Chuyên đề công thức lượng giác và phương trình lượng giác

Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I Đònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 điểm M đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với ≤ β ≤ 2π Đặt α = β + k2π,k ∈ Z Ta đònh nghóa: sin α = OK cos α = OH sin α với cos α ≠ tgα = cos α cos α với sin α ≠ cot gα = sin α II Bảng giá trò lượng giác số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trò ( ) 0o sin α cos α tgα cot gα || π 30o ( ) 3 3 π 45o 2 2 π 60o 3 2 π 90o || 3 ( ) ( ) III Hệ thức sin α + cos2 α = 1 π với α ≠ + kπ ( k ∈ Z ) + tg2α = cos α với α ≠ kπ ( k ∈ Z ) t + cot g2 = sin α IV Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a Đối nhau: α −α sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α tg ( −α ) = −tg ( α ) cot g ( −α ) = − cot g ( α ) ( ) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com b Bù nhau: α π − α sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α tg ( π − α ) = − tgα cot g ( π − α ) = − cot gα c Sai π : α π + α sin ( π + α ) = − sin α cos ( π + α ) = −cosα tg ( π + α ) = t gα cot g ( π + α ) = cot gα d Phụ nhau: α π −α ⎛π ⎞ sin ⎜ − α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ − α ⎟ = sin α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ − α ⎟ = cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ − α ⎟ = tgα ⎝2 ⎠ π π : α + α 2 ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ + α ⎟ = − sin α ⎝2 ⎠ e.Sai ⎛π ⎞ tg ⎜ + α ⎟ = − cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ + α ⎟ = − tgα ⎝2 ⎠ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com f sin ( x + kπ ) = ( −1) sin x, k ∈ Z k cos ( x + kπ ) = ( −1) cos x, k ∈ Z k tg ( x + kπ ) = tgx, k ∈ Z cot g ( x + kπ ) = cot gx V Công thức cộng sin ( a ± b ) = sin a cos b ± sin b cosa cos ( a ± b ) = cosa cos b ∓ sin asin b tg ( a ± b ) = tga ± tgb ∓ tgatgb VI Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cosa cos2a = cos2 a − sin a = − 2sin a = cos2 a − 2tga tg2a = − tg2a cot g2a − cot g2a = cot ga VII Công thức nhân ba: sin3a = 3sin a − 4sin3 a cos3a = cos3 a − 3cosa VIII Công thức hạ bậc: (1 − cos2a ) cos2 a = (1 + cos2a ) − cos2a tg2a = + cos2a sin a = IX Công thức chia đôi Đặt t = tg a (với a ≠ π + k2 π ) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2t + t2 − t2 cosa = + t2 2t tga = − t2 sin a = X Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b cosa − cos b = −2sin sin 2 a+b a−b sin a + sin b = cos sin 2 a+ b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin ( a ± b ) tga ± tgb = cosa cos b sin ( b ± a ) cot ga ± cot gb = sin a.sin b cosa + cos b = cos XI Công thức biển đổi tích thành tổng ⎡ cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤⎦ 2⎣ −1 sin a.sin b = ⎡ cos ( a + b ) − cos ( a − b ) ⎤⎦ ⎣ sin a.cos b = ⎡⎣sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤⎦ cosa.cos b = Bài 1: Chứng minh sin a + cos4 a − = sin a + cos6 a − Ta có: sin a + cos4 a − = ( sin a + cos2 a ) − 2sin a cos2 a − = −2sin a cos2 a Và: sin a + cos6 a − = ( sin a + cos2 a )( sin a − sin a cos2 a + cos4 a ) − = sin a + cos4 a − sin a cos2 a − = (1 − 2sin a cos2 a ) − sin a cos2 a − = −3sin a cos2 a Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com sin a + cos4 a − −2sin a cos2 a Do đó: = = sin a + cos6 a − −3sin a cos2 a + cos x ⎡ (1 − cos x ) ⎤ Bài 2: Rút gọn biểu thức A = = ⎢1 + ⎥ sin x sin x ⎥⎦ ⎢⎣ π Tính giá trò A cos x = − < x < π 2 + cos x ⎛ sin x + − cos x + cos2 x ⎞ Ta có: A = ⎜ ⎟ sin x ⎝ sin x ⎠ + cos x (1 − cos x ) sin x sin x (1 − cos2 x ) 2sin x (với sin x ≠ ) ⇔A= = = 3 sin x sin x sin x Ta có: sin x = − cos2 x = − = 4 π Do: < x < π nên sin x > Vậy sin x = 2 4 Do A = = = sin x 3 ⇔A= Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: a A = cos4 x − sin x + sin2 x cos2 x + 3sin x b B = cot gx + + tgx − cot gx − a Ta có: A = cos4 x − sin x + sin2 x cos2 x + 3sin2 x ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x ) + (1 − cos2 x ) cos2 x + (1 − cos2 x ) ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x + cos4 x ) + cos2 x − cos4 x + − 3cos2 x ⇔ A = (không phụ thuộc x) b Với điều kiện sin x.cosx ≠ 0,tgx ≠ Ta có: B = cot gx + + tgx − cot gx − Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com +1 2 + tgx tgx ⇔ B= + = + tgx − 1 − tgx − 1 − tgx tgx ⇔ B= − (1 − tgx ) − tgx = = −1 (không phụ thuộc vào x) tgx − tgx − Bài 4: Chứng minh + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ cos2 b − sin c − cot g2 b cot g2 c = cot ga − ⎢1 − ⎥+ 2 2sin a ⎢ sin a ⎥ sin bsin c ⎣ ⎦ Ta có: cos2 b − sin c * − cot g2 b.cot g2 c 2 sin b.sin c cotg2 b = − − cot g2 b cot g2 c sin c sin b = cot g2 b + cot g2 c − + cot g2 b − cot g b cot g2 c = −1 (1) ( ) ( ) + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ * ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ sin a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ = ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ − cos2 a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ − cosa ⎤ 1− = 2sin a ⎢⎣ + cosa ⎥⎦ + cosa cosa = = cot ga (2) 2sin a + cosa Lấy (1) + (2) ta điều phải chứng minh xong Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc nhọn Tìm giá trò nhỏ P = tgA.tgB.tgC Ta có: A + B = π − C Nên: tg ( A + B) = − tgC tgA + tgB = − tgC − tgA.tgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgA.tgB.tgC Vậy: P = tgA.tgB.tgC = tgA + tgB + tgC ⇔ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta tgA + tgB + tgC ≥ 3 tgA.tgB.tgC ⇔ P ≥ 33 P ⇔ P2 ≥ ⇔P≥3 ⎧ tgA = tgB = tgC π ⎪ Dấu “=” xảy ⇔ ⎨ π ⇔ A = B=C= ⎪⎩ < A,B,C < π Do đó: MinP = 3 ⇔ A = B = C = Bài : Tìm giá trò lớn nhỏ a/ y = sin x + cos4 2x b/ y = sin x − cos x ⎛ − cos 2x ⎞ a/ Ta có : y = ⎜ ⎟ + cos 2x ⎝ ⎠ Đặt t = cos 2x với −1 ≤ t ≤ y = (1 − t ) + t => y ' = − (1 − t ) + 4t 3 Ta có : y ' = Ù (1 − t ) = 8t ⇔ − t = 2t ⇔t= ⎛1⎞ ⎝ 3⎠ 27 Do : Max y = Miny = x∈ 27 x∈ Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; y ⎜ ⎟ = b/ Do điều kiện : sin x ≥ cos x ≥ nên miền xác đònh π ⎡ ⎤ D = ⎢ k2π, + k2π ⎥ với k ∈ ⎣ ⎦ 2 Đặt t = cos x với ≤ t ≤ t = cos x = − sin x Nên sin x = − t4 Vậy y = − t − t D ' = [ 0,1] Thì y ' = −t (1 − t ) − < ∀t ∈ [ 0; 1) Nên y giảm [ 0, ] Vậy : max y = y ( ) = 1, y = y (1) = −1 x∈ D x∈ D Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 7: Cho hàm số y = sin4 x + cos4 x − 2m sin x cos x Tìm giá trò m để y xác đònh với x Xét f (x) = sin x + cos4 x − 2m sin x cos x f ( x ) = ( sin x + cos2 x ) − m sin 2x − sin x cos2 x sin2 2x − m sin 2x Đặt : t = sin 2x với t ∈ [ −1, 1] f ( x) = − y xác đònh ∀x ⇔ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R t − mt ≥ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ 1− Do Δ ' = m2 + > ∀m nên g(t) có nghiệm phân biệt t1, t2 Lúc t t1 t2 g(t) Do : yêu cầu toán + - ⇔ t1 ≤ −1 < ≤ t ⎧⎪1g ( −1) ≤ ⎧−2m − ≤ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎩2m − ≤ ⎪⎩1g (1) ≤ −1 ⎧ ⎪⎪ m ≥ 1 ⇔⎨ ⇔− ≤m≤ 2 ⎪m ≤ ⎪⎩ Cách khác : g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1, 1] ⇔ max g (t ) ≤ ⇔ max { g (−1), g (1)} ≤ t ∈[ −1,1 ] −1 ⎧ ⎪⎪ m ≥ ⇔ max {−2m − 1),− 2m + 1)} ≤ ⇔ ⎨ ⎪m ≤ ⎪⎩ ⇔− 1 ≤m≤ 2 π 3π 5π 7π + sin4 + sin4 + sin4 = 16 16 16 16 7π π ⎛π π ⎞ Ta có : sin = sin ⎜ − ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ 3π 5π ⎛ π 5π ⎞ = cos ⎜ − sin ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ Bài : Chứng minh A = sin4 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Mặt khác : sin α + cos4 α = ( sin α + cos2 α ) − sin α cos2 α = − 2sin2 α cos2 α = − sin2 2α π 7π 3π 5π + sin4 + sin4 + sin4 Do : A = sin4 16 16 16 16 π π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π = ⎜ sin + cos4 + cos4 ⎟ + ⎜ sin ⎟ 16 16 ⎠ ⎝ 16 16 ⎠ ⎝ π⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ = ⎜ − sin ⎟ + ⎜ − sin ⎟ 8⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎛ π 3π ⎞ = − ⎜ sin + sin ⎟ 2⎝ 8 ⎠ 1⎛ π π⎞ ⎛ 3π π⎞ = cos ⎟ = − ⎜ sin + cos2 ⎟ ⎜ sin 2⎝ 8 8⎠ 8⎠ ⎝ = 2− = 2 Bài : Chứng minh : 16 sin 10o sin 30o sin 50o sin 70o = A cos 10o = Ta có : A = (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o o o cos 10 cos 10 ⎛1⎞ ⇔ A= sin 20o ) ⎜ ⎟ cos 40o cos 20o o ( cos 10 ⎝2⎠ sin 200 cos 20o ) cos 40o ⇔ A= o ( cos10 sin 40o ) cos 40o ⇔ A= o ( cos10 cos 10o o sin 80 = =1 ⇔ A= cos10o cos 10o Bài 10 : Cho ΔABC Chứng minh : tg A B B C C A tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 A+B π C = − 2 A+B C = cot g Vậy : tg 2 A B tg + tg 2 = ⇔ A B C − tg tg tg 2 A B C A B ⎡ ⎤ ⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = − tg tg 2⎦ 2 ⎣ Ta có : Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ⇔ tg A C B C A B tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 π π π π + 2tg + tg = cot g ( *) 16 32 32 π π π π − tg − 2tg − 4tg Ta có : (*) ⇔ = cot g 32 32 16 2 cos a sin a cos a − sin a − = Mà : cot ga − tga = sin a cos a sin a cos a cos 2a = = cot g2a sin 2a Do : π π⎤ π π ⎡ (*) ⇔ ⎢ cot g − tg ⎥ − 2tg − 4tg = 32 32 ⎦ 16 ⎣ π π⎤ π ⎡ ⇔ ⎢ cot g − 2tg ⎥ − 4tg = 16 16 ⎦ ⎣ π π ⇔ cot g − 4tg = 8 π ⇔ cot g = (hiển nhiên đúng) Bài 11 : Chứng minh : + 4tg Bài :12 : Chứng minh : ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ a/ cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 + + + = cot gx − cot g16x b/ sin 2x sin 4x sin 8x sin16x ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π a/ Ta có : cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎡ 4π ⎞ ⎤ ⎡ ⎞⎤ ⎛ ⎛ 4π = (1 + cos 2x ) + ⎢1 + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ + ⎢1 + cos ⎜ 2⎣ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎝ ⎠⎦ + = + = 1⎡ 4π ⎞ ⎞⎤ ⎛ ⎛ 4π cos 2x + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ + cos ⎜ ⎢ 2⎣ ⎠ ⎠⎦ ⎝ ⎝ 1⎡ 4π ⎤ cos 2x + cos 2x cos ⎥ ⎢ 2⎣ 3⎦ 1⎡ ⎛ ⎞⎤ + ⎢ cos 2x + cos 2x ⎜ − ⎟ ⎥ 2⎣ ⎝ ⎠⎦ = cos a cos b sin b cos a − sin a cos b − = b/ Ta có : cot ga − cot gb = sin a sin b sin a sin b = Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com π 3+ + sin C = 3 ⇔ sin A + sin C = A+C A−C ⇔ sin = cos 2 B A −C ⇔ cos cos = 2 ⎛ 3⎞ A−C ⇔ ⎜⎜ = ⎟⎟ cos 2 ⎝ ⎠ ⇔ sin A + sin ⇔ cos π C−A = = cos 2 Do C > A nê n ΔΑΒ C có : π ⎧C − A π ⎧ ⎪ =6 ⎪C = ⎪ ⎪ 2π π ⎪ ⎪ ⇔ ⎨A = ⎨C + A = ⎪ ⎪ π π ⎪ ⎪ ⎪B = ⎪B = ⎩ ⎩ Bà i 205: Tính góc ΔABC nế u ⎧⎪ b2 + c ≤ a ⎨ ⎪⎩sin A + sin B + sin C = + (1 ) ( 2) b2 + c − a 2bc 2 b + c ≤ a nê n cos A ≤ Do (1): π π A π ≤A cos ≤1 Do 2 A Nê n M ≤ cos2 A + sin − π Mặ t khác : ΔABC khô n g tù nê n < A ≤ ⇒ ≤ cos A ≤ Đặ t Do : ⇒ cos2 A ≤ cos A A M ≤ cos A + sin − A⎞ A ⎛ ⇔ M ≤ ⎜ − sin2 ⎟ + sin − 2⎠ ⎝ A A ⇔ M ≤ −4 sin + sin − 2 2 A ⎛ ⎞ ⇔ M ≤ −2 ⎜ sin − ⎟ ≤ ⎝ ⎠ Do giả thiế t (*) ta có M=0 ⎧ ⎪cos2 A = cos A ⎪ B−C ⎪ ⎪⎧ A = 90 =1 ⇔ ⎨ Vậy : ⎨cos ⎪⎩B = C = 45 ⎪ A ⎪ ⎪sin = ⎩ * Cá c h 2: ( *) ⇔ cos 2A + 2 cos B + 2 cos C − = Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com B+C B−C cos −2=0 2 A B−C ⇔ ( cos2 A − cos A ) + cos A + 2 sin cos −2=0 2 A⎞ A B−C ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) + ⎜ − sin ⎟ + 2 sin cos −2=0 2⎠ 2 ⎝ ⇔ cos2 A + 2 cos A B − C⎞ ⎛ ⎛ B − C⎞ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos ⎟=0 ⎟ − ⎜ − cos 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ A B − C⎞ ⎛ B −C = (*) ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos ⎟ − sin 2 ⎠ ⎝ Do ΔABC khô n g tù nên cos A ≥ cos A − < Vậy vế trái (*) luô n ≤ ⎧ ⎪cos A = ⎪ A B−C ⎪ Dấu “=” xả y ⇔ ⎨ sin = cos 2 ⎪ B−C ⎪ ⎪⎩sin = 0 ⎪⎧ A = 90 ⇔⎨ ⎪⎩B = C = 45 Bà i 207: Chứ n g minh ΔABC có nhấ t gó c 60 sin A + sin B + sin C = (*) cos A + cos B + cos C Ta có : (*) ⇔ sin A − cos A + sin B − cos B + sin C − cos C = ( ) ( ) ( ) π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ sin ⎜ A − ⎟ + sin ⎜ B − ⎟ + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π⎞ A−B ⎛ A + B π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ − ⎟ cos + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ A−B ⎡⎛ π C ⎞ π ⎤ ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⇔ sin ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ cos + sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ = ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ A−B ⎛C π⎞⎡ ⎛ C π ⎞⎤ ⇔ sin ⎜ − ⎟ ⎢ − cos + cos ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎝ 6⎠⎣ ⎝ ⎠⎦ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⎛π A + B⎞ ⇔ sin ⎜ − ⎟ = ∨ cos = cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝3 C π A − B π A + B −A + B π A + B ⇔ = ∨ = − ∨ = − 2 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 3 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bà i 208: Cho ΔABC V = cos A + cos B + cos C – Chứn g minh: a/ Nế u V = ΔABC có mộ t gó c vuô n g b/ Nế u V < ΔABC có ba gó c nhọ n c/ Nế u V > ΔABC có mộ t gó c tù 1 (1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B) + cos2 − 2 ⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C ⇔ V = cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos2 C Ta có : V = ⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤⎦ ⇔ V = −2 cos C cos A cos B Do : a/ V = ⇔ cos A = ∨ cos B = ∨ cos C = ⇔ ΔABC ⊥ tạ i A hay ΔABC ⊥ tạ i B hay ΔABC ⊥ tạ i C b/ V < ⇔ cos A.cos B.cos C > ⇔ ΔABC có ba gó c nhọ n ( tam giá c khô n g thể có nhiề u góc tù nê n khô n g có trườ n g hợp có cos cù n g âm ) c/ V > ⇔ cos A.cos B.cos C < ⇔ cos A < ∨ cos B < ∨ cos C < ⇔ ΔABC có góc tù II TAM GIÁC VUÔNG B a+c = b Chứ n g minh ΔABC vuô n g Bà i 209: Cho ΔABC có cotg Ta có : cotg B a+c = b B = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C ⇔ B 2R sin B sin B sin B A+C A−C cos sin cos = 2 ⇔ B B B sin sin cos 2 B B A−C B ⇔ cos2 = cos cos (do sin > 0) 2 2 cos Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com B A−C B = cos (do cos > 0) 2 B A−C B C−A = ∨ = 2 2 A = B+C∨C = A +B π π A = ∨C= 2 ΔABC vuô ng tạ i A hay ΔABC vuô ng tạ i C ⇔ cos ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bà i 210: Ta có : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Chứ n g minh ΔABC vuô n g A nế u b c a + = cos B cos C sin B sin C b c a + = cos B cos C sin B sin C 2R sin B 2R sin C 2R sin A + = cos B cos C sin B sin C sin B cos C + sin C cos B sin A = cos B.cos C sin B sin C sin ( B + C ) sin A = cos B.cos C sin B sin C cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0) cos B cos C − sin B sin C = ⇔ cos ( B + C ) = π ⇔ ΔABC vuô ng tạ i A ⇔ B+C= Bà i 211: Cho ΔABC có : A B C A B C cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*) 2 2 2 Chứ n g minh ΔABC vuô n g Ta có : A B C A B C cos cos = + sin sin sin 2 2 2 C 1⎡ A+B A − B⎤ C 1⎡ A+B A − B⎤ ⇔ ⎢ cos + cos − cos cos = − ⎢ cos sin ⎥ ⎥ 2⎣ 2 ⎦ 2 2⎣ 2 ⎦ (*) ⇔ cos C A − B⎤ C C A − B⎤ C ⎡ ⎡ ⇔ ⎢sin + cos cos = − ⎢sin − cos sin ⎥ ⎥ 2 ⎦ 2 ⎦ ⎣ ⎣ C C A−B C C C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = − sin + cos = − sin + cos sin 2 2 2 2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com C C A−B C C A−B C cos + cos cos = cos2 + cos sin 2 2 2 C⎡ C C⎤ A−B⎡ C C⎤ sin − cos ⎥ ⇔ cos ⎢sin − cos ⎥ = cos ⎢ 2⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⇔ sin C C⎤ ⎡ C A − B⎤ ⎡ ⇔ ⎢sin − cos ⎥ ⎢cos − cos =0 2⎦ ⎣ 2 ⎥⎦ ⎣ C C C A−B ⇔ sin = cos ∨ cos = cos 2 2 C C A−B C B−A ⇔ tg = ∨ = ∨ = 2 2 C π ⇔ = ∨ A = B+C∨B = A +C π π π ⇔C= ∨A= ∨B= 2 Bà i 212: Chứ n g minh ΔABC vuô n g nế u : 3(cos B + sin C) + 4(sin B + cos C) = 15 Do bấ t đẳ n g thứ c Bunhiacố p ki ta có : cos B + sin B ≤ + 16 cos2 B + sin2 B = 15 sin C + cos C ≤ 36 + 64 sin C + cos2 C = 10 3(cos B + sin C) + 4(sin B + cos C) ≤ 15 ⎧ cos B sin B ⎧ ⎪⎪ = ⎪⎪tgB = Dấu “=” xả y ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ sin C = cos C ⎪cotgC = ⎩⎪ ⎩⎪ ⇔ tgB = cotgC π ⇔ B+C= ⇔ ΔABC vuôn g tạ i A nê n : Bà i 213: Cho ΔABC có : sin 2A + sin 2B = sin A.sin B Chứ n g minh ΔABC vuô n g Ta có : sin 2A + sin 2B = sin A.sin B ⇔ sin(A + B) cos(A − B) = −2 [ cos(A + B) − cos(A − B)] ⇔ cos(A + B) = [1 − sin(A + B)] cos(A − B) ⇔ − cos C = [1 − sin C] cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = (1 − sin C) cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = cos2 C cos(A − B) ⇔ cos C = hay − (1 + sin C) = cos C cos(A − B) ⇔ cos C = ( Do sin C > nên −(1 + sin C) < −1 Mà cos C.cos(A − B) ≥ −1 Vậy (*) vô nghiệ m ) (*) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Do ΔABC vuôn g tạ i C III TAM GIÁC CÂN Bà i 214:Chứ n g minh nế u ΔABC có tgA + tgB = cotg tam giá c câ n Ta có : tgA + tgB = cotg C C C sin(A + B) ⇔ = C cos A.cos B sin C cos sin C ⇔ = C cos A.cos B sin C C C sin cos cos 2 = ⇔ C cos A cos B sin C C ⎛ ⎞ ⇔ sin = cos A.cos B ⎜ cos > ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 ⇔ (1 − cos C ) = ⎡⎣ cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ⎤⎦ 2 ⇔ − cos C = − cos C + cos ( A − B ) cos ⇔ cos ( A − B ) = ⇔A=B ⇔ ΔABC câ n tạ i C Bà i 215: Chứ n g minh ΔABC cân nế u : A B B A sin cos3 = sin cos3 2 2 Ta có : sin A B B A cos3 = sin cos3 2 2 A⎞ B⎞ ⎛ ⎛ ⎜ sin ⎟ ⎜ sin ⎟ ⇔⎜ =⎜ A⎟ B⎟ B A ⎜ cos ⎟ cos ⎜ cos ⎟ cos2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ A B (do cos > cos > ) 2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com A⎛ B⎛ A⎞ B⎞ ⎜ + tg ⎟ = tg ⎜ + tg ⎟ 2⎝ 2⎠ 2⎝ 2⎠ A B A B ⇔ tg − tg + tg − tg = 2 2 B⎞⎡ A B A B⎤ ⎛ A ⇔ ⎜ tg − tg ⎟ ⎢1 + tg + tg + tg tg ⎥ = (*) ⎠⎣ 2 2⎦ ⎝ A B A B A B ⇔ tg = tg ( + tg + tg + tg tg > ) 2 2 2 ⇔ A=B ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ tg Bà i 216: Chứ n g minh ΔABC cân nế u : cos2 A + cos2 B = ( cotg A + cotg 2B ) (*) 2 sin A + sin B Ta có : cos2 A + cos2 B ⎛ 1 ⎞ = ⎜ + − 2⎟ 2 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ 2 cos A + cos B 1⎛ 1 ⎞ ⇔ +1 = ⎜ + ⎟ 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ 1⎛ 1 ⎞ ⇔ = ⎜ + ⎟ 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ (*) ⇔ ⇔ sin A sin B = ( sin A + sin B ) ⇔ = ( sin A − sin2 B ) ⇔ sin A = sin B Vậy ΔABC câ n tạ i C Bà i 217: Chứ n g minh ΔABC cân nế u : C a + b = tg ( atgA + btgB ) (*) Ta có : a + b = tg C ( atgA + btgB) C = atgA + btgB C⎤ C⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − cotg ⎥ + b ⎢ tgB − cotg ⎥ = 2⎦ 2⎦ ⎣ ⎣ A + B⎤ A + B⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − tg + b ⎢ tgB − tg =0 ⎥ ⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎣ A−B B−A a sin b sin 2 ⇔ + =0 A+B A+B cos A cos cos B cos 2 ⇔ ( a + b ) cotg Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com A−B a b = hay − =0 cos A cos B 2R sin A 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ sin IV NHẬN DẠN G TAM GIÁ C Bà i 218: Cho ΔABC thỏa : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) Chứ n g minh ΔABC vuô n g hay câ n Do đònh lý hà m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B Nê n (*) ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin B cos A = 2R ( sin A − sin B ) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = sin A − sin B 1 ⇔ sin ( A − B ) = (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) 2 ⇔ sin ( A − B ) = [ cos 2B − cos 2A ] ⇔ sin ( A − B ) = − ⎡⎣sin ( A + B ) sin ( B − A ) ⎤⎦ ⇔ sin ( A − B ) ⎡⎣1 − sin ( A + B ) ⎤⎦ = ⇔ sin ( A − B ) = ∨ sin ( A + B ) = π vậ y ΔABC vuô n g hay câ n C ⇔ A = B∨ A+B = Các h c sin A cos B − sin B cos A = sin2 A − sin2 B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin A + sin B) ( sin A − sin B) A+B A−B A+B A−B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin cos ) (2 cos sin ) 2 2 ⇔ sin ( A − B ) = sin ( A + B ) sin ( A − B ) ⇔ sin ( A − B ) = ∨ sin ( A + B ) = π Bà i 219 ΔABC tam giác ( a + b2 ) sin ( A − B ) = ( a − b2 ) sin ( A + B) (*) ⇔ A = B∨ A+B = Ta có : (*) ⇔ ( 4R sin A + 4R sin B ) sin ( A − B ) = 4R ( sin A − sin B ) sin ( A + B ) ⇔ sin A ⎣⎡sin ( A − B ) − sin ( A + B ) ⎦⎤ + sin B ⎡⎣sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ⎤⎦ = ⇔ sin A cos A sin ( −B ) + sin B sin A cos B = Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ⇔ − sin A cos A + sin B cos B = (do sin A > sin B > ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = Vậy ΔABC câ n tạ i C hay ΔABC vuô n g tạ i C Bà i 220: ΔABC tam giá c nế u : ⎧a sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1) ⎨ (2) ⎩sin 2A + sin 2B = sin A sin B Ta có : (1) ⇔ 4R2 sin2 A sin 2B + 4R2 sin2 B sin 2A = 16R2 sin A sin2 B cos A ⇔ sin A sin 2B + sin B sin 2A = sin A sin2 B cos A ⇔ sin2 A sin B cos B + sin A cos A sin B = sin A sin B cos A ⇔ sin A cos B + sin B cos A = sin B cos A (do sin A > 0, sin B > 0) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = ⇔ sin ( A − B ) = ⇔A=B Thay vào (2) ta sin 2A = 2sin2 A ⇔ sin A cos A = sin2 A ⇔ cos A = sin A ( sin A > 0) ⇔ tgA = π Do ΔABC vuôn g cân tạ i C V TAM GIÁ C ĐỀ U ⇔A= Bà i 221: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : bc = R ⎡⎣ ( b + c ) − a ⎤⎦ (*) Ta có : (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) = R ⎡⎣2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤⎦ ⇔ sin B sin C = ( sin B + sin C ) − sin ( B + C ) ⇔ sin B sin C = ( sin B + sin C ) − sin B cos C − sin C cos B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 3 sin C⎥ + sin C ⎢1 − cos B − sin B⎥ = ⇔ sin B ⎢1 − cos C − 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ π ⎞⎤ ⎡ π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⇔ sin B ⎢1 − cos ⎜ C − ⎟ ⎥ + sin C ⎢1 − cos ⎜ B − ⎟ ⎥ = (1) ⎠⎦ ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎣ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com π⎞ ⎛ Do sin B > − cos ⎜ C − ⎟ ≥ 3⎠ ⎝ π⎞ ⎛ sin C > − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 3⎠ ⎝ Nê n vế trá i (1) luô n ≥ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪cos ⎜ C − ⎟ = ⎪ ⎝ ⎠ Do đó, (1) ⇔ ⎨ ⎪cos ⎛ B − π ⎞ = ⎜ ⎟ ⎪⎩ 3⎠ ⎝ π ⇔C=B= ⇔ ΔABC 3 ⎧ ⎪⎪sin B sin C = Bà i 222: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u ⎨ 3 ⎪a = a − b − c a−b−c ⎩⎪ (1) (2) Ta có : (2) ⇔ a − a b − a 2c = a − b3 − c3 ⇔ a ( b + c ) = b3 + c ⇔ a ( b + c ) = ( b + c ) ( b2 − bc + c ) ⇔ a = b2 − bc + c2 ⇔ b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − bc (do đl hà m cosin) ⇔ 2bc cos A = bc π ⇔A= Ta có : (1) ⇔ sin B sin C = ⇔ ⎡⎣cos ( B − C ) − cos ( B + C ) ⎤⎦ = ⇔ cos A = ⇔ ⎡⎣ cos ( B − C ) + cos A ⎤⎦ = π⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⇔ cos ( B − C ) + ⎜ ⎟ = ⎜ (1 ) ta có A = ⎟ 3⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⇔ cos ( B − C ) = ⇔ B = C Vậy từ (1), (2) ta có ΔABC đề u Bà i 223: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C Ta có : sin 2A + sin 2B = sin ( A + B ) cos ( A − B ) = sin C cos ( A − B ) ≤ sin C (1) Dấu “=” xả y khi: Tương tự : cos ( A − B ) = sin 2A + sin 2C ≤ sin B (2) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Dấu “=” xả y khi: cos ( A − C ) = Tương tự : sin 2B + sin 2C ≤ sin A Dấu “=” xả y khi: cos ( B − C ) = (3) Từ (1) (2) (3) ta có : ( sin 2A + sin 2B + sin 2C) ≤ ( sinC + sin B + sin A ) ⎧cos ( A − B ) = ⎪ Dấu “=” xả y ⇔ ⎨cos ( A − C ) = ⇔ A = B = C ⎪ ⎩cos ( B − C ) = ⇔ ΔABC đề u Bà i 224: Cho ΔABC có : 1 1 (*) + + = 2 sin 2A sin 2B sin C cos A cos B cos C Chứ n g minh ΔABC đề u Ta có : (*) ⇔ sin2 2B.sin2 2C + sin2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B sin 2A.sin 2B.sin 2C = ⋅ ( sin 2A sin 2B sin 2C ) cos A cos B cos C = sin A sin B sin C ( sin 2A sin 2B sin 2C ) Mà : sin A sin B sin C = ⎡⎣ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤⎦ sin ( A + B ) = ⎡⎣ cos ( A − B ) + cos C ⎤⎦ sin C = sin C cos C + cos ( A − B ) sin ( A + B ) = sin 2C + sin 2A + sin 2B Do , vớ i điề u kiệ n ΔABC khô n g vuôn g ta có (*) ⇔ sin2 2B sin2 2C + sin 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B = sin 2A sin 2B sin 2C ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = sin2 2A sin 2B sin 2C + sin2 2B sin 2A sin 2C + sin2 2C sin 2A sin 2B 1 2 ⇔ ( sin 2B sin 2A − sin 2B sin 2C ) + ( sin 2A sin 2B − sin 2A sin 2C ) 2 + ( sin 2C sin 2A − sin 2C sin 2B ) = ⎧sin 2B sin 2A = sin 2B sin 2C ⎪ ⇔ ⎨sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2C ⎪sin 2A sin 2C = sin 2C sin 2B ⎩ ⎧sin 2A = sin 2B ⇔⎨ ⇔ A = B = C ⇔ ABC đề u ⎩sin 2B = sin 2C Bà i 225: Chứ n g minh ΔABC đề u : a cos A + b cos B + c cos C 2p = (*) a sin B + b sin C + c sin A 9R Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có : a cos A + b cos B + c cos C = 2R sin A cos A + 2R sin B cos B + 2R sin C cos C = R ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = R ⎡⎣2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + sin C cos C ⎤⎦ = 2R sin C ⎡⎣cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤⎦ = 4R sin C sin A sin B Cá c h 1: a sin B + b sin C + c sin A = 2R ( sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ) ≥ 2R sin2 A sin B sin2 C ( bđt Cauchy ) a cos A + b cos B + c cos C ≤ sin A sin B sin C (1) a sin B + b sin C + c sin A 2p a + b + c = = ( sin A + sin B + sin C ) Mà vế phải : 9R 9R 23 sin A sin B sin C (2) ≥ Từ (1) (2) ta có ( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC đề u 4R sin A sin B sin C a+b+c = Cá c h 2: Ta có : (*) ⇔ a sin B + b sin C + c sin A 9R ⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ 4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ = a + b + c ⇔ 9R ⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ ca a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟+ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ 2R ⇔ 9abc = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Do vế trá i : Do bấ t đẳ n g thức Cauchy ta có a + b + c ≥ abc ab + bc + ca ≥ a b2c2 Do : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Dấu = xảy ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC đề u Bà i 226: Chứ n g minh ΔABC đề u A B C cot gA + cot gB + cot gC = tg + tg + tg ( *) 2 Ta có : cot gA + cot gB = ≥ sin ( A + B ) sin A sin B sin C = sin C sin A sin B ⎛ sin A + sin B ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (do bđt Cauchy) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com C C C cos sin 2 = = C A + B A − B A − B sin cos cos cos 2 2 C ≥ 2tg (1) B (2) Tương tự : cot gA + cot gC ≥ 2tg A cot gB + cot gC ≥ 2tg (3) Từ (1) (2) (3) ta có B C⎞ ⎛ A ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ ⎜ tg + tg + tg ⎟ 2⎠ ⎝ Do dấu “=” tạ i (*) xả y A−B A−C B−C ⎧ = cos = cos =1 ⎪cos ⇔⎨ 2 ⎪⎩sin A = sin B = sin C sin ⇔A=B=C ⇔ ΔABC BÀI TẬP Tính gó c ΔABC biết : a/ cos A = sin B + sin C − b/ sin 6A + sin 6B + sin 6C = c/ sin 5A + sin 5B + sin 5C = Tính góc C ΔABC biế t : a/ (1 + cot gA )(1 + cot gB ) = π 2π ,A = ) π (ĐS: A = B = C = ) (ĐS: B = C = ⎧⎪ A, B nhọn b/ ⎨ 2 ⎪⎩sin A + sin B = sin C ⎧cos2 A + cos2 B + cos2 C < Cho ΔABC có : ⎨ ⎩sin 5A + sin 5B + sin 5C = Chứ n g minh Δ có mộ t gó c 36 Biế t sin2 A + sin2 B + sin2 C = m Chứ n g minh a/ m = ΔABC vuôn g b/ m > ΔABC nhọn c/ m < ΔABC tù Chứ n g minh ΔABC vuôn g nế u : b+c a/ cos B + cos C = a b c a + = b/ cos B cos C sin B sin C Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com c/ sin A + sin B + sin C = − cos A + cos B + cos C ( b − c ) = ⎡⎣1 − cos ( B − C )⎤⎦ d/ b2 − cos 2B Chứ n g minh ΔABC cân nế u : + cos B 2a + c a/ = sin B a − c2 sin A + sin B + sin C A B = cot g cot g b/ sin A + sin B − sin C 2 c/ tgA + 2tgB = tgA.tg B C C⎞ ⎛ ⎞ ⎛ d/ a ⎜ cot g − tgA ⎟ = b ⎜ tgB − cot g ⎟ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ C B e/ ( p − b ) cot g = ptg 2 C f/ a + b = tg ( atgA + btgB ) ΔABC Δ nế u : A+B a/ atgB + btgA = ( a + b ) tg b/ c = c cos 2B + b sin 2B c/ sin 3A + sin 3B + sin 3C = d/ 4S = ( a + b − c )( a + c − b ) Chứ n g minh ΔABC đề u nế u a/ ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c b/ 3S = 2R ( sin A + sin B + sin C ) c/ sin A + sin B + sin C = sin A sin B sin C 9R d/ ma + m b + mc = vớ i ma , m b , mc đườ n g trung tuyế n ... = cot ga VII Công thức nhân ba: sin3a = 3sin a − 4sin3 a cos3a = cos3 a − 3cosa VIII Công thức hạ bậc: (1 − cos2a ) cos2 a = (1 + cos2a ) − cos2a tg2a = + cos2a sin a = IX Công thức chia đôi... n g vớ i ngọ n cung củ a điề u kiện Hoặc + So vơi điều kiện trình giả i phương trình ⇔ cos t = ∨ cos 2t = − Bà i 43 : Giả i phương trình tg x − tgx.tg3x = ( * ) π hπ ⎧cos x ≠ ⇔ cos3x ≠ ⇔ x ≠... π ∨x= + ∨ x = + kπ , k ∈ ] ⇔ x= + 10 Bà i 32 : Cho phương trình ⎛π x⎞ sin x.cos 4x − sin2 2x = sin ⎜ − ⎟ − ( *) ⎝4 2⎠ Tìm cá c nghiệ m phương trình thỏa : x − < Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ -