phương trình lượng giác
SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Phần I MỞ ĐẦU I CƠ SỞ LÍ LUẬN Thời gian gần có nhiều hội thảo khoa học bàn vấn đề làm để đẩy nhanh phát triển giáo dục mà nội dung then chốt đổi để nâng cao chất lượng dạy học Một phương pháp ý ,có tính ưu việt dạy học theo quan điểm hoạt động Phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động hình thành tư tưởng chủ đạo sau i) Cho học sinh thực tập luyện hoạt động thành phần tương thích với nội dung mục đích dạy học ii) Gây động học tập tiến hành hoạt động iii) Truyền thụ tri thức ,đặc biệt tri thức phương pháp phương tiện kết hoạt động iv) Phân bậc hoạt động Bản sáng kiến kinh nghiệm trình bày khía cạnh nhỏ phương pháp dạy học trên, “Thực hoạt động thành phần trình dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ thông” mà tác giả trực tiếp giảng dạy kiểm nghiệm Hoạt động dạy học phương trình lượng giác hoạt động phức hợp chia làm nhiều hoạt động thành phần, ký hiệu cách hình thức H1 , H , H , H , H , H Có thể mơ tả cấu trúc hoạt động dạy học phương trình lượng giác sau H :Nhận dạng phương trình: Nếu học sinh nhận dạng phương trình cần giải chuyển qua H H :Biến đổi phương trình dạng quen thuộc,giáo viên cần tiến hành gợi động cơ, hướng đích cần thiết, kết thúc H chuyển sang H H :Giải phương trình nhận (thể phương pháp giải) H :Kiểm tra kết để bảo đảm khơng bỏ sót nghiệm,khơng thừa nghiệm, tránh sai lầm phổ biến thường gặp Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 H : Phân tích sai lầm học sinh để thu hoạch tri thức toán học tri thức phương pháp toán học H : Xét mối liên hệ với toán liên quan,mở rộng tốn tương tự,khái qt hóa Các hoạt động thành phần có liên quan mật thiết với ,thường xuất đan kết lồng vào nhau.Việc phân tích hoạt động dạy học giải phương trình thành hoạt động giúp giáo viên nắm cách thức tiến hành tồn dạy học phương trình II.CƠ SỞ THỰC TIỄN 1.Về phía học sinh Giải phương trình lượng giác nội dung quan trọng chương trình Đại số giải tích 11,hơn nội dung “cứng” cấu trúc đề thi đại học Bộ GD ĐT Tuy nhiên đụng đến biến đổi lượng giác nói chung giải phương trình lượng giác nói riêng học sinh cịn lúng túng,thậm chí phận lớn học sinh cịn cảm giác “sợ” nội dung Có nhiều tài liệu tham khảo giải phương trình lượng giác ,nhưng hầu đến số lượng ví dụ nhiều định hướng cho học sinh có nhìn sâu sắc ,bản chất 2.Về phía giáo viên Việc cung cấp kiến thức cho học sinh cách chi tiết khó khăn,bởi số tiết dành cho nội dung hạn chế,so với lượng kiến thức nói đồ sộ.Vì việc tìm cho phương pháp giảng dạy có tính hiệu cao,trong thời gian ngắn điều cần thiết giáo viên Do tơi muốn chia sẻ qua sáng kiến kinh nghiệm nhỏ với mong muốn mang đến cho bạn đọc cách nhìn nội dung cũ nhằm góp phần đưa tiết học nội dung giải phương trình lượng giác trở nên sôi động hiệu Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Phần II THỰC HIỆN CÁC HOẠT ĐỘNG THÀNH PHẦN TRONG QUÁ TRÌNHDẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 Nhận dạng phương trình Khi học giải phương trình lượng giác nhiều học sinh nhầm tưởng học thuật toán tổng quát cho phép giải phương trình lượng giác, thực khơng có phương pháp tổng qt Các phương trình lượng giác chương trình phổ thơng đa dạng thể loại, phong phú cách giải ,vì yêu cầu quan trọng mà giáo viên phải đạt giúp học sinh nhận dạng phương trình lượng giác khác thể phương pháp giải chúng Có nhiều cách phân dạng phương trình lượng giác ,chẳng hạn sách giáo viên Đại số giải tích 11 Ban khoa học tự nhiên phương trình lượng giác phân loại thành: - Phương trình lượng giác - Một số phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc ,bậc hai hay phương trình bậc cao hàm số lượng giác ,phương trình sinx cosx ,phương trình đối xứng theo sinx cosx) - Những phương trình lượng giác khác: Cách phân loại có ưu điểm chi tiết ,tuy nhiên chưa nhấn mạnh đến đặc điểm dạng thức phương pháp giải Theo kinh nghiệm cá nhân nhận thấy sử dụng hệ thống phân dạng nói với thay thích hợp cách xếp ,tổ chức lại có hệ thống phân dạng đầy đủ chi tiết tạo điều kiện giúp học sinh nhận dạng phương trình tìm giải pháp thể phương pháp giải chúng Trước hết, phân dạng (cịn thơ) chia phương trình thành hai loại : Loại phương trình lượng giác khơng có tham số loại phương trình lượng giác có tham số Về ngun tắc phương trình khơng có tham số phương trình cụ thể nên phép giải chúng tương đối đơn giản Các phương trình có tham số nhìn chung phức tạp ,vì học sinh phải có khả phân tích để chia tập hợp giá trị tham số thành phận ,trong phương trình có dạng chung thống lập luận thống biến đổi tương đương phương trình Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Chi tiết cụ thể phân dạng phương trình lượng giác thành: I.Phương trình lượng giác II.Phương trình lượng giác gần III.Phương trình bậc sinx cosx IV.Các phương trình lượng giác đại số hóa V.Các phương trình lượng giác biến đổi phương trình tích VI.Các phương trình lượng giác có điều kiện ràng buộc ẩn VII.Các phương trình lượng giác khơng mẫu mực Các dạng IV,V ,VI,VII phân dạng cách chi tiết sau: IV1 Phương trình đại số hóa a Phương trình đa thức hàm lượng giác b Phương trình đối xứng sinx cosx c Phương trình đẳng cấp sinx cosx V1 Phương trình lượng giác biến đổi tích a Dạng asinx+bsin2x+csin3x=0 b Dạng sử dụng cơng thức hạ bậc ,tích thành tổng,tổng thành tích c Dạng chứa biểu thức có thừa số chung d Dạng phương trình có liên quan đặc biệt VI1 Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc ẩn a Phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu thức b Phương trình lượng giác chứa ẩn dấu c Phương trình lượng giác chứa ẩn lơgarit d Phương trình lượng giác miền VII1 Phương trình lượng giác khơng mẫu mực a Các phương trình khơng mẫu mực giải nhờ sử dụng phương pháp đánh giá số hạng ,nhân tử b Các phương trình khơng mẫu mực giải dựa vào tính chất hàm số đồ thị Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Về phương trình có chứa tham số ,học sinh gặp dạng cụ thể sau a Biện luận phương trình b Biện luận số nghiệm phương trình c Điều kiện để phương trình có nghiệm,nghiệm d Điều kiện để hai phương trình tương đương 1.1 Phương trình lượng giác Là lớp phương trình đơn giản lại quan trọng việc giải phương trình dẫn đến giải phương trình dạng Các phương trình lượng giác gồm:sinx=a,cosx=a,tanx=a,cotx=a, với x ẩn, a số cho 1.2.Phương trình lượng giác gần Là phương trình dạng sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a 1.3.Phương trình bậc sinx cosx Là phương trình có dạng:asinx+bcosx+c=0 1.4.Các phương trình lượng giác đại số hóa Về nguyên tắc, phương trình lượng giác đại số hóa nhờ phép đặt ẩn phụ t=tan(x/2) sử dụng cơng thức hữu tỉ hóa: sin x = 2t 1− t2 2t 1+ t2 ' cos x = , tan x = , cot x = 1+ t2 1+ t2 1− t2 1− t2 Tuy nhiên có hai lí chủ yếu khơng nên máy móc đặt ẩn phụ dạng cho trường hợp Thứ nhất, phép biến đổi làm thu hẹp miền xác định phương trình Thứ hai, phép đặt ẩn phụ làm bậc phương trình tăng lên gấp đơi Do nhiều trường hợp ,để đại số hóa phương trình lượng giác cần xem xét cụ thể phương trình để lựa chọn phép biến đổi thông minh a.Phương trình đa thức hàm lượng giác b.Phương trình đối xứng sinx cosx c.Phương trình đẳng cấp sinx cosx Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 1.5 Các phương trình lượng giác biến đổi đưa tích Phương pháp đưa phương trình dạng tích kĩ thuật quan trọng để giải phương trình nói chung phương trình lượng giác nói riêng.Mục đích phương pháp quy việc giải phương trình phức tạp việc giải tập hợp phương trình Các em học sinh ý ghi nhớ biểu thức có thừa số chung cho bảng sau f(x) Sinx Cosx 1+cosx 1-cosx 1+sinx 1-sinx Sinx+cosx Sinx-cosx Biểu thức chứa thừa số f(x) Sinnx,tannx,… Sin2x,cos3x,tan2x,cotx,cot3x… x x sin , tan 2 x x x 2 x , sin x, tan x π x cos x, cot x, cos ( − ), π x cos x, cot x, cos ( + ), cos x, cot x,1 + sin x,1 + tan x,1 + cot x, tan x − cot x cos x, cot x,1 − sin x,1 − tan x,1 − cot x, tan x − cot x cos ,cot ,sin ,tan … Bảng 1.6 Phương trình lượng giác với điều kiện ràng buộc ẩn Với dạng phương trình giải ta phải đặt điều kiện ý phepa biến đổi tương đương ,khi giải xong nghiệm ta phải kiểm tra lại điều kiện để loại nghiệm vi phạm điều kiện 1.7 Phương trình lượng giác khơng mẫu mực Một số phương trình lượng giác áp dụng phương pháp truyền thống Gặp dạng học sinh cần vận dụng khéo léo phương pháp đánh giá số hạng có phương trình(sử dụng tính chất bất đẳng thức ) sử dụng tính chất đơn điệu ,hay tính bị chặn hàm số ,hoặc dùng đồ thị hàm số để giải chúng Biến đổi phương trình dạng quen thuộc Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Đây hoạt động thành phần quan trọng khó khăn hoạt động dạy học giải phương trình lượng giác Phần lớn phương trình lượng giác có dạng thức khơng đường đến lời giải Việc nhận dạng phương trình cần giải gợi ý cho người làm thuật toán chung, tổng quát để suy nghĩ tìm tịi lời giải Do đó,trong hoạt động thành phần này, giáo viên cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tịi lời giải Một học tốn sinh động hay khơ khan buồn tẻ, có trở thành niềm say mê, háo hức học sinh hay không tùy thuộc lực điều khiển giáo viên Vì giáo viên cần thường xuyên rèn luyện nhằm không ngừng nâng cao lực tiến hành biến đổi phương trình 2.1 Phương trình lượng giác gần * Phương trình lượng giác :sinx=a,cosx=a, tanx=a,cotx=a.Các phương trình lượng giác dạng có cơng thức nghiệm chi tiết.Cần nhấn mạnh phương trình sinx=sinb,cosx=cosb,tanx=tanb,cotx=cotb * Phương trình lượng giác gần Là phương trình :sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a Bằng phép đặt f(x)=t,ta đưa phương trình dạng Cần ý điều kiện phương trình tanf(x)=a,cotf(x)=a 2.2 Phương trình bậc sinx cosx Dạng phương trình :asinx+bcosx+c=0 Bằng cách chia hai vế phương trình cho a 2 a +b b + 2 a +b = ,nên ta đặt cos α = a + b ý a a2 + b2 , sin α = b a2 + b2 ,với α góc xác định Khi phương trình cho trở thành : sin( x + α ) = c a + b2 ,đây phương trình Sử dụng cách giải phương trình ta áp dụng cho phương trình dạng sau: a sin f ( x ) + b cos f ( x) = c sin g ( x) + d cos g ( x), a + b = c + d Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 2.3 Lựa chọn phép biến đổi lượng giác Để nhanh chóng lựa chọn phép biến đổi lượng giác thích hợp cho việc đại số hóa phương trình ,giáo viên cần lưu ý học sinh số nhận xét hữu ích sau: a Các biểu thức lượng giác biểu diễn qua đa thức cosx gồm: sin x ,cos2x,cos3x Các biểu thức biểu diễn qua đa thức sinx gồm:cos x ,cos2x,sin3x b Các phương trình đối xứng với sinx,cosx đại số hóa phép đặt ẩn số phụ t=sinx+cosx,từ cách đặt ẩn phụ ta rút t ∈ [− ; ] sinxcosx = t2 −1 Như phương trình đối xứng f(sinx+cosx,sinxcosx)=0 đại số hóa c Các phương trình dạng f(cosx-sinx,sinxcosx) =0 đại số hóa d Một dạng đặc biệt phương trình đối xứng cosx sinx phương trình đối xứng với tanx cotx.Chú ý :tanx.cotx=1,tanx+cotx=2/sin2x nên có phép đặt ẩn phụ t= tanx+cotx t=sin2x.Khi đặt t=tanx+cotx ta có công thức biến đổi:S2 = tan x + cot x = t − S3 = tan x + cot x = t − 3t S = tan x + cot x = t − 4t + e Qui trình biến đổi phương trình đẳng cấp sinx cosx sau: Bước 1.Làm cho tất số hạng bậc cách nhân số hạng với biểu thức (sin x + cos x)k ,với k lựa chọn thích hợp Bước 2.Rút lũy thừa bậc cao cosx làm nhân tử chung.Nếu số hạng khơng nhận cosx làm nhân tử chung chia hai vế cho lũy thừa cao cosx Bước 3.Đặt t =tanx giải phương trình đại số thu 2.4 Biến đổi phương trình dạng tích Muốn biến đổi phương trình lượng giác dạng tích trước tiên cần giúp học sinh thuộc tất công thức biến đổi lượng giác Trong thực tế đa số học sinh không nhận thức tầm quan trọng việc thuộc lòng phép Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 biến đổi lượng giác ,đã hài lịng n tâm với việc hiểu ý nghĩa cơng thức biến đổi ,có khả áp dụng chúng ,nhưng lại khơng nhớ có cơng thức nào,khơng hình dung cơng thức cách tường minh, khơng có khả so sánh phân tích ,tổng hợp.Vì lẽ em giải toán cách thụ động ,hiểu vấn đề cách lơ mơ khơng có khả sáng tạo Thiết nghĩ tổ chức tốt việc dạy học công thức biến đổi lượng giác bảo đảm kết chắn tiết kiệm thời gian cho học sinh nhiều Cách tổ chức dạy học biến đổi lượng giác nên dựa vào hai yếu tố :hệ thống hóa cơng thức; phối hợp giác quan tham gia hoạt động học tập Hệ thống công thức biến đổi tóm tắt sơ đồ sau Ba hệ thức Quy gọn góc Cộng cung Góc nhân đơi nhân ba Tích thành tổng Tổng thành tích Hạ bậc Đột biến Hữu tỉ hoá Để phối hợp giác quan tham gia hoạt động xếp công thức theo trật tự thích hợp để mặt âm đọc trơn tru, tốt u cầu học sinh luyện đồng thời nói - nhìn - nghe - viết Ví dụ 1: Cơng thức biến tích thành tổng dạng viết cho bởi: cos x cos y = (cos( x − y ) + cos( x + y )) sin x sin y = (cos( x − y ) + cos( x + y )) sin x cos y = (sin( x − y ) + sin( x + y )) Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Các em nhận xét quy luật viết khai triển vế phải (góc trừ trước, góc cộng sau) luyện đọc thành lời: Cos nhân cos phần hai cos trừ cộng cos cộng… Bằng cách cho lớp đọc đồng thanh, đọc đuổi nhau… học sinh nhanh chóng thuộc tất cơng thức nói Sau số kỹ biến đổi thường dùng: a Phương trình asinx + bsin2x + csin3x = tương đương với a sin x + 2b sin x cos x + c(3 sin x − sin x ) = { sin x 4c cos x + 2b cos x + a − c} = trước đến với dạng phương trình cho, học sinh cần có khả quy gọn góc Ví dụ 2: Tìm a để phương trình sin 2( x − π ) − sin(3 x − π ) = a sin x có nghiệm x ≠ kπ , (k ∈ Z ) Ta có sin 2( x − π ) = sin( x − 2π ) = sin x sin(3 x − π ) = − sin x phương trình trở thành sin x + sin x = a sin x sin x(4 cos x + cos x − (a + 1)) + b Sử dụng cơng thức biến tổng thành tích: Học sinh cần biết nhóm số hạng cách thích hợp, thường phải ý đến tổng, hiệu góc có mặt số hạng cần ghép, phải hạ bậc trước biến tổng thành tích: Ví dụ 3.Giải phương trình: sin x + sin x + sin 3x = cos x + cos x + cos 3x H2: Hai vế phương trình tổng lượng giác, khơng có số hạng đồng dạng để đơn giản, ta nên nghĩ đến việc biến tổng thành tích nhằm mục đích làm xuất nhân tử chung để đưa phương trình dạng tích Chú ý đến góc nửa tổng nửa hiệu ta thấy nên nhóm sinx+3sinx vế trái, cosx + 3cosx vế phải, cịn góc nửa tổng x + 3x = 2x Vậy ta biến đổi (sin x + sin 3x) + sin x = (cos x + cos 3x) + cos x sin x cos x + sin x = cos x cos x + cos x Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 10 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 ii) iii) f ( x) = f ( x) + g ( x) = g ( x) = ∆ = a ≠ Nếu af (x)+bf(x)+c=0 b ∆ = b − 4ac f ( x ) = − 2a Ví dụ 19: Giải phương trình:Sin10x + cos8x=1 H2: biến đổi phương trình dạng đẳng cấp bậc 10 hệ số cồng kềnh Mặc dù, ý 1=sin2x +cos2x sin 10 x ≤sin2x, cos8x≤cos2x ta viết phương trình dạng sin10 x + cos8 x = sin x + cos x sin x(sin x − 1) + cos x (cos6 x − 1) = ≥0 ≤0 ≥0 ≤0 sin x(sin x − 1) = cos x(sin x − 1) = sin x = 0, sin x = ⇔ cos x = 0, cos x = sin x = sin x = ±1 Ví dụ 20:Giải phương trình: sin x + − sin x + sin x − sin x = H2: Để khử chứa ẩn, bình phương vế phương trình trở nên đặc biệt cồng kềnh, nhiên bình phương phận chứa thức ước lượng ta thấy (sin x + − sin x ) ≤ 2(sin x + − sin x) = => sin x + − sin x ≤ Mặt khác: sin x + − sin x sin x − sin x ≤ =1 2 => sin x + − sin x + sin x − sin x ≤ 3∀x phương trình tương đương với: sin x + − sin x = sin x − sin x = Khi sin x − sin x nghiệm phương trình: Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 22 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 t − 2t + = 0(t = 1, t = 2) sin x = sin x = − sin x = Ví dụ 21: Giải phương trình:sinx=x2+x+1 H2: Rõ ràng sử dụng phép biến đổi làm phương trình đơn giản Tuy nhiên y =sinx y =x 2+x+1 hai hàm số đơn giản, có đồ thị quen thuộc học sinh dễ dàng vẽ đồ thị chúng hệ toạ độ thấy phương trình vơ nghiệm Hình ảnh đồ thị gợi ý cho thấy khoảng mà y =x +x+1 nhận giá trị nhỏ hàm số y=sinx nhận giá trị âm, y =x2+x+1 nhận giá trị dương, tiến hành biến đổi tốn đẹp sau: Nếu sinx = x2+x+1 x2+x+1 ≤1 => x + x ≤ => −1− < => x ∈ [ − 1,0] ⊂ [ − π / 2,0] => sin x ≤ < ( x + / 2) + / = x + x + => Phương trình vơ nghiệm Giải phương trình nhận (H3) Nếu hoạt động H2 (biến đổi phương trình dạng quen thuộc) quan trọng hoạt động H3 có vai trị định tồn hoạt động giải phương trình lượng giác Theo chúng tơi, trước hết giáo viên cần dành thời gian thích đáng để rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác khâu định cuối hoạt động giải phương trình lượng giác nào; sản phẩm thu có đạt yêu cầu, bảo đảm chất lượng hay khơng hồn tồn phụ thuộc vào kỹ đơn giản quan trọng Do tính tuần hồn hàm số lượng giác y =sinx, y =cosx, y =tanx, y =cotx nên biến nghiệm phương trình lượng giác bản, ta biết tất nghiệm phương trình theo bảng dễ nhớ sau: Phương trình Cosx=a Sinx=a Tanx=a Cotx=a Điều kiện có nghiệm -1≤a≤1 -1≤a≤1 ∀a ∀a Nghiệm x = ±α + 2kπ x = (−1) k α + kπ x = α + kπ x = α + kπ Trong bảng α nghiệm biết tuỳ ý phương trình, k số nguyên Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 23 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Do tính chất nêu, giải phương trình lượng giác qui tìm nghiệm phương trình Trong trường hợp tổng qt, ta có định lý sau: Định lý: Nếu − ≤ a ≤ đoạn ≤ x ≤ π phương trình cosx=a có nghiệm nhất, nghiệm ký hiệu arccos a, đoạn − π / ≤ x ≤ / phương trình sinx=a có nghiệm nhất, ký hiệu arcsin a Định lý: Với a số thực tuỳ ý cho, khoảng 0 x=600 nghiệm phương trình, tất nghiệm phương trình x = ±60 + k 360 Giải học sinh làm thừa nhiều nghiệm (x=-360 0+k3600 không nghiệm) làm thiếu nhiều nghiệm (thiếu nghiệm x=-30 0+k3600) Lý dẫn đến sai lầm học sinh lẫn lộn cơng thức nghiệm phương trình phương trình gần Phương trình cho phương trình gần bản, đặt t =x-15 phương trình cho dẫn đến phương bản, đạt t=x-150 phương trình cho dẫn đến phương trình cos t = ; t = 45 nghiệm tập nghiệm phương trình t = ±45 + k 360 Trở ẩn cũ x-150= ± 45 + k 360 ta nghiệm phương trình cho x = 60 + k 360 , x = −30 + k 360 Ví dụ 37: Khi giải phương trình cos x + = có học sinh giải: cos x = − 3π 2x = − phương trình x= ± hay x= 3π Do tính tuần hoàn, nghiệm 3π + 2kπ giải học sinh bỏ sót nhiều nghiệm (thiếu nghiệm x = ± 3π + (2k + 1)π ) Nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh nhớ sai hiểu hình thức, hời hợt tính tuần hồn hàm số lượng giác; em học sinh quên hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kỳ π π hàm số y=cosx 5.4 Làm thay đổi tập xác định phương trình Loại sai lầm thường gặp học sinh thực phép biến đổi đồng biến đổi phương trình Ví dụ 28: tan(2x+1)+cotx = Học sinh thường biến đổi sau: tan(2x+1) = -cotx Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 31 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 ⇔ tan(2 x + 1) = tan( x − 2x + = x − x=− π ) π + kπ π − + kπ Giải học sinh sử dụng phép biến đổi không tương đương tan(2 x + 1) = tan( x + ⇔ 2x + = x − π ) π + kπ phép biến đổi biến đổi π tương đương với điều kiện cos (2x+1) ≠ cos( x − ) ≠ khơng kiểm tra điều kiện đưa đến nghiệm ngoại lai phương trình Chẳng hạn giải tương tự phương trình tan(2 x − π π π π π π ) = tan( x + ) ⇔ x − = x + + nπ ⇔ x = + nπ với x = + nπ 6 6 3 π π phương trình tan( x + ) = tan( + nπ ) vô nghĩa Do phương trình tan(2 x − π π π ) = tan( x + ) vô nghiệm (chứ có nghiệm x = + nπ ) 6 Ví dụ 29: Khi giải phương trình 2sinx+cosx = -1 có học sinh đặt ẩn phụ t = tan x đưa phương trình dạng 2.2t −t + = −1 +t +t ⇔−t + 4t +1 = −t −1 x ⇔t = − ⇔ tan = − 2 ⇔ x = 2arctg (− ) + 2kπ Giải làm nghiệm x = π + 2nπ (dễ thấy x = π + 2nπ nghịêm phương trình) tan( x / 2) Nguyên nhân dẫn đến sai lầm công thức sinx= + tan ( x / 2) cosx= − tan x / làm thu hẹp tập xác định phương trình đòi + tan x / hỏi tan(x/2) có nghĩa Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 32 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 5.5 Xét thiếu trường hợp Các sai lầm thuộc loại thường gặp toán khơng mẫu mực Ví dụ 30: Giải a sin x + sin x + cos x = , có học sinh tiến hành sau : Chia hai vế phương trình cho cos x đặt t = tanx ta phương trình (1-a) t − 2t − = có ∆ = + (1 − a) = − a Với a>2 ∆ < phương trình vơ nghiệm Với a ≤ ∆ ≥ , phương trình có nghiệm t= 1± − a 1± − a ⇔ x = arctg + kπ 1− a 1− a Giải học sinh phạm nhiều sai lầm : phép chia hai vế phương trình cho cos x làm nghiệm mà cosx =0 Mặt khác biện luận phương trình bậc hai, em bỏ qn khơng xét trường hợp suy biến (a=1) Ví dụ 31: Có học sinh giải phương trình cos 11 cos x ≤ sau : nên phương trình xảy cos x ≤ 11 5x x cos = ,nhận xét 8 11x cos = cos x = 11x cos = −1 Giải sót trường hợp cos x = −1 Để khắc phục trường hợp cần làm cho học sinh hiểu rõ sở lý a ≤ b luận bất đẳng thức: c ≤ d ac ≤ bd dấu đẳng thức xảy a , c ≥ a=b, c=d Vì cần sửa lại lập luận sau: cos đẳng thức xảy trường hợp cos 11 x dấu 11x 5x = cos = ±1 8 Tốt nên biến đổi phương trình dạng tổng, dễ lập luận hơn: 6x 16 x (cos + cos ) =1 8 vế trái nhỏ hay nên 3x ⇔ cos + cos x = 2 ⇔ Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 33 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 3x =1 co s ⇔ co s x = 5.6 Lập luận thiếu logic thường xảy học sinh phải giải tốn có tham số Ví dụ 32: Khi giải toán: xác định để hai phương trình sau tương đương 2co sx cos x = + cos x + cos x (1) 4cos2x - cos3x = acos + (4-a)(1+cos2x) (2) Sau biến đổi phương trình thứ thành cos x = + cos x ⇔ cos x(2 cos x − 1) = co sx = co sx = phương trình (2) biến đổi thành cosx(2cosx-1)(2cosx-(a-3))=0 co sx = co sx = a −3 co sx = Có học sinh khẳng định ∀a,(1) (2) khơng tương đương phương trình sau "nhiều" nghiệm Mắc sai lầm học sinh nghĩ đơn giản phương trình cos x = a −3 cho nghiệm khác với nghiệm cosx=0 cosx=1/2 Cũng có học sinh cho hai phương trình tương đương a −3 a −3 a −3 = = sót trường hợp co sx = vơ 2 nghiệm Sự thực (1) (2) tương đương với a −3 = a −3 a −3 a −3 = < 1, >1 2 2 Mở rộng toán tương tự, khái quát hoá xét mối liên hệ với toán liên quan (H6) Kết thúc giải, giáo viên tổng kết chốt lại nét đặc trưng phương pháp giải tốn Để học sinh ghi nhớ tất Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 34 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 tri thứ phương pháp cách tích cực tự giác, giáo viên nên tìm tốn có phương pháp giải tương tự, tình tương tự học sinh tập dượt vật dụng tri thức phương pháp vừa thu hoạch + co sx Ví dụ 33: Sau giải phương trình tan x = − si nx (Ví dụ 8) giáo viên đề nghị học sinh giải phương trình tan x = − cos x − sin x tan x = + cos x − sin x Phương trình thứ giải tương tự tốn ban đầu với tính tốn cồng kềnh chút, phương trình thứ hai có thêm chút thử thách em học sinh (xử lý giá trị tuyệt đối) Cũng tạo toán tương tự từ toán cho cách thực phép biến đổi biến số thích hợp Chẳng hạn, với y = x + π tany = tanx, cosy =-cosx, siny =-sin x, phương trình cho có dạng: tan y = − cos y + sin y Nếu đặt y = π -x phương trình cho có dạng tan y = − cos y − sin y π Nếu lấy y = − x ta đực phương trình cot y = + sin y − cos y Ví dụ 34: Sau giải ví dụ 32 đề cho học sinh hàng loạt toán tương tự, chẳng hạn: tìm giá trị tham số a để phương trình sau tương đương 6cos2x - 11cosx +4 = (1) 2acos2x - (a+2)cosx +1 = (2) Biến đổi phương trình thành (3cosx -4) (2cosx-1) = (acosx-1) (2cosx-1) =0 dẫn đến việc biện luận để phương trình acosx -1 = vơ nghiệm nghiệm nghiệm cosx = Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 35 SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Phương pháp xây dựng đề toán tương tự đơn giản: Chọn hai tam thức bậc hai f(t) g(t) phân tích thành tích nhân tử bậc có nhân tử chứa tham số a Sau đặt tốn tìm a để phương trình f(cost) = g(cost) = tương đương Bằng cách thay đổi cách đặt vấn đề từ tốn cho tạo tốn Ví dụ 35: Tìm m phương trình sinx +mcosx =1 vơ nghiệm Ngồi cách sử dụng điều kiện tổng quát để phương trình acosx +bsinx = c có nghiệm, giải bi tốn cách đơn giản với nhận xét với m, x = π nghiệm phương trình nên ln ln có nghiệm Từ tốn cho yêu cầu học sinh giải tốn sau: Tìm m để phương trình cho có nghiệm chung với phương trình msinx + cosx = m2 Tìm m để phương trình cho tương đương với m sinx + cosx = m Có lớp phương trình lượng giác khơng mẫu mực có nguồn gốc từ bất đẳng thức đối xứng tam giác, nguồn gốc giúp học sinh phát hàng loạt phương trình lượng giác khác Ví dụ 36: Từ hệ thức: đặt x = tan A B C + tan + tan ≥ 1∀∆ABC 2 A B C A B , y = tan = cot( + ) = cot( x + y ) ta đặt tốn: 2 2 Bài tốn: Giải phương trình: tan x + tan y + cot ( x + y ) =1 Tương tự từ hệ thức sin A + sin B + sin C ≤ / đặt tốn: π π Bài tốn: Giải phương trình: sin ( x + ) + sin (3x + ) + sin 2 x = Từ hệ thức cosAcosBcosC ≤ / 8∀∆ , đề tốn giải phương trình: cos( x + π π ) cos x cos(3 x + ) + = 6 Với cách làm ta đề xuất nhiều toán hay Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 36 ... hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Phần II THỰC HIỆN CÁC HOẠT ĐỘNG THÀNH PHẦN TRONG QUÁ TRÌNHDẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11 Nhận dạng phương trình. .. Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá SKKN - Thực hành hoạt động dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 1.5 Các phương trình lượng giác biến đổi đưa tích Phương pháp đưa phương trình. .. trình lượng giác cho học sinh lớp 11 Chi tiết cụ thể phân dạng phương trình lượng giác thành: I .Phương trình lượng giác II .Phương trình lượng giác gần III .Phương trình bậc sinx cosx IV .Các phương