SKKN Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11

Bản sáng kiến kinh nghiệm này trình bày về một khía cạnh nhỏ của phương phápdạy học trên, đó là “Thực hiện các hoạt động thành phần trong quá trình dạy học phươngtrình lượng giác cho học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11"

Phần I MỞ ĐẦU

I CƠ SỞ LÍ LUẬN.

Thời gian gần đây đã có rất nhiều cuộc hội thảo khoa học bàn về vấn đề làm thế nào đểđẩy nhanh sự phát triển của giáo dục mà nội dung then chốt là đổi mới để nâng cao chấtlượng dạy và học Một trong những phương pháp được chú ý nhất ,có tính ưu việt nhất đó

là dạy học theo quan điểm hoạt động

Phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động được hình thành trên những tư tưởng chủ đạo sau.

i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động thành phần tương thích với nội

dung và mục đích dạy học

ii) Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động.

iii) Truyền thụ tri thức ,đặc biệt là những tri thức phương pháp như phương tiện và kết

quả hoạt động

iv) Phân bậc hoạt động

Bản sáng kiến kinh nghiệm này trình bày về một khía cạnh nhỏ của phương phápdạy học trên, đó là “Thực hiện các hoạt động thành phần trong quá trình dạy học phươngtrình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông” mà tác giả đã trực tiếp giảngdạy và kiểm nghiệm

Hoạt động dạy học phương trình lượng giác là một hoạt động phức hợp có thể chialàm nhiều hoạt động thành phần, ký hiệu một cách hình thức là H1 ,H2 ,H3 ,H4 ,H5 ,H6

Có thể mô tả cấu trúc của hoạt động dạy học phương trình lượng giác như sau

II.CƠ SỞ THỰC TIỄN.

1.Về phía học sinh.

Giải phương trình lượng giác là một nội dung rất quan trọng trong chương trình Đại

số và giải tích 11,hơn nữa đây cũng là nội dung “cứng” trong cấu trúc ra đề thi đại họccủa Bộ GD và ĐT Tuy nhiên khi đụng đến biến đổi lượng giác nói chung và giải phươngtrình lượng giác nói riêng thì học sinh còn khá lúng túng,thậm chí một bộ phận lớn họcsinh còn cảm giác “sợ” nội dung này

Có rất nhiều tài liệu tham khảo về giải phương trình lượng giác ,nhưng hầu hết đềuchú ý đến số lượng các ví dụ nhiều hơn là đi định hướng cho học sinh có một cái nhìn sâusắc ,bản chất

2.Về phía giáo viên.

Việc cung cấp kiến thức cho học sinh một cách chi tiết là khó khăn,bởi số tiết dànhcho nội dung này là hạn chế,so với một lượng kiến thức có thể nói là rất đồ sộ.Vì vậyviệc tìm ra cho mình một phương pháp giảng dạy có tính hiệu quả cao,trong một thờigian ngắn là một điều rất cần thiết đối với bất kì giáo viên nào

Do đó tôi muốn chia sẻ qua sáng kiến kinh nghiệm nhỏ này với mong muốn mangđến cho bạn đọc một cách nhìn mới trên nội dung cũ nhằm góp phần đưa những tiết học

về nội dung giải phương trình lượng giác trở nên sôi động và hiệu quả hơn

Phần II THỰC HIỆN CÁC HOẠT ĐỘNG THÀNH PHẦN TRONG QUÁ TRÌNHDẠY

HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11

Có nhiều cách phân dạng phương trình lượng giác ,chẳng hạn sách giáo viên Đại số vàgiải tích 11 Ban khoa học tự nhiên thì các phương trình lượng giác được phân loại thành:

- Phương trình lượng giác cơ bản

- Một số phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc nhất ,bậc hai hay phươngtrình bậc cao đối với một hàm số lượng giác ,phương trình thuần nhất đối với sinx vàcosx ,phương trình đối xứng theo sinx và cosx)

- Những phương trình lượng giác khác: Cách phân loại như vậy có ưu điểm là chi tiết ,tuynhiên chưa nhấn mạnh đến các đặc điểm về dạng thức và phương pháp giải Theo kinhnghiệm cá nhân tôi nhận thấy sử dụng hệ thống phân dạng nói trên với một sự thay thíchhợp về cách sắp xếp ,tổ chức lại sẽ có một hệ thống phân dạng đầy đủ chi tiết tạo điềukiện giúp học sinh nhận dạng phương trình và tìm được giải pháp thể hiện phương phápgiải chúng

Trước hết, một sự phân dạng (còn rất thô) có thể chia các phương trình thành hai loại :

Loại phương trình lượng giác không có tham số và loại phương trình lượng giác có tham

số

Về nguyên tắc các phương trình không có tham số là những phương trình cụ thể nên phépgiải chúng tương đối đơn giản Các phương trình có tham số nhìn chung sẽ phức tạp ,vìvậy học sinh phải có khả năng phân tích để chia tập hợp các giá trị của tham số thànhnhững bộ phận ,trong đó phương trình có dạng chung thống nhất và lập luận thống nhất

về biến đổi tương đương phương trình

Chi tiết và cụ thể hơn chúng ta có thể phân dạng các phương trình lượng giác thành:

I.Phương trình lượng giác cơ bản

II.Phương trình lượng giác gần cơ bản.

III.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

IV.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa.

V.Các phương trình lượng giác có thể biến đổi về phương trình tích

VI.Các phương trình lượng giác có điều kiện ràng buộc về ẩn.

VII.Các phương trình lượng giác không mẫu mực.

Các dạng IV,V ,VI,VII có thể phân dạng một cách chi tiết hơn như sau:

IV1 Phương trình có thể đại số hóa.

a Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác

b Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

c Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

V1 Phương trình lượng giác có thể biến đổi về tích.

a Dạng asinx+bsin2x+csin3x=0

b Dạng sử dụng công thức hạ bậc ,tích thành tổng,tổng thành tích

c Dạng chứa những biểu thức có thừa số chung

d Dạng phương trình có những liên quan đặc biệt

VI1 Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn.

a Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức

b Phương trình lượng giác chứa ẩn trong dấu căn

c Phương trình lượng giác chứa ẩn trong lôgarit

d Phương trình lượng giác trên một miền

VII1 Phương trình lượng giác không mẫu mực.

a Các phương trình không mẫu mực giải được nhờ sử dụng phương pháp đánh giá các sốhạng ,nhân tử

b Các phương trình không mẫu mực giải được dựa vào tính chất của hàm số và đồ thị

Về các phương trình có chứa tham số ,học sinh có thể gặp các dạng cụ thể sau.

a Biện luận phương trình

b Biện luận số nghiệm của phương trình

c Điều kiện để phương trình có nghiệm,nghiệm duy nhất

d Điều kiện để hai phương trình tương đương

1.1 Phương trình lượng giác cơ bản.

Là lớp phương trình đơn giản nhất nhưng lại là quan trọng nhất vì việc giải bất cứphương trình nào cũng dẫn đến giải một trong những phương trình dạng này

Các phương trình lượng giác cơ bản gồm:sinx=a,cosx=a,tanx=a,cotx=a, với x là ẩn, a là

1.4.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa.

Về nguyên tắc, mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ phép đặt ẩn phụt=tan(x/2) và sử dụng các công thức hữu tỉ hóa:

2 22 2 22

1

1 cot , 1

2 tan

, 1

1 cos ' 1

2 sin

t

t x t

t x t

t x t

t x

Thứ nhất, phép biến đổi trên làm thu hẹp miền xác định của phương trình.

Thứ hai, phép đặt ẩn phụ trên làm bậc của phương trình tăng lên gấp đôi.

Do đó trong nhiều trường hợp ,để đại số hóa một phương trình lượng giác cần xem xét cụthể phương trình để lựa chọn một phép biến đổi thông minh hơn

a.Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác

b.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.

c.Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.

1.5 Các phương trình lượng giác có thể biến đổi đưa về tích.

Phương pháp đưa phương trình về dạng tích là một trong những kĩ thuật quan trọng nhất

để giải phương trình nói chung và phương trình lượng giác nói riêng.Mục đích củaphương pháp này là quy việc giải một phương trình phức tạp về việc giải một tập hợpcác phương trình cơ bản

Các em học sinh có thể chú ý ghi nhớ những biểu thức có thừa số chung cho trên bảngsau

f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x)

Cosx Sin2x,cos3x,tan2x,cotx,cot3x…

2 4 ( cos , cot ,

x

Sinx+cosx cos 2x, cot 2x, 1  sin 2x, 1  tanx, 1  cotx, tanx cotx

Sinx-cosx cos 2x, cot 2x, 1  sin 2x, 1  tanx, 1  cotx, tanx cotx

Bảng 1

1.6 Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc về ẩn.

Với dạng phương trình này khi giải ta phải đặt điều kiện và chú ý các phepa biến đổitương đương ,khi giải xong nghiệm ta phải kiểm tra lại điều kiện để loại đi nghiệm viphạm điều kiện

1.7 Phương trình lượng giác không mẫu mực.

Một số phương trình lượng giác không thể áp dụng những phương pháp truyền thống Gặp những dạng này học sinh cần vận dụng khéo léo phương pháp đánh giá các số hạng

có trong phương trình(sử dụng tính chất của bất đẳng thức ) sử dụng các tính chất đơnđiệu ,hay tính bị chặn của hàm số ,hoặc dùng đồ thị của hàm số để giải được chúng

2 Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc.

Đây là hoạt động thành phần quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt động dạy học giảiphương trình lượng giác Phần lớn các phương trình lượng giác có dạng thức không chỉ rangay con đường đi đến lời giải Việc nhận ra dạng phương trình cần giải mới chỉ gợi ý chongười làm một thuật toán chung, tổng quát để suy nghĩ tìm tòi lời giải Do đó,trong hoạt độngthành phần này, giáo viên cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải.

Một giờ học toán sinh động hay khô khan buồn tẻ, có trở thành niềm say mê, háo hức củahọc sinh hay không là tùy thuộc và năng lực điều khiển của giáo viên Vì vậy mỗi giáoviên cần thường xuyên rèn luyện nhằm không ngừng nâng cao năng lực tiến hành biếnđổi phương trình

2.1 Phương trình lượng giác cơ bản và gần cơ bản.

* Phương trình lượng giác cơ bản :sinx=a,cosx=a, tanx=a,cotx=a.Các phương trình

lượng giác dạng này đã có công thức nghiệm chi tiết.Cần nhấn mạnh các phương trình sinx=sinb,cosx=cosb,tanx=tanb,cotx=cotb

* Phương trình lượng giác gần cơ bản.

Là những phương trình :sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a

Bằng phép đặt f(x)=t,ta đưa về phương trình dạng trên

Cần chú ý điều kiện trong phương trình tanf(x)=a,cotf(x)=a

2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Dạng phương trình :asinx+bcosx+c=0

Bằng cách chia hai vế của phương trình cho 2 2

b

2 2 2

a a

,nên ta có thể đặt cos 2 2 , sin 2 2

b a

b b

c x

), ( cos )

( sin ) ( cos

)

(

sin f x b f x c g x d g x a b c d

2.3 Lựa chọn phép biến đổi lượng giác.

Để nhanh chóng lựa chọn những phép biến đổi lượng giác thích hợp cho việc đại số hóaphương trình ,giáo viên cần lưu ý học sinh một số nhận xét hữu ích sau:

a Các biểu thức lượng giác có thể biểu diễn qua một đa thức của cosx gồm:

sin2x,cos2x,cos3x

Các biểu thức biểu diễn được qua một đa thức của sinx gồm:cos2x,cos2x,sin3x

b Các phương trình đối xứng nhau với sinx,cosx có thể đại số hóa bởi phép đặt ẩn số phụt=sinx+cosx,từ cách đặt ẩn phụ này ta rút ra t 2 ; 2 và

sinxcosxt22 1.Như vậy phương trình đối xứng f(sinx+cosx,sinxcosx)=0 là đại số hóađược

c Các phương trình dạng f(cosx-sinx,sinxcosx) =0 cũng đại số hóa như trên

d Một dạng đặc biệt của phương trình đối xứng đối với cosx và sinx là phương trình đốixứng với tanx và cotx.Chú ý rằng :tanx.cotx=1,tanx+cotx=2/sin2x

nên có phép đặt ẩn phụ t= tanx+cotx hoặc t=sin2x.Khi đặt t=tanx+cotx ta có các côngthức biến đổi:S2 =tan 2x cot 2xt2  2.

e Qui trình biến đổi phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx như sau:

Bước 1.Làm cho tất cả các số hạng đều cùng bậc bằng cách nhân từng số hạng với biểuthức (sin 2x cos 2x)k

 ,với k lựa chọn thích hợp

Bước 2.Rút lũy thừa bậc cao nhất của cosx có thể làm nhân tử chung.Nếu các số hạngkhông nhận cosx làm nhân tử chung thì chia hai vế cho lũy thừa cao nhất của cosx

Bước 3.Đặt t =tanx và giải phương trình đại số thu được

2.4 Biến đổi phương trình về dạng tích

Muốn biến đổi phương trình lượng giác về dạng tích trước tiên cần giúp học sinh thuộctất cả các công thức biến đổi lượng giác Trong thực tế đa số học sinh không nhận thứcđược tầm quan trọng của việc thuộc lòng các phép biến đổi lượng giác ,đã hài lòng và yêntâm với việc hiểu ý nghĩa công thức biến đổi ,có khả năng áp dụng chúng ,nhưng lạikhông nhớ được có những công thức nào,không hình dung được các công thức đó mộtcách tường minh, vì thế không có khả năng so sánh phân tích ,tổng hợp.Vì lẽ đó các emchỉ có thể giải toán một cách thụ động ,hiểu vấn đề một cách lơ mơ và không có khả năngsáng tạo

Thiết nghĩ rằng nếu tổ chức tốt việc dạy học các công thức biến đổi lượng giác sẽ bảođảm một kết quả chắc chắn và tiết kiệm thời gian cho học sinh rất nhiều

Cách tổ chức dạy học biến đổi lượng giác nên dựa vào hai yếu tố :hệ thống hóa các công thức;phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động học tập

Hệ thống công thức biến đổi có thể tóm tắt trong sơ đồ sau.

Để phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động chúng tôi sắp xếp các công thức theo mộttrật tự thích hợp để về mặt âm thanh có thể đọc trơn tru, tốt ít hơi và yêu cầu học sinh luyệnđồng thời nói - nhìn - nghe - viết

Ví dụ 1: Công thức biến tích thành tổng dưới dạng viết cho bởi:

)) cos(

) (cos(

) (cos(

)) sin(

) (sin(

Cos nhân cos bằng một phần hai cos trừ cộng cos cộng…

Bằng cách cho cả lớp đọc đồng thanh, đọc đuổi nhau… học sinh rất nhanh chóng thuộctất cả các công thức nói trên Sau đây là một số kỹ năng biến đổi thường dùng:

a Phương trình asinx + bsin2x + csin3x = 0 tương đương với

0 ) sin 4 sin 3 ( cos sin

x sin 3 sin

2

0 )) 1 ( cos 2 cos

b Sử dụng công thức biến tổng thành tích: Học sinh cần biết nhóm các số hạng một cáchthích hợp, thường là phải chú ý đến tổng, hiệu các góc có mặt trong các số hạng cần ghép, đôikhi phải hạ bậc trước khi biến tổng thành tích:

Ví dụ 3.Giải phương trình:sinx sin 2x sin 3x cosx cos 2x cos 3x

H2: Hai vế phương trình là những tổng lượng giác, không có số hạng đồng dạng đểđơn giản, vì vậy ta nên nghĩ đến việc biến tổng thành tích nhằm mục đích làm xuất hiệnnhân tử chung để đưa phương trình về dạng tích Chú ý đến các góc nửa tổng và nửa hiệu

ta thấy nên nhóm sinx+3sinx ở vế trái, cosx + 3cosx ở vế phải, còn góc nửa tổng sẽ là

Vậy ta biến đổi (sinx sin 3x)  sin 2x (cosx cos 3x)  cos 2x

 2 sin 2xcosx sin 2x 2 cos 2xcosx cos 2x

0 ) 2 cos 2 )(sin 1 cos

2

(

) 1 cos 2 ( 2 cos ) 1 cos

2 cos 2 2 sin cos

x

x x

x

x x

x x

x x

Ví dụ 4: sin3x+sin6x=sin9x

H2: Chú ý đến các cung chứa ẩn (3x+6x =9x) ta thấy ngay nên biến đổi

0 ) 2

3 cos 2

9 (cos

9 sin 2 2

x

x x

x x

Cũng có thể biến đổi theo cách khác, chẳng hạn đặt t=3x và dùng công thức góc bội

ta biến đổi phương trình thành

sint+sin2t = sin3t (dạng asinx+bsin2x + csin3x = 0)

0 ) 2 cos 2 sin 4 (

Ví dụ 5: sin 2 sin 4 0

2

3 cos 2

cos 3

cos

cos

0 2

8 cos 1 2

4 cos 1 2

3 cos 1

x x

x x

x x

chỳ ý rằng x23x 8x24x nên có thể nhóm cosx + cos3x, cosx + cos8x, phương trìnhtương đương với:

0 ) 6 cos (cos

2

cos

2

0 2 cos 6 cos 2 cos

x

x x x

x

Trong nhiều trường hợp, 2 vế phương trình là tổng nhiều tích những hàm số lượng giác

mà không có thừa số chung, khi đó nên tìm cách biến tích thành tổng để rút gọn các sốhạng đồng dạng rồi mới biến tích thành tổng

Ví dụ 6: cos3xcos6x= cos4xcos7x

H2: Hai vế là hai tích không có nhân tử chung, nếu biến tích thành tổng thì phương trìnhtương đương với

x x

x x

x x

9 cos 11

cos

) 11 cos 3

(cos 2

1 ) 9 cos

) 1 cos 2 )(

1 cos 2 (

sin

4

3

) 1 sin 2 )(

1 sin 2 ( 1 sin 4 ) sin 1 ( 4 3 cos

4

3

) cos 1 )(

cos 1 ( cos

1

sin

) sin 1 )(

sin 1 ( sin

1

cos

2

2 2

2

2 2

2 2

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

Ví dụ 7: ( 2 sinx 1 )( 2 sin 2x 1 )  3  4 cos 2x

H2: Vế phải là biểu thức 3  4 cos 2 x có nhân tử chung 2sinx-1 với vế trái, phương trìnhdược biến đổi thành:

0 ) 1 cos 2 ( sin 2 )(

x

x x

x

Ví dụ 8: Giải phương trình:sinx sinxcosx 1  cosx cos 2 x

H2: Có coscos2x xsin1xsincos2x xcos(1xsin(1xsin)(1x)sinx)

Phương trình được biến đổi thành:

0 )) 4 cos(

2 2 )(

sin

1

(

0 ) sin cos 2 )(

sin

1

(

0 sin 1 ) sin 1 ( cos

x x

x

x x

x x

d Sử dụng công thức nhân đôi:

Từ công thức cos 2x cos 2x sin 2 x 2 cos 2x 1  1  sin 2 x, bằng cách áp dụng đồng nhất côngthức cos2x+sin2x=1 một cách khéo léo ta có:

cos4x -cos2x = cos4x - (cos2x - sin2x)

= cos2x(cos2x-1)+sin2 x = -sin2xcos2x+sin2xhoặc cos4x-cos2x=cos4x-(2cos2x-1)=(1-cos2x)2=sin4x

hoặc cos2x = cos2x - sin2x=cos2x - sin4x - sin4x

cos4x-cos2x = sin4x

Ví dụ 9:Giải phương trình: Cos4x-cos2x+2sin6x=0

H2: Trong phương trình có mặt hai loại hàm số lượng giác (cos và sin), với bậc khác nhau(bậc 3 và bậc1) và các công chứa ẩn khác nhau (x và 2x) Để làm cho các số hạng bớtkhác biệt có thể chú ý đến bậc hoặc cung chứa ẩn Nếu muốn làm cho các số hạng đồng

bậc thì phải dùng công thức hạ bậccos 3 3cosx43cosx

x  nhưng như vậy sẽ xuất hiện thêmcung 3x Nếu muốn làm cho các cung chứa ẩn giống nhau thì phải biến đổi 2cos2x Nếudùng cos2x-sin2x thì phương trình được biến đổi thành

0 )]

cos (sin

2 ) cos )[(sin

sin

1

(

0 ] cos 2 sin 2 cos sin 2 1

sin

1

(

0 ) sin 1 ( sin ) 1 cos

2

(

cos

0 sin sin

x x

x

x x

x x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x

Nếu dựng công thức cos2x=2cos2x -1 thì phương trình được biến đổi thành

0 ) sin 1 ( ) 1 (cos

cos

2

0 sin 1 cos

x

x x

x

e Đặt thừa số chung: Sử dụng bảng 1 học sinh có thể tiến hành đặt thừa số chung một

cách thuận lợi trong nhiều trường hợp

Ví dụ 10: Giải phương trình: x x x

sin 1

cos 1 tan 2

cos 1 sin 1

cos 1 sin

1

cos 1

2 2

1 cos

1

(

0 cos

) sin (cos cos

cos

1

0 ) 1 sin 1

cos 1

x

x x x

x

x

x x

x

f Chú ý đến đặc điểm các hệ số: trong nhiều phương trình lượng giác, những mối liên hệ

số học giữa các hệ số lại chứa đựng chìa khoá giải bài toán Ta sẽ thấy từ điều này quacác ví dụ sau:

Ví dụ 11: Giải phương trình:3sinx+2cosx=2+3tanx

H2: nhóm các số hạng cùng hệ số ta được

3sinx-3tanx = 2-cosx

0 ) tan 3 2 )(

cos

1

(

) cos 1 ((

2 ) 1 (cos

tan

3

) cos 1 ( 2 tan 3 cos

x x

x

x x

x x

Ví dụ 12: 2(tanx-sinx)+3(cotx-cosx)+5=0

H2: chú ý đến mối liên hệ giữa các hệ số 5=2+3 ta biến đổi vế trái phương trình thành2(tanx-sinx+1)+3(cotx-cosx+1)

) sin

2 cos

2 )(

cos sin cos

(sin

x x

x x x



2.5 Các phép toán chia, khai căn, logarit không phải luôn xác định, vì thế khi có hàm sốlượng giác chứa ẩn có mặt ở mẫu số hay dưới dấu căn thức, hoặc trong biểu thức logaritthì tập xác định của phương trình nói chung chỉ là một tập con thực sự của tập số thực.Mặt khác, hầu như các phép biến đổi đồng nhất liên quan đến các phép toán nói trên đềulàm thay đổi miền xác định của phương trình nên đứng trước mỗi phép biến đổi phươngtrình chúng ta phải luôn tự đặt câu hỏi các phép biến đổi đó có ảnh hưởng như thế nàođến tập hợp nghiệm của phương trình Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản sauđây:

a Các định lý về biến đổi tương đương phương trình

- Nếu nhân hai vế một phương trình với một biểu thức có nghĩa và, ta được phương trình tươngđương (giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu thức)

- Nếu hai vế một phương trình có nghĩa và cùng dấu thì nâng hai vế của phương trình ấylên cùng một lũy thừa ta được phương trình tương đương (giải phương trình vô tỉ)

- Nếu hai vế một phương trình cùng có nghĩa thì mũ hoá phương trình ấy ta được mộtphương trình tương đương (giải phương trình lôgarit)

b Các phép biến đổi đồng nhất và điều kiện kèm theo:

) 0 , 1 , 0 (

log log

1 , 0 ( log

.

log

) 0 (

)

(

) 1 tan

tan , 0 cos , (cos tan tan 1

tan tan

)

tan(

) 0 sin , (sin sin sin

) sin(

cot

cot

) 0 cos , (cos cos cos

) sin(

tan

tan

log

2 1

2

1

2 1 2

b

a

b b

b

b

b b a

b b

a

a

a

b a b

a b a

b a

b

a

b a b a

b a b

a

b a b a

b a b

a

b

a a

a

a a

Ví dụ 13:

x x

x

sin

1 cos

3 sin

H2: để khử mẫu số, cần nhân 2 vế phương trình với cosx.sinx; để bảo đảm không xuấthiện nghiệm ngoại lai khi áp dụng phép biến đổi đó cần có điều kiện cosxsinx ≠0 Mặtkhác việc đặt điều kiện bổ xung này không làm thu hẹp tập các giá trị cần xem xét của x

và tập xác định của phương trình là tập tất cả các x thoả mãn điều kiện cosx.sinx≠0 Vậyphương trình đó cho tương đương với hệ: 

) ( 0 sin cos

2x x x x

a x x

Chú ý rằng, nếu x là một nghiệm của (1) và không thoả mãn điều kiện (a) thì ta có đồngthời 2 đẳng thức

sin 3 cos sin 7 sin

sin 3 cos sin

x x

x

x x

x x

cos sin 3 3 cos cos

2

cos sin

3 sin

Xem phương trình được như phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx ta viết:

) 3 cos(

) 3

cos(

) 2 cos(

3

cos

cos 2

1 sin 2

3 3

cos

cos sin

3 3

x x

x x

x

x x

Ví dụ 14: 3tan3x + cot2x=2tanx+sin24x

H2: Chú ý đến đặc điểm các hệ số có thể biến đổi phương trình thành

tan3x+tan2x+2(tan3x-tanx)=2sin2x2cos2x

x x x

x

x x x

x x x

x

x x

x

x x

2 cos 2 sin

1 2

sin 3

cos

sin 2 sin 4

cos

2 cos 2 sin

1 cos

3 cos

2 sin 2 2

sin

3

cos

) 2 3