hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/ Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018 PHẦN I: ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A.KIẾN THỨC CÃN NẮM Gv:Ths Phan Hữu Thì 0987.377.505 Trang - - Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/ Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018 1.Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Góc đối cos( ) sin( ) tan( cot( Góc bù cos sin ) tan ) cot sin( ) cos( ) cos tan( ) tan cot( sin ) sin cos tan cot cot sin( cos sin ) sin cos cos sin tan( ) tan tan tan cot( ) cot cot sin x a ( sin x a cos cot 2 ) cos( sin Góc Góc Góc phụ cot tan 2.Phương trình sinx = sin a) sin x x sin c) sin u x sin v e) sin u k2 sin u cos v (k k2 Z ) b) d) sin u sin( v) sin u sin v a x 1) arcsin a x cos v k2 arcsin a sin u sin k2 (k Z) v Các trường hợp đặc biệt: sin x x k (k sin x x sin x sin2 x sin x Z) k2 (k Z) cos2 x cos x x x k2 (k Z) arccos a k2 k (k Z) 3.Phương trình cosx = cos a) cos x x cos k2 c) cos u cos v cos u cos( e) cos u sin v cos u cos (k Z) cos x a ( cos x a d) cos u v) b) a x sin v 1) cos u cos (k Z) v v Các trường hợp đặc biệt: cos x x cos x cos x k x cos2 x Gv:Ths Phan Hữu Thì 0987.377.505 (k k2 Z) (k sin2 x cos x x x k2 (k Z) Z) sin x k (k Z) Trang - - Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/ 4.Phương trình tanx = tan a) tan x tan x k (k Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018 Z) c) tan u tan v tan u tan( v) e) tan u cot v tan u tan x (k b) tan x a x d) tan u cot v tan x arctan a tan u tan k (k Z) v v Các trường hợp đặc biệt: tan x k 5.Phương trình cotx = cot cot x cot x Z) k (k Z) cot x x a x k (k Z) k (k Z) arccot a Các trường hợp đặc biệt: cot x x k (k Z) cot x x k (k Z) 6.Một số điëu cần ý: a) Khi giải phương trình có chứa hàm số tang, cotang, có mẫu số chứa bậc chẵn, thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định * Phương trình chứa tanx điều kiện: x * Phương trình chứa cotx điều kiện: x k k (k * Phương trình chứa tanx cotx điều kiện x (k Z ) Z) k (k Z) * Phương trình có mẫu số: sin x tan x x k x (k k Z) cos x x k (k Z) (k Z ) cot x x k (k Z ) 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Ptrình bậc hàm số lượng giác Dạng : at + b = (a  0) Trong t hàm số lượng giác b Cách giải: pt  t =  phương trình lượng giác a Ví dụ : Giải pt: 2sin2x + =     x    k 2 x    k    12 2sin2x + =  sin2x = -  sìn2x = sin(- )     2 x  x   k 2  k   12 2.Phương trình bậc hai hàm số lượng giác a sin2 x  b sin x  c  a cos2 x  b cos x  c  a tan2 x  b tan x  c  ( k  Z) a cot x  b cot x  c  Cách giải: Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta phương trình : at  bt  c  (1).Giải phương trình (1) tìm t, suy x Gv:Ths Phan Hữu Thì 0987.377.505 Trang - - Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/ Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018 Ví dụ1: Giải phương trình sau: a) 2sin²x + 5sinx - = b) sin2x + sinx – = giải c) 3tan2 2x -1 =  t a) Cách 1: Đặt t = sinx (   t  ) pt có dạng 2t + t - =    t  3(loai )    x   k 2 với t=1/2  sinx = 1/2    x  5  k 2    x   k 2   s inx= Cách 2: 2sin²x  5sinx       5   k 2 s inx  3(vn)  x    sinx   b) sin2x + sinx – =    x   k 2  sinx  2(vn)  k   c) 3tan22x-1=  tan x    tan x  tan     x    12  6 Ví dụ2: Giải phương trình sau: a) cos2x + sinx + = b) – 2tan3x + cot3x = giải s inx  1   x    k 2 a) pt  – sin2x + sinx + =  – sin2x + sinx + =   s inx  2(VN ) b) cot3x = 1/tan3x nên    x k  tan x    pt  – 2tan3x + 1/tan3x =  tan 3x  tan 3x       tan 3x   x  arctan  k   3 Phương trình bậc sinx cosx * Dạng pt : asinx + bcosx = c (2)  a  b   (2) * Điều kiện có nghiệm : a  b2  c2 * Phương pháp giải :Biến đổi vế trái thành dạng a  b2 sin( x   ) a  b2 cos( x   ) để đưa phương trình lượng giác bản.cụ thể sau: - Kiểm tra đk có nghiệm a b ; sin   - Chia vế cho a  b , đặt cos  với    0;2  : a2  b2 a2  b2 c c (2)  cosx.cos + sinx.sin =  cos(x- ) = (3) 2 2 a b a b a b c ý: Nếu đặt sin   (2)  sin( x +  ) = ; cos  a  b2 a  b2 a  b2 Gv:Ths Phan Hữu Thì 0987.377.505 Trang - - Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/ Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018 Phương trình bậc theo sinx cosx dạng mở rộng Dạng 1: asinx + bcosx = a  b sin kx; Dạng 2: asinkx + bcoskx = bsinqx + acosqx  Phương pháp giải : Chia vế cho a  b2 Ví dụ 3: Giải phương trình a) sin x  cos x  2cos 3x b) sin( 2x + 5 7 ) - cos ( x  ) = 2 + 3sinx + sin 2x giải   sinx cos x cos x sin x cos cos x sin      cos x  sin( x   )  sin(   3x) a)pt  2 6        x    3x  k 2 x   k   (k  )  x        3x  k 2  x     k   5 7 ) = cos2x; cos ( x  ) = - sinx b) ta có : sin( 2x + 2 nên pt  cos2x + 3sinx = + 3sinx + sin2x    ) =  2x= k2   x=  k , (k  )  cos2x - sin2x =  cos( 2x8 4 Dạng 3: Phương trình đẳng cấp: a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  (a;c  0) (1) Cách giải 1: p dụng công thức hạ bậc : sin2 x   cos x  cos x cos2 x  , sin x.cos x  sin x 2 Xem Ví dụ : Giải phương trình: 2sin x  sin x cos x  3cos x  giải  cos x 1  cos2 x  sin x    sin x  cos2 x  a) pt  2 2      x    k 2 x   k   2  4   sin(2 x  )  sin x  cos2 x    ( k  ) 2  x    3  k 2  x    k   4 2 Cách giải 2: *Kiểm tra xem cosx=0 hay x    k có phải nghiệm (1) không? *Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: a tan2 x  b tan x  c  Chú ý: k  k (tan x  1) ; cos x Gv:Ths Phan Hữu Thì 0987.377.505 Trang - - Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/ Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018 Xem Ví dụ : Giải phương trình: 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x =   * Với cosx =  x   k ,thì sin2x = nên ta thấy pt có dạng = ( mđđ) x   k 2 nghiệm pt * chia vế pt cho cos2x ( cosx  0) ta có pt : 5 tan x  3tan x   2(tan x  1)  t anx   x  arctan  k (k  ) 3  Vậy pt có họ nghiệm x   k x  arctan  k (k  ) Dạng 4: Phương trình đối xúng phản đối xứng a(cos x  sin x )  b sin x.cos x  c  Cách giải :  Đặt t  cos x  sin x  cos( x  ) với -  t  t2 1 Do (cos x  sin x )   2sin x.cos x  sinx.cosx= 2 t 1 Thay vào (1) ta phương trình : at  b  c  (2) Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện giải pt:  cos( x  )  t tìm x Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : a(cos x  sin x )  b sin x.cos x  c  B BÀI TẬP I.PHÃN TỰ LUẬN Bài Tìm tập xác định m i hàm số sau đ y : sin x  tan x  a f  x   ; b f  x   ; sin x  cos x    d y  tan  x   ; 3  1  g y = sin x cos x   sin   x  3  ; e y  cos x  cos x h y  1 (s inx  )cos(2 x  300 )  2 sin x k y  cot( x  )  tan(2 x  ) l y  3  5cos x  2sin x c f  x   cot x  sin(3 x  ) cot x  1 i y  2sin x  f y  m y  tan x sin x  cos x  Bài Xét tính chẵn – lẻ hàm số: a y  x  sin x b y   x  cos 3x  5  c y   sin x cos   2x    d y  sin x cos x  tan x  3  e y   cos x sin   3x    f y  Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số a y  3cos x  ; b y   | sin x | ; Gv:Ths Phan Hữu Thì 0987.377.505 sinx.cos x t anx  cot x c y   4sin x cos x ; Trang - - Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/  cos x h f ( x)  sin x  cos x Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018 e f  x   cos x  sin x ; d y  f f ( x)  sin x  cos3 x ; i y  cos x  2sin x  Bài Giải phương trình : c cot  x  20o   cot 60 o ; ; a 2sin x   ; b sin  x    d 2cos x   ; e cos  x  15o   0,5 ; f t an3 x       g sin  x    sin   x  ; 5  5    h cos  3x    cosx = ; 3  i sin 3x  cos x     k sin  x     s inx l sin  x    cosx = 3 3   Bài Giải phương trình sau : a cos 2 x  ; b 4cos 2 x   ; d sin x  cos x  ; e sin x  cos4 x  ; Bài Tìm nghiệm phương trình sau khoảng cho :   m sin  x    cosx = 3  c cos2 3x  sin 2 x  ; f sin x  cos4 x    b cot  x    với   x   3  a 2sin x 1  với  x   ; Bài Giải phương trình sau : a cos x  sin x cos x  ; b cos x  sin x  ;   c 8sin x.cos x.cos x  cos8   x  ;  16  Bài Giải phương trình : a cos7 x.cos x  cos5 x.cos3 x ; c  cos x  cos x  cos3 x  ; Bài Giải phương trình : cos x 0 ;  sin x Bài 10 Giải phương trình : a b tan x  0 ; cos x    d sin  x    sin x  sin x 2  b cos x  sin 3x.cos x  sin x.cos3x ; d sin x  sin 2 x  sin 3x  sin x  c sin 3x cot x  ; d tan 3x  tan x a 2cos x  3cos x 1  ; b cos2 x  sin x   ; c 2sin x  5sin x   ; d cot 3x  cot 3x   ; e cos x  cos x   ; g cos x  5sin x   ; h 5tan x  2cot x   f cos x  cos x 1  ; x x cos ; i sin 2 x j cos x  5sin   ; Bài 11 Giải phương trình : a tan x   k cos x sin x   tan x   ; c cos x     cos x    ; Gv:Ths Phan Hữu Thì 0987.377.505 l cos x  3cos3x 1  ;   b tan x   tan x   ; d     tan x    cos x Trang - - Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/ Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018 Bài 12 Giải phương trình : a sin x  cos x  ; d sin x  7cos x  ; Bài 13 Giải phương trình : b cos3x  sin 3x  ; c 3cos x  4sin x  5 ; e 2sin x  cos x  ; f sin x   cos x a 2sin x  sin x  ; b 2cos x  sin x  ; c 2sin x cos x  cos x   ; Bài 14 Giải phương trình : d 4sin x  3 sin x  2cos x  ; a 3sin x  sin x cos x  2cos x  ; b sin x  sin x  cos x  c 2sin x  3 sin x cos x  cos x  ; d cos2 x  sin x  3sin 2 x  e 2sin x  sin x cos x  cos x  ; Bài 15 Giải phương trình sau a 3(sin x cos x ) sin x cos x c sin x sin2x cos x Bài 16 Tính giá trị lượng giác f cos2 x  3sin x  b sin2x 0; cos2x d cos2x 0; sin 4x sin 4x sin x cos x a Tính cosa, sin2a, cota, A  2sin 2a  cos2 a  biết tan a    b Tính E  1;  a0 sin a  3cos a d Tính F  , tan a  3 cos a  2sin a cot a  tan a  , sin a   a   tan a  3cot a 2 cos a  sin a.cos a  sin a , cot a  sin a  3cos a  Bài 17 Giải biện luận phương trình theo tham số m : c Tính G  e Tính P  3cos a  2sin a  , tan a  3 sin a  3cos a  a Cho phương trình : m 3cos3x  sin 3x  m Chứng minh phương trình ln có nghiệm b Cho pt:  m   cos2x  2m sin x cos x  3m  Giải biện luận phương trình theo tham số m c Tìm m để phương trình có nghiệm : m sin x.cos x   m  1 cos x  m BÀI TẬP NÂNG CAO Bài (ĐH 2010B) (sin 2x Bài (ĐH 2010D) sin 2x Bài (ĐH 2011A) cos 2x ) cos x cos 2x sin 2x 0 Đ/S: x Đ/S: x Đ/S x cot x sin x cos x cos x t anx Bài (ĐH 2012A+A1) sin 2x Gv:Ths Phan Hữu Thì 0987.377.505 cos x sin x sin x sin 2x Bài (ĐH 2011B) sin 2x cos x Bài (ĐH 2011D) sin x c os2x sin 2x cos 2x s inx cos 2x cos2x s inx Đ/s: x k k2 ; x Đ/S: x Đ/S: x cos x cos x k ;x 2 k ;x k (k k2 ; x k (k k2 k ) (k ) ) k2 ; x k2 Trang - - Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/ Bài (ĐH 2012B) 2(cos x Bài (ĐH2012D) sin 3x sin x ) cos x cos 3x Bài (ĐH 2013A+A1) tan x sin x cos x cos x 2 sin x Bài 10 (ĐH 2013B) sin 5x cos2 x Bài 11 (ĐH 2013D) sin 3x cos2x sin x Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018 sin x Đ/s: x cos 2x Đ/s: x Đ/s: x k2 ; x k k ;x 12 k2 ; x k k ;x Đ/s: x Đ/s: x k ;x k2 ;x Bài 12 (ĐH 2014 A+A1) sin x  cos x   s in2x Đ/s: x =    k2  sin x  2cos x    sin2x Đ/s: x   3  k 2 Bài 13 (ĐH 2014B) 14 Bài 14 (THPT 2015) Tính giá trị biểu thức P  (  cos 2 )(  cos 2 ) biết sin   Bài 15 cos x s inx 2(cot 2x 3  Bài 16 tan x  2sin  x   Bài 17  sin x  3 cos ) Đs: x  2(cos x  sin x)   cos x  sin x cos2 x  Đs: x  x  sin x 1  cos x   3cos x   Bài 18 2sin x  cos2 x  sin x  2sin x  2cos x 1  Đs: x  Đs: x   k ;x  12   k x  k2 12 k2 ;x 3 (k k ) (k k2 (k ) ) k2 5  k 12  k 2 (k  )  k ; x     k 2 ; x  k 2 II PHÃN TRẮC NGHIỆM Câu Trong hàm số sau đ y, hàm số hàm số tuần hồn? A y = sinx - B y = cosx -x C y = sinx +2x D y = tanx -x Câu Hàm số y = sinx:   A Đồng biến khoảng   k 2 ;   k 2  nghịch biến khoảng   k 2 ; k 2  2  5  3  B Đồng biến khoảng    k 2 ;  k 2  nghịch biến khoảng          k 2 ;  k 2  với k  Z   3   C Đồng biến khoảng   k 2 ;  k 2  nghịch biến khoảng 2         k 2 ;  k 2  với k  Z   Gv:Ths Phan Hữu Thì 0987.377.505 Trang - - Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/ Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018     D Đồng biến khoảng    k 2 ;  k 2  nghịch biến khoảng   3    k 2  với k  Z   k 2 ; 2  Câu Trong hàm số sau đ y, hàm số hàm số tuần hồn? A y = sinx –x B y = cosx + C y = x.sinx D y  x2  x D y  x Câu Trong hàm số sau đ y, hàm số hàm số tuần hồn? A y = x.cosx C y  cos x  B y = x.tanx Câu Trong hàm số sau đ y, hàm số hàm số tuần hồn? sin x A y = B y = tanx + x C y = x2+1 x D y  sin x  Câu Hàm số y = cosx:   A Đồng biến khoảng   k 2 ;   k 2  nghịch biến khoảng   k 2 ; k 2  2  với k  Z B Đồng biến khoảng    k 2 ; k 2  nghịch biến khoảng  k 2 ;   k 2  với kZ 3   C Đồng biến khoảng   k 2 ;  k 2  nghịch biến khoảng 2         k 2 ;  k 2  với k  Z   D Đồng biến khoảng  k 2 ;   k 2  nghịch biến khoảng  k 2 ;3  k 2  với kZ Câu Chu kỳ hàm số y = sin2x là:  A k 2 k  Z B C  Câu Điều kiện xác định hàm số y = tan2x là:   A x   k B x   k C x  D 2  k  D x   k  Câu Chu kỳ hàm số y  cosx  sin 2x là: A k 2 k  Z B 2 C  D 2 C  D 2 Câu 10 Chu kỳ hàm số y  cosx.cos3x là: A k 2 k  Z B 2 Câu 10 Chu kỳ hàm số y  tan( A 2 Gv:Ths Phan Hữu Thì 0987.377.505 B   -3x) là: C  D   Trang - 10 - Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/ Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018 Câu 11 Chu kỳ hàm số y  sin x  cos 2 x là: B  A 2 C  D 4 Câu 12 Số nghiệm phương trình sinx = khoảng  0; 2  là: A B C D Câu 13 Số nghiệm phương trình sinx = -1 khoảng   ; 2  là: A B C Câu 14 Nghiệm phương trình sinx = A x   k  B x   là:  k C x  Câu 15 Nghiệm phương trình cosx = là:  A x  k B x   k 2 Câu 16 Nghiệm phương trình cosx = –1 là:  A x    k B x    k 2 Câu 17 Nghiệm phương trình cosx = A x     k 2 B x    4  k 2 B x     k 2   k 2 B x   k  k  D x  C x  k 2 D x  C x    k 2 D x  C x      k 2  k 3  k   k D x   2  k 2 D x     k 2 là:  k 2 Câu 19 Nghiệm phương trình cos2x = A x    là: Câu 18 Nghiệm phương trình cosx = – A x   D C x     k là: C x     k 2 + 3tanx = là: Câu 20 Nghiệm phương trình    A x   k B x   k 2 C x    k Câu 21 Nghiệm phương trình sin3x = sinx là:    A x   k B x  k ; x   k C x  k 2 Câu 22 Nghiệm phương trình sinx.cosx = là:   A x   k 2 B x  k C x  k 2 2 D x  D x  D x     k 2  k   k ; x  k 2   k 2 Câu 23 Nghiệm phương trình A x  k 2 Gv:Ths Phan Hữu Thì 0987.377.505 cos3x = cosx là:  k B x  k 2 ; x   k 2 C x  2 D x   D x  k ; x    k 2 Trang - 11 - Trường THPT Ngun Huệ - http://www.toanmath.com/ Câu 24 Nghiệm phương trình    A x   k ; x   k C x  k ; x   Tài liệu tốn 11 học kì năm học 2017-2018 sin3x = cosx là: B x   k   k ; x  `D x  k ; x  k  k   Câu 25 Số nghiệm phương trình sin2x – sinx = thỏa điều kiện: -  < x