ứng dụng sự biến thiên của hàm số để giải một phương trình và hệ phương trình

ứng dụng sự biến thiên của hàm số để giải một phương trình và hệ phương trình tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, l...

Chuyên đề BDHSG K10

ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Huỳnh Chí Hào

I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Hàm số hợp

Định nghĩa:

Cho hai hàm số f g có miền xác định , D D tương ứng Giả sử ta có f, g g x D f với mọi xD g

Khi đó ta định nghĩa hợp của hai hàm số f và g , ký hiệu f g , là hàm số xác định trên D và f

 x D g, f g x  f g x  



Ví dụ: Với f x x , 1 g x x2 thì

+       2 2

1

f g x  f g x  f x x 

 + g f x g f x  g x 1  x12



2 Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa:

 Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu

x , x1 2K, x1x2 f x 1 f x 2

Có thể thay bởi mệnh đề: x x1, 2K và x1 x2,  2  1

2 1

0

f x f x







 Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu

x , x1 2K, x1 x2 f x 1 f x 2

Có thể thay bởi mệnh đề: x x1, 2K và x1 x2,  2  1

2 1

0

f x f x







Tính chất:

Giả hàm số yf x  đồng biến (nghịch biến) trên khoảng a; b và u; va; bkhi đó:

f u f v uv

II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

4x  x x1 2x   (1) 1 0

Lời giải

2

D   



 Ta có:    3  3

1  x  x x  x1 (2)

 Xét hàm đặc trưng f t( )t3 với t t  , khi đó:

 2  f  2x  f  2x1 (3)

 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên 

t t1, 2,t1t2, ta có:     3  3  2 2

3 0

Do đó f đồng biến trên 

0

4

4

x x









 Vậy phương trình (1) có nghiệm là 1 5

4

x  

Thí dụ 2 Giải hệ phương trình

1 (1)







(1) Lời giải

1 x x yx  x y 1 x xy  xy x  1 xy x 1 x  1 x   (vì y 1 0 2

1 0,

x    ) x

 Thay yx 1 vào phương trình (2) ta được phương trình

 Xét hàm đặc trưng 3

f t t  t, với t  

t t1, 2,t1t2, ta có:     3  3  2 2

Suy ra f t  đồng biến trên 

a  f x  f x  x  x  x  x  x       

3

3

2 1

2 1



 Với

3

x   y

 Vậy nghiệm của hệ phương trình là  

3

x y    

.

2

1 (1)

4 5 8 6 (2)

x x y y y







Lời giải

 Điều kiện 5

4

x  

 Nhận thấy y  không thỏa mãn hệ 0

 Khi đó:

3

3

 

 

(3)

 Xét hàm đặc trưng f t( )t3 , với t t  

t t1, 2,t1t2, ta có:     3  3  2 2

3 0

Suy ra f t  đồng biến trên 

 Do đó:     2

 

xy vào phương trình (2) ta được phương trình:

1

41

x

x x

x















 Với x 1 y  1

 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y;   1; 1   x y;   1; 1.

BÀI TẬP Bài 1:

x  x  x  x x

Bài 2:

Giải phương trình: x34x25x 6 3 7x29x 4

Bài 3:

Giải hệ phương trình:

5 3

1 0







Bài 4:

Giải hệ phương trình:







Bài 5:

x y x y x y







-Hết -