ứng dụng sự biến thiên của hàm số để giải một phương trình và hệ phương trình tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, l...
Chuyên đề BDHSG K10 ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Huỳnh Chí Hào I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hàm số hợp Định nghĩa: Cho hai hàm số , f g có miền xác định , f g D D tương ứng. Giả sử ta có f g x D với mọi g x D . Khi đó ta định nghĩa hợp của hai hàm số f và g , ký hiệu f g , là hàm số xác định trên f D và g x D , f g x f g x Ví dụ: Với 1 f x x , 2 g x x thì + 2 2 1 f g x f g x f x x + 2 1 1 g f x g f x g x x 2. Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu 1 2 1 2 1 2 x ,x K,x x f x f x Có thể thay bởi mệnh đề: 1 2 , x x K và 1 2 x x , 2 1 2 1 0 f x f x x x Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu 1 2 1 2 1 2 x ,x K, x x f x f x Có thể thay bởi mệnh đề: 1 2 , x x K và 1 2 x x , 2 1 2 1 0 f x f x x x Tính chất: Giả hàm số y f x đồng biến (nghịch biến) trên khoảng a;b và u;v a;b khi đó : f u f v u v II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1. Giải phương trình 3 4 1 2 1 0 x x x x (1) Lời giải. TXĐ: 1 ; 2 D Ta có: 3 3 2 2 2 1 21 1 x x x x (2) Xét hàm đặc trưng 3 ( ) f t t t với t , khi đó: 2 2 2 1 f x f x (3) Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f trên 1 2 1 2 , , t t t t , ta có: 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 0 2 4 t t t t f t f t t t t t t t t t t t t Do đó f đồng biến trên Suy ra: 2 0 0 1 5 3 2 1 2 1 5 4 4 2 1 0 4 x x x x x x x x Vậy phương trình (1) có nghiệm là 1 5 4 x . Thí dụ 2. Giải hệ phương trình 3 2 2 3 2 3 2 1 ( 1) 9 6 3 15 3 6 2 (2) x x y x x y x y x y x (1) Lời giải. Ta có: 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x x y x x y x x y x y x x y x x 1 0 x y (vì 2 1 0, x x ) Thay y x 1 vào phương trình (2) ta được phương trình 3 3 2 3 2 32 2 9 6 6 3 6 2 3 3 ( 1 1 6 2 6 a) 2x xx xx x x x Xét hàm đặc trưng 3 ( ) 3 f t t t , với t . 1 2 1 2 , , t t t t , ta có: 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 3 3 3 3 0 2 4 t t t t f t f t t t t t t t t t t t t Suy ra f t đồng biến trên . Do đó: 3 32 2 3 2 ( 1) ( 6 2) 1 6 2 9 3 3 0 a f x f x x x x x x . 3 3 2 3 3 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 x x x x x Với 3 3 3 2 1 2 2 1 2 1 x y Vậy nghiệm của hệ phương trình là 3 3 3 2 1 2 ; ; 2 1 2 1 x y . Thí dụ 4. Giải hệ phương trình 2 2 4 2 2 1 (1) 4 5 8 6 (2) x x y y y x y Lời giải. Điều kiện 5 4 x Nhận thấy 0 y không thỏa mãn hệ Khi đó: 3 3 (1) x x y y y y (3) Xét hàm đặc trưng 3 ( ) f t t t , với t . 1 2 1 2 , , t t t t , ta có: 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 0 2 4 t t t t f t f t t t t t t t t t t t t Suy ra f t đồng biến trên . Do đó: 2 3 x x f f y y x y y y . Thay 2 x y vào phương trình (2) ta được phương trình: 2 2 4 5 8 6 2 4 5 8 23 5 5 23 23 23 4 5 5 1 5 1 42 41 0 4 4 5 8 23 5 41 x x x x x x x x x x x x x x x x Với 1 1 x y Vậy nghiệm của hệ phương trình là ; 1; 1 ; 1;1 x y x y . BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: 3 2 3 4 2 3 2 3 1 x x x x x Bài 2: Giải phương trình: 3 3 2 2 4 5 6 7 9 4 x x x x x Bài 3: Giải hệ phương trình: 3 3 2 5 3 2 3 4 1 0 x x y y y x y Bài 4: Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 2 2 12 6 16 0 4 2 4 5 4 6 0 x x y y x x y y Bài 5: Giải hệ phương trình: 3 1 4 2 1 1 3 2 4 6 3 x x y y x y x y x y Hết . BDHSG K10 ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH Huỳnh Chí Hào I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hàm số hợp Định nghĩa: Cho hai hàm số , f g có. nghiệm của hệ phương trình là ; 1; 1 ; 1;1 x y x y . BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình: 3 2 3 4 2 3 2 3 1 x x x x x Bài 2: Giải phương trình: . chất: Giả hàm số y f x đồng biến (nghịch biến) trên khoảng a;b và u;v a;b khi đó : f u f v u v II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1. Giải phương trình 3 4