Lý do chọn đề tàiNhư chúng ta đã biết Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “ Hoạt độnggiáo dục phải được thức hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kếthợp với lao động sả
Trang 11 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “ Hoạt độnggiáo dục phải được thức hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kếthợp với lao động sản xuất, lý thuyết phải gắn liền với thực tiễn ”
Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sốngxung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở nhàtrường không chỉ để thi cử mà nó còn là những công cụ đắc lực để giúp các emgiải quyết các vấn đề, tình huống trong thực tế, vì vậy việc tăng cường ứng dụngtoán học trong giảng dạy toán ở trường Trung học phổ thông là một vấn đề có ýnghĩa lý luận và thực tiễn sâu sắc
Từ năm học 2016 – 2017, sự thay đổi hình thức thi THPTQG môn Toán từ tựluận sang trắc nghiệm là một trong những bước ngoặt quan trọng trong cải cáchgiáo dục Việt Nam Nội dung ma trận đề thi minh họa đã được xác định, kiếnthức được đề cập đến tất cả các phần trong sách giáo khoa, vì vậy đòi hỏi họcsinh phải nắm vững tất cả các phần kiến thức cơ bản trong chương trình, trong
đó có toán ứng dụng thực tế Đó là một lớp bài toán mang tính thực tiễn rất gầngũi và thiết thực trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta
Bộ SGK môn Toán THPT hiện hành đã được tăng cường thêm các bài toánứng dụng toán học cả về số lượng và chất lượng, song vẫn còn rất ít Trong quátrình giảng dạy tại nhà trường nhận thấy học sinh còn ngại tiếp cận và thườnggặp không ít khó khăn khi lĩnh hội các bài toán về ứng dụng thực tế, đề bài loạitoán này thường dài nên học sinh thường cảm thấy trừu tượng Nhiều học sinhkhông hiểu được đầy đủ ý nghĩa và bản chất của khái niệm Toán học và yếu vềkiến thức liên môn từ đó dẫn đến việc khi làm các bài tập toán ứng dụng, cảmthấy lúng túng và không định hướng được phương pháp giải, không biết hướngvận dụng
Do đó cần phải có biện pháp thích hợp nhằm nâng cao hiệu quả dạy họccác bài toán ứng dụng thực tế, giúp học sinh thích nghi với sự thay đổi của việccải cách trong giáo dục, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nóiriêng và chất lượng giáo dục nói chung, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của sựnghiệp Giáo dục trong tình hình mới Học sinh thấy được việc học Toán khôngchỉ là các kiến thức hàn lâm xa vời mà còn có rất nhiều ứng dụng khác nhautrong đời sống thực tế, từ đó các em có thêm động lực, niềm đam mê môn học
để chinh phục các đỉnh cao trong các kỳ thi và ngược lại học Toán không phảichỉ để thi mà học để biết áp dụng vào thực tiễn cuộc sống hằng ngày Trên tinh
thần đó, cùng với một số kinh nghiệm của bản thân, tôi đưa ra sáng kiến “Ứng dụng đạo hàm giải một số bài toán thực tế nhằm nâng cao năng lực thực tiễn cho học sinh lớp 12” với mong muốn giúp học sinh nắm vững phương
pháp, biết vận dụng tốt các kiến thức đã học, sẽ luôn tự tin với dạng toán ứngdụng thực tế và không còn cảm thấy khó khăn khi giải lớp các bài toán hay này!
Trang 21.2 Mục đích nghiên cứu
- Đề xuất những ví dụ về toán ứng dụng thực tế để chuyển thành câu hỏitrắc nghiệm khách quan, nhằm cho học sinh tiếp cận với phương pháp đánh giámới và phát triển năng lực tư duy giải toán và học được cách suy nghĩ tìm lờigiải bài toán
- Giúp giáo viên hệ thống kiến thức và hướng dẫn học sinh cách tư duy giảicác bài toán ứng dụng thực tế trong chương trình toán THPT
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh, tạohứng thú học tập và giúp các em lĩnh hội được tri thức một cách đầy đủ, khoahọc
1.3 Đối tượng nghiên cứu
- Lớp các bài toán có liên quan đến môn Toán học đó là Hình học, Vật lý,Hóa học, Sinh học, Tin học …và các bài toán xuất phát từ nhu cầu của thực tiễntrong đời sống hàng ngày
- Nội dung chương trình được giảng dạy trong trường THPT
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp điều tra khảo sát
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Phương pháp tổng hợp, phân tích, đánh giá
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHỆM
2.1 Cơ sở lí luận
- Hiện nay Bộ Giáo dục và Đào tạo đang tiến hành lộ trình đổi mới đồng bộphương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá ở các trường phổ thông theo địnhhướng phát triển năng lực của học sinh trên tinh thần Nghị quyết 29NQ/TƯngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo Xuất phát từmục tiêu day học phát triển năng lực, đòi hỏi học sinh phải tăng cường vận dụngkiến thức vào giải quyết những vấn đề thực tiễn
- Việc hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán và vận dụng thực tế khôngchỉ mang lại cho học sinh có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đốivới một dạng toán nào đó mà còn giáo dục cho học sinh biết phân tích xem xéttrong từng tình huống cụ thể Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho người họcđức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động, tính kiên trìvượt khó, tính kế hoạch, kỹ năng phân tích, tổng hợp của một sự vật, hiện tượng
- Các vấn đề lý thuyết của Toán học từ đại số, giải tích, hình học đều xuấtphát từ nhu cầu tự nhiên của thực tiễn cũng như các môn học khác Người giáoviên nếu chịu khó tìm tòi, sáng tạo các ví dụ thực tế lồng ghép vào bài dạy hoặctiết học tự chọn sẽ giúp học sinh hiểu được tầm quan trọng khi học về các kháiniệm Toán học từ đó giúp các em tích cực chủ động và hứng thú đối với việchọc tập
2.2 Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nhiệm
- Các bài toán vận dụng kiến thức SGK để giải quyết vấn đề thực tế còn ít,nếu có chỉ mang tính tượng trưng
Trang 3- Các tài liệu về mảng toán ứng dụng còn rất hạn chế và không có sự phânloại rõ ràng
- Học sinh còn rất lúng túng khi giải các loại toán này
2 3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Hệ thống, bổ sung những kiến thức cơ bản
- Khái niệm của đạo hàm, ý nghĩa của đạo hàm
- Các quy tắc tính đạo hàm, bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản
- Cách khảo sát sự biến thiên của một hàm số, quy tắc tìm cực trị, tìm min,max của hàm số trên một tập xác định K
2.3.2 Đổi mới phương pháp dạy học
- Sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh, tạohứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm cho bài giảng sinhđộng hơn, bớt khô khan và học sinh không thấy nhàm chán
2.3.3 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp thông qua các ví dụ
2.3.4 Phân dạng bài tập và phương pháp giải
Việc phân loại các dạng bài tập cùng với phương pháp giải là vô cùng cầnthiết, sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán nó sẽ giúphọc sinh nắm vững phương pháp giải các bài tập cơ bản, trên cơ sở đó học sinh
sẽ biết cách khai thác các bài tập ở mức độ cao hơn Như vậy học sinh sẽ có tưduy linh hoạt và sáng tạo
Các bài toán thực tế liên quan đến đạo hàm có thể chia thành hai phần:
Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán
học vì vậy để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì trước hết ta phải “ thiếtlập được hàm số” Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa nhưsau:
Bước 1: Từ giả thiết và yếu tố của đề bài để diễn tả dưới dạng ngôn ngữ Toán
học, biểu diễn dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tạị của biến số
Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế,
đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,…để thiết lậphoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán
hình thành ở bước 2, lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thuđược có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa
Sau đây là các ví dụ minh họa:
2.3.4.1 Ứng dụng trong hình học
Bài toán 1 Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố A và B Hai
thành phố này bị ngăn cách bởi một con sông có chiều rộng là r km( ) Người tacần xây một cây cầu bắc qua sông, biết rằng A cách con sông một khoảng bằng
)
(km
a B cách con sông một khoảng bằng b (km) ( 0 a b)như hình vẽ Hãy
Trang 4xác định vị trí xây cầu EF (theo hình vẽ) để tổng khoảng cách giữa hai thành
phố là nhỏ nhất?(Trích tài liệu của tác giả Hứa Lâm Phong)
- Đề bài đã gợi ý các số liệu a, b và r nên ta có thể giả thiết khoảng cách AI
như hình vẽ với AI vuông góc với BD Khi đó ta đặt
Khoảng cách giữa hai thành phố là SAFEFEB x2 a2 r (p x) 2 b2
- Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số S (x) với 0 x p
Khi đó '( ) 2 2 b2 (p x) 2
p x a
x
x x
)
(
'
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 2
x x p x
p
b
x
a x x p x p b x
ap b
a
apb p a
x
p b
a
ap b
a
apb p a
x
2 2 2
2 2
2
)
; 0 ( )
) (
"
2 2
2
2 2
2 2
2
p x
x p
b
b a
x
a x
ap S x S
F C
r a
Sông
b
Trang 5Ta thấy rằng chiều dài r của cây cầu là đại lượng bất biến và vấn đề là chọn vị tríthuận lợi F hay vị trí thuận lợi E trong hình vẽ để tạo được quãng đường ngắnnhất Dĩ nhiên ta cũng đặt ra câu hỏi liệu rằng còn có cách khác nữa không? Gọi'
B là ảnh của Bqua phép tịnh tiến EF Khi đó AB' CF D
Với mọi vị trí đặt cây cầu EF ta luôn có
const DA
D B DK A B DK AF DK F B AF
EF
Dấu “=” xảy ra khi F D Khi đó SB'AEF p2 (ba)2 r
Bài toán tương tự: Hai thành phố A và B nằm ở hai phía khác nhau của một con
sông thẳng, lòng sông rộng 800m, thành phố A bên phía phải cách bờ 6km vàcách thành phố B theo đường chim bay 16km, thành phố B cách bờ trái 1500km.Người ta muốn xây một cây cầu CD vuông góc với bờ sông sao cho quãngđường đi bộ từ A đến B là ngắn nhất Tính độ dài quãng đường đó?
(Trích đề thi HSG giải toán trên máy tính cầm tay, Quảng Ninh, 2012)
Bài toán 2: Giả sử bạn là một Giám đốc công ty sản
xuất bồn chứa nước, bạn vừa nhận được một đơn đặt
hàng là thiết kế và sản xuất bồn chứa nước hình trụ có nắpvới dung tích 1000lit Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, thì bạn
sẽ chọn giá trị nào cho độ cao bồn nước trong các giá trị
quanh nhỏ nhất ứng với thể tích mà đề bài cho Ta có S tp S xq 2S day 2 rh 2 r2
(Với r; h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của bồn nước hình trụ) Đề bài lại cho sẵn dung tích của bồn chứa, tức là dạng cho mối liên hệ giữa bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ, trong đó 2
B B’
I
K E F D C
r a
Sông
b
D
l r
r
Trang 6Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi r;h(r;h 0 )lần lượt là bán kính và chiều cao củakhối trụ Khi đó ta có 2
2
r
V r r
V r r r
rh S
0 ) ( '
; 2
V r r
f r
V r r
3 2
2 2
2 4
3 2 ) 2 2 ( 2 ) (
V r
V r
V r r
V r
Thay V 1000 vào ta được h 10,83dm 1,08m Chọn đáp án B
Tổng quát bài toán lên ta có: h r
V
V r
h
2 2
2
4 3
Bài toán 3: Một Công ty mỹ phẩm chuẩn bị cho ra một sản phẩm dưỡng da
mang tên Ngọc Trai với thiết kế là một khối cầu như viên ngọc trai khổng lồ,bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da Theo
dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là R 4 3cm Tìm thểtích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất
A 54 cm 2 B 18 cm 2 C 128 cm 3 D 45 cm 3
Phân tích:
Ta tạo lát cắt dọc xuống nửa quả cầu như
hình vẽ bên Gọi h; r lần lượt là chiều cao và
(phụ thuộc theo hai biến r và h ),
mối liên hệ giữa chúng là h2 r2 R2 là hằng
số Để thuận tiện ta tính r theo h
Hướng dẫn giải: Ta có V tru r2h
) ( '
; 3 )
(
Lập bảng biến thiên ta có: )
3 ( ) ( max )
; 0 (
R f h f
R h
Trang 7
x f
1 0
) ( '
t
t t
g Lập bảng biến thiên ta suy ra
x t
g t g x
f
t x
cos 3
1 )
3
1 ( ) ( max
)
(
max
) 1
; 0 ( )
A đến bờ sông để lấy nước sau
đó đi về vị trí B Đoạn đường
ngắn nhất mà người đó đi từ A
đến B (Có ghé qua bờ sông) là
bao nhiêu? (đơn vị m)
(Trích đề thi HSG giải toán trên máy tính cầm tay, Tây Ninh)
Hướng dẫn giải:
Cách 1:Giả sử người đó đi từ A
đến M để lấy nước và đi từ M về
2 118 ( 492 ) 487
)
(x x x
Trang 8Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x( ) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đóxác định được vị trí điểm M ( )
492 118
x x
f
2 2 2
369
58056 605
58056
x
x hoac x
58056
x Hàm số f x( ) liên tục trên đoạn 0 ; 492 So sánh các giá trị của f(0),
605
58056 (
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m
Cách 2: Gọi A B', ' lần lượt là điểm đối xứng của A và B qua ( )d Gọi M là điểm thuộc cạnh HK Khi đó ta có AM MB MA MB A B ' '
min (AM MB ) A B' BB' A B' ' (BK HA ') AB (BK AH )
Hướng dẫn giải: Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0 x R ) (xem hình vẽ)
Bán kính của khối trụ là r R2 x2 Thể tích khối trụ là: V (R2 x2 )2x Xéthàm số: V x( ) (R2 x2 )2 , 0x x R ; 2 2 3
x
O
Trang 9Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là
Hướng dẫn giải:
Ta có v t( ) s t'( ) 24 12 t t2 7 v t'( ) 24t 24; '( ) 0v t t 1
Lập bảng biến thiên ta có max ( )t0;10v t v(1) 6 Chọn D
Chú ý: Ứng dụng của đạo hàm trong vật lý là rất đa dạng nhưng đặc biệt thể
hiện rõ nhất chính là qua các bài toán chuyển động khi liên quan đến các đại lượng quãng đường, vận tốc của thời gian Và không chỉ như vậy ta còn gặp ứng dụng đạo hàm trong Vật lý ở nhiều bài toán khác
Bài toán tương tự 1: Một chất điểm chuyển động theo quy luật
Bài toán tương tự 2: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được
là s t km( ) ( ) là hàm phụ thuộc theo biến t(giây) tuân theo biểu thức sau:
2 3 3 1
( ) t 2 t
s t e te
(km) Hỏi vận tốc tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu(biết hàm biểu
thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?
A.10 (e km s4 / ) B 8 (e km s4 / ) C 4 (e km s4 / ) D 6 (e km s4 / )
Bài toán 6: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 7 hải lý Đồng
thời cả hai tàu cùng khởi hành, Tàu A chạy về hướng Nam với 8 hải lý/giờ, còntàu B chạy về vị trí hiện tại của tàu A với vận tốc 9 hải lý/ giờ Hãy xác địnhthời điểm mà khoảng cách của hai tàu là nhỏ nhất ?
Trang 10- Trên Trái đất hay các hành tinh hoặc
thiên thể hình cầu, Vĩ tuyến là một vòng
tròn tưởng tượng nối tất cả các điểm có
cùng vĩ độ Trên Trái đất, vòng tròn này
có hướng từ Đông sang Tây Vị trí trên vĩ
tuyến được xác định bằng kinh độ Một vĩ
tuyến luôn vuông góc với một kinh tuyến
tại giao điểm giữa chúng Các vĩ tuyến ở
gần cực trái đất có đường kính nhỏ hơn
- Kinh tuyến là một nửa đường tròn trên bề mặt Trái Đất, nối liền hai địa cực,
có độ dài khoảng 20.000km, chỉ hướng Bắc – Nam và cắt thẳng góc đường xích đạo Mặt phẳng của kinh tuyến 0 0(chạy qua đài quan sát thiên văn tại Greenwich thuộc Luân Đôn) và kinh tuyến 180 0, chia Trái Đất ra làm hai bán cầu - Bán cầu đông và Bán cầu tây 1 (Nguồn Internet)
Như vậy khi các tàu, thuyền đi trên biển chúng ta sẽ dùng một đơn vị đo khoảng cách khác là hải lý(1 hải lý = 1852m) Từ mô hình và mô tả của bài toán ta có thể gọi t là thời gian mà sau khi xuất phát hai tàu cách nhau một khoảng d
2 1
2 1
1B AB AA A
d Trong đó AA1 chính là quãng đường của tàu A
đi được Dựa vào gợi ý 2 tàu cách nhau ban đầu 7 hải lý theo đường Vĩ tuyến, nên ta có thể tính AB12 (7 BB1 )2 Cuối cùng, ta vận dụng công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian là
t v AA vt
S
B A
1 1
Hướng dẫn giải
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa
hai tàu là d Khi đó tàu A đang ở vị trí A1 và tàu