Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để giải phương trình và bất phương trình có tham số

1 MỞ ĐẦU - Lí chọn đề tài Đối với học sinh học toán trường trung học phổ thông, học sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp toán không dễ dàng liên quan đến nghiệm phương trình, bất phương trình chứa tham số Khi giảm tải chương trình dạng toán phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai vận dụng nên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Vi-ét số cách giải khác hàm số “điều kiện cần - đủ” để giải toán chứa tham số dẫn đến cách giải phức tạp học sinh khó rèn luyện tốt phần Với việc sử dụng bảng biến thiên hàm số phần lớn toán phương trình, bất phương trình chứa tham số giải cách tự nhiên, ngắn gọn dễ hiểu Đó lí để chọn đề tài: “Sử dụng bảng biến thiên hàm số để giải phương trình bất phương trình có tham số” - Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề trình bày đề tài hỗ trợ cho em học sinh trung học phổ thông có nhìn toàn diện cách tiếp cận bảng biến thiên hàm số để giải toán phương trình, bất phương trình có tham số - Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng toán phương trình, bất phương trình chứa tham số Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số giải tích trung học phổ thông đặc biệt phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ logarit chứa tham số Tuy nhiên toán chứa tham số mà phạm vi toán cô lập tham số vế phương trình bất phương trình - Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lý thuyết giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số để lập bảng biến thiên Thông qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp Các ví dụ minh họa đề tài lọc từ tài liệu tham khảo đề thi đại học năm gần xếp từ dễ đến khó Trong tiết họAc lớp cho học sinh giải vi dụ nhiều phương pháp để từ đánh giá tính ưu việt phương phấp NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong đề tài sử dụng bảng biến thiên liên quan trực tiếp kết sau Giả sử f(x) hàm số liên tục miền D, tồn M = max f ( x ) , x∈D m = f ( x ) Khi ta có x∈D f(x) = α Hệ phương trình  có nghiệm m ≤ α ≤ M x ∈ D f(x) ≥ α Hệ bất phương trình  có nghiệm M ≥ α x ∈ D Bất phương trình f ( x ) ≥ α với x ∈ D m ≥ α f(x) ≤ α Hệ bất phương trình  có nghiệm m ≤ α x ∈ D  Bất phương trình f ( x ) ≤ α với x ∈ D M ≤ α Chứng minh Giả sử hệ phương trình cho có nghiệm, tức tồn x ∈ D cho f ( x ) , hay f ( x ) = α Theo định nghĩa ta có minx∈fD( x ) ≤ f ( x ) ≤ max x∈D f ( x ) ≤ α ≤ max f ( x ) x∈D x∈D f ( x ) Vì f(x) hàm số liên tục nên Đảo lại, giả sử minx∈fD( x ) ≤ α ≤ max x∈D f ( x ) Do f(x) nhận giá trị α , tức tồn nhận giá trị từ minx∈fD( x ) đến max x∈D x ∈ D cho f( x ) = α Điều có nghĩa phương trình cho có nghiệm D ⇒ đpcm Giả sử hệ cho có nghiệm, tức tồn x ∈ D cho f ( x ) ≥ α Rõ ràng max f ( x ) ≥ f ( x ) ≥ α x∈D f (x) ≥ α Đảo lại, giả sử max x∈D (1) Ta giả thiết phản chứng hệ cho vô nghiệm, tức f ( x ) < α , ∀x ∈ D từ suy max f ( x ) < α (2) x∈D Từ (1) (2) ta thấy vô lí, giả thiết phản chứng không xảy ra, tức hệ cho có nghiệm ⇒ đpcm Giả sử m ≥ α Ta lấy x tùy ý thuộc D ⇒ f ( x ) ≥ f ( x ) = m ≥ α Vậy x∈D f ( x ) ≥ α với ∀ x ∈ D Đảo lại, giả sử f(x) ≥ α ∀x ∈ D , m = minx∈fD( x ) nên theo định nghĩa tồn x ∈ D mà m = f ( x ) Từ f ( x ) ≥ α ⇒ m ≥ α Như ta có đpcm (4 ta chứng minh tương tự 2, 3) 2.2 Thực trạng vấn đề trước khí áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước khí áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, học sinh thường gặp khó khăn việc giải dạng toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình có nghiệm (hoặc có nghiệm thỏa mãn điều kiện đó) Do em quen áp dụng cách làm trước sử dụng định lí Vi - ét, điều kiện cần đủ … Khi học sinh học đạo hàm, em có công cụ hiệu để giải dạng toán Đó “Sử dụng bảng biến thiên hàm số để giải phương trình bất phương trình có tham số” 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Phương trình chứa tham số Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( + x + (4 − x )(2x − 2) = m + 4 − x + 2x − ) Hướng dẫn 4 − x ≥ ⇔1≤ x ≤ Điều kiện  2 x − ≥ Đặt t = − x + 2x − Ta tìm miềm xác định t, xét hàm số f ( x ) = − x + 2x − với ≤ x ≤ Ta có f ' ( x ) = − x − 2x − − x 2x − 1 ≤ x ≤ f ' (x ) = ⇔ − x = 2x − ⇔  ⇔ x =3 16 − 4x = x − Từ ta có bảng biến thiên x f’(x) f(x) + - f ( x ) = max f ( x ) = từ suy ≤ x ≤ , 1≤ x ≤ 1≤ x ≤ 3≤t ≤3 Từ t = − x + 2x − ⇒ t = x + + (4 − x )(2x − 2) g( t ) = t − 4t + = m (1) toán trở thành: Tìm m để hệ sau  có nghiệm ≤ t ≤ ( )  Ta có g’(t) = 2t − , ta có bẳng biến thiên sau t g’(t) g(t) - + 7−4 Từ g( t ) = g(2) = ≤ t ≤3 max g ( t ) = ≤ t ≤3 g( t ) ≤ m ≤ max g( t ) ⇔ ≤ m ≤ Vậy phương trình cho có nghiệm ⇔ ≤ t ≤3 ≤ t ≤3 Ví dụ Cho phương trình 2x + 2x + 24 − x + − x = m Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn Đặt f(x) = 2x + − x ; g( x ) = x + 24 − x Lúc phương trình cho có dạng h ( x ) = f ( x ) + g( x ) = m (1) Phương trình (1) xác định miền ≤ x ≤ Ta có f ' ( x ) = − x − 2x x (6 − x ) Nên ta có bảng biến thiên sau: x f’(x) f(x) + tương tự ta có g' ( x ) = x g’(x) g(x) (6 − x ) − ( x ) ( x ) (6 − x ) - , bảng biến thiên + - Vì ta có bảng biến thiên hàm số h(x), ≤ x ≤ sau x h’(x) h(x) + - Ta có h ( x ) = min{ h (0); h (6)} = h (6) = 12 + 0≤ x ≤6 max h ( x ) = h (2) = + 0≤ x ≤ Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ 2( + ) ≤ m < + Chú ý: Nếu toán hỏi tìm m để phương trình có nghiệm đáp số toán 12 + ) ≤ m ≤ + h ( x ) phương trình cho có Trong cần lưu ý m = 0max ≤ x ≤6 nghiệm Vì làm học sinh cần phải kết hợp với bảng biến thiên để suy kết Ví dụ Tìm m để phương trình x − + m x + = 44 x − có nghiệm Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ Đặt t = x −1 x +1 x −1 x −1 + m = 24 x +1 x +1 x −1 =1− > nên ⇒ ≤ t < x +1 x +1 pt(1) ⇔ f ( t ) = −3t + 2t = m Bài toán cho trở thành: Tìm m để hệ  có nghiệm 0 ≤ t < Ta có f ' ( t ) = −6 t + nên có bảng biến thiên sau: t f’(t) + f(t) 1 f ( t ) = −1 (chú ý không tồn f ( t ) ) max f ( t ) = f ( ) = ; lim t → 1− 0≤ t  Vậy phương trình có nghiệm ⇔ − < m ≤ Do hệ vô nghiệm  m ≤ −1 Ví dụ Tìm m để phương trình biệt x + mx + = 2x + có hai nghiệm thực phân Hướng dẫn 3x + x − = mx (1) x + ≥   ⇔ Phương trình cho ⇔  ( 2) x + mx + = (2x + 1) x ≥ − Do x = không nghiệm (1) với m, nên hệ 3x + x −  = m (3) f ( x ) = 3x + x ⇔ Ta có f’(x) = bảng biến thiên x2 x ≥ − ( 4)  − x f’(x) + +∞ +∞ f(x) −∞ 9 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≥ Nhận xét: Bài hướng dẫn học giải cách sử dụng lý Viét 3x + (4 − m) x − = (1)  Tìm m để hệ  có hai nghiệm phân biệt ( 2) x ≥ − Yêu cầu tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm x , x cho ∆ > 1   1 x x + ( x + x ) + ≥ x > x ≥ ⇔ ( x + )( x + ) ≥ ⇔  2  x + x > −1 x + x > −1 m − 1   − + ≥ m ≥ ⇔ ⇔m≥ Áp dụng định lý Viét ta có   m − > −1 m >  Như cách giải thứ gọn cách hai Ví dụ Cho phương trình log 32 x + log 32 x + − 2m − = Tìm m để phương [ trình có nghiệm thuộc đoạn 1; 3 ] Hướng dẫn Đặt t = log 32 x + Khi ≤ x ≤ 3 ⇒ ≤ t ≤ f ( t ) = t + t − = 2m (1) Bài toán trở thành: Tìm m để hệ phương trình  (2) 1 ≤ t ≤ có nghiệm Ta có f ' ( t ) = 2t + có bảng biến thiên sau: t f’(t) − 2 + f(t) max f ( t ) = f (2) = ; f ( t ) = f (1) = 1≤ t ≤ 1≤ t ≤ Vậy giá trị cần tìm tham số m ≤ 2m ≤ ⇔ ≤ m ≤ Ví dụ Tìm m để phương trình có nghiệm 91+ 1− x − (m + 2)31+ 1− x + 2m + = Hướng dẫn = t ⇒ ≤ t ≤ Ta có phương trình t − 2t + = m( t − 2) (1) t − 2t + = m Vì toán Do ≤ t ≤ ⇒ t − ≠ Nên phương trình (1) ⇔ t−2 Đặt 31+ 1− x t − 2t +  = m (2) f ( t ) = trở thành: Tìm m để hệ  t−2 có nghiệm 3 ≤ t ≤ (3) t − 4t + Ta có f ' ( t ) = có bảng biến thiên sau đây: ( t − 2) t f’(t) + f(t) 64 f ( t ) = f (3) = ; 3≤t ≤9 3≤ t ≤9 64 Vậy giá trị m cần tìm là: ≤ m ≤ max f ( t ) = f (9) = 4 Ví dụ Cho phương trình 2(sin x + cos x ) + cos x + sin x + m = (1)  π Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;   2 Hướng dẫn Phương trình (1) ⇔ 2(1 − sin 2x ) + − sin 2 x + sin 2x + m = 2 ⇔ sin x − sin x − = m (2)  π Đặt t = sin2x x∈ 0;  ⇒ ≤ t ≤  2 f ( t ) = 3t − 2t − = m (3) Bài toán trở thành: Tìm m để hệ  ( 4) 0 ≤ t ≤ Ta có f ' ( t ) = 6t − có bảng biến thiên sau: t f’(t) - + f(t) 10 f ( t ) = max{ f (0); f (1)} = −2 f ( t ) = f ( ) = − ; max ≤ t ≤1 0≤ t ≤1 3 10 Vậy giá trị m cần tìm − ≤ m ≤ −2  x +1 + y + = m Ví dụ Tìm m để hệ sau có nghiệm  x + y = 3m Hướng dẫn Đặt u = x + ; v = y + ⇒ u ≥ 0; v ≥ Bài toán trở thành tìm m để hệ sau có u + v = m  2 nghiệm: u + v = 3m + Nếu m ≤ hệ vô nghiệm u ≥ 0; v ≥  f (u ) = 2u − 2mu + ( m − 3m − 3) = Hệ cho ⇔  0 ≤ u ≤ m f ( u ) ≤ ≤ max f ( u ) Do ta cần tìm m 0≤u ≤ m 0≤u ≤ m f ' (u ) = 4u − 2m Ta có bảng biến thiên sau 10 m 0 u f’(u) - m + f(u) max f ( u ) = max{ f (0); f ( m)} = m − 3m − ; f ( u ) = f ( m ) = m − 6m − 0≤u ≤ m 0≤u ≤m 2 f ( u ) ≤ ≤ max f ( u ) ⇔ m − 6m − ≤ ≤ m − 3m − Nên 0≤u ≤m 0≤u ≤ m + 21 ⇔ ≤ m ≤ + 15 + 21 Vây giá trị cần tìm m là: ≤ m ≤ + 15 Bài tập Tìm m để phương trình sau có nghiệm m ( + x − − x + 2) = − x + + x − − x (ĐS: − ≤ m ≤ 1)  π Tìm m để phương trình sau có nghiệm đoạn − ;  2 + sin 2x = m(1 + cos x ) ( ĐS: ≤ m ≤ ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm π  sin x + 3cos x = m3sin x (ĐS: ≤ m ≤ ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm khoảng [ 32; + ∞ ) 2 log 22 x − log x − = m(log x − 3) (ĐS: < m ≤ )  x + y = 1 Tìm m để hệ sau có nghiệm  (ĐS: ≤ m ≤ ) x x + y y = − m Bất phương trình chứa tham số 11 Ví dụ Cho bất phương trình ( x + 4)(6 − x ) ≤ x − 2x + m Tìm m để bất phương trình với ∀x ∈ [ − 4; 6] Hướng dẫn Cách 1.(Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ) Điều kiện cần: Giả sử bất phương trình cho ∀x ∈ [ − 4; 6] điều m + 24 ≥  x = −4; x = 1; x = , tức m + 24 ≥ ⇔ m ≥ m − ≥  Điều kiện đủ: Giả sử m ≥ 2 Ta có x − x + m = ( x − 1) + m − ≥ 5, ∀x ∈ [ − 4; 6] Theo bất đẳng thức Côsi ( x + 4)(6 − x ) = với ∀x ∈ [ − 4; 6] ( x + 4)(6 − x ) ≤ Từ suy m ≥ ( x + 4)(6 − x ) ≤ x − 2x + m với ∀x ∈ [ − 4; 6] Vậy m ≥ Cách 2.(Sử dụng định lý Viét) Đặt t = ( x + 4)(6 − x ) = − x + x + 24 Xét g(x) = − x + x + 24 với − ≤ x ≤ ⇒ g' ( t ) = −2 x + Ta có bảng biến thiên sau: x -4 g’(x) g(x) + 25 - max g ( x ) = g(1) = 25 , g ( x ) = min{ g( −4); g(6)} = ⇒ ≤ t ≤ − 4≤ x ≤6 − 4≤ x ≤6 Bài toán cho có dạng: Tìm m để bất phương trình f ( t ) = t + t − 24 − m ≤ với ≤ t ≤ TH1) Nếu ∆ ≤ ⇒ f ( t ) > 0, ∀t ≠ − ( không thỏa mãn với ≤ t ≤ ) 12 TH2) Nếu ∆ > ⇒ f(t) = có hai nghiệm phân biệt t , t Lúc yêu cầu t ≤ < t toán tương đương với t ≤ < ≤ t ⇔  t < ≤ t t t ≤ − 24 − m ≤ ⇔ ⇔m≥6 6 − m ≤ ( t − 5)( t − 5) ≤ ⇔ Vậy bất phương trình có nghiệm m ≥ Cách 3.(Phương pháp đồ thị) Đặt y = ( x + 4)(6 − x ) , y ≥ ta có y ≥ y ≥ ⇔   2 − x + 2x + 24 = y ( x − 1) + y = 25 Vì đồ thị y = ( x + 4)(6 − x ) nửa đường tròn (nằm phía trục Ox) tâm I(1; 0), bán kính R = Còn y = x − x + m có đồ thị Parabol có trục đối xứng x = (P)luôn nằm nửa đường tròn Do toán có dạng: Tìm m để Parabol y = x − x + m nằm nửa đường tròn y = ( x + 4)(6 − x ) Xét (P) tiếp xúc với (C) M(1; 5) ⇔ m − = ⇔ m = Vậy bất phương trình có nghiêm m ≥ y -4 x Cách Viết lại bất phương trình dạng f ( x ) = − x + 2x + 24 − x + x ≤ m Ta có: f ' ( x ) = (1 − x )(1 + − x + 2x + 24 ) − x + x + 24 = ⇔ x =1 13 Từ có bảng biến thiên sau: x -4 f’(x) f(x) + - max f ( x ) = f (1) = −4≤ x ≤6 f (x) ≤ m ⇔ m ≥ Vậy bất phương trình có nghiệm ∀x ∈ [ − 4; 6] ⇔ max −4≤ x ≤6 Nhận xét: qua cách giải toán ta nhận thấy cách gọn dễ làm nhất! Ví dụ Tìm m để bất phương trình − (4 − x )(2 + x ) ≤ x − 2x + m − 18 với x ∈ [ − 2; 4] Hướng dẫn Bất phương trình cho ⇔ ( x − 2x − 8) + − x + 2x − − 10 ≥ −m (1) 2 Đặt t = − x + x + Ta có t = − x + 2x + = −( x − 1) + ≤ ⇒ ≤ t ≤ Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình f ( t ) = t − t + 10 ≤ m với f (t) ≤ m t ∈ [ 0; 3] Điều xảy max 0≤ t ≤3 Ta có f ' ( t ) = 2t − = ⇔ t = Bảng biến thiên sau: t f’(t) - + f(t) max f ( t ) = max{ f (0); f (3)} = 10 0≤ t ≤3 Vậy giá trị cần tìm tham số m là: m ≥ 10 Nhận xét: khác với 1, cách giải hợp lí nhât! Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x ∈ R m 2x + < x + m 14 Hướng dẫn Vì 2x + − > , ∀x ∈ R nên bất phương trình cho x = f ( x ) ⇔ m < f ( x ) ⇔ m< R 2x + −  x = −6 = ⇔ x + = ⇔ x = 2x + (2x + 9) − 1)  Bảng biến thiên −∞ +∞ x -6 f’(x) + − f(x) − Ta có f’(x) = − 2x + f ( x ) = − R 4 Ví dụ Tìm giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm Vậy để bất phương trình sau có nghiệm với x ∈ R m < − mx − x − ≤ m + Hướng dẫn Điều kiện: x ≥ 1+ x − Khi bất phương trình ⇔ m ≤ = f (x) x −1 Bất phương trình cho có nghiệm x ≥ m ≤ Xét hàm số f ( x ) = max f ( x ) [ x∈ 3; + ∞ ) 5−x −2 x −3 1+ x − [ 3; + ∞ ) Ta có f ' ( x ) = 2( x − 1) x − x −1 f ' (x ) = ⇔ x = − Bảng biến thiên: 15 x f’(x) + f(x) 7−2 1+ Suy +∞ - max f ( x ) = + x∈[ 3; + ∞ ) 1+ 2 x − x + ≤ Ví dụ Tìm m để hệ sau  có nghiệm x − mx + m ≤ Vậy bất phương trình có nghiệm m ≤ (đây bất phương trình chứa tham số kèm theo điều kiện x) Hướng dẫn (1) x ≤ m( x − 1)  Viết lại hệ dạng  (2)  ≤ x ≤ Do x = nghiệm (1) với m  x2 f ( x ) = x − ≤ m (3)  (4) 1 < x ≤ nên hệ (1)(2) ⇔   f ( x ) = x ≥ m (5)  x −1   ≤ x < (6)  min f ( x ) ≤ m 1< x ≤3 x = x − 2x  =0⇔ Hệ (1)(2)có nghiệm ⇔ max f ( x ) ≥ m Ta có f ' ( x ) = ( x − 1) x = ≤ x với ∀ x ∈ R Tìm m để bất phương trình. .. ta có x∈D f(x) = α Hệ phương trình  có nghiệm m ≤ α ≤ M x ∈ D f(x) ≥ α Hệ bất phương trình  có nghiệm M ≥ α x ∈ D Bất phương trình f ( x ) ≥ α với x ∈ D m ≥ α f(x) ≤ α Hệ bất phương trình