chuyên đề công thức lượng giác và phương trình lượng giác

169 134 0
chuyên đề công thức lượng giác và phương trình lượng giác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I Đònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 điểm M đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với ≤ β ≤ 2π Đặt α = β + k2π,k ∈ Z Ta đònh nghóa: sin α = OK cos α = OH sin α với cos α ≠ tgα = cos α cos α với sin α ≠ cot gα = sin α II Bảng giá trò lượng giác số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trò ( ) 0o sin α cos α tgα cot gα || π 30o ( ) 3 3 π 45o 2 2 π 60o 3 2 π 90o || 3 ( ) ( ) III Hệ thức baûn sin α + cos2 α = 1 π với α ≠ + kπ ( k ∈ Z ) + tg2α = cos α với α ≠ kπ ( k ∈ Z ) t + cot g2 = sin α IV Cung lieân kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a Đối nhau: α −α sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α tg ( −α ) = −tg ( α ) cot g ( −α ) = − cot g ( α ) ( ) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com b Bù nhau: α vaø π − α sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α tg ( π − α ) = − tgα cot g ( π − α ) = − cot gα c Sai π : α vaø π + α sin ( π + α ) = − sin α cos ( π + α ) = −cosα tg ( π + α ) = t gα cot g ( π + α ) = cot gα d Phụ nhau: α π −α ⎛π ⎞ sin ⎜ − α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ − α ⎟ = sin α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ − α ⎟ = cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ − α ⎟ = tgα ⎝2 ⎠ π π : α vaø + α 2 ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ + α ⎟ = − sin α ⎝2 ⎠ e.Sai ⎛π ⎞ tg ⎜ + α ⎟ = − cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ + α ⎟ = − tgα ⎝2 ⎠ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com f sin ( x + kπ ) = ( −1) sin x, k ∈ Z k cos ( x + kπ ) = ( −1) cos x, k ∈ Z k tg ( x + kπ ) = tgx, k ∈ Z cot g ( x + kπ ) = cot gx V Công thức cộng sin ( a ± b ) = sin a cos b ± sin b cosa cos ( a ± b ) = cosa cos b ∓ sin asin b tg ( a ± b ) = tga ± tgb ∓ tgatgb VI Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cosa cos2a = cos2 a − sin a = − 2sin a = cos2 a − 2tga tg2a = − tg2a cot g2a − cot g2a = cot ga VII Công thức nhân ba: sin3a = 3sin a − 4sin3 a cos3a = cos3 a − 3cosa VIII Công thức hạ bậc: (1 − cos2a ) cos2 a = (1 + cos2a ) − cos2a tg2a = + cos2a sin a = IX Công thức chia đôi Đặt t = tg a (với a ≠ π + k2 π ) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2t + t2 − t2 cosa = + t2 2t tga = − t2 sin a = X Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b cosa − cos b = −2sin sin 2 a+b a−b sin a + sin b = cos sin 2 a+ b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin ( a ± b ) tga ± tgb = cosa cos b sin ( b ± a ) cot ga ± cot gb = sin a.sin b cosa + cos b = cos XI Công thức biển đổi tích thành tổng ⎡ cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤⎦ 2⎣ −1 sin a.sin b = ⎡ cos ( a + b ) − cos ( a − b ) ⎤⎦ ⎣ sin a.cos b = ⎡⎣sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤⎦ cosa.cos b = Bài 1: Chứng minh sin a + cos4 a − = sin a + cos6 a − Ta coù: sin a + cos4 a − = ( sin a + cos2 a ) − 2sin a cos2 a − = −2sin a cos2 a Vaø: sin a + cos6 a − = ( sin a + cos2 a )( sin a − sin a cos2 a + cos4 a ) − = sin a + cos4 a − sin a cos2 a − = (1 − 2sin a cos2 a ) − sin a cos2 a − = −3sin a cos2 a Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com sin a + cos4 a − −2sin a cos2 a Do đó: = = sin a + cos6 a − −3sin a cos2 a + cos x ⎡ (1 − cos x ) ⎤ Bài 2: Rút gọn biểu thức A = = ⎢1 + ⎥ sin x sin x ⎥⎦ ⎢⎣ π Tính giá trò A cos x = − vaø < x < π 2 + cos x ⎛ sin x + − cos x + cos2 x ⎞ Ta coù: A = ⎜ ⎟ sin x ⎝ sin x ⎠ + cos x (1 − cos x ) sin x sin x (1 − cos2 x ) 2sin x (với sin x ≠ ) ⇔A= = = 3 sin x sin x sin x Ta coù: sin x = − cos2 x = − = 4 π Do: < x < π neân sin x > Vaäy sin x = 2 4 Do A = = = sin x 3 ⇔A= Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: a A = cos4 x − sin x + sin2 x cos2 x + 3sin x b B = cot gx + + tgx − cot gx − a Ta coù: A = cos4 x − sin x + sin2 x cos2 x + 3sin2 x ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x ) + (1 − cos2 x ) cos2 x + (1 − cos2 x ) ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x + cos4 x ) + cos2 x − cos4 x + − 3cos2 x ⇔ A = (không phụ thuộc x) b Với điều kiện sin x.cosx ≠ 0,tgx ≠ Ta coù: B = cot gx + + tgx − cot gx − Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com +1 2 + tgx tgx ⇔ B= + = + tgx − 1 − tgx − 1 − tgx tgx ⇔ B= − (1 − tgx ) − tgx = = −1 (không phụ thuộc vào x) tgx − tgx − Bài 4: Chứng minh + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ cos2 b − sin c − cot g2 b cot g2 c = cot ga − ⎢1 − ⎥+ 2 2sin a ⎢ sin a ⎥ sin bsin c ⎣ ⎦ Ta coù: cos2 b − sin c * − cot g2 b.cot g2 c 2 sin b.sin c cotg2 b = − − cot g2 b cot g2 c sin c sin b = cot g2 b + cot g2 c − + cot g2 b − cot g b cot g2 c = −1 (1) ( ) ( ) + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ * ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ sin a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ = ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ − cos2 a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ − cosa ⎤ 1− = 2sin a ⎢⎣ + cosa ⎥⎦ + cosa cosa = = cot ga (2) 2sin a + cosa Laáy (1) + (2) ta điều phải chứng minh xong Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc nhọn Tìm giá trò nhỏ P = tgA.tgB.tgC Ta có: A + B = π − C Nên: tg ( A + B) = − tgC tgA + tgB = − tgC − tgA.tgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgA.tgB.tgC Vaäy: P = tgA.tgB.tgC = tgA + tgB + tgC ⇔ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta tgA + tgB + tgC ≥ 3 tgA.tgB.tgC ⇔ P ≥ 33 P ⇔ P2 ≥ ⇔P≥3 ⎧ tgA = tgB = tgC π ⎪ Dấu “=” xảy ⇔ ⎨ π ⇔ A = B=C= ⎪⎩ < A,B,C < π Do đó: MinP = 3 ⇔ A = B = C = Bài : Tìm giá trò lớn nhỏ a/ y = sin x + cos4 2x b/ y = sin x − cos x ⎛ − cos 2x ⎞ a/ Ta coù : y = ⎜ ⎟ + cos 2x ⎝ ⎠ Đặt t = cos 2x với −1 ≤ t ≤ y = (1 − t ) + t => y ' = − (1 − t ) + 4t 3 Ta coù : y ' = Ù (1 − t ) = 8t ⇔ − t = 2t ⇔t= ⎛1⎞ ⎝ 3⎠ 27 Do : Max y = Miny = x∈ 27 x∈ Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; y ⎜ ⎟ = b/ Do điều kiện : sin x ≥ cos x ≥ nên miền xác đònh π ⎡ ⎤ D = ⎢ k2π, + k2π ⎥ với k ∈ ⎣ ⎦ 2 Đặt t = cos x với ≤ t ≤ t = cos x = − sin x Neân sin x = − t4 Vaäy y = − t − t treân D ' = [ 0,1] Thì y ' = −t (1 − t ) − < ∀t ∈ [ 0; 1) Nên y giảm [ 0, ] Vaäy : max y = y ( ) = 1, y = y (1) = −1 x∈ D x∈ D Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 7: Cho hàm số y = sin4 x + cos4 x − 2m sin x cos x Tìm giá trò m để y xác đònh với x Xeùt f (x) = sin x + cos4 x − 2m sin x cos x f ( x ) = ( sin x + cos2 x ) − m sin 2x − sin x cos2 x sin2 2x − m sin 2x Đặt : t = sin 2x với t ∈ [ −1, 1] f ( x) = − y xaùc ñònh ∀x ⇔ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R t − mt ≥ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ 1− Do Δ ' = m2 + > ∀m nên g(t) có nghiệm phân biệt t1, t2 Lúc t t1 t2 g(t) Do : yêu cầu toán + - ⇔ t1 ≤ −1 < ≤ t ⎧⎪1g ( −1) ≤ ⎧−2m − ≤ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎩2m − ≤ ⎪⎩1g (1) ≤ −1 ⎧ ⎪⎪ m ≥ 1 ⇔⎨ ⇔− ≤m≤ 2 ⎪m ≤ ⎪⎩ Caùch khaùc : g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1, 1] ⇔ max g (t ) ≤ ⇔ max { g (−1), g (1)} ≤ t ∈[ −1,1 ] −1 ⎧ ⎪⎪ m ≥ ⇔ max {−2m − 1),− 2m + 1)} ≤ ⇔ ⎨ ⎪m ≤ ⎪⎩ ⇔− 1 ≤m≤ 2 π 3π 5π 7π + sin4 + sin4 + sin4 = 16 16 16 16 7π π ⎛π π ⎞ Ta coù : sin = sin ⎜ − ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ 3π 5π ⎛ π 5π ⎞ = cos ⎜ − sin ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ Baøi : Chứng minh A = sin4 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Mặt khác : sin α + cos4 α = ( sin α + cos2 α ) − sin α cos2 α = − 2sin2 α cos2 α = − sin2 2α π 7π 3π 5π + sin4 + sin4 + sin4 Do : A = sin4 16 16 16 16 π π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π = ⎜ sin + cos4 + cos4 ⎟ + ⎜ sin ⎟ 16 16 ⎠ ⎝ 16 16 ⎠ ⎝ π⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ = ⎜ − sin ⎟ + ⎜ − sin ⎟ 8⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎛ π 3π ⎞ = − ⎜ sin + sin ⎟ 2⎝ 8 ⎠ 1⎛ π π⎞ ⎛ 3π π⎞ = cos ⎟ = − ⎜ sin + cos2 ⎟ ⎜ sin 2⎝ 8 8⎠ 8⎠ ⎝ = 2− = 2 Bài : Chứng minh : 16 sin 10o sin 30o sin 50o sin 70o = A cos 10o = Ta coù : A = (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o o o cos 10 cos 10 ⎛1⎞ ⇔ A= sin 20o ) ⎜ ⎟ cos 40o cos 20o o ( cos 10 ⎝2⎠ sin 200 cos 20o ) cos 40o ⇔ A= o ( cos10 sin 40o ) cos 40o ⇔ A= o ( cos10 cos 10o o sin 80 = =1 ⇔ A= cos10o cos 10o Baøi 10 : Cho ΔABC Chứng minh : tg A B B C C A tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 A+B π C = − 2 A+B C = cot g Vaäy : tg 2 A B tg + tg 2 = ⇔ A B C − tg tg tg 2 A B C A B ⎡ ⎤ ⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = − tg tg 2⎦ 2 ⎣ Ta có : Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ⇔ tg A C B C A B tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 π π π π + 2tg + tg = cot g ( *) 16 32 32 π π π π − tg − 2tg − 4tg Ta coù : (*) ⇔ = cot g 32 32 16 2 cos a sin a cos a − sin a − = Maø : cot ga − tga = sin a cos a sin a cos a cos 2a = = cot g2a sin 2a Do : π π⎤ π π ⎡ (*) ⇔ ⎢ cot g − tg ⎥ − 2tg − 4tg = 32 32 ⎦ 16 ⎣ π π⎤ π ⎡ ⇔ ⎢ cot g − 2tg ⎥ − 4tg = 16 16 ⎦ ⎣ π π ⇔ cot g − 4tg = 8 π ⇔ cot g = (hiển nhiên đúng) Bài 11 : Chứng minh : + 4tg Bài :12 : Chứng minh : ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ a/ cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 + + + = cot gx − cot g16x b/ sin 2x sin 4x sin 8x sin16x ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π a/ Ta coù : cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎡ 4π ⎞ ⎤ ⎡ ⎞⎤ ⎛ ⎛ 4π = (1 + cos 2x ) + ⎢1 + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ + ⎢1 + cos ⎜ 2⎣ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎝ ⎠⎦ + = + = 1⎡ 4π ⎞ ⎞⎤ ⎛ ⎛ 4π cos 2x + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ + cos ⎜ ⎢ 2⎣ ⎠ ⎠⎦ ⎝ ⎝ 1⎡ 4π ⎤ cos 2x + cos 2x cos ⎥ ⎢ 2⎣ 3⎦ 1⎡ ⎛ ⎞⎤ + ⎢ cos 2x + cos 2x ⎜ − ⎟ ⎥ 2⎣ ⎝ ⎠⎦ = cos a cos b sin b cos a − sin a cos b − = b/ Ta coù : cot ga − cot gb = sin a sin b sin a sin b = Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com π 3+ + sin C = 3 ⇔ sin A + sin C = A+C A−C ⇔ sin = cos 2 B A −C ⇔ cos cos = 2 ⎛ 3⎞ A−C ⇔ ⎜⎜ = ⎟⎟ cos 2 ⎝ ⎠ ⇔ sin A + sin ⇔ cos π C−A = = cos 2 Do C > A nê n ΔΑΒ C có : π ⎧C − A π ⎧ ⎪ =6 ⎪C = ⎪ ⎪ 2π π ⎪ ⎪ ⇔ ⎨A = ⎨C + A = ⎪ ⎪ π π ⎪ ⎪ ⎪B = ⎪B = ⎩ ⎩ Bà i 205: Tính góc ΔABC nế u ⎧⎪ b2 + c ≤ a ⎨ ⎪⎩sin A + sin B + sin C = + (1 ) ( 2) b2 + c − a 2bc 2 b + c ≤ a neâ n cos A ≤ Do (1): π π A π ≤A vaø cos ≤1 Do 2 A Neâ n M ≤ cos2 A + sin − π Mặ t khác : ΔABC khô n g tù nê n < A ≤ ⇒ ≤ cos A ≤ Đặ t Do : ⇒ cos2 A ≤ cos A A M ≤ cos A + sin − A⎞ A ⎛ ⇔ M ≤ ⎜ − sin2 ⎟ + sin − 2⎠ ⎝ A A ⇔ M ≤ −4 sin + sin − 2 2 A ⎛ ⎞ ⇔ M ≤ −2 ⎜ sin − ⎟ ≤ ⎝ ⎠ Do giả thiế t (*) ta có M=0 ⎧ ⎪cos2 A = cos A ⎪ B−C ⎪ ⎪⎧ A = 90 =1 ⇔ ⎨ Vaäy : ⎨cos ⎪⎩B = C = 45 ⎪ A ⎪ ⎪sin = ⎩ * Caù c h 2: ( *) ⇔ cos 2A + 2 cos B + 2 cos C − = Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com B+C B−C cos −2=0 2 A B−C ⇔ ( cos2 A − cos A ) + cos A + 2 sin cos −2=0 2 A⎞ A B−C ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) + ⎜ − sin ⎟ + 2 sin cos −2=0 2⎠ 2 ⎝ ⇔ cos2 A + 2 cos A B − C⎞ ⎛ ⎛ B − C⎞ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos ⎟=0 ⎟ − ⎜ − cos 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ A B − C⎞ ⎛ B −C = (*) ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos ⎟ − sin 2 ⎠ ⎝ Do ΔABC khoâ n g tù nên cos A ≥ cos A − < Vậy vế trái (*) luoâ n ≤ ⎧ ⎪cos A = ⎪ A B−C ⎪ Dấu “=” xả y ⇔ ⎨ sin = cos 2 ⎪ B−C ⎪ ⎪⎩sin = 0 ⎪⎧ A = 90 ⇔⎨ ⎪⎩B = C = 45 Bà i 207: Chứ n g minh ΔABC có nhấ t gó c 60 sin A + sin B + sin C = (*) cos A + cos B + cos C Ta coù : (*) ⇔ sin A − cos A + sin B − cos B + sin C − cos C = ( ) ( ) ( ) π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ sin ⎜ A − ⎟ + sin ⎜ B − ⎟ + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π⎞ A−B ⎛ A + B π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ − ⎟ cos + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ A−B ⎡⎛ π C ⎞ π ⎤ ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⇔ sin ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ cos + sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ = ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ A−B ⎛C π⎞⎡ ⎛ C π ⎞⎤ ⇔ sin ⎜ − ⎟ ⎢ − cos + cos ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎝ 6⎠⎣ ⎝ ⎠⎦ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⎛π A + B⎞ ⇔ sin ⎜ − ⎟ = ∨ cos = cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝3 C π A − B π A + B −A + B π A + B ⇔ = ∨ = − ∨ = − 2 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 3 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Baø i 208: Cho ΔABC vaø V = cos A + cos B + cos C – Chứn g minh: a/ Nế u V = ΔABC có mộ t gó c vuô n g b/ Nế u V < ΔABC có ba gó c nhọ n c/ Nế u V > ΔABC có mộ t gó c tù 1 (1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B) + cos2 − 2 ⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C ⇔ V = cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos2 C Ta coù : V = ⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤⎦ ⇔ V = −2 cos C cos A cos B Do : a/ V = ⇔ cos A = ∨ cos B = ∨ cos C = ⇔ ΔABC ⊥ taï i A hay ΔABC ⊥ taï i B hay ΔABC ⊥ taï i C b/ V < ⇔ cos A.cos B.cos C > ⇔ ΔABC coù ba goù c nhọ n ( tam giá c khô n g thể có nhiề u góc tù nê n khô n g có trườ n g hợp có cos cù n g âm ) c/ V > ⇔ cos A.cos B.cos C < ⇔ cos A < ∨ cos B < ∨ cos C < ⇔ ΔABC có góc tù II TAM GIÁC VUÔNG B a+c = b Chứ n g minh ΔABC vuô n g Bà i 209: Cho ΔABC coù cotg Ta coù : cotg B a+c = b B = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C ⇔ B 2R sin B sin B sin B A+C A−C cos sin cos = 2 ⇔ B B B sin sin cos 2 B B A−C B ⇔ cos2 = cos cos (do sin > 0) 2 2 cos Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com B A−C B = cos (do cos > 0) 2 B A−C B C−A = ∨ = 2 2 A = B+C∨C = A +B π π A = ∨C= 2 ΔABC vuoâ ng tạ i A hay ΔABC vuô ng tạ i C ⇔ cos ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Baø i 210: Ta có : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Chứ n g minh ΔABC vuô n g A nế u b c a + = cos B cos C sin B sin C b c a + = cos B cos C sin B sin C 2R sin B 2R sin C 2R sin A + = cos B cos C sin B sin C sin B cos C + sin C cos B sin A = cos B.cos C sin B sin C sin ( B + C ) sin A = cos B.cos C sin B sin C cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0) cos B cos C − sin B sin C = ⇔ cos ( B + C ) = π ⇔ ΔABC vuô ng tạ i A ⇔ B+C= Bà i 211: Cho ΔABC có : A B C A B C cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*) 2 2 2 Chứ n g minh ΔABC vuô n g Ta có : A B C A B C cos cos = + sin sin sin 2 2 2 C 1⎡ A+B A − B⎤ C 1⎡ A+B A − B⎤ ⇔ ⎢ cos + cos − cos cos = − ⎢ cos sin ⎥ ⎥ 2⎣ 2 ⎦ 2 2⎣ 2 ⎦ (*) ⇔ cos C A − B⎤ C C A − B⎤ C ⎡ ⎡ ⇔ ⎢sin + cos cos = − ⎢sin − cos sin ⎥ ⎥ 2 ⎦ 2 ⎦ ⎣ ⎣ C C A−B C C C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = − sin + cos = − sin + cos sin 2 2 2 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com C C A−B C C A−B C cos + cos cos = cos2 + cos sin 2 2 2 C⎡ C C⎤ A−B⎡ C C⎤ sin − cos ⎥ ⇔ cos ⎢sin − cos ⎥ = cos ⎢ 2⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⇔ sin C C⎤ ⎡ C A − B⎤ ⎡ ⇔ ⎢sin − cos ⎥ ⎢cos − cos =0 2⎦ ⎣ 2 ⎥⎦ ⎣ C C C A−B ⇔ sin = cos ∨ cos = cos 2 2 C C A−B C B−A ⇔ tg = ∨ = ∨ = 2 2 C π ⇔ = ∨ A = B+C∨B = A +C π π π ⇔C= ∨A= ∨B= 2 Baø i 212: Chứ n g minh ΔABC vuô n g nế u : 3(cos B + sin C) + 4(sin B + cos C) = 15 Do bấ t đẳ n g thứ c Bunhiacố p ki ta có : cos B + sin B ≤ + 16 cos2 B + sin2 B = 15 sin C + cos C ≤ 36 + 64 sin C + cos2 C = 10 3(cos B + sin C) + 4(sin B + cos C) ≤ 15 ⎧ cos B sin B ⎧ ⎪⎪ = ⎪⎪tgB = Dấu “=” xả y ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ sin C = cos C ⎪cotgC = ⎩⎪ ⎩⎪ ⇔ tgB = cotgC π ⇔ B+C= ⇔ ΔABC vuôn g tạ i A nê n : Bà i 213: Cho ΔABC coù : sin 2A + sin 2B = sin A.sin B Chứ n g minh ΔABC vuô n g Ta coù : sin 2A + sin 2B = sin A.sin B ⇔ sin(A + B) cos(A − B) = −2 [ cos(A + B) − cos(A − B)] ⇔ cos(A + B) = [1 − sin(A + B)] cos(A − B) ⇔ − cos C = [1 − sin C] cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = (1 − sin C) cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = cos2 C cos(A − B) ⇔ cos C = hay − (1 + sin C) = cos C cos(A − B) ⇔ cos C = ( Do sin C > neân −(1 + sin C) < −1 Mà cos C.cos(A − B) ≥ −1 Vậy (*) vô nghiệ m ) (*) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Do ΔABC vuôn g tạ i C III TAM GIÁC CÂN Bà i 214:Chứ n g minh nế u ΔABC có tgA + tgB = cotg tam giá c câ n Ta coù : tgA + tgB = cotg C C C sin(A + B) ⇔ = C cos A.cos B sin C cos sin C ⇔ = C cos A.cos B sin C C C sin cos cos 2 = ⇔ C cos A cos B sin C C ⎛ ⎞ ⇔ sin = cos A.cos B ⎜ cos > ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 ⇔ (1 − cos C ) = ⎡⎣ cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ⎤⎦ 2 ⇔ − cos C = − cos C + cos ( A − B ) cos ⇔ cos ( A − B ) = ⇔A=B ⇔ ΔABC câ n tạ i C Bà i 215: Chứ n g minh ΔABC cân nế u : A B B A sin cos3 = sin cos3 2 2 Ta coù : sin A B B A cos3 = sin cos3 2 2 A⎞ B⎞ ⎛ ⎛ ⎜ sin ⎟ ⎜ sin ⎟ ⇔⎜ =⎜ A⎟ B⎟ B A ⎜ cos ⎟ cos ⎜ cos ⎟ cos2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ A B (do cos > vaø cos > ) 2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com A⎛ B⎛ A⎞ B⎞ ⎜ + tg ⎟ = tg ⎜ + tg ⎟ 2⎝ 2⎠ 2⎝ 2⎠ A B A B ⇔ tg − tg + tg − tg = 2 2 B⎞⎡ A B A B⎤ ⎛ A ⇔ ⎜ tg − tg ⎟ ⎢1 + tg + tg + tg tg ⎥ = (*) ⎠⎣ 2 2⎦ ⎝ A B A B A B ⇔ tg = tg ( + tg + tg + tg tg > ) 2 2 2 ⇔ A=B ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ tg Bà i 216: Chứ n g minh ΔABC cân nế u : cos2 A + cos2 B = ( cotg A + cotg 2B ) (*) 2 sin A + sin B Ta coù : cos2 A + cos2 B ⎛ 1 ⎞ = ⎜ + − 2⎟ 2 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ 2 cos A + cos B 1⎛ 1 ⎞ ⇔ +1 = ⎜ + ⎟ 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ 1⎛ 1 ⎞ ⇔ = ⎜ + ⎟ 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ (*) ⇔ ⇔ sin A sin B = ( sin A + sin B ) ⇔ = ( sin A − sin2 B ) ⇔ sin A = sin B Vậy ΔABC câ n tạ i C Bà i 217: Chứ n g minh ΔABC cân nế u : C a + b = tg ( atgA + btgB ) (*) Ta coù : a + b = tg C ( atgA + btgB) C = atgA + btgB C⎤ C⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − cotg ⎥ + b ⎢ tgB − cotg ⎥ = 2⎦ 2⎦ ⎣ ⎣ A + B⎤ A + B⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − tg + b ⎢ tgB − tg =0 ⎥ ⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎣ A−B B−A a sin b sin 2 ⇔ + =0 A+B A+B cos A cos cos B cos 2 ⇔ ( a + b ) cotg Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com A−B a b = hay − =0 cos A cos B 2R sin A 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ sin IV NHẬN DẠN G TAM GIÁ C Bà i 218: Cho ΔABC thỏa : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) Chứ n g minh ΔABC vuô n g hay câ n Do đònh lý hà m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B Neâ n (*) ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin B cos A = 2R ( sin A − sin B ) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = sin A − sin B 1 ⇔ sin ( A − B ) = (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) 2 ⇔ sin ( A − B ) = [ cos 2B − cos 2A ] ⇔ sin ( A − B ) = − ⎡⎣sin ( A + B ) sin ( B − A ) ⎤⎦ ⇔ sin ( A − B ) ⎡⎣1 − sin ( A + B ) ⎤⎦ = ⇔ sin ( A − B ) = ∨ sin ( A + B ) = π vậ y ΔABC vuô n g hay câ n C ⇔ A = B∨ A+B = Caùc h khaù c sin A cos B − sin B cos A = sin2 A − sin2 B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin A + sin B) ( sin A − sin B) A+B A−B A+B A−B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin cos ) (2 cos sin ) 2 2 ⇔ sin ( A − B ) = sin ( A + B ) sin ( A − B ) ⇔ sin ( A − B ) = ∨ sin ( A + B ) = π Baø i 219 ΔABC laø tam giác ( a + b2 ) sin ( A − B ) = ( a − b2 ) sin ( A + B) (*) ⇔ A = B∨ A+B = Ta coù : (*) ⇔ ( 4R sin A + 4R sin B ) sin ( A − B ) = 4R ( sin A − sin B ) sin ( A + B ) ⇔ sin A ⎣⎡sin ( A − B ) − sin ( A + B ) ⎦⎤ + sin B ⎡⎣sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ⎤⎦ = ⇔ sin A cos A sin ( −B ) + sin B sin A cos B = Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ⇔ − sin A cos A + sin B cos B = (do sin A > vaø sin B > ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = Vậy ΔABC câ n tạ i C hay ΔABC vuô n g tạ i C Bà i 220: ΔABC tam giá c nế u : ⎧a sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1) ⎨ (2) ⎩sin 2A + sin 2B = sin A sin B Ta coù : (1) ⇔ 4R2 sin2 A sin 2B + 4R2 sin2 B sin 2A = 16R2 sin A sin2 B cos A ⇔ sin A sin 2B + sin B sin 2A = sin A sin2 B cos A ⇔ sin2 A sin B cos B + sin A cos A sin B = sin A sin B cos A ⇔ sin A cos B + sin B cos A = sin B cos A (do sin A > 0, sin B > 0) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = ⇔ sin ( A − B ) = ⇔A=B Thay vaøo (2) ta sin 2A = 2sin2 A ⇔ sin A cos A = sin2 A ⇔ cos A = sin A ( sin A > 0) ⇔ tgA = π Do ΔABC vuôn g cân tạ i C V TAM GIÁ C ĐỀ U ⇔A= Bà i 221: Chứ n g minh ΔABC đề u neá u : bc = R ⎡⎣ ( b + c ) − a ⎤⎦ (*) Ta coù : (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) = R ⎡⎣2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤⎦ ⇔ sin B sin C = ( sin B + sin C ) − sin ( B + C ) ⇔ sin B sin C = ( sin B + sin C ) − sin B cos C − sin C cos B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 3 sin C⎥ + sin C ⎢1 − cos B − sin B⎥ = ⇔ sin B ⎢1 − cos C − 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ π ⎞⎤ ⎡ π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⇔ sin B ⎢1 − cos ⎜ C − ⎟ ⎥ + sin C ⎢1 − cos ⎜ B − ⎟ ⎥ = (1) ⎠⎦ ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎣ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com π⎞ ⎛ Do sin B > vaø − cos ⎜ C − ⎟ ≥ 3⎠ ⎝ π⎞ ⎛ sin C > vaø − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 3⎠ ⎝ Nê n vế trá i (1) luô n ≥ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪cos ⎜ C − ⎟ = ⎪ ⎝ ⎠ Do đó, (1) ⇔ ⎨ ⎪cos ⎛ B − π ⎞ = ⎜ ⎟ ⎪⎩ 3⎠ ⎝ π ⇔C=B= ⇔ ΔABC 3 ⎧ ⎪⎪sin B sin C = Bà i 222: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u ⎨ 3 ⎪a = a − b − c a−b−c ⎩⎪ (1) (2) Ta coù : (2) ⇔ a − a b − a 2c = a − b3 − c3 ⇔ a ( b + c ) = b3 + c ⇔ a ( b + c ) = ( b + c ) ( b2 − bc + c ) ⇔ a = b2 − bc + c2 ⇔ b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − bc (do đl hà m cosin) ⇔ 2bc cos A = bc π ⇔A= Ta coù : (1) ⇔ sin B sin C = ⇔ ⎡⎣cos ( B − C ) − cos ( B + C ) ⎤⎦ = ⇔ cos A = ⇔ ⎡⎣ cos ( B − C ) + cos A ⎤⎦ = π⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⇔ cos ( B − C ) + ⎜ ⎟ = ⎜ (1 ) ta coù A = ⎟ 3⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⇔ cos ( B − C ) = ⇔ B = C Vậy từ (1), (2) ta có ΔABC đề u Bà i 223: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C Ta coù : sin 2A + sin 2B = sin ( A + B ) cos ( A − B ) = sin C cos ( A − B ) ≤ sin C (1) Dấu “=” xả y khi: Tương tự : cos ( A − B ) = sin 2A + sin 2C ≤ sin B (2) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Dấu “=” xả y khi: cos ( A − C ) = Tương tự : sin 2B + sin 2C ≤ sin A Dấu “=” xả y khi: cos ( B − C ) = (3) Từ (1) (2) (3) ta có : ( sin 2A + sin 2B + sin 2C) ≤ ( sinC + sin B + sin A ) ⎧cos ( A − B ) = ⎪ Daáu “=” xaû y ⇔ ⎨cos ( A − C ) = ⇔ A = B = C ⎪ ⎩cos ( B − C ) = ⇔ ΔABC đề u Bà i 224: Cho ΔABC có : 1 1 (*) + + = 2 sin 2A sin 2B sin C cos A cos B cos C Chứ n g minh ΔABC đề u Ta coù : (*) ⇔ sin2 2B.sin2 2C + sin2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B sin 2A.sin 2B.sin 2C = ⋅ ( sin 2A sin 2B sin 2C ) cos A cos B cos C = sin A sin B sin C ( sin 2A sin 2B sin 2C ) Maø : sin A sin B sin C = ⎡⎣ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤⎦ sin ( A + B ) = ⎡⎣ cos ( A − B ) + cos C ⎤⎦ sin C = sin C cos C + cos ( A − B ) sin ( A + B ) = sin 2C + sin 2A + sin 2B Do , vớ i điề u kiệ n ΔABC khô n g vuôn g ta có (*) ⇔ sin2 2B sin2 2C + sin 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B = sin 2A sin 2B sin 2C ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = sin2 2A sin 2B sin 2C + sin2 2B sin 2A sin 2C + sin2 2C sin 2A sin 2B 1 2 ⇔ ( sin 2B sin 2A − sin 2B sin 2C ) + ( sin 2A sin 2B − sin 2A sin 2C ) 2 + ( sin 2C sin 2A − sin 2C sin 2B ) = ⎧sin 2B sin 2A = sin 2B sin 2C ⎪ ⇔ ⎨sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2C ⎪sin 2A sin 2C = sin 2C sin 2B ⎩ ⎧sin 2A = sin 2B ⇔⎨ ⇔ A = B = C ⇔ ABC đề u ⎩sin 2B = sin 2C Bà i 225: Chứ n g minh ΔABC đề u neáu : a cos A + b cos B + c cos C 2p = (*) a sin B + b sin C + c sin A 9R Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có : a cos A + b cos B + c cos C = 2R sin A cos A + 2R sin B cos B + 2R sin C cos C = R ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = R ⎡⎣2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + sin C cos C ⎤⎦ = 2R sin C ⎡⎣cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤⎦ = 4R sin C sin A sin B Caù c h 1: a sin B + b sin C + c sin A = 2R ( sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ) ≥ 2R sin2 A sin B sin2 C ( bñt Cauchy ) a cos A + b cos B + c cos C ≤ sin A sin B sin C (1) a sin B + b sin C + c sin A 2p a + b + c = = ( sin A + sin B + sin C ) Maø vế phải : 9R 9R 23 sin A sin B sin C (2) ≥ Từ (1) (2) ta coù ( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC đề u 4R sin A sin B sin C a+b+c = Caù c h 2: Ta coù : (*) ⇔ a sin B + b sin C + c sin A 9R ⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ 4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ = a + b + c ⇔ 9R ⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ ca a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟+ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ 2R ⇔ 9abc = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Do vế trá i : Do bấ t đẳ n g thức Cauchy ta có a + b + c ≥ abc ab + bc + ca ≥ a b2c2 Do : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Dấu = xảy ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC đề u Bà i 226: Chứ n g minh ΔABC đề u A B C cot gA + cot gB + cot gC = tg + tg + tg ( *) 2 Ta coù : cot gA + cot gB = ≥ sin ( A + B ) sin A sin B sin C = sin C sin A sin B ⎛ sin A + sin B ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (do bđt Cauchy) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com C C C cos sin 2 = = C A + B A − B A − B sin cos cos cos 2 2 C ≥ 2tg (1) B (2) Tương tự : cot gA + cot gC ≥ 2tg A cot gB + cot gC ≥ 2tg (3) Từ (1) (2) (3) ta coù B C⎞ ⎛ A ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ ⎜ tg + tg + tg ⎟ 2⎠ ⎝ Do dấu “=” tạ i (*) xả y A−B A−C B−C ⎧ = cos = cos =1 ⎪cos ⇔⎨ 2 ⎪⎩sin A = sin B = sin C sin ⇔A=B=C ⇔ ΔABC BÀI TẬP Tính gó c ΔABC biết : a/ cos A = sin B + sin C − b/ sin 6A + sin 6B + sin 6C = c/ sin 5A + sin 5B + sin 5C = Tính góc C ΔABC biế t : a/ (1 + cot gA )(1 + cot gB ) = π 2π ,A = ) π (ÑS: A = B = C = ) (ĐS: B = C = ⎧⎪ A, B nhọn b/ ⎨ 2 ⎪⎩sin A + sin B = sin C ⎧cos2 A + cos2 B + cos2 C < Cho ΔABC coù : ⎨ ⎩sin 5A + sin 5B + sin 5C = Chứ n g minh Δ có mộ t gó c 36 Bieá t sin2 A + sin2 B + sin2 C = m Chứ n g minh a/ m = ΔABC vuôn g b/ m > ΔABC nhọn c/ m < ΔABC tù Chứ n g minh ΔABC vuôn g nế u : b+c a/ cos B + cos C = a b c a + = b/ cos B cos C sin B sin C Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com c/ sin A + sin B + sin C = − cos A + cos B + cos C ( b − c ) = ⎡⎣1 − cos ( B − C )⎤⎦ d/ b2 − cos 2B Chứ n g minh ΔABC cân nế u : + cos B 2a + c a/ = sin B a − c2 sin A + sin B + sin C A B = cot g cot g b/ sin A + sin B − sin C 2 c/ tgA + 2tgB = tgA.tg B C C⎞ ⎛ ⎞ ⎛ d/ a ⎜ cot g − tgA ⎟ = b ⎜ tgB − cot g ⎟ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ C B e/ ( p − b ) cot g = ptg 2 C f/ a + b = tg ( atgA + btgB ) ΔABC Δ nế u : A+B a/ atgB + btgA = ( a + b ) tg b/ c = c cos 2B + b sin 2B c/ sin 3A + sin 3B + sin 3C = d/ 4S = ( a + b − c )( a + c − b ) Chứ n g minh ΔABC đề u nế u a/ ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c b/ 3S = 2R ( sin A + sin B + sin C ) c/ sin A + sin B + sin C = sin A sin B sin C 9R d/ ma + m b + mc = vớ i ma , m b , mc đườ n g trung tuyeá n ... = cot ga VII Công thức nhân ba: sin3a = 3sin a − 4sin3 a cos3a = cos3 a − 3cosa VIII Công thức hạ bậc: (1 − cos2a ) cos2 a = (1 + cos2a ) − cos2a tg2a = + cos2a sin a = IX Công thức chia đôi... g vớ i ngọ n cung củ a điề u kiện Hoặc + So vơi điều kiện trình giả i phương trình ⇔ cos t = ∨ cos 2t = − Baø i 43 : Giả i phương trình tg x − tgx.tg3x = ( * ) π hπ ⎧cos x ≠ ⇔ cos3x ≠ ⇔ x ≠... k2π ∨ x = kπ ∨ x = Ghi : Khi giả i phương trình lượ n g giá c có chứa tgu, cotgu, có ẩ n mẫ u , hay chứa că n bậ c chẵ n ta phả i đặ t điề u kiệ n để phương trình xác đònh Ta dù n g cá c h sau

Ngày đăng: 03/01/2019, 06:28

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan