skkn vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (DÀNH CHO HS LỚP 12 BAN KHTN)  A. MỞ ĐẦU : 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học nói chung và chương trình toán phổ thông nói riêng. Quan điểm hàm số cần được quán triệt trong toàn bộ chương trình toán ở trường trung học phổ thông. Các bài toán khó về hàm số, phương trình, bất phương trình thường có mặt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi các cấp Lý thuyết về hàm số, phương trình, bất phương trình và hệ phương trình được trình bày khá rõ ràng trong SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000, sách phân ban năm 2006) và một số sách tham khảo khác. Toán học nói chung và Hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong đời sống cũng như trong các ngành khoa học khác. SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và sách phân ban năm 2006 ) đã trình bày rất rõ về định nghĩa và các tính chất của hàm số; phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình. Để giúp học sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp 12 có thể tìm hiểu sâu hơn về hàm số và ứng dụng của nó làm cơ sở để tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như ứng dụng trong thực tế cuộc sống, trong phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày một ứng dụng của hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình đó là: Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. (Dành cho HS lớp 12 ban KHTN). 2. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Học sinh lớp 12A1 trường THPT Lộc Hưng. -Ứng dụng tính đơn điệu giúp học sinh giải tốt các phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. 3. PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI: - Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12A1 trường THPT Lộc Hưng. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: -Nghiên cứu các tài liệu :sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo. -Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp để có nhiều phương pháp giải hay. -Trao đổi với các em học sinh về cách giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình để biết hướng giải của các em, từ đó cung cấp cho các em một hướng giải tốt hơn. Trang 1 - Thực nghiệm và kiểm tra: Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực nghiệm lớp 12A1 của trường như sau: Lớp : 12A1(2010-2011) : thực nghiệm Lớp : 12B 1 (2009-2010) : đối chứng B. NỘI DUNG: I/ CƠ SỞ LÝ THUYẾT :  SGK Đại số 10 đã định nghĩa phương trình và bất phương trình một ẩn như sau: Cho hai hàm số: f(x) với tập xác định D f , g(x) với tập xác định D y . Đặt yf DDD ∩= . Ta đặt vấn đề tìm các giá trị Da ∈ sao cho: ) g(a)f(a) ( ),()( >= agaf . Khi đó ta nói rằng đẳng thức f(x) = g(x) là một phương trình (bất đẳng thức f(x) > g(x) là một bất phương trình) một ẩn. Số thực a được gọi là một nghiệm của phương trình (bất phương trình), D là tập xác định của phương trình (bất phương trình). Giải phương trình ( bất phương trình ) là tìm tất cả các nghiệm của nó. Định nghĩa trên đây nêu lên mối quan hệ hữu cơ giữa các khái niệm hàm số, phương trình và bất phương trình.  Tính đơn điệu của hàm số: a.Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên khoảng (a;b). - Hàm số f được gọi là đồng biến ( tăng ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi )()();;(, 212121 xfxfxxbaxx <⇒<∈∀ . - Hàm số f được gọi là nghịch biến ( giảm ) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi )()();;(, 212121 xfxfxxbaxx >⇒<∈∀ . b.Tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì );(,;)()( 212121 baxxxxxfxf ∈∀=⇔= ( suy ra từ định nghĩa ). Tính chất 2: Nếu hàm số f chỉ tăng ( hoặc giảm ) trên khoảng (a;b) thì phương trình 0)( =xf có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Chứng minh: Trang 2 a) Trường hợp hàm số f tăng trong khoảng (a;b) Giả sử có hai số )(, 2121 xxxx < sao cho ( ) *0)()( 21 == xfxf . Điều (*) này gặp phải mâu thuẩn, vì );(),;()()( 212121 baxbaxxfxfxx ∈∈∀<⇒< (do hàm số f tăng trong khoảng (a;b)). b) Trường hợp hàm số f giảm trong khoảng (a;b). Lập luận tương tự a) , ta cũng gặp mâu thuẫn. Vậy phương trình f(x) = 0 không thể có nhiều hơn một nghiệm trên khoảng (a;b). II/ CÁC VÍ DU: Ví dụ 1:Giải phương trình: 257 1 2 3 2 1 )223 2 ( 5 log = −− +++−       xx xx (1) Lời giải: Đặt )2,1(23 2 ≥≤+−= xxxxu , suy ra 0≥u và 2 2 3 2 −=− uxx , thay vào (1) ta có : )2(257 2 2 2 1 )2( 5 log257 2 1 2 1 )2( 5 log =++⇔= − ++       u u u u . Đặt 2 2 2 1 )2( 5 log)( u uuf ++= , vì f’(u) > 0, [ ) +∞∈∀ ;0u nên f đồng biến trên );0[ +∞ . Mặt khác .257 9 2 2 1 5 5 log)3( =+=f Vì vậy: 2 333 323 2 3)3()()2( ± =⇔=+−⇔=⇔=⇔ xxxufuf Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 2 333 ± =x Ví dụ 2 :Giải phương trình: 2 2 3 2 1x x x x − + − + − = (2) Lời giải: Đặt t = x 2 -x. (2) 3 2 1, -3 t 2t t ⇔ + − − = ≤ ≤ . Xét hàm số ( ) 3 2f t t t = + − − Với -3 < t < 2 thì f’(t) = 1 1 0 2 3 2 2t t + > + − nên f đồng biến trên (-3;2). Trang 3 Ta có : f(1) = 1 nên phương trình : f(t)=f(1) 1t ⇔ = 2 1 5 1 0 2 x x x ± ⇔ − − = ⇔ = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 1 5 2 x ± = Ví dụ 3 :Giải phương trình: 2 2 3 6 3 26 1 2 4 2007 log +−= ++ + xx xx x (3) Lời giải: Đặt 2 6 2 4 1 1; 3 3u x v x x= + ≥ = + + ≥ Ta có : (3) log log log 2007 2007 2007 .2007 .2007 (*) u v u u u v v v u v u v ⇔ = − ⇔ + = + ⇔ = Xét hàm số: t ttf 2007.)( = trên );2[ +∞ Ta có '( ) 2007 (1 .ln2007) 0, [2; ) t f t t t= + > ∀ ∈ +∞ => hàm số đồng biến trên );2[ +∞ nên từ phương trình (*) suy ra u = v, hay 02 2 3 6 3 26 1 2 4 =+−⇔++=+ xxxxx Đặt 1 2 3 0 3 2 0 2 ( ) X X x X X X l     = = ≥ ⇒ − + = ⇔ = − Với 11 ±=⇒= xX Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 1±=x Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình:      =++++ −=− )4(01sincos2sin2cos (*)sinsin yxyx yxyx Lời giải: Ta có (*) yyxx sinsin −=−⇔ (5). Đặt tttf sin)( −= , với Rt ∈ Rtttf ∈∀≥−= ,0cos1)(' . Vậy hàm số tăng trên R do đó, ( ) yxyfxf =⇔=⇔ )()(5 , thế vào (4) ta có phương trình : cos2 sin 2 cos sin 1 0 2 sin cos 2sin cos 2cos 0 sinx cosx 2cosx(sinx cosx) 0 x x x x x x x x x + + + + = ⇔ + + + = ⇔ + + + = (sin cos )(2cos 1) 0x x x⇔ + + = Trang 4 * sin cos 0 tan 1 ( ) 4 x x x x k k Z π π + = ⇔ = − ⇔ = − + ∈ * )(2 3 2 2 1 cos01cos2 Zkkxxx ∈+±=⇔−=⇔=+ π π Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm: π π kyx +−== 4 và π π 2 3 2 kyx +±== )( Zk ∈ Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:        ++=+ ++=+ ++=+ xxxz zzzy yyyx 23 12 23 12 23 12 (5) Lời giải Xét hàm số : ttttf ++= 23 )( , với Rt ∈ . Khi đó: (5)      =+ =+ =+ ⇔ )(12 )(12 )(12 xfz zfy yfx Ta có : ⇒∈∀>++= Rttttf ,012 2 3)(' hàm số f(t) đồng biến trên R. • Nếu x < y thì f(x) < f(y) zyzyxfzfxzxz <⇔+<+⇒<⇒<⇔+<+⇔ 1212)()(1212 . Từ đó, suy ra: xzyx <<< . Điều này vô lý. • Nếu y < x thì f(y) < f(x) yzyzzfxfzxzx <⇔+<+⇒<⇒<⇔+<+⇔ 1212)()(1212 Từ đó, suy ra: yzxy <<< . Điều này vô lý. Do đó , hệ chỉ có thể có nghiệm x = y = z . Thế vào hệ ta được:    ==−= === ⇔ =−−⇔ =−−+⇔++=+ zyx zyx xx xxxxxxx 1 1 0)1 2 )(1( 01 2323 12 Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (1;1;1) hoặc ( -1;-1;-1).  Chú ý: Khi hướng dẫn cho học sinh phương pháp này cần đặc biệt lưu ý sự liên tục của hàm số đặc trưng trên tập xác định của chúng. Chẳng hạn đối với bài toán: Giải hệ phương trình:      += −=− 12 11 3 xy y y x x (I) (Đề thi ĐH khối A năm 2003) Trang 5 Rất nhiều học sinh giải bài toán theo hướng : Đặt 2 1 1 ( ) '( ) 1 0, f t t f t t R t t = − ⇒ = + > ∀ ∈ nên f(x) = f(y) => x = y rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ đề giải. Đây là một sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khi sử dụng phương pháp này, bởi vì hàm số t ttf 1 )( −= có 2 1 '( ) 1 0, f t t R t = + > ∀ ∈ nhưng hàm f(t) gián đoạn tại t = 0. Nhận xét: Với f Dxxf ∈∀≥ ,0)(' và y = f(x) liên tục trên f D thì    = = ⇔    = = 0);(0);( )()( yxF yx yxF yfxf Ví dụ 6: Giải bất phương trình: ( ) 2 3 2 4 2 1 1 6 15 14x x x x x x − − + > − + − (6) Lời giải: (6) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 1 3 2 3 6x x x x   ⇔ − − + > − + −   ( ) ( ) 3 3 2 1 3 2 1 2 3 2x x x x ⇔ − + − > − + − Xét hàm số f(t)= t 3 +3t, D = R. Ta có: f’(t) = 3t 2 +2 > 0 nên f đồng biến trên R. ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2f x f x x x − > − ⇔ − > − . Xét x-2 < 0 thì BPT nghiệm đúng. Xét x-2 ≥ 0 thì 2x-1 > 0 nên BPT 2 1 2x x ⇔ − > − 1x ⇔ > − : đúng Vậy tập nghiệm S = R. Ví dụ 7: Giải bất phương trình: 2 sin 2 cos2 3 log 2005 0 6 3 x x    ÷   + − ≥ (7) Lời giải: Ta có: 2 2 2 sin sin cos 2 2 3 cos2 3 log 2005 0 log 2005 6 6 2 3 3 sin 3 2 2 2 sin sin 1 sin 2 3 2 1 log 2005 3. log 2005 6 6 2 2 3 3 sin 2sin 3 3 x x x x x x x x x x      ÷  ÷          ÷  ÷     + − ≥ ⇔ + ≥ − ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ Đặt [ ] 1;0, 2 sin ∈= txt Trang 6 Bất phương trình trở thành: 2005 6 log 9 1 .3 3 2 ≥+             tt Hàm tt tf             += 9 1 .3 3 2 )( nghịch biến với [ ] 1;0∈∀t 4)0()( =≤⇒ ftf Mà 42005 6 log > . Suy ra, bất phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 8: Cho x m x m x xf 4)2(10)12(25.2)( +++−= (8) Tìm m để ,0)( ≥xf với 0 ≥∀ x . Lời giải: Ta có: 0)( ≥xf với 0≥∀x 2 5 5 2 (2 1) 2 0, 0 2 2 x x m m x          ÷  ÷         ⇔ − + + + ≥ ∀ ≥ 2 2 5 2 (2 1) 2 0, 1 2 2 2 , 1 ( ) min 2 1 [1; ) x t m t m t t t m t f t m t    ÷   ⇔ − + + + ≥ ∀ = ≥ − + ⇔ ≥ ∀ ≥ ⇔ ≥ − +∞ Đặt 2 2 2 ( ) , 1 2 1 t t f t t t − + = ∀ ≥ − ( ) 2 2 3 4 4 3 2 '( ) 0 1 2 1 2 t t t f t t t       = − − ⇒ = = ⇔ − = − Bảng biến thiên: t ∞− 2 1 − 2 1 1 2 3 ∞+ f’(t) + 0 - - 0 + f(t) Vậy 2 5 ≤m là kết quả cần tìm. Ví dụ 9: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm: Trang 7 + ∞ 2 5 2 4 2 4 1x x x m + + − + = (9) Lời giải: Đặt t = 1 0x + ≥ , phương trình trở thành: ( ) 4 4 3 *t t m + − = Nhận xét ứng với mỗi nghiệm không âm của phương trình (*) có đúng 1 nghiệm của phương trình đã cho, do đó phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm không âm. Xét hàm số ( ) 44 3f t t t = + − với 0t ≥ ⇒ ( ) 3 4 3 4 ' 1 ( 3) t f t t = − + < 0. Mà ( ) 4 0 3f = và ( ) lim 0 x f t →+∞ = nên có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm của m là: 4 0 3m < ≤ . Bài tập tương tự: 1. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm: 012 25 =−−− xxx (Đại học, cao đẳng khối D – 2004) 2. Xác định m để phương trình sau có nghiệm: 22422 1112)211( xxxxxm −−++−=+−−+ (Đại học, cao đẳng khối B – 2004) 3.Giải phương trình: xx x x 4 )1( 12 log 2 2 2 −= − + 4. Giải phương trình: 12007)1(log 2007 −=+ x x 5. Tìm m để bất phương trình mxxxx +−≤−+ 2)6)(4( 2 đúng [ ] 6;4−∈∀x 6. Giải bất phương trình )4(6)162( 28 xxxx −>++ 7. Giải bất phương trình xxx 13125 >+ 8. Giải hệ phương trình: tan tan (*) 2 7 4 , 2 2 x y y x x y x y π π π  − = −   + =    − < <  III. KẾT QUẢ: Trang 8  0 f’( - f( 0 Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến bộ, đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt vào bài tập và có nhiều cách giải hơn về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. Sau khi thử nghiệm và đối chứng, tôi thu được kết quả sau: Đối chứng: Lớp TSHS Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu TS % TS % 12B 1 39 18 46.2 21 53.8 Thử nghiệm: Lớp TSHS Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu TS % TS % 12A1 41 29 70.7 12 29.3 C. KẾT LUẬN: Nói về ứng dụng các tính chất của hàm số không chỉ có các ứng dụng tôi đã trình bày trong đề tài này, mà ứng dụng của nó là vô cùng rộng lớn. Tuy nhiên với khuôn khổ của đề tài cũng như tính thực tiễn của nó tôi chỉ nêu ra một ứng dụng trên. Trong những năm qua tôi đã vận dụng phương pháp trên cho đối tượng học sinh khá giỏi của trường THPT Lộc Hưng trong các đợt bồi dưỡng học sinh ôn thi TN và luyện thi đại học cao đẳng và thấy rằng học sinh tiếp thu tương đối chủ động ; đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các dạng bài tập ở trên. Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh khai thác tốt hơn các ứng dụng của hàm số trong chương trình toán học phổ thông làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như nghiên cứu các ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống sau này. Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn của nhà trường để các đề tài sau của tôi được tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Lộc Hưng , ngày 16 tháng 3 năm 2011 Người viết Huỳnh Thị Hồng Anh TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 9 1. Sách giáo khoa Đại số 10 – NXB giáo dục. 2. Sách giáo khoa Giải tích 12– NXB giáo dục. 3. Sách giáo viên Đại số 10– NXB giáo dục. 4. Sách giáo viên Giải tích 12– NXB giáo dục. 5. Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số và Giải tích 12 – NXB ĐHQG Hà Nội. 6. Sách giải các đề thi Đại Học – Cao Đẳng. MỤC LỤC Trang 10 [...]... 1- Lí do chọn đề tài .01 2- Đối tượng nghiên cứu 01 3- Phạm vi của đề tài 01 4- Phương pháp nghiên cứu 01 B- NỘI DUNG 02 1- Cơ sở lý thuyết 02 2- Các ví dụ 03 3- Kết quả .09 C- KẾT LUẬN 09 D- TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………… 10 Nhận xét, đánh giá của tổ trưởng tổ toán – tin trường THPT Lộc Hưng: Trang 11 ... Nhận xét, đánh giá của Ban Lãnh Đạo trường THPT Lộc Hưng: Nhận xét, đánh giá của Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Tây Ninh: . VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH (DÀNH CHO HS LỚP 12 BAN KHTN)  A. MỞ ĐẦU : 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Hàm số là một. trình ; bất phương trình và hệ phương trình đó là: Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào việc giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. (Dành cho HS lớp 12 ban KHTN). 2. ĐỐI TƯỢNG. ứng dụng trong thực tế cuộc sống, trong phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trình bày một ứng dụng của hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình