SKKN Một số sai lầm của học sinh trung bình khi giải các phương trình lượng giác cơ bản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG BÌNH KHI GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Người thực hiện: Trịnh Thị Lệ Chức vụ : Giáo viên SKKN môn : Toán THANH HOÁ NĂM 2013 MỤC LỤC Mục Lục Trang A. ĐẶT VẤN ĐỀ 3 B.GIẢI QUYẾT VẤNĐỀ 3 I. Cơ sở lí luận 3 II. Thực trạng vấn đề 3 III. Giải pháp và tổ chức thực hiện 3 1. Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản 3 1.1. Phương trình sinx=a 4 1.2. Phương trình cosx=a 4 1.3. Phương trình tanx=a 4 1.4. Phương trình cotx=a 5 2. Một số sai lầm học sinh thường mắc phải 5 2.1. Sai lầm 1 5 Các ví dụ minh họa 2.2. Sai lầm 2 7 Các ví dụ minh họa 2.3. Sai lầm 3 9 Các ví dụ minh họa IV. Hiệu quả của SKKN 11 1.Kết quả thực tiễn 11 2.Kết quả thực nghiệm 11 C.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 12 I.Kết luận 12 II.Kiến nghị 12 2 A.ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức quan trọng của môn Toán THPT, nó chiếm một phần kiến thức trọng tâm của chương trình giải tích 11 đặc biệt đối với học sinh có học lực trung bình thì giải các phương trình lượng giác cơ bản là kiến thức nền tảng trọng tâm mà học sinh cần phải nắm Trong các đề thi đại học, cao đẳng năm nào cũng có phần giải phương trình lượng giác do vậy để học sinh có học lực trung bình có thể làm được những dạng toán này thì ngay từ ban đầu phải giải tốt phương trình lượng giác cơ bản. Tuy nhiên có một số học sinh chưa hiểu rõ bản chất nên thường hay mắc những sai lầm khi giải các phương trình lượng giác cơ bản , điều quan trọng là phải làm sao để học sinh nhận thấy được những sai lầm đó và biết cách khắc phục để đi đến kết quả đúng . Một số học sinh có học lực lực trung bình không phân biệt được hoặc đôi khi còn nhầm lẫn giữa một cung lượng giác của một cung đặc biệt từ cách nhìn nhận sai lầm đó dẫn đến khi giải một phương trình lượng giác cơ bản lại đi đến kết quả sai, nhìn thấy được những yếu điểm đó của học sinh tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “ Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình lượng giác cơ bản ” . Nhằm khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao hơn từ những bài toán lượng giác cơ bản là nền tảng ban đầu học sinh cần nắm vững B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lí luận Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con người đi từ cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh . II. Thực trạng vấn đề Ở trường trung học mà tôi giảng dạy hiện nay là vùng nông thôn, giáp danh với miền núi, đời sống nhân dân dang còn khó khăn, dân trí chưa cao, chất lượng học tập của học sinh còn thấp phần lớn ở đây học sinh chiếm học lực trung bình đang còn chiếm tỉ lệ cao. Do vậy việc củng cố lại việc học của học sinh ngay từ những kiến thức cơ bản nhất là điều rất quan trọng, muốn làm được điều này cần phải cho học sinh thấy được những sai lầm cơ bản mà các em mắc phải, từ đó khắc phục được những hạn chế đó để dạt dược kết cao hơn trong học tập. III. Giải pháp và tổ chức thực hiện 1. Phương pháp giải phương trình lượng giác các phương trình lượng giác cơ bản 1.1. Phương trình sinx=a (1) a.TH 1 : 1>a thì PT(1) vô nghiệm b.TH 2 : 1≤a - Nếu a là giá trị sin cung đặc biệt α 3 Zk kx kx xax ∈    +−= += ⇔ =⇔= παπ πα α 2 2 sinsinsin -Nếu a không là giá trị sin của một cung đặc biệt α Zk kax kax ax ∈    +−= += ⇔= ππ π 2arcsin 2arcsin sin * Chú ý : +. Zk kxgxf kxgxf xgxf ∈    +−= += ⇔= ππ π 2)()( 2)()( )(sin)(sin +    −= += ⇔= β β β 0 00 0 180 360 sinsin x kx x 1.2. Phương trình cosx=a (2) a. TH 1 : 1>a PT(2) vô nghiệm b. TH 2 : 1≤a - Nếu a là giá trị cosin của một cung đặc biệt α (a=0,1, ) 2 2 , 2 3 , 2 1 Zkkx xax ∈+=⇔ =⇔= + − ,2 coscoscos πα α -Nếu a không phải là giá trị cosin của một cung đặc biệt α Zk kax kax ax ∈    +−= += ⇔= π π 2arccos 2arccos cos *Chú ý +> Zkkxgxfxgxf ∈+=⇔= + − ,2)()()(cos)(cos π +> Zkkxx ∈+=⇔= + − ,360coscos 000 ββ +> )cos()cos( απα −=− 1.3. Phương trình tanx=a (3) Điều kiện xác định của phương trình là: Zkkx ∈+≠ , 2 π π Phương pháp -Nếu a là giá trị tan của một cung đặc biệt α (a= ) 3 1 ,3,0,1 tanx =a α tantan =⇔ x Zkkx ∈+=⇔ , πα -Nếu a không phải là giá trị tang của một cung đặc biệt α Zkkaxax ∈+=⇔= ,arctantan π * Chú ý : - Nếu Zkkxx ∈+=⇔= ,tantan παα Tổng quát : Zkkxgxfxgxf ∈+=⇔= ,)()()(tan)(tan π - Nếu 000 180tantan kxx +=⇔= ββ 4 - αα tan)tan( −=− 1.4. Phương trình cotx=a (4) Điều kiện xác định của phương trình là x Zkk ∈≠ , π Phương pháp -Nếu a là giá trị cotang của một cung đặc biệt ) 3 1 ,3,1,0( =a α Zkkx xax ∈+=⇔ =⇔= , cotcotcot πα α -Nếu a không là giá trị cotang của một cung đặc biệt Zkkaarcxax ∈+=⇔= ,cotcot π * Chú ý : - Zkkxx ∈+=⇔= ,cotcot παα Tổng quát : Zkkxgxfxgxf ∈+=⇔= ,)()()(cot)(cot π - Zkkxx ∈+=⇔= ,180cotcot 000 ββ - αα cot)cot( −=− 2. Một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải 2.1. Sai lầm 1: học sinh đôi khi còn nhầm lẫn giữa giá trị lượng giác của một cung đặc biệt và một cung đặc biệt Ví dụ 1: Giải phương trình sau sinx= 2 1 * Sai lầm thường gặp Zk kx kx xx ∈      += += ⇔ =⇔= π π π π π 2 6 5 2 6 6 sin 2 1 sin * Hướng khắc phục Học sinh cần phân biệt rõ một cung đặc biệt và giá trị sin của một cung đặc biệt 62 1 π ≠ * Lời giải đúng 5 Zk kx kx xx ∈      += += ⇔ =⇔= π π π π π 2 6 5 2 6 6 sinsin 2 1 sin Vậy nghiệm của phương trình là : Zkkxvàkx ∈+=+= π π π π 2 6 5 2 6 Ví dụ 2: Giải phương trình sau cosx = 2 2 * Sai lầm thường gặp 4 cos 2 2 cos π =⇔= xx Zk kx kx ∈      + − = += ⇔ π π π π 2 4 2 4 * Hướng khắc phục Học sinh cần phân biệt rõ một cung lượng giác đặc biệt và giá trị cosin của một cung lượng giác đặc biệt đó 42 2 π ≠ * Lời giải đúng 4 coscos 2 2 cos π =⇔= xx Zk kx kx ∈      + − = += ⇔ π π π π 2 4 2 4 Vậy nghiệm của phương trình là : Zkkxvàkx ∈+ − =+= ,2 4 2 4 π π π π Ví dụ 3: Giải phương trình 3) 3 2tan( =+ π x * Sai lầm thường gặp 6 Zkkx kx xx ∈=⇔ +=+⇔ =+⇔=+ , 2 33 2 3 ) 3 2tan(3) 3 2tan( π π ππ πππ * Hướng khắc phục Học sinh cần phân biệt rõ cung lượng giác đặc biệt và giá trị tang của cung đặc biệt đó 3 3 π ≠ * Lời giải đúng Zkkx kx xx ∈=⇔ +=+⇔ =+⇔=+ , 2 33 2 3 tan) 3 2tan(3) 3 2tan( π π ππ πππ Vậy nghiệm của phương trình là : Zkkx ∈= , 2 π Ví dụ 4: Giải phương trình 1) 3 2cot( =+ π x * Sai lầm thường gặp 4 ) 3 2cot(1) 3 2cot( πππ =+⇔=+ xx Zkkx kx ∈+−=⇔ +=+⇔ , 224 43 2 ππ π ππ * Lời giải đúng 4 cot) 3 2cot(1) 3 2cot( πππ =+⇔=+ xx Zkkx kx ∈+−=⇔ +=+⇔ , 224 43 2 ππ π ππ Vậy nghiệm của phương trình là : x=- 24 π + Zkk ∈, 2 π 2.2. Sai lầm 2: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 7 3 1 )13sin( =+x * Sai lầm thường gặp Zk kx kx Zk kx kx x ∈      +−+ − = ++ − = ⇔ ∈      +−=+ +=+ ⇔=+ 3 2 9 1 arcsin 33 1 3 2 9 1 arcsin 3 1 2 3 1 arcsin13 2 3 1 arcsin13 3 1 )13sin( ππ π ππ π * Hướng khắc phục Học sinh cần nắm rõ 3 1 arcsin là một hằng số cụ thể ,tránh sai lầm 3 1 .arcsin 3 1 arcsin = * Lời giải đúng Zk kx kx Zk kx kx x ∈      +−+ − = ++ − = ⇔ ∈      +−=+ +=+ ⇔=+ 3 2 3 1 arcsin 3 1 33 1 3 2 3 1 arcsin 3 1 3 1 2 3 1 arcsin13 2 3 1 arcsin13 3 1 )13sin( ππ π ππ π Vậy nghiệm của phương trình là Zkkxvàkx ∈+++ − =++ − = , 3 2 3 1 arcsin 3 1 33 1 3 2 3 1 arcsin 3 1 3 1 πππ Ví dụ 2: Giải phương trình sau 5 1 ) 4 2cos( =+ π x * Sai lầm thường gặp Zk kx kx kx kx x ∈      +− − = ++ − = ⇔      +−=+ +=+ ⇔=+ , 10 1 arccos 8 10 1 arccos 8 2 5 1 arccos 4 2 2 5 1 arccos 4 2 5 1 ) 4 2cos( π π π π π π π π π * Lời giải đúng : 8 Zk kx kx kx kx x ∈      +− − = ++ − = ⇔      +−=+ +=+ ⇔=+ , 5 1 arccos 2 1 8 5 1 arccos 2 1 8 2 5 1 arccos 4 2 2 5 1 arccos 4 2 5 1 ) 4 2cos( π π π π π π π π π Vậy nghiệm của phương trình : Zkkxvàkx ∈+− − =++ − = , 5 1 arccos 2 1 85 1 arccos 2 1 8 π π π π Ví dụ 3: giải phương trình sau 2 1 )15tan( =+x * Sai lầm thường gặp 510 1 arctan 5 1 , 2 1 arctan15 2 1 )15tan( π π kx Zkkxx ++ − =⇔ ∈+=+⇔=+ * Lời giải đúng 52 1 arctan 5 1 5 1 , 2 1 arctan15 2 1 )15tan( π π kx Zkkxx ++ − =⇔ ∈+=+⇔=+ Vậy nghiệm của phương trình là : Zkkx ∈++ − = , 52 1 arctan 5 1 5 1 π Ví dụ 4: Giải phương trình 3 1 ) 4 3cot( =+ π x * Sai lầm thường gặp Zkkarcx Zkkarcxx ∈++ − =⇔ ∈+=+⇔=+ , 39 1 cot 12 , 3 1 cot 4 3 3 1 ) 4 3cot( ππ π ππ * Lời giải đúng Zkkarcx Zkkarcxx ∈++ − =⇔ ∈+=+⇔=+ , 33 1 cot 3 1 12 , 3 1 cot 4 3 3 1 ) 4 3cot( ππ π ππ 9 Vậy nghiệm của phương trình là : Zkkarcx ∈++ − = , 33 1 cot 3 1 12 ππ 2.3. Sai lầm 3: học sinh nhiều khi trong một công thức nghiệm lại có tới 2 đơn vị đo độ và rađian Ví dụ 1: Giải phương trình sau 2 3 )152sin( 0 =+x * Sai lầm thường gặp Zk kx kx Zk kx kx x ∈       ++ − = ++−= ⇔ ∈      +=+ +=+ ⇔=+ π π π π π π π π 32 15 62 15 , 2 3 2 152 2 3 152 2 3 )152sin( 0 0 0 0 0 * Lời giải đúng Zk kx kx Zk kx kx x ∈       += += ⇔ ∈    +=+ +=+ ⇔=+ 0 0 0 0 000 000 0 180 2 115 180 2 45 , 360120152 36060152 2 3 )152sin( Vậy nghiệm của phương trình là Zkkxvàkx ∈+=+= ,180 2 115 180 2 45 0 0 0 0 Ví dụ 2: Giải phương trình sau 00 15cos)45cos( =+x *Sai lầm thường gặp Zk kx kx Zk kx kx x ∈    +−= +−= ⇔ ∈    +−=+ +=+ ⇔=+ π π π π 260 230 , 21545 21545 15cos)45cos( 0 0 00 00 00 * Lời giải đúng : Zk kx kx Zk kx kx x ∈    +−= +−= ⇔ ∈    +−=+ +=+ ⇔=+ 00 00 000 000 00 36060 36030 , 3601545 3601545 15cos)45cos( 10 [...]... giác cơ bản, là cơ sở nền tảng để các em đi vào giải các dạng của phương trình lượng Từ đây các em hiểu rõ về bản chất chứ không máy móc như trước nữa, đó là việc thể hiện, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh C.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi giải các phương trình lượng giác cơ bản có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy vì khi. .. pháp giải của từng phương trình lượng giác cơ bản và trên cơ sở nhấn mạnh đưa ra những sai lầm mà các em thường hay mắc phải để từ đó học sinh có thể đưa ra lời giải đúng Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trong sách giáo khoa giải tích 11 thì hầu hết các em cẩn thận hơn trong cách trình bày và tránh được những sai lầm cần lưu ý và từ đó các em có lời giải. .. phục : học sinh cần nắm rõ trong một công thức nghiệm bao giờ cũng chỉ có một đơn vị đo radian hoặc độ , nếu trong đề bài có đơn vị đo độ thì bắt buộc công thức nghiệm phải dùng đơn vị đo là độ IV.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 1 kết quả từ thực tiễn Ban đầu học sinh có học lực trung bình gặp nhiều lỗi sai trong giải phương trình lượng giác cơ bản Tuy nhiên giáo viên hướng dẫn học sinh tỉ mỉ phương. .. sách tham khảo nào viết về những sai lầm của học sinh khi giải toán Vì vậy nhà trường cần quan tâm hơn nữa về loại này để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có những sai lầm đó trong khi làm bài tập XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 22 tháng 4 năm ĐƠN VỊ 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Kí tên Trịnh Thị... giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu điểm và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động, củng cố trau dồi thêm kiến thức về giải phương trình lượng giác cơ bản từ đó chủ động kiến thức trong quá trình học tập và các kỳ thi II Kiến nghị Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có một. .. năm học 2011-2012,bài kiểm tra trên 2 lớp có học lực trung bình đó là lớp 11C 6 (47 hs) và lớp 11C7 (47hs) trong đó lớp 11C6 được áp dụng sáng kiến kinh nghiệm còn lớp 11C 7 không được áp dụng ,kết quả cho ta như sau 11 Xếp loại Giỏi khá Trung bình Yếu Đối tượng 11C6 50% 40% 10% 0% 11C7 0% 2% 60% 38% Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập tích cực và hứng thú khi giải các phương trình lượng giác. ..Vậy nghiệm của phương trình là x = −30 0 + k 360 0 và x = −60 0 + k 360 0 , k ∈ Z Ví dụ 3: Giải phương trình 1 tan(5 x + 20 0 ) = 3 * Sai lầm thường gặp tan(5 x + 20 0 ) = 1 3 ⇔ tan(5 x + 20 0 ) = tan π 6 π + kπ 6 − 20 0 π ⇔x= + + kπ 5 30 ⇔ 5 x + 20 0 = * Lời giải đúng : tan(5 x + 20 0 ) = 1 3 ⇔ tan(5 x + 20 0 ) = tan 30 0 ⇔ 5 x + 20 0 = 30 0 + k180 0 ⇔ x = 2 0 + k180 0 Vậy phương trình có nghiệm... dung của người khác Kí tên Trịnh Thị Lệ 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Bài tập giải tích 11 ( Trần văn Hạo-Vũ Tuấn-Đào Ngọc Nam) 2 Chuyên đề luyện thi vào đại học phần lượng giác (Trần văn Hạo chủ biên – Nguyễn Cam ) 3 Cẩm nang ôn luyện thi đại học, cao đẳng môn toán tập 3 : lượng giác (Huy Toan –Đào Thùy Linh ) 4 Phương pháp giải toán lượng giác 11(Lê Quang Anh-Lê Qúy Mậu) 13 . giác cơ bản lại đi đến kết quả sai, nhìn thấy được những yếu điểm đó của học sinh tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “ Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình lượng giác cơ bản ” sai lầm khi giải các phương trình lượng giác cơ bản , điều quan trọng là phải làm sao để học sinh nhận thấy được những sai lầm đó và biết cách khắc phục để đi đến kết quả đúng . Một số học sinh. Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi giải các phương trình lượng giác cơ bản có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này giúp học sinh nhìn thấy được những