Phân tích một số sai lầm của học sinh lớp 12 khi ứng dụng đạo hàm để giải toán và cách khắc phục

S GIO DC V O TO THANH HO TRNG THPT Lấ LI SNG KIN KINH NGHIM PHN TCH MT S SAI LM CA HC SINH LP 12 KHI NG DNG O HM GII TON V CCH KHC PHC Ngi thc hin: Th Hng Hnh Chc v: Hiu trng SKKN thuc lnh mc (mụn): Toỏn THANH HO - NM 2017 MC LC Phn 1: M u 1 Lý chn ti Mc ớch nghiờn cu i tng nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu Phn 2: Ni dung Chng I: C s lớ lun Ni dung chng trỡnh 1.1 nh ngha v tớnh n iu ca hm s 1.2 Tớnh cht ca cỏc hm s ng bin, nghch bin 1.3 Cụng thc tớnh o hm 1.4 Quy tc xột tớnh n iu ca hm s 1.5 Quy tc tỡm im cc tr ca hm s 1.6 Giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s 1.7 V phng trỡnh tip tuyn ca th hm s Sai lm thng gp gii toỏn Chng II: Thc trng ca ti Chng III: Bin phỏp thc hin v kt qu ca ti I Bin phỏp thc hin II Nghiờn cu thc t Phõn tớch nhng sai lm thụng qua mt s vớ d minh 1.1 Sai lm xột tớnh n iu ca hm s 1.2 Sai lm chng minh bt ng thc 1.3 Sai lm gii cỏc bi toỏn liờn quan ti o hm 1.4 Sai lm gii cỏc bi toỏn liờn quan ti cc tr ca hm s 10 1.5 Sai lm gii bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s 1.6 Sai lm vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s 13 15 Bi tng t 15 III 16 Kt qu nghiờn cu Phn 3: Kt lun v kin ngh 18 Ti liu tham kho 20 PHN 1: M U I Lý chn ti Trong chng trỡnh toỏn ph thụng, o hm l mt khỏi nim rt quan trng, ni dung ng dng o hm kho sỏt v v th ca hm s cú mt v trớ c bit quan trng, chim hu ht s tit cú chng trỡnh Gii tớch lp 12 o hm l mt cụng c gii quyt rt nhiu bi toỏn cỏc thi THPT QG cng nh cỏc thi hc sinh gii ca cỏc tnh Mc dự ng dng ca o hm rng nh vy, nhng quỏ trỡnh ging dy tụi nhn thy cỏc em hc sinh hay gp khú khn n vic dng o hm gii quyt cỏc tỡnh cỏc bi toỏn kho sỏt v v th hm s Cỏc em thng hay mc nhng sai lm khụng hiu rừ bn cht ca cỏc kin thc liờn quan n o hm Vớ d, mi hc v cc tr, hc sinh thng hiu rng cc i ca hm s luụn ln hn cc tiu; hay mc nh cc i l giỏ tr ln nht ca hm s T thc trng trờn, giỳp hc sinh nm chc cỏc kin thc v o hm, cú k nng ng dng o hm gii cỏc bi toỏn liờn quan n kho sỏt hm s, tụi chn ti "Phõn tớch mt s sai lm ca hc sinh lp 12 ng dng o hm gii toỏn v cỏch khc phc " II Mc ớch nghiờn cu Ch cho hc sinh thy nhng sai lm thng mc phi Qua ú, hc sinh hiu ỳng bn cht ca Bi dng cho hc sinh v phng phỏp, k nng gii toỏn Qua ú hc sinh nõng cao kh nng t duy, sỏng to III i tng nghiờn cu Cỏc bi toỏn liờn quan n o hm v ng dng ca o hm gii toỏn gii tớch lp 12 IV Phng phỏp nghiờn cu - Phng phỏp iu tra - Phng phỏp i chng - Phng phỏp nghiờn cu ti liu PHN 2: NI DUNG CHNG I: C S L LUN Ni dung chng trỡnh (Chng I - Gii tớch 12 - Ban c bn) Hc sinh cn nm c mt s sau õy (liờn quan n ni dung v phm vi nghiờn cu ca ti) 1.1 nh ngha v tớnh n iu ca hm s: + Hm s y = f(x) ng bin trờn khong K nu vi mi x1, x2 thuc K, x1 < x2 f(x1) < f(x2) + Hm s y = f(x) nghch bin trờn khong K nu vi mi x1, x2 thuc K, x1 < x2 f(x1) > f(x2) 1.2 Tớnh cht ca cỏc hm s ng bin, nghch bin: + Nu f(x) v g(x) l hai hm s cựng ng bin (hoc nghch bin) trờn D thỡ tng f(x) + g(x) cng l hm s ng bin (hoc nghch bin) trờn D Tớnh cht ny núi chung khụng ỳng vi hiu f(x) - g(x) + Nu f(x) v g(x) l hai hm s dng, cựng ng bin (hoc nghch bin) trờn D thỡ tớch f(x)g(x) cng l hm s ng bin (hoc nghch bin) trờn D Tớnh cht ny núi chung khụng ỳng vi tớch f(x)g(x) f(x) v g(x) l hai hm s khụng cựng dng trờn D 1.3 Cụng thc tớnh o hm: Hm s hp y = u cú o hm y ' = .u 1.u' (*) + Cụng thc (*) ch ỳng vi s m l hng s + Nu khụng nguyờn thỡ cụng thc (*) ch ỳng u nhn giỏ tr dng 1.4 Quy tc xột tớnh n iu ca hm s: + nh lớ: Cho hm s y = f(x) cú o hm khong K (Kớ hiu K l khong, on hoc na khong) a Nu f '(x) > vi x K thỡ hm s f(x) ng bin trờn K b Nu f '(x) < vi x K thỡ hm s f(x) nghch bin trờn K c Nu f '(x) = vi x K thỡ hm s f(x) khụng i trờn K * Quy tc xột tớnh n iu ca hm s l iu kin ch khụng phi iu kin cn nh lớ m rng: nu hm s y = f(x) xỏc nh v cú o hm trờn K, f '(x) ( f '(x) Ê ), x K v du "=" xy ch ti hu hn im thuc K thỡ hm s y = f(x) ng bin(nghch bin) trờn K 1.5 Quy tc tỡm im cc tr ca hm s: + nh lớ 1: Gi s hm s y = f(x) liờn tc trờn khong K = (x0 h; x0 + h) v cú o hm trờn K hoc trờn K \ { x0} , vi h > a Nu f '(x) > trờn khong (x0 h; x0) v f '(x) < trờn khong (x0; x0 + h) thỡ x0 l mt im cc i ca hm s f(x) b Nu f '(x) < trờn khong (x0 h; x0) v f '(x) > trờn khong (x0; x0 + h) thỡ x0 l mt im cc tiu ca hm s f(x) + nh lớ 2: Gi s hm s y = f(x) cú o hm cp hai khong (x0 h;x0 + h) , vi h > Khi ú: a Nu f '(x0) = 0, f ''(x0) > thỡ x0 l im cc tiu b Nu f '(x0) = 0, f ''(x0) < thỡ x0 l im cc i * Quy tc tỡm im cc tr ca hm s l iu kin ch khụng phi iu kin cn Do vy, iu ngc li núi chung khụng ỳng 1.6 Giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s: f(x) m , x D f(x) M , x D f ( x ) , M = max D x0 D : f(x0 ) = M x0 D : f(x0 ) = m m= f(x) D * Nu f(x) m , x D (hay f(x) M , x D ) nhng khụng x0 D : f(x0) = m (hay x0 D : f(x0) = M ) thỡ du "=" khụng xy Khi ú, m (hay M) khụng phi l giỏ tr nh nht (hay giỏ tr ln nht) ca hm s f(x) trờn D * Khi tỡm giỏ tr nh nht (hay giỏ tr ln nht) ca hm s f(x) trờn D m chuyn sang xột giỏ tr nh nht (hay giỏ tr ln nht) ca hm s g(t) vi phộp t t = u(x) thỡ cn chuyn i iu kin c bi toỏn tng ng 1.7 V phng trỡnh tip tuyn ca th hm s: Phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ca hm s y = f(x): + Tip tuyn ti im M0(x0;y0) (C) cú phng trỡnh: y = f '(x0).(x - x0) + y0 + Tip tuyn vi (C) cú h s gúc k, i qua im M1(x1;y1) cú phng trỡnh: f(x) = k(x x1) + y1 y = k.(x - x1) + y1 Trong ú h s gúc k tha h: f '(x) = k (*,*) * Nu im M1(x1;y1) núi trờn thuc (C) thỡ h s gúc k tha h (*,*) Trong trng hp ny, s tip tuyn cú th nhiu hn tip tuyn Sai lm thng gp gii toỏn 2.1 Sai lm bi toỏn xột tớnh n iu ca hm s, khụng nm vng nh ngha v tớnh n iu ca hm s hay khụng chỳ ý ti cỏc im ti hn ca hm s 2.2 Sai lm bi toỏn chng minh bt ng thc, khụng nh chớnh xỏc tớnh n iu ca hm s dng hoc dng sai tớnh cht ca cỏc hm ng bin, nghch bin 2.3 Sai lm vic gii cỏc bi toỏn liờn quan ti o hm, dng sai cụng thc tớnh o hm hay hiu sai cụng thc o hm ca hm s ly tha vi s m thc 2.4 Sai lm vic gii cỏc bi toỏn liờn quan ti cc tr ca hm s, dng sai v iu kin hm s cú cc tr hay iu kin hm s n iu trờn khong (a;b) 2.5 Sai lm vic gii cỏc bi tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s trờn mt D, chuyn i sang bi toỏn khụng tng ng 2.6 Sai lm vic gii cỏc bi toỏn vit phng trỡnh tip tuyn i qua mt im M1(x1;y1) thuc th (C) ca hm s CHNG II: THC TRNG CA TI Trong thc t, hc sinh hc chng I ng dng o hm kho sỏt v v th hm s thng gp phi nhng khú khn sau: - Khụng nm vng nh ngha v tớnh n iu ca hm s trờn mt khong, khụng hiu chớnh xỏc v nh ngha im ti hn ca hm s - Khụng nm vng iu kin hm s n iu trờn mt khong - Khụng nm vng iu kin hm s t cc tr ti mt im x0 - Khụng nm vng nh ngha v giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s trờn mt D - Khụng nm vng bn cht s khỏc gia tip tuyn ti mt im thuc th hm s vi tip tuyn k t mt im n th hm s ó cho CHNG III: BIN PHP THC HIN V KT QU NGHIấN CU CA TI I Bin phỏp thc hin khc phc nhng khú khn m hc sinh thng gp phi, nghiờn cu ti tụi ó a cỏc bin phỏp nh sau: B sung, h thng nhng kin thc c bn m hc sinh thiu ht - Phõn tớch k cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lớ hc sinh nm c bn cht ca cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lớ ú - a cỏc vớ d, phn vớ d minh cho cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lớ - So sỏnh gia cỏc khỏi nim, cỏc quy tc hc sinh thy c s ging v khỏc gia chỳng - Ch cỏc sai lm m hc sinh d mc phi Rốn luyn cho hc sinh v mt t duy, k nng, phng phỏp - Thao tỏc t duy: phõn tớch, so sỏnh, - K nng: lp lun , chn phng ỏn phự hp gii quyt - Phng phỏp: phng phỏp phõn tớch, tng hp, tỡm oỏn, loi tr, quy l v quen i mi phng phỏp dy hc (Ly hc sinh lm trung tõm) - S dng phng phỏp dy hc phự hp vi hon cnh thc t - To hng thỳ, am mờ, yờu thớch mụn hc cho hc sinh - S dng phng tin dy hc, thit b dy hc nhm lm cho bi ging sinh ng hn, bt khụ khan v hc sinh khụng cm thy nhm chỏn Chng hn s dng bng ph, phiu hc tp, s dng giỏo ỏn in t kt hp vi vic trỡnh chiu th hm s, cỏc hỡnh v, hỡnh ng liờn quan trc tip ti bi ging i mi vic kim tra, ỏnh giỏ - Kt hp gia t lun v trc nghim khỏch quan vi mc nhn thc: nhn bit - thụng hiu - dng thp - dng cao - Giỏo viờn ỏnh giỏ hc sinh - Hc sinh ỏnh giỏ hc sinh Giỏo viờn cú phng phỏp dy hc, hỡnh thc dy hc cho phự hp vi tng loi i tng hc sinh, ch cho hc sinh nhng sai lm thng mc phi gii cỏc bi toỏn v ng dng o hm kho sỏt v v th hm s - bi toỏn liờn quan Hng dn cho hc sinh t hc, t lm bi Phõn dng bi v phng phỏp gii - H thng kin thc c bn - Phõn dng bi v phng phỏp gii - a cỏc bi tng t, bi nõng cao - Sau mi li gii cn cú nhn xột, cng c v phỏt trin bi toỏn, suy kt qu mi, bi toỏn mi Nh vy hc sinh s cú t linh hot v sỏng to II Nghiờn cu thc t Phõn tớch nhng sai lm thụng qua mt s vớ d minh 1.1 Sai lm xột tớnh n iu ca hm s * Cỏc em thng mc phi sai lm khụng nm vng nh ngha v tớnh n iu ca hm s Vớ d minh 1: Xột tớnh n iu ca hm s: y = f(x) = Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Tp xỏc nh: D = Ă \ { - 1} x x+ Ta cú: y' = (x+ 1)2 > 0,x D Bng bin thiờn: x y' y -1 - + + + +Ơ 1 - Ơ Suy ra: Hm s ng bin trờn (- Ơ ;- 1) ẩ (- 1; +Ơ ) Phõn tớch: Li gii trờn cú v nh ỳng ri, nu ta khụng chỳ ý n kt lun ca bi toỏn! Chỳ ý rng: nu hm s y = f(x) ng bin trờn D thỡ vi mi x1, x2 thuc D, x1 < x2 f(x1) < f(x2) Trong kt lun ca bi toỏn, nu ta ly x1 = - ẻ D v x2 = ẻ D thỡ x1 < x2 nhng f(x1) = > - = f(x2) ? Li gii ỳng l: Tp xỏc nh: D = Ă \ { - 1} Ta cú: y' = (x+ 1)2 > 0,x D Bng bin thiờn: x -Ơ y' y +Ơ -1 + + +Ơ -Ơ Suy ra: Hm s ng bin trờn tng khong (- Ơ ;- 1) v (- 1; +Ơ ) * Nhiu cỏc em khụng chỳ ý n cỏc im ti hn ca hm s, vỡ vy vic xột du ca o hm y' s b sai Vớ d minh 2: Xột tớnh n iu ca hm s: y = f(x) = x 1+ x2 Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Tp xỏc nh: D = [- 2; ] Ta cú: y' = x x2 ; y' = x = = x2 = x x2 = x2 x2 x = x Trờn tng khong gia hai im ti hn liờn tip nhau, f '(x) luụn gi nguyờn mt du, vỡ f '(0) > nờn ta cú bng bin thiờn nh sau: x - -2 y' - + -3 2 - 2- y -1 Suy ra: hm s ng bin trờn khong (- 2; 2) v nghch bin trờn cỏc khong (- 2; - 2) v ( 2; 2) Phõn tớch: Nu ý bng bin thiờn ta thy mt iu vụ lý l trờn on ộ - 2; - ự ỳ ỷgiỏ tr ca hm s gim t -3 xung - ??? Thc õy - khụng phi l im ti hn ca hm s Li gii ỳng l: Ta cú: y' = Tp xỏc nh: D = [- 2; ] x x2 x x y' = = x2 = x x= 2 x2 x = x Trờn tng khong gia hai im ti hn liờn tip nhau, f '(x) luụn gi nguyờn mt du, vỡ f '(0) > nờn ta cú bng bin thiờn nh sau: x y' -2 + - 2- y -3 Suy ra: hm s ng bin trờn khong (- 2; 2) v nghch bin trờn khong ( 2; 2) 1.2 Sai lm chng minh bt ng thc * Khi s dng tớnh n iu ca hm s chng minh bt ng thc, hc sinh thng mc phi sai lm l khụng nh chớnh xỏc nh ngha tớnh n iu ca hm s dng Vớ d minh 3: (Bi 5, trang 10, sỏch giỏo khoa gii tớch 12 - ban c bn) ổ pử ữ Chng minh rng: tanx > x, vi " x ẻ ỗ ỗ ỗ0; ữ ữ ố ứ Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: ổ pử ữ Xột hm s f(x) = tanx - x, vi x ẻ ỗ ỗ ỗ0; ữ ữ ố ứ Ta cú: f '(x) = - = tan x > , " x ẻ cos x ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ, suy hm s f(x) ng bin trờn ỗ ố 2ữ ứ ổ pử ữ khong ỗ ỗ ỗ0; ữ ữ ố ứ ổ pử ữ T x > ị f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - hay tanx > x, vi " x ẻ ỗ ỗ ỗ0; ữ ữ ố ứ Phõn tớch: Li gii trờn cú v ỳng, vy sai lm nm õu(?) Sau kt lun f(x) ổ pử ữthỡ vỡ t x > ị f(x) > f(0) ??? ng bin trờn khong ỗ ỗ ỗ0; ữ ữ ố ứ ổ pử ữ Sai lm õy l ẽ ỗ ỗ ỗ0; ữ ữ ố ứ Nh rng: nu f(x) ng bin trờn on [a; b ] (tc l f(x) liờn tc trờn [a; b ] v f '(x)> vi " x ẻ ( a; b) ) thỡ vi " x1 , x ẻ [a; b ], x1 > x ị f (x1 ) > f (x ) Li gii ỳng l: ộ pử 0; ữ Xột hm s f(x) = tanx - x, vi x ẻ ữ ữ 2ứ ộ pử - = tan x , " x ẻ ờ0; ữ ữ ữ, du "=" xy ch ti x = 0, suy cos x 2ứ ộ pử 0; ữ hm s f(x) ng bin trờn na khong ữ ứ 2ữ Ta cú: f '(x) = T x > ị f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - hay tanx > x, vi " x ẻ ổ pử ỗ 0; ữ ỗ ữ ỗ ố 2ữ ứ * Cỏc em cng hay mc nhng sai lm dng sai tớnh cht ca cỏc hm ng bin, nghch bin Vớ d minh 4: Chng minh rng nu vi " x ẻ Ă , x > - thỡ x.ex > - e Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Xột cỏc hm s f(x) = x, g(x) = e x l cỏc hm ng bin trờn Ă Suy hm s h(x) = x.ex l tớch ca hai hm ng bin nờn cng ng bin trờn Ă Suy ra, t x > - ị h(x) > h(-1) hay x.ex > - e Phõn tớch: 10 Li gii trờn sai lm ch: tớch ca hai hm ng bin l mt hm ng bin ch ỳng hai hm ú dng (!) Li gii ỳng l: Xột hm s f(x) = x.ex, ta cú f '(x)= ex(x+1) , " x - , du "=" xy ch ti x= -1 Suy ra, hm s ng bin trờn na khong [- 1; +Ơ ) T x > - ị f(x) > f(-1) hay x.e x > - "x >- e 1.3 Sai lm gii cỏc bi toỏn liờn quan ti o hm * Sai lm dng cỏc cụng thc tớnh o hm Vớ d minh 5: Tớnh o hm ca hm s y = (2x+1)x.vi x > - , xạ Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Ta cú y' = x(2x +1) x- (2x +1) ' = 2x.(2x +1) x- Phõn tớch: Li gii trờn ó dng cụng thc ( u ) ' = a u u ' Vn dng nh vy l sai, vỡ cụng thc ny ch ỏp dng cho s m a l mt hng s a a- Li gii ỳng l: iu kin: x > - , x (khi ú y > 0) y' 2x T y = (2x+1)x ị ln y = x.ln(2x +1) ị (ln y ) ' = ( x.ln(2x +1)) ' ị y = ln(2x +1) + 2x +1 ộ 2x ự ỳ ị y ' = (2x +1)x ờln(2x +1) + 2x +1 ỳ ỷ * Sai lm tớnh o hm ca hm s ti mt im Cỏc em hay mc phi sai lm dng ny l ỏp dng cụng thc ( u ) ' = a u u ' , a ẻ Ă , nhng quờn rng nu nh a khụng nguyờn thỡ cụng thc ny ch ỳng u nhn giỏ tr dng a a- Vớ d minh 6: Cho hm s y = x2 cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im cú honh x = - Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Vi x = - ta cú y = (- 1)2 = 2 - Ta cú y = x suy y ' = x 3 2 2ộ - 16 2ự 6 (- 1) ỳ y '(-1) = (- 1) = (- 1) = ỷ = = 3 3ở 11 3 Vy phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y = (x +1) +1 hay y = x + Phõn tớch: Sai lm õy l cỏc em khụng chỳ ý n iu kin ly tha vi s m khụng nguyờn thỡ c s phi dng Vỡ vy, vit (- 1)- l khụng ỳng (!) Li gii ỳng l: Vi x = - ta cú y = (- 1)2 = 2x 2 Ta cú y3 = x2 ị (y3)'= (x2)' ị 3.y2 y ' = 2x ị y ' = 3y = ị y '(-1) = x Vy phng trỡnh tip tuyn cn tỡm l: y =- 2 (x +1) +1 hay y =- x + 3 1.4 Sai lm gii cỏc bi toỏn liờn quan ti cc tr ca hm s * Khi s dng quy tc I xột tớnh n iu ca hm s cỏc em quờn rng ú l iu kin ch khụng phi l iu kin cn Quy tc: y ' > , " x ẻ (a; b) ị hm s ng bin trờn khong (a;b) y ' < , " x ẻ (a; b) ị hm s nghch bin trờn khong (a;b) iu ngc li núi chung l khụng ỳng (!) Vớ d minh 7: Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s y = x - mx2 + x- ng bin trờn Ă Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: Tp xỏc nh: D = Ă ùỡ a > ùợ D ' < y ' = 3x2 - 2mx + Hm s ng bin trờn Ă y ' > , " x ẻ Ă ùớù ỡù >0 ùớ ùùợ m - < 3 ùỡ f '(x ) = ị x l im cc i ùớù ùợ f ''(x ) < iu ngc li núi chung l khụng ỳng (!) Vớ d minh 8: Cho hm s y = f(x) = mx Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s t cc i ti x = ? Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2 ùỡ f '(0) = ùỡ 4m.0 = ùớ iu kin hm s t cc i ti x = l: ùớù h vụ nghim m ùùợ 12m.0 < ùợ f ''(0) < Vy khụng tn ti giỏ tr no ca m hm s t cc i ti x = Phõn tớch: Ta thy, vi m = - 1, hm s y = - x4 cú y ' = - 4x3 , y ' = x = Bng bin thiờn: x - y' y + 0 + - -Ơ -Ơ Suy hm s t cc i ti x = (!) Vy li gii trờn sai õu ??? ỡù f '(x ) = ị x l im cc i ca hm s, cũn iu Nh rng, nu x0 tha ùớù ùợ f ''(x ) < ngc li thỡ cha chc ỳng (!) Vỡ nu x0 l im cc i thỡ cú th f ''(x0) = Lớ l iu kin f ''(x0) < ch l iu kin hm s g(x) = f '(x) nghch bin lõn cn (x0 - h; x0 + h) (vi h > 0), ú: ỡùù f '(x) > f '(x ) = 0, " x ẻ (x - h; x ) ị x l im cc i ca hm s ùùợ f '(x) < f '(x ) = 0, " x ẻ (x ; x + h) Li gii ỳng l: xột trng hp (m = 0, m > 0, m < 0) 13 m = 0: Ta cú y = f(x) = l hm hng nờn hm s khụng cú cc tr m > 0: Ta cú y ' = 4mx3 , y ' = x = Lp bng bin thiờn ta thy x0 l im cc tiu ca hm s m < 0: Ta cú y ' = 4mx3 , y ' = x = Lp bng bin thiờn ta thy x0 l im cc i ca hm s Kt lun: Hm s t cc i ti x = v ch m < Vớ d minh 9: Cho hm s y = f(x) = x + mx3+ Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s t cc tiu ti x = ? Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx ỡù f '(0) = iu kin hm s t cc tiu ti x = l: ùớù f ''(0) > ùợ ùỡù 4.03 +3m.02 = ùù 12m.0 + 6m.0 > ợ h vụ nghim m Vy khụng tn ti giỏ tr no ca m hm s t cc tiu ti x = Phõn tớch: Ta thy, vi m = 0, hm s y = x4 + y ' = 4x3 , y ' = x = Bng bin thiờn: x y' -Ơ +Ơ +Ơ - y + +Ơ Suy hm s t cc tiu ti x = (!) Li gii ỳng l: Cỏch 1: ỡù f '(x) < 0, " x ẻ (- h;0) (1) hm s t cc tiu ti x = thỡ ùớù (vi h > 0) ùợ f '(x) > 0, " x ẻ ( ; h) (2) ùỡù " x ẻ (- h;0) ỡùù " x ẻ (- h;0) 3m ùỡ " x ẻ (- h;0) ù ùớ m Ê (1') (1) ớù 3m ùùợ 4x + 3m < ùù x < ùợ 4x + 3mx < ợù 14 ỡù " x ẻ (0; h) (2) ùớù ùợ 4x + 3mx > ùỡù " x ẻ (0; h) ùùợ 4x + 3m > ỡù " x ẻ (0; h) ù 3m ùớ Ê m (2') 3m ùù x > 4 ùợ T (1') v (2') suy m = Vy vi m = thỡ hm s ó cho t cc tiu ti x = Cỏch 2: xột trng hp (m = 0, m > 0, m < 0) m = 0: Ta cú y = x4 + cú y ' = 4x3 , y ' = x = Bng bin thiờn: x y' y -Ơ +Ơ - + +Ơ +Ơ Suy hm s t cc tiu ti x = m > 0: Ta cú y ' = x2(4x + 3m) , y ' = x = hoc x = - 3m Lp bng bin thiờn ta thy y ' khụng i du qua x = (nghim bi bc chn) Do ú hm s khụng cú cc tr ti x = m < 0: Ta cú y ' = x 2(4x + 3m), y ' = x = hoc x = - 3m Lp bng bin thiờn ta thy y ' khụng i du qua x = (nghim bi bc chn) Do ú hm s khụng cú cc tr ti x = Kt lun: vi m = thỡ hm s ó cho t cc tiu ti x = 1.5 Sai lm gii bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s * Cỏc em thng mc sai lm khụng nm vng nh ngha giỏ tr ln nht (GTLN) v giỏ tr nh nht (GTNN) ca hm s trờn mt D Vớ d minh 10: Tỡm giỏ tr nh nht ca hm s y = f(x) = cos x + ổ 1 ữ ỗ + cosx + - ỗ ữ ỗ ố ứ cos x cosx ữ Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: t t = cosx + 1 ị cos x + = t2 - cosx cos x Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - = (t+1)2 - - 4, " t ẻ Ă Vy f (x) =- , t = - 15 Phõn tớch: Sai lm õy l chuyn bi toỏn khụng tng ng Giỏ tr nh nht ca hm f(x) khụng trựng vi giỏ tr nh nht ca hm g(t), " t ẻ Ă Cú th thy t = - thỡ khụng tn ti giỏ tr ca x cosx + = - (!) cosx f(x) m , x D x0 D : f(x0 ) = m f(x) Nh rng, s m= D Li gii ỳng l: ỡp ỹ , vi x ẻ D = Ă \ ùớù + kp , k ẻ Â ùý ùỵ cosx ù ợù 1 ị t = cosx + = cosx + cosx cosx t t = cosx + Du "=" xy v ch cosx = Khi ú: cos x + = t2 - cos x Ta c hm s: g(t) = t2 + 2t - Lp bng bin thiờn hm s g(t) (vi t ): t g '(t) -Ơ +Ơ -2 - - -1 +Ơ + + g(t) +Ơ -3 g(t) = - f(x) = Da vo bng bin thiờn, ta suy ra: m= t2 D t c t = - cosx + =- cosx cosx =- x =p+k 2p , k ẻ Â 1.6 Sai lm vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s Vớ d minh 11: Cho hm s y = f(x) = - x3 + 3x2, cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn ú i qua im A(-1;4) Mt s hc sinh trỡnh by nh sau: y f '(x) = - 3x2 + 6x 16 -1 -5 x Ta cú: A im A(-1;4) ẻ th (C) suy phng trỡnh tip tuyn l: y = f '(-1).(x+1)+4 y =- 9( x +1) + y =- 9x - Phõn tớch: Phng trỡnh tip tuyn y =- 9x - l tip tuyn ti A (nhn A lm tip im) tt nhiờn l k t A Nhng cú th cú tip tuyn ca th (C) i qua A m khụng nhn A lm tip im Li gii ỳng l: Phng trỡnh ng thng (d) i qua im A(-1;4) v cú h s gúc k l: y = k(x + 1) + iu kin ng thng (d) l tip tuyn ca th (C) l h sau cú nghim: ùỡù - x3 + 3x2 = k ( x +1) + (I) ùù k =- 3x + 6x ợ ỡù x3 - 3x - = ộx = 2, k = H (I) ùớù ởx =- 1, k =- ùợ k =- 3x + 6x T ú ta cú hai tip tuyn cú phng trỡnh: y = v y = - 9x - Bi tng t Bi 1: Xột tớnh n iu ca cỏc hm s sau: a y = 2x + 1- x b y = x + x +1 x +1 c y = cosx - sinx Bi 2: Xỏc nh m hm s sau khụng cú cc tr: x + 2mx - y= x- m Bi 3: Tỡm cc tr ca cỏc hm s sau: a y = (7 - x) x + b y = cosx - sinx c y = sin2x Bi 4: Xỏc nh m hm s sau t cc tr ti x = 1: ổ my = x - mx +ỗ ỗ ỗ ố 2ữ x +5 ữ ứ 3ữ Bi 5: Xỏc nh a hm s sau luụn ng bin trờn Ă : y= (a - 1)x3 + ax +( 3a - 2) x Bi 6: Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca cỏc hm s sau: 17 a y = x + 3x - 72x + 90 trờn on [- 5;5] ộ 3p ự ỳ ỳ ỷ 0; b y = 2sinx + sin2x trờn on ờ c y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + Bi 7: Cho hm s y = (x + 1) (2 - x) , cú th (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) bit tip tuyn ú i qua im M(2;0) Bi 8: Chng minh cỏc bt ng thc sau: x - x a e - e 2ln x + 1+ x , " x x ự b 8sin +sin 2x > 2x, " x ẻ ộ ở0; pỷ Bi 9: Vi cỏc giỏ tr no ca tham s m thỡ phng trỡnh: x - x = m( x - 1) cú nghim thc phõn bit ? ( ) III Kt qu nghiờn cu Qua nghiờn cu, ng dng ti vo thc tin ging dy tụi nhn thy kt qu t c cú kh quan hn C th qua mt s kt qu thu hoch c kho sỏt tỡnh hỡnh gii bi toỏn lp cú hc lc tng ng nhau, lp 12A9 ó ỏp dng ti v lp 12A10 cha ỏp dng ti, kt qu nh sau: Bi s 1: Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s y= x + mx + t cc tiu ti x = x+m S liu thng kờ qua bng sau õy: Lp 12A9 (s hc sinh tham gia kho sỏt: 35) Khụng gii c Gii sai Gii ỳng S lng 28 Phn trm 5,71% 14,29% 80% Lp 12A10 (s hc sinh tham gia kho sỏt: 35) Khụng gii c Gii sai Gii ỳng S lng 16 11 Phn trm 22,86% 45,72% 31,42% 2x+ Bi s 2: Xột tớnh n iu ca hm s y = f(x) = 3x S liu thng kờ qua bng sau õy: 18 Lp 12A9 (s hc sinh tham gia kho sỏt: 35) Khụng gii c Gii sai Gii ỳng S lng 30 Phn trm % % % Lp 12A10 (s hc sinh tham gia kho sỏt: 35) Khụng gii c Gii sai Gii ỳng S lng 22 Phn trm % % % p Bi s 3: Chng minh: s inx + t anx > 2x, " x ẻ (0; ) S liu thng kờ qua bng sau õy: Lp 12A9 (s hc sinh tham gia kho sỏt: 35) Khụng gii c Gii sai Gii ỳng phng phỏp S lng 25 Phn trm % % % Lp 12A10 (s hc sinh tham gia kho sỏt: 35) Khụng gii c Gii sai Gii ỳng S lng 15 13 Phn trm % % % Nh vy, bc u ti ó khc phc c c bn nhng sai lm ca hc sinh thng mc phi gii cỏc bi toỏn liờn quan n vic ng dng o hm kho sỏt v v th hm s, cỏc bi toỏn liờn quan ; ti ó gúp phn nõng cao cht lng hc ca hc sinh v em li hiu qu rừ rt Trong thi gian ti, ti ny s tip tc c ỏp dng vo thc tin ging dy nh trng v mong rng s t c hiu qu tt p nh ó tng t c quỏ trỡnh thc nghim PHN 3: KT LUN - KIN NGH I Kt lun 19 Thụng qua nhng sai lm ca hc sinh, nu ta bit cỏch nhỡn nhn nú, kp thi un nn v sa cha nú thỡ s giỳp hc sinh ghi nh lõu hn tri thc ó c hc, ng thi s giỳp hc sinh trỏnh c nhng sai lm tng t; bi dng thờm v mt t Trc ht, ti ny nhm cung cp cho cỏc thy cụ giỏo v cỏc em hc sinh nh mt ti liu tham kho Vi lng kin thc nht nh v o hm v cỏc ng dng ca o hm, vi nhng kin thc liờn quan, ngi hc s cú cỏi nhỡn sõu sc hn v nhng sai lm thng mc phi gii toỏn ng thi, qua nhng sai lm y m rỳt cho mỡnh nhng kinh nghim v phng phỏp gii toỏn cho riờng mỡnh; ngi hc cú th quay tr li kim chng nhng lớ thuyt ó c trang b lm toỏn T ú thy c s lụgic ca toỏn hc núi chung v ca chng ng dng o hm núi riờng, thy c rng o hm l mt cụng c rt "mnh" gii quyt rt nhiu bi toỏn ; hn na, nhng bi toỏn c gii bng cụng c o hm thỡ li gii cng t ngn gn hn, p hn Núi riờng, vi hc sinh thỡ nhng kin thc v o hm cng l tng i khú, nht l i vi nhng em cú lc hc trung bỡnh tr xung Cỏc em thng quen vi vic dng hn l hiu rừ bn cht ca cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lớ cng nh nhng kin thc liờn quan ó c hc ú l cha k sỏch giỏo khoa hin ó gim ti nhiu ni dung khú, mang tớnh tru tng v thm mang tớnh hn lõm ; nhng ni dung ny hc sinh s c tip cn thờm cú c hi hc sõu hn (ch yu bc i hc) cp trng THPT, ti cú th ỏp dng c mt phn ci thin phn no cht lng b mụn, cng c phng phỏp gii toỏn, gúp phn nõng cao cht lng dy v hc; giỳp hc sinh hiu rừ hn bn cht ca cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lớ cng nh nhng kin thc liờn quan ó c hc, giỳp cỏc em trỏnh lỳng tỳng trc mt bi toỏn t v khụng mc phi nhng sai lm thng gp II Kin ngh Nh trờn ó núi, o hm cú rt nhiu ng dng v mt cỏc ng dng ú l kho sỏt, v th hm s v gii cỏc bi toỏn liờn quan Ngoi ra, o hm cũn l cụng c sc bộn gii quyt nhiu dng toỏn khỏc nh gii phng trỡnh, h phng trỡnh, bt phng trỡnh v h bt phng trỡnh; chng minh bt ng thc Chớnh vỡ l ú, tụi hi vng ti s úng gúp mt phn nh vo vic gii cỏc dng toỏn ó nờu trờn; l ti liu tham kho cho cỏc em hc sinh quỏ trỡnh 20 hc toỏn cng nh ụn thi tt nghip v thi vo cỏc trng i hc, Cao ng v Trung hc chuyờn nghip Trong khuụn kh ca bi vit ny, tụi khụng cú tham vng s phõn tớch c ht nhng sai lm ca hc sinh v cng s khụng trỏnh nhng sai sút Vỡ vy, tụi rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca Hi ng khoa hc, ca quý thy cụ V kh nng ỏp dng ca sỏng kin: p dng ging dy cho HS THPT Mc dự c gng tỡm tũi, nghiờn cu song chc chn cũn cú nhiu thiu sút v hn ch Tụi rt mong c s quan tõm ca tt c cỏc ng nghip b sung v gúp ý cho tụi Tụi xin chõn thnh cm n! XC NHN CA N V Thanh Húa, ngy 25 thỏng nm 2017 Tụi cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Ngi vit Th Hng Hnh TI LIU THAM KHO 21 [1] Sỏch giỏo khoa i s v Gii tớch 12 - Tỏc gi: Trn Vn Ho, V Tun - Nh xut bn Giỏo dc; [2] Bi i s v Gii tớch 12 - Tỏc gi: V Tun, Trn Vn Ho - Nh xut bn Giỏo dc; [3] Sỏch giỏo khoa i s v Gii tớch 12 nõng cao - Tỏc gi: on Qunh, Nguyn Huy oan - Nh xut bn Giỏo dc; [4] Bi i s v Gii tớch 12 nõng cao - Tỏc gi: Nguyn Huy oan, Nguyn Xuõn Liờm - Nh xut bn Giỏo dc; [5] Cỏc bi ging luyn thi mụn toỏn - Tỏc gi: Phan c Chớnh, V Dng Thy, o Tam, Lờ Thng Nht - Nh xut bn Giỏo dc; [6] Toỏn nõng cao i s v Gii tớch 12 - Tỏc gi: Nguyn Tun Khụi, Nguyn Vnh Cn - Nh xut bn i hc S phm; [7] Bỏo Toỏn hc tui tr - Nh xut bn Giỏo dc; [8] thi tuyn sinh mụn Toỏn - Tỏc gi: Phan c Chớnh, ng Khi Nh xut bn Giỏo dc; [9] Cỏc thi i hc cỏc nm trc; [10] Cỏc thi th i hc cỏc nm trc; [11] thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 10, 11, 12 ca cỏc tnh nhng nm trc DANH MC 22 CC TI SNG KIN KINH NGHIM C HI NG NH GI XP LOI CP PHềNG GD&T, CP S GD&T V CC CP CAO HN XP LOI T C TR LấN H v tờn tỏc gi: Th Hng Hnh Chc v v n v cụng tỏc: Hiu trng trng THPT Lờ Li TT Tờn ti SKKN Kt qu ỏnh giỏ xp loi (A, B, hoc C) Nm hc ỏnh giỏ xp loi C 2000 - 2001 A 2001 - 2002 B 2007 - 2008: B 2008 - 2009 B 2010 - 2011 C 2011 - 2012 S GD&T B 2012 - 2013 S GD&T C 2013 -2014 S GD&T C 2014 - 2015 Cp ỏnh giỏ xp loi (Phũng, S, Tnh ) Tỡm tũi li gii bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phộp tng t gia hỡnh hc S GD&T phng Hng dn hc sinh gii phng trỡnh S GD&T v bt phng trỡnh bng phng phỏp o hm Hng dn hc sinh gii bi toỏn xỏc S GD&T sut Hng dn hc sinh gii bi phn s S GD&T phc Mt s bin phỏp qun lý nhm nõng S GD&T cao cht lng giỏo dc o c cho hc sinh trng THPT Lờ Li Hng dn hc sinh gii bi tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca th tớch a din, trũn xoay bng phng phỏp chiu bin thiờn ca hm s NCKHSPUD: ng dng phn mm Geometers Sketchpad vic nõng cao cht lng dy v hc mt s ch hỡnh hc khụng gian lp 11 cho hc sinh lp 11 trng THPT Lờ Li Hng dn hc sinh s dng phng phỏp o hm chng minh bt ng thc S dng phng phỏp h s bt nh chng minh bt ng thc ó nõng cao kt qu hc ch "Bt ng thc" cho hc sinh lp 10 trng THPT Lờ Li S GD&T 23 10 11 NCKHSPUD: ng dng phn mm UBND Tnh Geometers Sketchpad vic nõng cao cht lng dy v hc mt s ch Hnh hc khụng gian lp 11 THPT Hng dn hc sinh gii h phng S GD&T trỡnh khụng mu mc cỏc thi i hc, THPT quc gia v thi hc sinh gii B 2015 C 2015 - 2016 24 ... dng cao - Giỏo viờn ỏnh giỏ hc sinh - Hc sinh ỏnh giỏ hc sinh Giỏo viờn cú phng phỏp dy hc, hỡnh thc dy hc cho phự hp vi tng loi i tng hc sinh, ch cho hc sinh nhng sai lm thng mc phi gii cỏc bi... qua bng sau õy: 18 Lp 12A9 (s hc sinh tham gia kho sỏt: 35) Khụng gii c Gii sai Gii ỳng S lng 30 Phn trm % % % Lp 12A10 (s hc sinh tham gia kho sỏt: 35) Khụng gii c Gii sai Gii ỳng S lng 22 Phn... qua bng sau õy: Lp 12A9 (s hc sinh tham gia kho sỏt: 35) Khụng gii c Gii sai Gii ỳng phng phỏp S lng 25 Phn trm % % % Lp 12A10 (s hc sinh tham gia kho sỏt: 35) Khụng gii c Gii sai Gii ỳng S lng