skkn một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán giải tích 12

Phương pháp nghiên cứu đề tài I .THỰC TRẠNG NHỮNG SAI LẦM VÀ BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT…...Trang 3 Chương I: NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN……… ……….Tr

Trang 1

MỤC LỤC

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích của đề tài

3 Phạm vi nghiên cứu đề tài

4 Phương pháp nghiên cứu đề tài

I THỰC TRẠNG NHỮNG SAI LẦM VÀ BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT… Trang 3 Chương I: NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI ỨNG

DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN……… ……….Trang 3 Chương II: SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN

LOGARIT………Trang 11 Chương III: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN……….Trang 14

II HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Trang 15

Phần III PHẦN KẾT LUẬN Trang 16

TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 17

Trang 2

Phần I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong các môn học, toán học giữ một vai trò quan trọng, là chìa khóa cho mọi môn học khác Toán học giữ vai trò chủ chốt trong mọi khoa học công nghệ, kinh tế, thông tin và nhiều lĩnh vực khác của xã hội Giải toán giúp cho học sinh nhiều trong công việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề, giúp cho học sinh rèn luyện trí thông minh sáng tạo Nó còn giúp cho học sinh cần cù nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, chuộng chân lý

Vì tầm quan trọng của toán học đối với mỗi học sinh nên nếu học sinh suy nghĩ sai lệch để giải bài toán sai lầm nhưng không biết sai từ đâu, sai vì nguyên nhân gì là những vấn đề mà mỗi người giáo viên đứng trên bục giảng đều phải trăn trở Giáo viên là những người huấn luyện viên, học sinh là những cầu thủ, cầu thủ thực hiện sai thì huấn luyện viên phải suy nghĩ tìm ra nguyên nhân mà các em không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của thầy

Những biện pháp hạn chế giải sai, sửa chữa lỗi sai kịp thời nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh đồng thời nâng cao hiệu quả dạy toán trong các trường phổ thông

Chính những lý do trên nên tôi chọn đề tài : “Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán giải tích 12”.

2 Mục đích của đề tài

- Chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường gặp Qua đó học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề để có hướng giải quyết bài toán đi theo hướng đúng

- Bồi dưỡng học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo trong học toán

3 Phạm vi nghiên cứu đề tài

Đề tài này chỉ nghiên cứu những sai lầm thường gặp khi giải toán giải tích của học sinh lớp 12 của trường Trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về phương pháp giảng dạy môn toán, để làm cơ sở cho các hạn chế và sửa chữa sai lầm

- Quan sát thực tiễn hoạt động sư phạm của bản thân trong những năm giảng dạy tại các lớp trung học phổ thông

Trang 3

Phần II PHẦN NỘI DUNG

I THỰC TRẠNG NHỮNG SAI LẦM VÀ BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT:

Chương I: NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI ỨNG

DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN 1.1 Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

3 2

y

xx



 trên đoạn [-1 ; 0] Học sinh giải như sau:

2 '

2

2 ( 3) ( 2)

x x y

x





 ' 0 0

3

x y

x





   



Học sinh tính: y(-3) = 27

y(0) = 0 y(-1)=-1

Sai lầm: Học sinh không loại nghiệm x=-3 vì x   3  1;0

Lời giải đúng:

2 '

2

2 ( 3)

( 2)

x x y

x







0 ' 0

3 1;0

x y

x





  

  



Ta có:

y(0) = 0 y(-1)=-1

 Nhiều học sinh không hiểu đúng đắn định nghĩa nên dẫn đến kết luận sai chẳng hạn như:

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốyf x( )  x 3  x 6

Học sinh giải như sau:

3

6 6

x

x x











Trang 4

1 1

( )

lim ( ) 0

x

f x

 



Bảng biến thiên:

x f’(x )

 6;  ( ) 3; 6;  ( ) 0

max f x min f x

Sai lầm: Học sinh quên khái niệm min ( )K f x , thì phải  x0 K sao cho f x( )0 m

dẫn đến kết luận sai

Giải như trên nhưng kết luận [6;max f x) ( )f(6) 3;[6;min f x) ( ) không tồn tại

 Một số học sinh nhầm lẫn giữa khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số:

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

4

3

yf x  x  x  trên đoạn [-2 ; 2]

Học sinh giải như sau:

[-2;2] [-2;2]

1

3

max f x  min f x 

Sai lầm: Học sinh đã nhầm lẫn giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với bài toán tìm

cực đại, cực tiểu, học sinh quên tính y(-2), y(2) để so sánh.

( 2) ; (2)

max y y min y y

x y’ - 0 + 0 -

y -1 -1/3

0

Trang 5

 Một số sai lầm khi học sinh chuyển đổi từ biến này sang biến khác mà không tìm miền giá trị của biến mới

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) sin 1

2sin 3

x

y f x

x





Một số học sinh giải như sau:

đặt t = sinx; hàm số viết lại ( ) 1

2 3

t

g t

t





t



2



g’(t )

g(t) 1

2 1

2

Dựa vào bảng biến thiên  không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Sai lầm: Học sinh đã chuyển về bài toán không tương đương cho rằng giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trùng với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

g(t),   t nên sau khi đổi biến đã không tìm miền xác định của g(t).

2

1 ( ) ; [ 1;1]

2 3 5 '( ) 0; (1) 0; ( 1) 2

(2 3) ( ) 0; ( ) 2

t

t max f x min f x





Qua một số ví dụ và phân tích sai lầm ở trên chúng ta nhận thấy học sinh chưa nắm

rõ bản chất của định nghĩa dẫn đến không nắm vững kiến thức cơ bản liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1.2 Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm chứng minh các bất đẳng thức:

* Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: tanx > x, 0;

2

x   

   

 

-∞

+∞

Trang 6

Xét hàm số : f(x) = tanx – x với 0;

2

x   

2 2

1

x



  => hàm số đồng biến trên 0;

2



2

x  f x  f  x x    x x x     

Phân tích: Lời giải trên sai ở chỗ x > 0 => f(x) > f(0) ?? Sai lầm vì 0 0;

2



  

Hàm số f(x) đồng biến trên [a;b] (tức là f(x) liên tục trên [a;b] và

( ) 0; ( ; )

f x   x a b thì x x1, 2[ ; ];a b x1 x2  f x( )1  f x( )2

f(t) = tant – t với 0;

2

t   

  



2 2

1 ( ) 1 tan 0; 0;

t



 

       

 

 Hàm số đồng biến 0;

2



 





 

2

x  f x  f  x x x     

Học sinh thường mắc sai lầm là vận dụng sai tính chất của hàm đồng biến và nghịch biến

Ví dụ 2: Chứng minh rằng:   x 1 thì xe x 1

e

 

Xét f x( )x g x; ( )e x là các hàm số đồng biến trên   h x ( )  xex là tích của

2 hàm số đồng biến nên cũng đồng biến trên 

Từ x 1 f x( ) f( 1) xe x 1

e

Phân tích: sai lầm của học sinh là nhầm lẫn tích của hai hàm số đồng biến là một

hàm số đồng biến điều đó nó chỉ đúng khi 2 hàm số đó cùng dương

Xét f x( )xe f x x; ( ) e x x( 1) 0   x 1

Dấu “=” xảy ra tại x = -1  Hàm số đồng biến trên  1; 

Từ x 1 f x( ) f( 1) xe x 1

e

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: Nếu x y 1 thì x y y x  

Trang 7

Xét x > y > 1 ta có: x  y và x y

Trừ vế theo vế: x x  x y  x y  y x

Sai lầm: Học sinh mắc sai lầm khi trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều Lời giải đúng:

Xét f t( ) t t với t > 1

t

f t



     => f(t) đồng biến  t 1

Mà x y 1 nên f x( )f y( ) x x  y y  x y  y x

Ngoài những sai lầm trên học sinh còn mắc phải sai lầm ở bước tính đạo hàm, giải phương trình và thực hiện các phép biến đổi

1.3 Những sai lầm thường gặp phải khi giải các bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm số:

Khi sử dụng qui tắc I để xét tính đơn điệu học sinh quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần

Quy tắc: y’ > 0,  x ( ; )a b  Hàm số đồng biến trên (a;b)

y’ < 0,  x ( ; )a b  Hàm số nghịch biến trên (a;b)

Điều ngược lại không đúng trong một số trường hợp

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x 3 + mx 2 – x + 2 nghịch biến trên trên 

Tập xác định: D 

y  x mx

a

m

 







Phân tích: Chẳng hạn y = -x 3 nghịch biến trên  vậy y 3x2    0, x

Dấu “=” xảy ra tại x = 0.

Học sinh quên định lý mở rộng: Hàm số y = f(x) xác định trên (a;b),

0

f  ,  x ( ; )a b và dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên (a;b).

Hàm số nghịch biến trên   y 0, 0 3 3

0

a



 





 Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số học sinh thường quên

đó chỉ là điều kiện đủ chứ chưa phải điều kiện cần

Quy tắc:

0

( ) 0

( ) 0o

f x

x x

f x

 



 



 



là điểm cực tiểu

Trang 8

0

( ) 0

( ) 0o

f x

x x

f x





 

Điều ngược lại trong một số trường hợp không đúng

Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx 4 Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại

x = 0

( ) 4 ; ( ) 12

f x  mx f x  mx

Hàm số đạt cực đại tại 0 (0) 0 4 0 0

(0) 0 12 0 0

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.

Phân tích: Giả sử khi m=-1, ta có:

4

3

,

4 ;

y x



 

   

Bảng biến thiên

x y’ + 0 -y

Vậy hàm đạt cực đại tại x = 0.

Vậy lời giải trên sai ở đâu?

( ) 0

( ) 0o

f x

x

f x







 

 là điểm cực đại của hàm số

Còn điều ngược lại chưa chắc đúng vì x x 0 là điểm cực đại thì cũng có thể 0

( ) 0

f x 

Xét (m = 0, m > 0, m < 0)

+ m = 0 ; y = 0  Hàm số không có cực trị

+ m 0;y4mx y3;  0 x0, lập bảng biến thiên x = 0 là điểm

cực tiểu của hàm số

+ m0;y4mx y3;  0 x0, lập bảng biến thiên  x = 0 là điểm cực

đại của hàm số

Vậy m < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0.

Ví dụ 3: Cho y = x 4 + mx 3 + 3 Tìm tất cả giá trị m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Trang 9

3 2 2

Hàm số đạt cực tiểu tại 0 (0) 0 0 0

(0) 0 0 0

y x

y

Vậy không tồn tại m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Phân tích: Với m=0, ta có:

4

3

1

y x

x y’ - 0 + y

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x= 0

Xét:m = 0, m < 0, m > 0

+ m = 0; y = x 4 +1; y’= 4x 3 ; y’= 0 x = 0

Lập bảng biến thiên  x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số

+ m>0; y’= x 2 (4x+3m); y’=0

0 3 4

x m x









 



Ta có x = 0 là nghiệm kép  y’ không đổi dấu qua x=0  hàm số không đạt

cực trị tại x = 0

+ m <0 lý giải tương tự:

Vậy m = 0 hàm số đạt cực tiểu tại x =0

1.4 Những sai lầm trong các bài toán dùng phương pháp hàm số.

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

3

(1)

y x



  







Một số hàm số giải như sau:

Xét hàm số f(t) = t-1

t ( t0) f’(t)= 1+ 2

1

t >0  f(t) là hàm số tăng t0

3

Trang 10

(1) f(x)=f(y)  x=y thế x=y vào (2)…

Nguyên nhân sai lầm:

Vì hàm số f(t) gián đoạn tại t = 0 nên không dùng tính đơn điệu.

Lời giải đúng: Điều kiện 0

0

x y











Hệ phương trình

3

1

x y

xy

y x

 

 







  



Trang 11

Chương II: SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN LOGARIT.

x

Điều kiện:

1 1

3 2

3 0

x x

x













 



2

1

2 1 log ( 5 6) log ( 3 )

2

x



x  x   x  x x   x

1

2

x

     (loại)

Vây phương trình vô nghiệm

Sai lầm 1: Điều kiện không đúng

Sai lầm 2: Sử dụng công thức không đúng

log ( ( ))n log ( )

n

k

a a

k

n



    



    







2 1

2 1 2

2 3

5

3

x











 



Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm phương trình x=5

3.

nếu k chẵn

Trang 12

Ví dụ 2: Giải phương trình : 1 2 1 3 1 3

3 log ( 2) 3 log (4 ) log ( 6)

Một số học sinh có lời giải như sau:

Điều kiện:

2 3 3

( 2) 0

2 (4 ) 0

( 6) 0

x

x x



  



(1) log ( 2) 3 log (4 ) log ( 6)

( 2) 4 (4 3) ( 6) ( 2)4 (4 )( 6)

8( )

2 2( )

x









log log m

m x  x không đúng trong trường hợp này là: điều kiện hai vế không giống nhau khi m chẵn

Điều kiện: 2

x x







  



(1) 3log 2 3 3log (4 ) 3log ( 6) 2 4 (4 )( 6)

2 8 4( 2) (4 )( 6)

1 33

x x

x

  

  



 



 

   



Vậy nghiệm của pt là x=2; x=1- 33

Ví dụ 3: log (22 x2)2 3log (2 x2) 1 0  (1)

Điều kiện: x  2 0 x 2

2

(1) 2log (x2) 3log ( x2) 1 0 

Đặt t = log (2 x 2)

Phương trình trở thành: 2t2  3 1 0t 

Phân tích: logn m nlogn

a b m a b

Điều kiện: x> -2

Trang 13

2 2

0 log ( 2) 1

(1) 4log ( 2) 3log ( 2) 1 0 1 1

2 log ( 2)

2 4

x x







Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 , 41 2

2

x  

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình log(x2 2mx) log( x 1) 0 (1) có nghiệm duy nhất

(1)  log(x  2mx) log(  x 1)  x  (2m 1)x  1 0 (*)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất  phương trình (*) có nghiệm duy nhất

1 2 0

3 2

m







    

 



Phân tích: Học sinh mắc sai lầm là chưa tìm điều kiện của phương trình:

2

1

(1)

2 1(*)

x

x mx x





 

  



Phương trình (1) có nghiệm duy nhất  phương trình (*) có nghiệm duy nhất x > 1

x

Đặt f x( ) x2 x 1

x

  



2 2

1

x

 

x f’(x

2

     

-∞

Trang 14

Chương III: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: F x( )  (1 x e) xlà nguyên hàm của f x( ) x e x

Từ đó tìm nguyên hàm : ( ) (g x x 1)ex

 

F x e  x e xe f x

( )

F x

 là một nguyên hàm f(x)

Ta có: g x dx( ) (x 1)e dxx xe dxx e dxx [ (1 x e) x c] [ ex c] xex

Phân tích sai lầm của học sinh là: viết hằng số C cho mọi nguyên hàm, phân tích

nguyên hàm nên dẫn đến sai lầm

g x dx x e dx e dx x e C e C xe C

(Với C C 1  C2)

Ví dụ 2: Tính I=

 

3

2

) 2

(x

dx

3

x





Phân tích:

Hàm số y=( 2 ) 2

1



x không xác định tại x=-2  [ 3 ; 3 ]

=> hàm số không liên tục trên [-3;3]

Hàm số y=( 2 ) 2

1



x không xác định tại x= -2 [ 3 ; 3 ] suy ra hàm số không liên tục trên [-3;3], do đó tích phân không tồn tại

Chú ý cho học sinh : khi tính 

b

a

dx x

f( ) cần chú ý tính liên tục của hàm số trên [a;b] nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì áp dụng phương pháp đã học tính tích phân đã cho, ngược lại kết luận tích phân này không tồn tại

Ví dụ 3: I =  x x dx



0

2

2 cos 2 cos



I=

0

2





Trang 15

Phân tích: Lời giải trên sai lầm khi biến đổi 1 cos 2x sinx



 ( A 2 A)

Lời giải đúng :

0 0

2

0

2





Ví dụ 4: Tính I = 4 2

I  x  x dx

I = 

4

0

2

)

3

2 4

0

4

0 2

x

x dx  x

Nguyên nhân sai lầm: ( 3 ) 2 3





x với x  [ 0 ; 4 ] là không đúng

I =

4

2

0

x  x dx

4

2

0

(x 3) dx

Chú ý đối với hàm số:2n(f(x)) 2n  f(x) ,    n *

2 ( ( )) ( )

n

I  f x f x dx trước tiên ta phải xét dấu của f(x) trên [a;b] sau đó dùng tính chất của tích phân tách I thành tổng các phần không chứa dấu giá trị tuyệt đối.

II HIỆU QUẢ ÁP DỤNG

Đề tài này có thể làm tài liệu giảng dạy của giáo viên cũng như làm bài tập tham khảo cho học sinh khối 12

Phần III PHẦN KẾT LUẬN

I Ý nghĩa của đề tài đối với việc giảng dạy môn toán giải tích 12

- Đề tài đã làm sáng tỏ nhiều sai lầm của học sinh khi giải toán giải tích lớp 12

- Đề tài đã phân tích được nguyên nhân của những sai lầm đó và tìm cách khắc phục cho học sinh

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	563 KB