx = 2Cotg2nx  Cotgx + Tanx = xSin2 2 Công thức liên quan đến phương trình lượng giác  Sin3x = xSinSinx 3 43 − ⇔ Sin 3 x = 4 33 xSinSinx −  Cos3x = 4Cos 3 x – 3Cosx ⇔ Cos 3 x = 4 33 xCosCosx +  Sin 4 x + Cos 4 x = 1 xSin 2 2 1 2 −  Sin 4 x – Cos 4 x = – Cos2x  Sin 6 x + Cos 6 x = 1 xSin 2 4 3 2 −  Sin 6 x – Cos 6 x = Cos2x       − xSin 2 4 1 1 2 III, Phương trình lượng giác. 1, Cosx = Cos α    +−= += ⇔ πα πα 2 2 kx kx ( k Z∈ ) Đặc biệt:  Cosx = 0 ⇔ x = π π k+ 2  Cosx = 1 ⇔ x = k2 π  Cosx = 1− ⇔ x = ππ 2k + 2, Sinx = Sin α    +−= += ⇔ παπ πα 2 2 kx kx ( k Z∈ ) Đặc biệt:  Sinx = 0 ⇔ x = π k  Sinx = 1 ⇔ x = π π 2 2 k+  Sinx = π π 2 2 1 kx +−=⇔− 3, Tanx = Tan α ⇔ x = πα k+ ( k Z∈ ) Đặc biệt:  Tanx = 0 π kx =⇔  Tanx không xác định khi π π kx += 2 (Cosx=0) 4, Cotgx = Cotg α ⇔ x = πα k+ ( k Z∈ ) Đặc biệt:  Cotgx = 0 ⇔ π π kx += 2  Cotgx không xác định khi: x = π k ( Sinx=0) Nguyễn Văn Định - Trường THPT Bỉm Sơn Trang số 2 . I, Các đẳng thức lượng giác, 1, Công thức cơ bản.  Sin 2 x + Cos 2 x = 1  xTan xCos 2 2 1 1 +=  xCotg xSin 2 2 1 1 += . Cosx) 2        += − + 41 1 π xTan Tanx Tanx        −−= + − 41 1 π xTan Tanx Tanx  Cotgnx – Tannx = 2Cotg2nx  Cotgx + Tanx = xSin2 2 Công thức liên quan đến phương trình lượng giác  Sin3x = xSinSinx 3 43 − ⇔ Sin 3 x = 4 33 xSinSinx −  Cos3x = 4Cos 3 x. xTan xTanTanx 2 3 31 3 − − 11, Công thức tích thành tổng.  CosxCosy= [ ] )()( 2 1 yxCosyxCos −++  SinxCosy = [ ] )()( 2 1 yxSinyxSin −++  SinxSiny= [ ] )()( 2 1 yxCosyxCos −−+− 12, Công thức tổng(hiệu)