SKKN Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán ở phân môn Đại số 9 – Biện pháp khắc phục

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN Ở PHÂN MÔN ĐẠI SỐ 9 - BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC... KHÁI QUÁT: Theo tình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN Ở

PHÂN MÔN ĐẠI SỐ 9 - BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC

A LÝ DO ĐỀ XUẤT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

I KHÁI QUÁT:

Theo tình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy các em còn yếu, thường không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắm bắt kiến thức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học chưa chính xác, thiếu thận trọng trong tính toán.Vì sao dẫn đến điều này ta có thể chia làm hai nguyên nhân:

- Nguyên nhân khách quan:

+ Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít + Lượng kiến thức mới được phân bố cho một số tiết học còn quá tải

+ Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp của GV

- Nguyên nhân chủ quan:

+ Số lượng HS trên một lớp khá đông nên thời gian GV hướng dẫn cho những HS thường gặp phải khó khăn còn hạn chế

+ Một số GV thường dùng tiết bài tập với cách là để chữa bài tập cho HS

+ Một số tiết dạy GV chưa phát huy được khả năng tư duy của HS + Một số GV có sử dụng phương pháp dạy học mà ở đó chưa phát huy hết đặt thù của bộ môn

+ Một bộ phận nhỏ HS chưa chăm chỉ, lơ là trong việc học,chưa tự giác khắc phục những kiến thức mình bị hỏng trong quá trình giải bài tập

II TỒN TẠI:

Từ những nguyên nhân trên đã dẫn đến một số tồn tại sau: HS thường mắc phải sai lầm khi giải các bài tập do không nắm vững kiến thức cơ bản, tiếp thu kiến thức chậm, học tập thụ động, giải bài tập cẫu thả, chép bài của các

HS khá giỏi để đối phó một cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết quả học tập

III YÊU CẦU ĐẶT RA:

Từ những tồn tại nêu trên, qua nhiều năm giảng dạy tôi đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm khắc phục những sai lầm của HS trong quá trình giải bài tập, khi thực hiện qua các lớp dạy có hiệu quả cao Vì vậy tôi nghiên cứu soạn

ra chuyên đề: “ Một số sai lầm thường gặp của HS khi giải toán ở phân môn đại

số 9 - Biện pháp khắc phục”, với mong muốn giúp GV dạy toán đặc biệt GV dạy toán 9 bằng nhiều hình thức hướng dẫn nhằm hạn chế đến mức thấp nhất những sai sót mà HS vấp phải

B NỘI DUNG:

1 Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai

số học của một số dương a

- Tình huống: Giải bài tập 1 (sgk - 6)

Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng

+ HS giải:

169 = 13

 số 169 có 2 căn bậc hai được viết là 169 = 13 và 169 = -13 (!)

+ Cách giải đúng là:

Căn bậc hai số học của 169 là: 169 = 13, còn căn bậc hai của 169 là: 169 = 13; - 169 = - 13

- Nguyên nhân:

Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a, từ đó không phân biệt được hai vấn đề này

- Biện pháp khắc phục:

+ GV cần phải giảng thật kỹ cho HS nắm: Với số dương a, số a

được gọi là căn bậc hai số học của a, số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0; Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là a

và số âm kí hiệu là - a Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0

+ Khi nói đến a ta phải có: a0 và a 0, nghĩa là a không thể

âm Vì vậy không được viết : Số 169 có hai căn bậc hai là 169 = 13 và 169

= - 13

2 Sai lầm khi HS chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số

- Tình huống: Giải bài tập sgk

Rút gọn biểu thức sau: A = 2 a2  5a ( Với a < 0 )

+ HS giải:

A = 2 a2  5a = 2a  5a 2a 5a  3a ( với a < 0 ) (!) + Cách giải đúng là:

A = 2 a2  5a = 2a  5a   2a 5a  7a ( với a < 0 )

- Nguyên nhân:

HS chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà HS chỉ hiểu thì a<0 thì a a

- Biện pháp khắc phục:

+ Khi dạy phần này GV nên củng cố lại về số âm và số đối của một

số

+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối: , neu 0

, neu 0

a







3 Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức: 2

- Tình huống 1: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)

Tìm x, biết: 9x2   12

+ HS giải:

2

9x   12  9x2  12

Vì 9x2  (3 )x 2 3x nên ta có: 3x = 12  x = 4

+ Cách giải đúng là:

Vì 9x2  (3 )x 2  3x nên ta có:3x   12

 3x = 12 hoặc 3x = -12 Vậy x = 4 hoặc x = -4

- Tình huống 2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)

Rút gọn biểu thức: (4  17) 2

+ HS giải:

HS1: (4  17) 2   4 17   4 17

HS2: (4  17) 2   4 17

+ Cách giải đúng là:

2

(4  17)   4 17  17 4 

- Tình huống 3: Khi so sánh hai số a và b Một HS phát biểu như sau: “ Bất

kì hai số nào cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau:

Ta lấy hai số a và b tùy ý Gỉa sử a > b

Ta có :a22ab b 2 b22aba2 hay  2 2

a b  b a (1) Lấy căn bậc hai hai vế ta được:  2  2

a b  b a

Do đó: a b  b a

Từ đó : 2a 2b  a b

Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau

HS này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1)

phải được kết quả: a b  b a chứ không thể có a-b = b-a

- Nguyên nhân:

HS chưa nắm vững hằng đẳng thức 2

A  A , giá trị tuyệt đối của

một số âm

- Biện pháp khắc phục:

Để tránh sai lầm khi giảng dạy phần này GV cần giải thích cho HS nắm rõ hằng đẳng thức 2

A  A , với mọi biểu thức A; cũng cố và mở rộng định

nghĩa giá trị tuyệt đối của một số

A  A = , 0

, neu 0







4 Những khó khăn thường gặp của HS khi tính giá trị của các căn thức, mà biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương hay lập phương của một biểu thức

Chẳng hạn: Tính 11 4 7 ; 37 5 2

Để giải quyết vấn đề trên HS làm sao vận dụng hằng đẳng thức lần lượt biến đổi biểu thức 11 4 7 và 7 5 2  dưới dạng bình phương và lập phương của một biểu thức

Trong các hằng đẳng thức :

2 2 2

3 3 2 2 3

2

học sinh thường nắm chưa vững nên dễ mắc sai lầm khi giải các bài tập ở dạng trên

VD: Ở bài tập 15c ( SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 )

Chứng minh :  2

4 7 23 8 7

HS dễ dàng biến đổi  2

4 7 16 8 7 7 23 8 7    Nhưng ngược lại các em gặp khó khăn (nếu nắm không vững hằng đẳng thức và khả năng tính toán )

VD: Ở bài tập 15d (SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 )

Chứng minh 23 8 7  7 4 Nếu HS không vận dụng bài tập 15c ở trên để giải mà các em lại viết

23 8 7 dưới dạng bình phương của một biểu thức để tính 23 8 7 là một điều khó ! Để tính nhanh và không nhầm lẫn GV có thể hướng dẫn HS một số dạng biến đổi như sau:

- Đối với biểu thức có dạng:

2

x a b với a,b  0 và x = a + b thì  2

2

- Đối với biểu thức có dạng:

2

x a b với a,b  0 và x = a2 + b thì  2

2

Áp dụng:

Bài 1: Tính

12 2 35  12 2 7 5  7 5  7 5  7 5 Bài 2: Tính

11 4 7  11 2.2 7  2 7  2 7  7 2

Bài3: Tính

46 6 5  46 2.3 5.1  3 5 1  3 5 1 3 5 1

Bài 4: Tính

3 3

2 3

7 5 2 2 2 6 3 2 1

Bài 5: Bài 15d ( SBT toán 9 - tập 1 – trang 5 )

Chứng minh: 23 8 7  7 4

Ta có :

Vế trái: 23 8 7  7

5 Sai lầm khi HS chưa nắm vững các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai

- Tình huống: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 )

Rút gọn biểu thức sau: 20 45 3 18  72

+HS giải:

+ Cách giải đúng là:

- Nguyên nhân:

Sai lầm ở chỗ HS chưa nắm vững công thức biến đổi:

x Ay Bz A m xz Ay Bm ( A,B  Q+ ; x,y,z,m  R )

- Biện pháp khắc phục:

Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, GV nhấn mạnh để HS khắc sâu

mà tránh những sai sót

6 Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai

- Tình huống 1:

Có HS viết:

+ Vì    3 27   81 9  và  3  27     3 27   81 9 

nên    3 27    3  27 (!)

+ Vì 50 50 25 5

2 2



50

25 5 2

2 2



 (!)

- Tình huống 2: Giải bài tập sau: Tính 6 2 11

+ HS giải:

2 3 2 3 3 2 (!)

- Tình huống 3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 – trang 18)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x x

+ HS giải:

Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để x xác định mà vội vàng tìm giá trị nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào

2

2 1 1

biến đổi

2

1 min

4

A

2

4

Vậy min 1

4

4

+ Cách giải đúng:

x xác định khi x 0 Do đó: A x x  0 minA  0 x 0

- Nguyên nhân:

+ Khi làm bài HS chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để

A tồn tại

+ HS chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai

- Biện pháp khắc phục:

Khi dạy phần này GV cần khắc sâu cho HS điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để A xác định, điều kiện để có: a b ab ;

7 Lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số a 0 :

- Tình huống: Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19)

Giải phương trình: 3 x  1 1 x (2)

+ HS giải:

3 2

1

1 0

1

2

x x

x

x



        









 



Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x1=1; x2=2 (!)

+ Cách giải đúng là:

3

0

x

  hoặc x 1 hoặc x 2 Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x10;x2 1;x3 2

- Nguyên nhân:

+ HS quá lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số a 0

 2 2

0

x





  



+ HS chưa nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số a

- Biện pháp khắc phục:

Khi giảng phần này GV cần cho HS nắm định căn bậc ba của một số

a, đồng thời lưu ý HS hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số a 0; căn bậc hai số học của một số a 0 và căn bậc ba của một số a

8 Những sai lầm của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học để giải phương trình

- Tình huống 1: Bài tập 1a ( Đề thi TN THCS năm học 1996-1997 )

Rút gọn: 2  2

A x  x x ( với x 0 )

+HS giải :

 2 2

+ Cách giải đúng là :

Với x 0 Ta có:

 2 2

- Tình huống 2: Bài 3b ( SBT toán 9 – trang 27 )

Rút gọn biểu thức: M 2x 3 48x

x



+HS giải :

2

2 3 4 3 6 3 (!)

x

+ Cách giải đúng là:

3

x



   Điều kiện để M xác định là: x < 0

Khi đó:  2  

3

x

 

- Tình huống 3: Bài tập 1 ( Sách nâng cao toán 9 - tập 1- trang 11 )

Giải phương trình : 14  x x 2 (*)

+ HS giải :

(*)  2

2 14

2 3 10 0 2 5 2 10 0

5

2

x

x





 Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x1 = 5 ; x2 = -2 (!)

+ Cách giải đúng là :

(*)

2 0

x

 



 

2

x







 2      





2

5 5

2

x

x x

x









  



Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = 5

- Tình huống 4: giải tập sau:

Rút gọn biểu thức:M y2 xy x



+ HS giải :

.

M







+ Cách giải đúng là :

Đk để M xác định: xy0; y0 Ta xét hai trường hợp:

* x 0; y < 0

2

M



* x 0; y>0

2

.

M

y









Vậy: nếu x 0; y<0 thì M 1 2 x

y

  và nếu x 0; y>0 thì M  1

- Nguyên nhân:

HS năm chưa vững quy tắc 2

A B  A B với B 0, điều kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để A tồn tại, định nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương

- Biện pháp khắc phục:

Khi dạy GV cần cho HS nắm vững:

+ 2

A B  A B với B 0

+

2 '

2 '

vo i 0; 0

vo i 0; 0

A B



 



+ A tồn tại khi A 0

+ a 0,

 2 2

0

x





  



+ Nếu A 0, B > 0 thì A A

9 Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương HS thường mắc phải một số sai lầm:

- Tình huống 1: Bài tập 32b ( SGK toán 9 - tập 1 – trang 19 )

Tính 1, 44.1, 21 1, 44.0, 4 

+ HS giải:

1, 44.1, 21 1, 44.0, 4 1, 44.1, 21 1, 44.0, 4

1, 2.1,1 1, 2.0, 2 1,32 0, 24 1,08 (!)

+ Cách giải đúng là:

1, 44.1, 21 1, 44.0, 4   1, 44 1, 21 0, 4   1, 44.0,81 1, 2.0,9 1,08  

- Tình huống 2: Giải các bài tập sau:

Tính: a 81.256; b 625

16

+ HS giải:

a 81.256 9 16 3 4 12 (!)

b 625 25 5 5

16  4  2  2 (!)

+ Cách giải đúng là:

a 81.256 81 256 9.16 144 

b 625 625 25

16  16  4

- Tình huống 3: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu

+ HS giải :

a

 2

3







2

2 5 1 1





2.7 3 17

2 7 32 7 7 3 



hoặc

 5 7 3   5 7 3  5 7 3 5 7 3

5

2 7 3 2 7 3 7 3

3

a

 hoặc

2

a



- Cách giải đúng là

 2

3 5 2

3





c

2 2

5

2 7 3 2 7 3 2 7 3 2 7 3

5 2 7 3 10 7 15



d

2 2

2

a

(với a 0 và 9

4

- Nguyên nhân:

+ Hs chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ A B A B” tương tự như

A B  A B ( với A 0 và B 0) để tính

+ HS hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương

+ HS mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức

và tính chất cơ bản của phân thức

+ HS chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức: A 2 B2 A B AB

- Biện pháp khắc phục, khi dạy:

+ GV cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai phương một thương và lưu ý HS không được ngộ nhận sử dụng

A B A B tương tự như A B  A B ( với A 0 và B 0)

+ Khi cần thiết GV cũng cố lại kiến thức có liên quan.Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức

+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau

+ Cần khắc sâu các công thức:

B

B  , với B > 0

2

C

A B







, với A 0 và 2

C

A B







, với A0,B0 và AB

10 Sai lầm của HS khi không chú ý điều kiện để hai đường thảng song song

- Tình huống : Giải bài tập sau:

Cho hai đường thẳng:

(d1): y = (2m-1)x – 5 ( với m 1

2

 ) (d2): y = 3x +1 -2m

Tìm tham số m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song

+HS giải:

Hai đường thẳng (d1) và (d2) song song với nhau khi

2m – 1 = 3  m = 2 Vậy khi m = 2 thì hai đường thẳng (d1) và (d2) song song (!)

+ Cách giải đúng là:

Với m 1

2

 , (d1) // (d2)  2 1 3 2



  (vô lí, vì không thể xảy

ra đồng thời m = 2 và m 2 )

Vậy không có giá trị nào của m để hai đường thẳng (d1) và (d2) song song

- Nguyên nhân:

HS chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để hai đường thảng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’0) song song

- Biện pháp khắc phục:

Khi dạy phần này GV cần nhấn mạnh nhằm cho HS khắc sâu điều kiện để hai đường thẳng (d) và (d’) song song

(d) // (d’)

' '

 



 





11 Sai lầm do HS chưa nắm vững nghiệm của hệ phương trình

- Tình huống: Giải hệ phương trình sau:

2 3 21 (1)

7 32 (2)

9 (3)



   



  



+HS giải :

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm 3

5

x y





 



+ Cách giải đúng là:

Thay x = 3; y= 5 vào vế trái của phương trình (3) ta có 3+5  9, suy

ra 3

5

x

y





 

 là nghiệm của hai phương trình (1) và (2) mà không là nghiệm của phương trình (3)

Vậy hệ phương trình (I) vô nghiệm

- Nguyên nhân:

HS chưa nắm vững khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn,chưa nắm vững nghiệm của hệ phương trình

- Biện pháp khắc phục:

Khi dạy phần này GV lưu ý HS hai phương trình (4) và (5) của hệ phương trình (II) ax+by = c (4)' ' '





 có nghiệm chung (x0;y0) thì (x0;y0) được gọi

là một nghiệm của hệ phương trình (II)

12.Sai lầm của HS khi không chú ý đến điều kiện để phương trình ax 2 + bx + c = 0 là phương trình bậc hai; phép biến đổi tương đương các phương trình

- Tình huống 1: Giải bài tập 6b ( sách đại số 9 nâng cao – trang 90 )

Tìm giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

(m+1)x2 – 2mx + m + 2 = 0 (3)

HS giải : pt (3) có :  = m2 – (m+1)(m+2) = - 3m – 2