Hướng dẫn giải các bài toán trắc nghiệm ứng dụng đạo hàm trong thực tế ở các đề thi đại học nhằm nâng cao năng lực thực tiễn cho học sinh lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hình HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Ở CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 12 Hình Người thực hiện: Vũ Thị Quyền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2021 MỤC LỤC Trang 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm .3 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm .3 2.2 Thực trang vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục,với thân, đồng nghiệp nhà trường .18 3.Kết luận, kiến nghị 19 3.1.Kết luận .19 3.2 Kiến nghị 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Mạng internet [2] Tự làm,tự nghiên cứu [3] Trích đề minh họa THPT Quốc Gia,năm 2017 [4] Trích đề thi thức THPT Quốc Gia,năm 2018 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Vũ Thị Quyền Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên- Tổ Tốn Trường THPT Vĩnh Lộc, TT Tên đề tài SKKN Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Phương pháp để giải toán liên quan đến so sánh số với nghiệm tam thức bậc chương trình Giải tích Lớp 12 Bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh dạy học Toán trường THPT qua việc rèn luyện kỹ giải phương trình bất phương trình vơ tỉ Hướng dẫn học sinh dùng sơ đồ tư hệ thống kiến thức phân dạng tập khoảng cách Kĩ thuật biến đổi phụ thuộc nhiều điểm thành điểm để giải lớp tốn cực trị hình học lớp 10 Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Sở GD & ĐT Thanh Hóa Sở GD & ĐT Thanh Hóa Kết đánh Năm học giá xếp đánh giá loại xếp loại (A, B, C) C 2003 - 2004 C 2009 - 2010 Sở GD & ĐT Thanh Hóa C 2011- 2012 Sở GD & ĐT Thanh Hóa C 2017- 2018 Sở GD & ĐT Thanh Hóa C 2019- 2020 -1 MỞ ĐẦU 1.1.Lý chọn đề tài Toán học bắt nguồn từ thực tiễn lí thuyết tốn học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế sống.Trong năm gần ,theo xu kì thi THPT Quốc gia mơn Tốn, số lượng câu hỏi mang tính vận dụng thực tiễn ngày nhiều Điều gây khó khăn định cho em học sinh làm thi mơn Tốn, kể học sinh khá, giỏi Bởi lẽ, việc nắm kiến thức mơn Tốn với mơn học khác, học sinh cần phải biết mơ hình hóa tốn học toán thực tế để đưa toán thực tiễn toán toán học mà chương trình sách giáo khoa hành, số lượng tập mang tính vận dụng thực tiễn cịn hạn chế Với mục đích giúp học sinh thấy toán học gần gũi với với sống xung quanh, hoàn toàn thực tế việc tiếp thu kiến thức Tốn trường khơng để thi cử mà cịn cơng cụ đắc lực để giúp em giải vấn đề, tình thực tế, việc tăng cường ứng dụng toán học giảng dạy toán trường THPT vấn đề có ý nghĩa lý luận thực tiễn sâu sắc Từ năm học 2016-2017, thay đổi hình thức thi THPT Quốc gia mơn Tốn từ tự luận sang trắc nghiệm bước ngoặt quan trọng cải cách giáo dục Việt Nam Nội dung ma trận đề thi minh họa xác định, kiến thức đề cập đến tất phần sách giáo khoa, địi hỏi học sinh cần nắm vững tất phần kiến thức chương trình, có tốn ứng dụng thực tế Đó lớp tốn mang tính thực tiễn gần gũi thiết thực sống hàng ngày Trong trình giảng dạy nhà trường nhận thấy học sinh cịn ngại tiếp cận thường gặp khơng khó khăn lĩnh hội tốn ứng dụng thực tế, đề loại toán thường dài , thường trừu tượng Nhiều học sinh không hiểu đầy đủ ý nghĩa chất khái niệm Tốn học yếu kiến thức liên mơn từ dẫn đến việc làm tập tốn ứng dụng, cảm thấy lúng túng không định hướng phương pháp giải,khơng biết hướng vận dụng Do cần phải có biện pháp thích hợp nhằm nâng cao hiệu dạy học toán ứng dụng thực tế , giúp học sinh thích nghi với thay đổi việc cải cách giáo dục, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung, đáp ứng yêu cầu ngày cao nghiệp giáo dục tình hình Học sinh thấy việc học Tốn không kiến thức hàn lâm xa vời mà cịn có nhiều ứng dụng khác đời sống thực tế, từ em có thêm động lực, niềm đam mê môn học để chinh phục đỉnh cao kì thi ngược lại học Tốn khơng phải để thi mà học để biết áp dụng vào thực tiễn sống hàng ngày Trên tinh thần đó, với số kinh nghiệm thân, đưa sáng kiến : “HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Ở CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 12 ’’ với mong muốn giúp học sinh nắm vững phương pháp, biết vận dụng tốt kiến thức học, ln tự tin với dạng tốn ứng dụng thực tế khơng cịn cảm thấy khó khăn giải lớp toán hay Hy vọng đề tài giúp ích phần cho q thầy q trình cơng tác 1.2.Mục đích nghiên cứu Giúp giáo viên hệ thống kiến thức hướng dẫn học sinh cách tư giải tốn thực tế chương trình Tốn THPT Tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh,tạo hứng thú học tập giúp em lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học.Thông qua đề tài này, tài liệu tham khảo cho em học sinh, đặc biệt học sinh tham gia kì thi THPT Quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu Lớp tốn có liên quan đến ứng dụng đạo hàm Hình học, Vật lý, Hóa học, Sinh học, Tin học toán xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đời sống hàng ngày Nội dung chương trình giảng dạy trường phổ thông 1.4.Phương pháp nghiên cứu Với đề tài này, phương pháp chủ yếu sử dụng phương pháp thống kê, lựa chọn tốn hay, độc đáo, có phương pháp giải sau phân tích, so sánh, khái qt hóa, đặc biệt hóa để làm bật phương pháp, từ rút kết luận Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu giáo trình phương pháp dạy học Tốn trường phổ thông, tài liệu hướng dẫn đổi phương pháp dạy học, sách giáo khoa, sách tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ, đề thi, Nghiên cứu thực nghiệm: Thông qua việc dạy học phần đạo hàm lớp 12 năm giảng dạy thân tổng kết kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Hiện Bộ Giáo dục Đào tạo tiến hành lộ trình đổi đồng phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá trường phổ thông theo định hướng phát triển lực học sinh tinh thần đổi toàn diện giáo dục đào tạo Xuất phát từ mục tiêu dạy học phát triển lực, đòi hỏi học sinh phải tăng cường vận dụng kiến thức vào giải vấn đề thực tiễn Việc hình thành cho học sinh kĩ giải tốn vận dụng thực tế không mang lại cho học sinh có nhìn tổng qt ặt phương pháp dạng tốn cịn giáo dục cho học sinh biết phân tích xem xét tình cụ thể Đồng thời góp phần bồi dưỡng cho người học đức tính cần thiết người lao động sáng tạo tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, kĩ phân tích, tổng hợp vật, tượng Sáng kiến kinh nghiệm với đề tài :“HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Ở CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 12 ’’ Với phương pháp dạy nhằm giúp em học sinh hiểu vấn đề cách sâu sắc nhìn tốn nhiều góc độ khác nên dễ dàng suy luận để chuyển toán lạ toán quen thuộc Hơn với cách dạy đó, làm cho học sinh thấy phong phú việc sử dụng kiến thức liên quan Chính mà em khơng cảm thấy nhàm chán, từ em hào hứng say mê học tạo tâm lí thoải mái nhẹ nhàng tiết học, tiền đề tốt để học sinh tiếp thu bài, rèn luyện kỹ năng, nâng cao hiệu dạy học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm a/Thuận lợi: Là giáo viên dạy toán nhiều năm tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh Đa số học sinh thích học Tốn, thích tìm phương pháp học tập Tổ chun mơn thảo luận chuyên đề ứng dụng đạo hàm Bản thân thích học hỏi nâng cao kiến thức b/Khó khăn: Các kiến thức ứng dụng đạo hàm thực tế học sinh hạn chế Kĩ giải tốn trình bày giải yếu 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1.Đặt vấn đề 2.3.1.1 Các tốn dẫn đến khái niệm đạo hàm Để tìm hiểu ứng dụng đạo hàm, trước tiên ta cần hiểu cách thấu đáo khái niệm đạo hàm Bài toán nguồn gốc nảy sinh khái niệm đạo hàm, thuộc lĩnh vực Hình học đến từ Vật lí ● Đối với toán hình học: xác định tiếp tuyến đường cong Nếu trước đây, nhiều toán Đại Số giải nhờ vào cơng cụ phương pháp Hình học, kể từ kỉ XVI, với hệ thống kí hiệu Viète (1540-1603) đề nghị vào năm 1591, Đại số tách khỏi Hình học, phát triển cách độc lập với phương pháp có sức mạnh lớn lao Nhận thấy sức mạnh ấy, Descartes (1596-1650) Fermat (1601-1665) khai thác vào nghiên cứu Hình học việc xây dựng nên Hình học giải tích Sự đời Hình học giải tích khiến cho vấn đề nghiên cứu nhiều đường cong đặt Tuy nhiên toán nhà toán học thời kì trước giải số đường đặc biệt (đường trịn, đường Conic, ) cơng cụ hình học cổ điển với hàng loạt đường cong xuất hiện, toán xác định tiếp tuyến tuyến đường cong đòi hỏi phương pháp tổng quát Khái niệm tiếp tuyến lúc hiểu theo quan niệm vị trí “tới hạn” cát tuyến hay đường thẳng trùng với phần vô nhỏ với đường cong tiếp điểm Chính từ quan niệm “vị trí tới hạn” mà hệ số góc k tiếp tuyến với đường cong y = f ( x) định nghĩa (theo ngôn ngữ ngày nay) biểu thức k = lim f ( x + h) − f ( x) h→ h = f ' ( x) ● Đối với tốn vật lí: tìm vận tốc tức thời Thừa nhận xem vận tốc tức thời vtt vật thể có phương trình chuyển động s = S( t ) giới hạn vận tốc trung bình khoảng thời gian ( t;t + ∆t ) ∆t → 0, Newton (1643 – 1727) đến biểu thức xác định vtt (có chất với biểu thức hệ số góc tiếp tuyến) mà theo ngôn ngữ ngày ta viết là: vtt = lim ∆t→ S( t + ∆t ) − S( t ) ∆t = S' ( t ) Ngồi ra, ta bắt gặp số khái niệm khác đạo hàm “đạo hàm - tốc độ biến thiên hàm số” hay “đạo hàm – công cụ xấp xỉ hàm số” Từ ta đưa định nghĩa đạo hàm: 2.3.1.2 Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y = f ( x) xác định khoảng ( a;b) , xo ∈ ( a;b) ,xo + ∆x ∈ ( a;b) Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) lim ∆x→ f ( xo + ∆x) − f ( xo ) ∆x gọi đạo hàm f ( x) điểm xo , kí hiệu f' ( xo ) hay y' ( xo ) f' ( xo ) = lim ∆x→ f ( xo + ∆x) − f ( xo ) ∆x = lim x→ xo f ( x) − f ( xo ) x − xo 2.3.1.3 Các toán ứng dụng đạo hàm thực tế Qua tìm hiểu, tổng hợp phân tích, tác giả nhận thấy tốn thực tế liên quan đến việc dụng đạo hàm chia thành phần lớn: Một là, toán thực tế mơ hình hóa hàm số tốn học Qua ví dụ minh họa sau đây, tác giả cho bạn đọc dạng tốn thường gặp ? Các lĩnh vực khoa học khác ứng dụng đạo hàm việc giải toán mà họ đặt ? Hai là, toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển mô hình tốn học Như biết, để ứng dụng đạo hàm số trước tiên ta phải “thiết lập hàm số” Như ta mơ tả quy trình mơ hình hóa Ta cụ thể hóa bước q trình mơ hình hóa sau: Bước 1: Dựa giả thiết yếu tố đề bài, ta xây dựng mơ hình Tốn học cho vấn đề xét, tức diễn tả “dưới dạng ngơn ngữ Tốn học” cho mơ hình mơ thực tiễn Lưu ý ứng với vấn đề xem xét có nhiều mơ hình tốn học khác nhau, tùy theo yếu tố hệ thống mối liên hệ chúng xem quan trọng ta đến việc biểu diễn chúng dạng biến số, tìm điều kiện tồn chúng ràng buộc, liên hệ với giả thiết đề Bước 2: Dựa vào kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế kinh tế, đời sống, khoa học kỹ thuật Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến nhiều biến (Ở nội dung xét ta xét với tình biến) Bước 3: Sử dụng cơng cụ đạo hàm hàm số để khảo sát giải tốn hình thành bước Lưu ý điều kiện ràng buộc biến số kết thu có phù hợp với tốn thực tế cho chưa Sau để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả lấy ví dụ minh họa trình bày theo chủ đề ứng dụng đạo hàm: ● Trong Hình học (bài toán đến toán ) ● Trong Vật lý (bài toán đến toán 5) ● Trong Kinh tế (bài toán ) ● Trong Đời sống lĩnh vực khác (bài toán đến toán 8) 1.Trong hình học : Bài toán Từ tơn hình chữ nhật có kích thước a´ b với a < b Người ta cắt bỏ hình vng góc gị thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Hỏi cạnh hình vng cắt phải để hình hộp tích lớn ? [2]  Phân tích: ● Trước tiên, với câu hỏi tốn ta nên đặt x cạnh hình vng cắt Như ta cần tìm điều kiện giới hạn biến số x Do cạnh nhơm sau bị cắt trở thành a − 2x > ⇒ x < a a nên ta có < x < 2 ● Và đồng thời ta có cạnh nhơm cịn lại b − 2x > Đến ta cần thiết lập cơng thức tính thể tích khối hộp ● Bài tốn trở thành tìm V = x ( a − 2x) ( b − 2x) max V ( x) = ?  a x∈ 0; ÷  2 Mời bạn đọc xem lời giải ! Hướng dẫn giải ● Gọi x cạnh hình vng cắt đi, ta phải có điều kiện Khi thể tích hình hộp ● Bài tốn trở thành tìm Đạo hàm Ta có x1 = a V = x ( a − 2x) ( b − 2x) = 4x3 − 2( a + b) x2 + abx = V ( x) max V ( x) = ?  a x∈ 0; ÷  2 V' = f' ( x) = 12x2 − 4( a+ b) x + ab ( ) ∆' = 4( a+ b) − 12ab = a2 − ab+ b2 > Do 0< x < V' = với a, b ln có hai nghiệm phân biệt a+ b− a2 − ab+ b2 a+ b+ a2 − ab+ b2 < x2 = 6 Theo định lý Vi-et, ta có  a+ b  x1 + x2 = >   x x = ab >  12 x b a suy < x1 < x2 10 Hơn nữa, ta có  a  a V '  ÷ = f'  ÷ = a2 − ab = a( a− b) <  2  2 Do < x1 < a , đến cần tính AB theo x lập hàm số f ( x) biểu diễn độ MH = dài AC Nhưng cách ? → Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ định lý Thales thuận ( MH / /AB ) nên ta có: HC MH x = = Bài tốn BC AB x + 0,5 trở thành tìm f ( x) = ? ● Nếu phân tích theo hướng thứ hai, ta đặt HC = x > ta biểu diễn độ dài AC = P ( x) + Q ( x) (việc khảo sát hàm khơng đơn giản chút nào) Do ta chuyển hướng sang tìm quan hệ góc cạnh tam giác nhận thấy α = R MCH = R AMK Đến ta thấy hướng phân tích tiếp hồn tồn thuận lợi MC = MH sinα AM = MK cosα Khi tốn trở thành tìm ming( α ) = ? Hướng dẫn giải ● Đặt HC = x > ⇒ BC = x + 0,5 Theo định lý Thales ta có Do ta có AB = 4( x + 0,5) x Do ∆ABC vuông B ⇒ AC = AB2 + BC = ( x + 0,5) + ( x + 0,5) ( x ● Hay AC = 2 HC MH x = = BC AB x + 0,5 ) Đặt + 16 x2 f ( x) = x4 + x3 + Bài tốn trở thành tìm f ( x) = ? với x > 16( x + 0,5) x2 65 x + 16x + 4 x > 0) ( x     65 65 2  4x + 3x + x + 16÷x − 2x x + x + x + 16x + 4÷ Ta có    f' ( x) =  x 2x + x − 16x − ⇔ f' ( x) = x3 x = > Cho f' ( x) = ⇔ ( x − 2) ( 2x + 1) x + 2x + = ⇔  x = − < 0( loai )  ( ) Lập bảng biến thiên ta có: x f '( x) f ( x) +∞ − + f ( 2) 13 f ( x) = f ( 2) = Dựa vào bảng biến thiên ta có x> Do ta có minAC = 125 125 5 = ≈ 5, 5902 Đáp án C  π Cách khác : Đặt x = R ACB ∈  0; ÷   KM MH + = + Khi ta có AC = AM + MC = cosx sinx 2cosx sinx Đặt g( x) = g' ( x) = g( x) = ? + Bài toán trở thành tìm x∈ 0;π ÷ 2cosx sinx  2 −8cos3 x + sin3 x ,g' ( x) = ⇔ tanx = ⇔ xo = arctan( 2) ≈ 63026' 6'' 2 2sin xcos x Lập bảng biến ta suy ACmin ⇔ g( x) = g( xo ) ≈ 5, 5902  π x∈ 0; ÷  2 (mét) Đáp án C Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý: Một là, thật dù giải theo cách nào, ta gặp phải số khó khăn định giải tìm nghiệm pt f' ( x) = hay g' ( x) = Dựa theo cách thi trắc nghiệm ta thử phương án từ đáp án để tìm nghiệm (bằng chức CALC máy tính cầm tay) sau kiểm tra qua f' ( x) = hay g' ( x) = Hai là, việc sử dụng” ứng dụng đạo hàm” để tìm GTLN – GTNN hàm số này, ta vận dụng bất đẳng thức Giả sử đặt  1 AB = b,BC = a b > 0,a > ÷ Dựng hệ trục Bxy ( BC ⊂ Bx, BA ⊂ By ) 2  x y 1  Ta có AC : + = Khi M  ; ÷∈ AC ⇒ + = 2a b a b 2  2 Bài tốn trở thành tìm minAC = min( a + b ) thõa mãn + = 1,a > ,b > 2a b Ba là, ta có f ( x) = x4 + x3 + 65 x + 16x +  16    65 =  x2 + ÷ +  x + ÷+ x  x x   8 x x 65 Cauchy 65 125 ⇒ f ( x) = x2 + + + + + + ≥ 3.4 + 3+ = 42 43 4 x 2x43x ≥ 82 ≥3 Dấu “=” xảy x = Bài tập tương tự : Tìm chiều dài L bé thang để tựa vào tường mặt đất, ngang qua cột đỡ có chiều cao 3 m cách tường 1m kể từ tim cột đỡ A L = B L = C L = D L = [1] 14 Hướng dẫn giải  π   Đặt x = R ACB ∈  0; ÷ Khi ta có AC = AM + MC = BH MH 3 + = + cosx sinx cosx 2sinx 3 + cosx sinx Đặt g( x) = Bài tốn trở thành tìm g( x) = ?  π x∈ 0; ÷  2 sin3 x − 3 cos3 x ,g' ( x) = ⇔ tanx = cos2 xsin2 x π  π ⇔ tanx = ⇔ xo = ∈  0; ÷  2 g' ( x) = Lập bảng biến thiên , ta có: x g' ( x) g( x) − π π + π  ACmin ⇔ g( x) = g ÷ = (mét) Đáp án A  π  3 x∈ 0; ÷   Bài tốn 3: Ơng A dự định sử dụng hết 6,5 m2 kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu(kết làm tròn đến hàng phần trăm)? A 2, 26 m3 B 1, 61m3 C 1,33m3 D 1,50 m3 [4] Hướng dẫn giải : Giả sử bể cá có kích thước hình vẽ 15 Ta có: x + xh + xh = 6,5 ⇔ h = 6,5 − x 6x 13 Do h > , x > nên 6,5 − x > ⇔ < x < Lại có V = x h = f ′( x) =  13  6,5 x − x = f ( x ) , với x ∈  0; ÷ ÷   13 39 − 2x2 , f ′ ( x ) = ⇔ x = ± 6  39  13 39 = ≈ 1,50 m3 Đáp án D ÷ Vậy V ≤ f  ÷ 54   2.Trong vật lý : Bài toán Một chất điểm chuyển động theo quy luật s( t) = 6t − t − 9t + 1, s tính theo mét, t tính theo giây Trong giây đầu tiên, thời điểm t mà vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn là: A t = B t = C t = D t = [1]  Phân tích: ● Với kiến thức Vật lý học, ta biết v ( t ) = s ' ( t ) Do để tìm giá trị lớn giây t ∈ [ 0;5] ta cần vận dụng kiến thức đạo hàm học Hướng dẫn giải v( t ) = s' ( t ) = 12t − 3t2 − 9,v' ( t ) = −6t + 12,v' ( t ) = ⇔ t = Lập bảng biến thiên ta có: t v' ( t ) + − v ( t) Dựa vào bảng biến thiên ta có max v ( t ) = v ( ) = t∈( 0;5) Đáp án C Bình luận: Ứng dụng đạo hàm Vật lý đa dạng đặc biệt thể rõ nét qua tốn chuyển động liên quan đến đại lượng quãng đường, vận tốc thời gian Không riêng tốn chuyển động vậy, ta cịn bắt gặp ứng dụng đạo hàm Vật lý 16 toán khác.Mời bạn đọc tiếp tục theo dõi toán sau để hiểu rõ Bài tập tương tự 1: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường s( t ) ( km) hàm phụ thuộc theo biến t (giây) tuân theo biểu thức sau: s( t ) = et +3 + 2te3t+1 ( km) Hỏi vận tốc tên lửa sau giây (biết hàm biểu thị vận tốc đạo hàm cấp hàm biểu thị quãng đường theo thời gian) ? A 10e ( km/ s) B 5e ( km/ s) Hướng dẫn giải v( t ) = s' ( t ) = 2tet +3 C 3e ( km/ s) D 9e ( km/ s) [1] + 2e3t+1 + 6te3t+1 ⇒ v( 1) = 2e4 + 2e4 + 6e4 = 10e4 ( km/ s) Bài toán Khi cá hồi bơi với tốc độ v( km/ h) ngược dòng nước, lượng sản đơn vị thời gian v3 ( J ) , đơn vị Jun Người ta thấy rằng, cá di cư cố gắng cực tiểu hóa lượng tổng thể để bơi cách định Nếu vận tốc dòng nước a( km/ h) thời gian cần bơi khoảng cách L L lượng sản E ( v) = qv3 q số dương v− a v− a Để giảm thiểu tối đa lượng bơi quãng đường L tốc độ v cần thỏa L mãn A v = a B v = 3a C v = 5a D v = 7a [2]  Phân tích: ● Do toán cho ta sẵn hàm E ( v) = qv3 L nên ta ứng dụng đạo v− a hàm tìm E (lưu ý v > a ) Hướng dẫn giải E ( v) = qv3 3v2 ( v − a) − v3 v2 ( 2v − 3a) L ⇒ E' ( v) = q = q ,∀v > a 2 v− a ( v − a) ( v − a) E' ( v) = ⇔ v = 3a Lập bảng biến thiên ta thấy v E' ( v) E ( v) − 3a +∞ + 27 a  3a 27 Dựa vào bảng biến thiên ta có: minE ( v) = E  ÷ = a   17 Đáp án B Bình luận: Trong thực tế, khảo sát việc bơi ngược dòng cá này, ta thấy tốc độ chúng gần gấp 1,5 lần tốc độ dòng nước Bài tập tương tự 1: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm cho công thức: f ( v) = 290,4v (xe/ giây), v( km/ h)) vận tốc trung bình 0,36v + 13,2v + 264 xe vào đường hầm Tính vận tốc trung bình xe vào đường hầm cho lưu lượng xe lớn ? [1] Hướng dẫn giải 290,4v −0,36v2 + 264 f ( v) = ⇒ f ' ( v) = 290, ,v> 0,36v2 + 13,2v + 264 0, 36v2 + 13,2v + 264 ( f ' ( v) = ⇔ v = ) 264 10 66 = ≈ 27,08 ( km/ h) 0,6 Lập bảng biến thiên ta có: v 10 66 f ' ( v) + +∞ − max f ( v) Vậy : v= 10 66 Bài tập tương tự 2: Một cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt khoảng cách 300 km Vận tốc dòng nước ( km/ h) Nếu vận tốc bơi cá nước đứng yên v ( km/ h) lượng tiêu hao cá t cho công thức E ( v) = cv3t (trong c số dương, E tính đơn vị Jun) Cá bơi ngược dòng quãng đường 300 km khoảng thời gian t với vận tốc để lượng tiêu hao thấp ? A 12 ( km/ h) B ( km/ h) C 21 ( km/ h) D 15 ( km/ h) [1] Hướng dẫn giải Vận tốc cá bơi ngược dòng v − Do thời gian để quãng đường 300 km Do lượng tiêu hao E ( v) = 300c Do c > ⇒ E ( v) ⇔ t= 300 v− v3 v− v3 = f ( v) → v− 18 Với v > 6, f ' ( v) = 3v2 ( v − 6) − v3 ( v − 6) = 2v3 − 18v ( v − 6)  v = 0( ktm) , f ' ( v) = ⇔   v = 9( tm) Lập bảng biến thiên ta nhận v = Đáp án B 3.Trong kinh tế : Bài tốn Một cơng ty đánh giá bán N lơ hàng tiêu phí hết số tiền x (triệu đồng) vào việc quảng cáo Biết N x liên hệ với biểu thức N ( x) = −x + 30x + 6,0 ≤ x ≤ 30 Hãy tìm số tiền dành cho việc quảng cáo để số lô hàng mà cơng ty bán sau đợt quảng cáo lớn ? A.20 B 15 C.25 D.16 [1] Hướng dẫn giải Ta có: N ( x) = −x + 30x + ⇒ N ' ( x) = −2x + 30 ⇒ N ' ( x) = ⇔ x = 15  N ( 0) =  ax N ( x) = 231 ⇔ x = 15 Đồng thời  N ( 15) = 231 ⇒ x∈m 0;30   N ( 30) = Vậy, công ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo cơng ty bán nhiều 231 lơ hàng Đáp án B Bình luận: ta sử dụng tam thức bậc hai N ( x) = 231− ( x − 15) ≤ 231,∀x ∈ 0; 30 Dấu xảy x=15 Do toán cho sẵn hàm nên ta khơng q khó để vận dụng đạo hàm tìm giá trị lớn hàm số Tuy nhiên với tốn cần phải có bước thiết lập hàm khơng dễ chút Bài tập tương tự 1: Một công ty xác định tổng thu nhập (tính USD) từ việc sản xuất bán x đơn vị sản phẩm cho công thức: P ( x) = 150000 Hãy tìm số x đơn vị sản phẩm cần sản xuất bán để x − 60x + 1000 tổng thu nhập lớn ? A.30 B.31 Hướng dẫn giải C.32 D 33 [1] −150000( 2x − 60) 150000 ,∀x ∈ ¡ Ta có P ( x) = x2 − 60x + 1000 ⇒ P' ( x) = 2 ( x − 60x + 1000) P' ( x) = ⇔ x = 30 Lập bảng biến thiên ta có: −∞ 30 X P ' ( x) + +∞ − 1500 P ( x) 19 Từ bảng biến thiên, ta có maxP ( x) = 1500 ⇔ x = 30 Vậy, để tổng thu nhập lớn cần sản xuất bán 30 đơn vị sản phẩm Đáp án A 150000 150000 150000 P x = = ≤ = 1500 ( ) Cách khác: Ta có 100 x2 − 60x + 1000 ( x − 30) + 100 Do x2 − 60x + 1000 = ( x − 30) + 100 ≥ 100,∀x ∈ ¡ Vậy dấu “=” xảy x = 30 Bài tập tương tự 2: Một công ty lập kế hoạch cải tiến sản phẩm xác định tổng chi phí dành cho việc cải tiến C ( x) = 2x + + ( x > 6) với x x− số sản phẩm cải tiến Tìm số sản phẩm mà cơng ty cần cải tiến để tổng chi phí thấp ? A.7 B.8 C.9 D.10 [1] Hướng dẫn giải 2 C x = x + + ⇒ C' x = − ⇒ C' x = ⇔ x − =1 ( ) ( ) ( ) ( ) Ta có x− ( x − 6) x − = ⇔ ⇔ x − = −  x C' ( x) x = Do x > nên loại x = Ta có bảng biến thiên sau:  x = −∞ +∞ − + C ( x) 20 Dựa vào bảng biến thiên, ta có minC = 20 ⇔ x = Đáp án A Lưu ý: để xét dấu khoảng C' ( x) , việc sử dụng dấu tam thức bậc hai thông thường ta “trong vùng số, chọn số vào, số dương ghi + ngược lại” 4.Trong đời sống lĩnh vực khác : Bài tốn 7: (Ứng dụng Sinh học) Trong mơi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn cấy vào Bằng thực nghiệm xác định số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian qui luật N ( t ) = 1000 + 100t (con vi khuẩn), 100 + t2 t thời gian (đơn vị giây)) Hãy xác định thời điểm sau thực cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên lớn ? A 12 B.11 C 10 D 15 [1] 20  Phân tích: ● Tương tự tốn trước, đề mơ hình hóa toán dạng hàm nên ta cần vận dụng kiến thức đạo hàm tìm số lượng tăng nhanh vi khuẩn Hướng dẫn giải Ta có tốc độ phát triển đàn vi khuẩn thời điểm t N' ( t ) = ( ) 100 100 + t2 − 100t ( 2t ) ( 100+ t ) 2 = 1002 − 100t2 ( 100 + t ) 2 ( ∀t > ) Xét N' ( t ) = ⇔ t = 100 ⇔ t = 10 > Lập bảng biến thiên ta được: t N ' ( t) N ( t) +∞ 10 + − 1005 Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận maxN ( t) = N ( 10) = 1005 Đáp án C Bình luận: ngồi ta có ta làm sau: N ( t ) = 1000 + Do 100t 100 100 = 100 + ≤ 1000 + = 1005 100 2.10 100 + t +t t 100 100 Cauchy 100 = t ⇔ t = 10 +t ≥ t = 20 Dấu “=” xảy t t t t Bài tập tương tự 1: Giả sử n = f ( t ) = no.2 số lượng cá thể đám vi khuẩn thời điểm t , no số lượng cá thể lúc ban đầu Khi tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn thời điểm t f' ( t ) Giả sử mẫu thử ban đầu ta có no = 100 vi khuẩn Vậy tốc độ phát triển sau vi khuẩn ? A 1109 B 1600 C 6400 D 4436 [1] Hướng dẫn giải n =100 t Ta có: f' ( t ) = no ln → f ' ( 4) = 100.2 ln ≈ 1109 vi khuẩn.Đáp án A Bài tập tương tự 2: Khi nuôi cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy rằng: đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng Q ( n) = 480 − 20n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá nhất? A n=10 B.n=11 C n=12 D n=13 [1] Hướng dẫn giải Vậy với n cá ta có o P ( n) = nQ ( n) = ( 480 − 20n) n = 480n − 20n2 ⇒ P' ( n) = 480 − 40n Khi đo P' ( n) = ⇔ n = 12 Khi ta có bảng biến thiên: 21 n P ' ( n) +∞ 12 0 + − 2880 P ( n) Dựa vào bảng biến thiên, ta suy maxP ( n) = P ( 12) = 2880 n>0 Cách khác: P ( n) = −20n2 + 480n = −20( n − 12) Suy maxP ( n) = 2880 ⇔ n = 12 n>0 + 2880 ≤ 2880 Đáp án C Bài toán (Ứng dụng Y Học) Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G(x) = 0,025x2(30- x) với x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x : miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm ? A.20 B 25 C 30 D 40 [1]  Phân tích: ● Tương tự tốn cho sẵn hàm số, việc ứng dụng đạo hàm khơng cịn q khó khăn Hướng dẫn giải Cho ( ) ( 1 x ( 30 − x) = 30x2 − x3 ⇒ G' ( x) = 60x − 3x2 40 40 40  x = 20 G' ( x) = ⇔  Ta có bảng biến thiên sau:  x = 0( ktm) x 20 G ( x) = G' ( x) + ) +∞ − 100 G ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta có maxG ( x) = 100 ⇔ x = 20 Đáp án A 2.4.Hiệu sáng kiến Như vậy, ta vừa điểm qua loạt toán ứng dụng đạo hàm thực tế Có thể thấy ngồi lĩnh vực trên, nhiều lĩnh vực khác cần đến kiến thức đạo hàm giải tốn tối ưu chúng Để góp phần củng cố giới thiệu nhiều toán hay khác tiếp cận với hình thức thi trắc nghiệm Bộ Giáo Dục Đào Tạo kì thi THPT Quốc gia.Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập,học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Các nội dung tốn học hình thành củng cố ví dụ thực tiễn, điều giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu chủ đề phát triển thái độ tích cực em tốn học, từ tạo động thúc đẩy việc học toán 22 Những nội dung trình bày sáng kiến kinh nghiệm tơi rút trình dạy học, xuất phát từ yêu cầu đổi phương pháp dạy học, lấy học sinh làm trung tâm hiếu học phần lớn học sinh động lực lớn để không ngừng phấn đấu, học hỏi, nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục KẾT LUẬNVÀ KIẾN NGHỊ: 3.1.Kết luận: Qua thực tế giảng dạy, thấy vấn đề dù khó mà giáo viên quan tâm truyền thụ cho học sinh lịng say mê nhiệt tình hút em vào đường nghiên cứu Hơn nữa, số lượng câu hỏi thực tế vận dụng kiến thức đạo hàm đề thi tương đối nhiều Nhận thấy cần thiết cho việc trang bị cho em học sinh, đặc biệt học sinh lớp 12 chuẩn bị bước vào kì thi quan trọng, cung cấp thêm cho thầy cô giáo tài liệu ôn thi THPT Quốc gia Với phương pháp tư phần giúp học sinh hứng thú học tập, tạo động lực học tập cách chủ động, tích cực học sinh Đó hay, đẹp tốn học, khiến người ta say mê toán học Do kinh nghiệm chưa nhiều, thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài nên đề tài không tránh khỏi cịn nhiều hạn chế Rất mong đóng góp đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn! 3.2.Kiến nghị: 3.2.1.Đối với Sở GD & ĐT :Tiếp tục phổ biến rộng rãi sáng kiến công nhận cấp ngành cấp tỉnh để giáo viên học hỏi áp dụng thực tiễn giảng dạy học tập 3.2.2.Đối với Trường phổ thông : Tiếp tục nhân rộng đề tài, sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tế giảng dạy 23 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết,không copy người khác Vũ Thị Quyền 24 ... GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Ở CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 12 ’’ Với phương pháp dạy nhằm giúp em học sinh hiểu vấn đề cách... với số kinh nghiệm thân, đưa sáng kiến : “HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Ở CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 12 ’’ với... theo chủ đề ứng dụng đạo hàm: ● Trong Hình học (bài toán đến toán ) ● Trong Vật lý (bài toán đến toán 5) ● Trong Kinh tế (bài toán ) ● Trong Đời sống lĩnh vực khác (bài toán đến toán 8) 1.Trong