SKKN khắc phục một số sai lầm của học sinh lớp 12 trường THPT triệu thị trinh khi giải các bài toán liên qua đến xác định tính

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Người thực hiện: Lê Đình Quyền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2018 MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Về nhiệm vụ Về phương pháp 01 02 02 02 PHẦN 2: NỘI DUNG I.CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI II.THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI III.BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 1.1 Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh chưa nắm vững 1.2 Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp 1.3 Tăng cường đổi phương pháp dạy học CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ( NGUYÊN CỨU QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY) 2.1 Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số 2.2 Phương pháp giải số tốn tìm giá trị tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến miền D khắc phục số lỗi sai giải toán III KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Các tập khảo sát: Kết khảo việc giải tập năm học 2016-2017 hai lớp 12C1 12C2 Kết khảo việc giải tập năm học 2017-2018 hai lớp 12A1 12A5 PHẦN 3: KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 03 03 03 04 04 04 04 04 06 11 11 12 12 13 14 PHẦN 1: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số toán quen thuộc học sinh lớp 12, có mặt hầu hết kì thi, đặc biệt kỳ thi THPT Quốc gia Vì có vị trí quan trọng chương trình tốn phổ thơng Tuy khơng phải nội dung xếp vào “dạng khó” đề thi THPT Quốc gia, Nhưng đối tượng học sinh trường THPT Triệu Thị Trinh (nguyên trường THPT bán Cống số Nông Cống chuyển sang công lập từ năm 2010) chất lượng đầu vào không cao nên việc dạy học phần gặp nhiều khó khăn Nhất em giải thi trắc nghiệm, nắm chất tốn khơng tốt nên em thường mắc số sai lầm dẫn đến chọn phương án nhiễu sai Những sai lầm em tưởng nhỏ ( Nếu thi tự luận em có chút điểm), Nhưng với cách thi thi trắc nghiệm mơn tốn dù sai nhỏ em dẫn đến đáp án sai kết học sinh điểm không câu Việc giúp học sinh nắm vững chất toán xác định đồng biến hàm số có tác dụng to lớn học sinh: - Thứ nhất: Thơng qua tốn xác định tính đồng biến nghịch biến hàm số giúp học sinh chủ động cách phân tích, tìm lời giải cho bài, học sinh thấy mối quan hệ tốn học thực tiễn, qua giúp học sinh có hứng thú học tập hơn, hiệu dạy cao - Thứ hai: Việc giải tốn xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả sáng tạo Khi giải toán học sinh phải thường xuyên phải sử dụng kiến thức liên quan như: Giải phương trình, biến đổi tương đương, kiến thức đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ biến đổi - Thứ ba: Thông qua việc giải tốn xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số giúp học sinh rèn luyện thao tác tư như: Phân tích, tổng hợp, có khả đặc biệt hố, khái qt hố tốn Mặt khác cịn rèn luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả sáng tạo gặp toán suy nghĩ tìm tịi lời giải khác nhau, chọn cách giải hay Vì lí trên, viết hệ thống số dạng tập, phương pháp giải toán xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số, nêu lên số sai lầm mà học sinh hay mắc phải q trình giải tốn Đây sai lầm số nhiều sai lầm mà học sinh thường mắc phải, việc khắc phục sai lầm kỳ ôn thi THPT Quốc gia năm 2017 diễn nhiều thời gian Sang năm học 2017-2018 này, nhằm giúp học sinh nắm kiến thức tính đồng biến, nghịch biến hàm số, có kỹ giải tốn liên quan đến tính đồng biến, nghịch biến hàm số, tơi nghiên cứu để phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp kỳ ôn thi THPT Quốc gia vừa qua vấn đề tồn năm học trước khắc phục cách có hiệu Vì tơi viết sáng kiến kinh nghiệm " Khắc phục số sai lầm học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Thị Trinh giải tốn liên quan đến xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số " với hy vọng giúp em học sinh học tập tốt có kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2018 II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Chỉ cho học sinh thấy sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinh hiểu chất vấn đề Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo III NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Về nhiệm vụ: Đánh giá thực tế q trình vận dụng giải tập tốn liên quan đến xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số, để có giải tốn hồn chỉnh xác Về phương pháp: - Phương pháp điều tra - Phương pháp đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu, đề thi thử THPT Quốc gia 2017, 2018 PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) Định nghĩa tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số y =f(x) xác định khoảng (a;b) Ta nói: - Hàm số y =f(x) đồng biến (tăng) khoảng (a;b) x1 ; x2 (a;b) mà x1 x2 f (x1 ) f (x2 ) - Hàm số y =f(x) nghịch biến (giảm) khoảng (a;b) (a;b) x1 ; x2 mà x1 x2 f (x1 ) f (x2 ) Hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng gọi chung hàm số đơn điệu khoảng Tính chất hàm số đồng biến, nghịch biến -Nếu f(x) g(x) hai hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D tổng f(x) + g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với hiệu f(x) - g(x) -Nếu f(x) g(x) hai hàm số dương, đồng biến (hoặc nghịch biến) D tích f(x)g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với tích f(x)g(x) f(x) g(x) hai hàm số không dương D Cơng thức tính đạo hàm Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hàm số Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số tập D II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tế giảng dạy thấy rằng, học sinh học giải tốn liên quan đến xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số thường gặp số khó khăn sau : Không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, khơng hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng Không nắm vững phương pháp xét dấu tam thức bậc hai Không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D để vận dụng vào giải toán xác định giá trị tham số để hàm số đơn điệu khoảng cho trước III BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Để khắc phục sai lầm mà học sinh thường gặp phải giải tốn liên quan đến xác định tính đồng biến hàm số, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: 1.1 Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh chưa nắm vững - Phân tích kỷ lưỡng khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm chất khái niệm, định nghĩa, định lí - So sánh khái niệm, quy tắc để học sinh thấy giống khác chúng - Đưa ví dụ, rõ cách giải, hướng sai lầm mà học sinh thường gặp, rõ học sinh lại chọn đáp án này… 1.2 Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp so sánh kết quả, - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải vấn đề - Phương pháp: phương pháp gải dạng toán cụ thể từ vận dụng vào giải tốn khác 1.3 Tăng cường đổi phương pháp dạy học - Chia nhóm, tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh - Lựa chọn hệ thống dạng tập sử dụng phương pháp dạy học sát đối tượng CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ( NGUYÊN CỨU QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY) 2.1 Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số Các em thường mắc phải sai lầm không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số + Sai lầm kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số y f ( x ) ax bx cx d có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng nào? A.( 1;1) B ( ; 1) (1; C ( ; 2) D.(1; ) ) Trong ví dụ đơn giản có số em chọn đáp án C ( Học sinh chọn theo giá trị hàm số tăng từ đến 2) * Học sinh nắm vững kiến thức nhanh chóng chọn đáp án A ( đáp án đúng) x Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu hàm số f x x Một số học sinh giải toán sau: +) Tập xác định: D R\1 +) Ta có: f x x 0, x D +) Bảng biến thiên: x f’(x) f(x) - + + + + 1 - Kết luận: Hàm số đồng biến ;1 1; Khi hỏi học sinh lớp đa số đồng ý với kết Xong lại đáp án sai Phân tích: Lời giải nhìn thống qua rồi, ta không ý đến kết luận toán Chú ý rằng: hàm số y f x đồng biến tập D với x1 , x2 D ta có x1 x2 f x1 f x2 Trong kết luận toán, ta lấy f x1 f x2 1 D x2 x1 D x1 x2 Lời giải đúng: Qua phân tích ta thấy để có lời giải ta phải kết luận: Hàm số đồng biến khoảng ;1 1; -Sai lầm em không ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai x2 Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu hàm số f x x Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: D 1;1 x +) Ta có: f x 1 x2 x Cho f x 1 x2 +) Bảng biến thiên: x - -1 f’(x) f(x) -2 x2 - x x2 1 2 + x2 x - 2- -1 ( +) Hàm số đồng biến khoảng (- 1;- 1) ( ;1) ; ) nghịch biến khoảng 2 Phân tích: Nếu để ý bảng biến thiên ta thấy điều vô lý đoạn 1;1 Lời giải là: 1;1 D f x +) Tập xác định: x x2 +) Ta có: Đạo hàm không xác định x x 01 x Cho f x x x2 +) Bảng biến thiên: x -1 f’(x f(x) x + 2 x x +) Hàm số đồng biến nửa khoảng1; 2-1 -2 x nghịch biến nửa khoảng 2 ;1 2.2 Phương pháp giải số tốn tìm giá trị tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến miền D khắc phục số lỗi sai giải toán này: Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau đây: 1.Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K  Nếu f '(x) 0, x K f(x) đồng biến K  Nếu f '(x) 0, x K f(x) nghịch biến K ( Lưu ý trường hợp dấu “=” xảy hữu hạn điểm Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức b 4ac Ta có:   f (x) 0, f (x) 0, x R x R a 0 a 0 Xét tốn: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến K” Ta thực theo bước sau:  B1 Tính đạo hàm f’(x,m)  B2 Lý luận: Hàm số đồng biến K f '(x,m) 0, x K ( dấu ‘‘=’’ xảy g(x), x K m g(x) hữu hạn điểm) m B3 Lập BBT hàm số g(x) K Từ suy giá trị cần tìm tham số m Khi sử dụng quy tắc để xét tính đơn điệu hàm số em qn điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần Quy tắc : Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f '(x) > 0, x K y = f(x) đồng biến K Nếu f '(x) < 0, x K y = f(x) nghịch biến K Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 2m x 12m x Tìm m để hàm số ln đồng biến Một số học sinh giải toán sau: TXĐ:D=R y’ = 3x 2m x 12m ’ = 2m 12m = 36m2 6 6m2 Để hàm số đồng biến ta phải có: y’ 0, x R' 06 m Vậy giá trị m cần tìm m 1m 1 6 Phân tích: Lời giải học sinh sai Chẳng hạn hàm số y = x3 đồng biến R, y’=3x2=0 x Chú ý: Giả sử y = f(x) có đạo hàm K Nếu f (x) (f (x) 0), x K f (x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Lời giải y’= 3x 2m x 12m ’= 2m 12m = 36m2 Để hàm số đồng biến ta phải có: y’ 0, x R' 06m 6 6m2 1 m Vậy giá trị m cần tìm m 6 Ví dụ 5: Với giá trị m, hàm số f (x) mx 3mx m x nghịch biến R ? Học sinh thường giải : TXĐ: R Ta có: f '(x) 3mx 6mx m Hàm số nghịch biến R m f '(x) 3mx 6mx m 0, x R 6m 6m m Vậy, với m thỏa mãn tốn ( Lời giải sai học sinh không quan tâm đến xét hệ số a= 0) Lời giải TXĐ: R Ta có: f '(x) 3mx 6mx m Hàm số nghịch biến R f '(x) 3mx 6mx m 0, x R *m = 0, f’(x) = x R m * m 0, f '(x) 3mx 6mx m R 0, x 6m m Vậy, với m thỏa mãn tốn Ví dụ 6: Tất giá trị thực tham số m để hàm số y 1; A m B m Nhiều học sinh giải sau +TXĐ: D R| m y' m C m 6m x nghịch biến x m D m Hàm số nghịch biến (x m)2 1;y' 0m m Nên học sinh chọn đáp án D (đáp án sai) Nguyên nhân sai học sinh không nắm vững chất 1; D R| m * Có em lại giải sau: +TXĐ: D m R| m y' Hàm số nghịch biến 1; (x m) y' m [1; ) m0 0m1m1 Nên học sinh chọn đáp án A (đáp án sai) Nguyên nhân sai học sinh sử dụng định lí mở rộng đồng biến, ngịch biến hàm số ( y' 0) * Lời giải đúng: m TXĐ: D R| m y' Hàm số nghịch biến (x m)2 1; y' m m [1; ) m1 m1 Chọn đáp án C Ví dụ 7: Tìm tất giá trị m để hàm số y khoảng 2sin x đồng biến 2sin x m ; Nhiều học sinh giải sau: Đặt t = sinx, x ; t (0;1) Nên toán trở thành tìm m để hàm số y m m 1 2t đồng biến khoảng 0;1 2t m m2 2m Nguyên nhân sai học sinh khơng nắm vững tính đồng biến, nghịch biến hàm số y=sinx khoảng 2; Lời giải là: Đặt t = sinx, x ; t (0;1) ; Vì hàm số y sin x nghịch biến khoảng Nên toán trở thành tìm m để hàm số y 2t nghịch biến khoảng 2t m 0;1 m m Hàm số cần xác định y ' m 2m Vậy m Ví dụ Tìm m để hàm số y (0; x3 3x 3mx nghịch biến khoảng ) Nhiều học sinh “máy móc” sử dụng xét dấu tam thức bậc hai để giải toán, nên xét không hết trường hợp xảy dẫn đến kết sai Trong trường hợp ta nên sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải Lời giải Ta có y ' x x 3m Hàm số nghịch biến (0; m x ) y' x (0; ) x f ( x ) x (0; ) Xét hàm số f ( x ) x 2x Bảng biến thiên: (0; ) có f ( x ) x 2; f ( x ) x x f’(x) f(x) - -1 + + + Từ bảng biên thiên ta có y' x (0; ) m Vậy với m 1, hàm số cho nghịch biến (0; ) Tuy nhiên việc sử dụng ứng dụng đạo hàm để xác định tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng D, số học sinh mắc số sai lầm cụ thể ví dụ sau: 1x3 m Ví dụ 9: Giá trị m để hàm số y x m x đồng biến 0;3 là: A B m C 12 m 12 m D R Một số học sinh giải tốn sau: Ta có: y x2 m 1x m 10 Hàm số đồng biến 0;3 y 0, x 0;3 x 2 m x m 0, x 0;3 m x2 2x , x 0;3 (2) 2x x2 2x Xét hàm số f ( x ) 2x Bảng biến thiên: 0;3 có x f’(x f(x) + 12 -3 Từ bảng biến thiên suy (2) m Hoặc từ bảng biến thiên kết luận (2) m 12 Hoặc học sinh chọn đáp án D chọn ngẫu nhiên Các kết sai Lời giải đúng: Ta có: y x2 m x m Hàm số đồng biến 0;3 y 0, x 0;3 x 2 m x m 0, x 0;3 x 2 x , x 0;3 (2) 2x Xét hàm số f ( x ) x 2 x 0;3 có m 2x Bảng biến thiên: x + f’(x 12 f(x) -3 12 Từ bảng biến thiên suy (2) m Vậy với m 12 , hàm số cho đồng biến 0;3 III KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết đạt có tốt chưa sử dụng Cụ thể qua việc khảo sát hình 11 thức làm kiểm tra trắc nghiệm lớp 12C1, 12C2 năm học 2016-2017 lớp 12A1, 12A5 năm học 2017-2018 dạng tập sau: ( Bài kiểm tra mang tính khảo sát, khơng lấy điểm, học sinh cố gắng làm hết lực thân; Việc kiểm tra diễn khách quan, nghiêm túc, hiệu quả) Các tập khảo sát:( Kiểm tra trắc nghiệm) Câu 1: Cho hàm số y 2x 4x2 Hãy chọn mệnh đề sai bốn phát biểu sau: A Trên khoảng ; 0;1 , y ' nên hàm số nghịch biến B Hàm số nghịch biến khoảng ; 0;1 C.Hàm số đồng biến khoảng ; 1; D Trên khoảng 1; 1; , y ' nên hàm số đồng biến 1x3 y Câu 2: Hàm số khi: m x2 m 1x đồng biến tập xác định C m m D m Câu 3: Giá trị m để hàm số y mx nghịch biến khoảng xác A m B m x m định là: A m Câu 4: Hàm số y A 3; b m c m d m x mx m đồng biến (1;2) m thuộc tập sau đây: 3 B ;3 C ;3 D.; 2 Kết khảo việc giải tập năm học 2016-2017 hai lớp 12C1 12C2 Lớp SS Điểm Điểm 2.5 Điểm Điểm 7.5 Điểm 10 SL % SL % SL % SL % SL % 12C 40 % 10 25% 15 37.5 12 30% 2.5 % % 12C 42 7.1 20 47.7 14 33.3 11.9 0 % % % % Kết khảo việc giải tập năm học 2017-2018 hai lớp 12A1 12A5 Lớp SS Điểm Điểm 2.5 Điểm Điểm 7.5 Điểm 10 SL % SL % SL % SL % SL % 12A 38 0 5.3% 18.4 21 55.3 19% % % 12 12A 41 0 12.2 17 41.5 16 39% 7.3 % % % Như vậy, qua kết ta thấy đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh phần áp dụng vào giải tốn liên quan khác đem lại hiệu rõ rệt PHẦN 3: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Trước hết, đề tài nhằm cung cấp cho thầy cô giáo em học sinh trường THPT Triệu Thị Trinh tài liệu tham khảo Thông qua đề tài học sinh nắm vững chất tính đồng biến, nghịch biến, biết cách giải tốn liên quan, học sinh có nhìn sâu sắc sai lầm thường mắc phải giải toán Đồng thời, qua sai lầm mà rút cho kinh nghiệm phương pháp giải toán trắc nghiệm cho thân Ở cấp độ trường THPT Triệu Thị Trinh, đề tài áp dụng để cải thiện phần chất lượng mơn, củng cố phương pháp giải tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học ; giúp học sinh hiểu rõ chất khái niệm, định nghĩa, định lí kiến thức liên quan học, giúp em tránh khỏi lúng túng trước tốn đặt khơng mắc phải sai lầm thường gặp Trong khuôn khổ viết này, tơi đưa số sai lầm mà học sinh thường mắc phải mà phân tích hết tất sai lầm học sinh không tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến Hội đồng khoa học trường Trung học phổ thông Triệu Thị Trinh, Hội đồng khoa học Sở Giáo dục Đào tạo Thanh Hóa quý thầy cô KIẾN NGHỊ ( Không) XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Đình Quyền 13 Mục lục tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa, sách tập giải tích lớp 12 nâng cao Một số đề thi thử THPT Quốc gia số trường nước Các dạng tập trắc nghiệm đồng biến, nghịch biến hàm số 14 ... vấn đề tồn năm học trước khắc phục cách có hiệu Vì tơi viết sáng kiến kinh nghiệm " Khắc phục số sai lầm học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Thị Trinh giải tốn liên quan đến xác định tính đồng biến,... thấy đề tài khắc phục sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập toán liên quan đến việc xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh phần áp... HIỆN Để khắc phục sai lầm mà học sinh thường gặp phải giải toán liên quan đến xác định tính đồng biến hàm số, nghiên cứu đề tài đưa biện pháp sau: 1.1 Bổ sung, hệ thống kiến thức mà học sinh chưa