Vận dụng tính liên tục của hàm số giải phương trình, bất phương trình nhằm phát triển năng lực tư duy logic cho học sinh THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG III SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY LOGIC CHO HỌC SINH THPT Người thực hiện: Nguyễn Quỳnh Nga Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán THANH HOÁ NĂM 2017 MỤC LỤC I MỞ ĐẦU …………………………………………………………………… 1.1.Lí chọn đề tài.………… ……………………………………………… 1.2.Mục đích nghiên cứu……… ……………………………………………… 1.3.Đối tượng nghiên cứu………… ………………………………………… 1.4.Phương pháp nghiên cứu… …………………………………………………3 II NỘI DUNG………………………………………………………………… 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm………….…………………………4 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm….……………4 2.3.Các giải pháp thực hiện…… …………………………………………… 2.3.1.Một số kiến thức bản………………………………………………… 2.3.2Vận dụng tính liên tục hàm số khoảng để giải phương trình…5 2.3.3.Vận dụng tính liên tục hàm số khoảng để giải bất phương trình 2.3.4.Các tập tương tự…………………………………………………… 12 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường ………………………………………………12 III KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ………………………………………………… 14 3.1.Kết luận.……………………………………………………………………14 3.2.Kiến nghị …………………………………………………………………14 TÀI LIỆU THAM KHẢO….………………………………………………… 15 I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Chủ đề hàm số trường phổ thông chủ đề có kiến thức rộng, học sinh làm quen với khái niệm hàm số từ lớp 7, học sinh tiếp nhận tính chất đồ thị, biến thiên hàm số; đến bậc trung học phổ thông học sinh tiếp nhận thêm kiến thức tính chẵn lẻ hàm số; giới hạn, tính liên tục , đạo hàm hàm số điểm, khoảng Nhưng để khai thác vận dụng tính chất hàm số vào giải toán, cụ thể giải phương trình, bất phương trình hội tiếp nhận hạn chế Có nhiều toán giải phương trình tưởng chừng giải khó khăn vận dụng tính liên tục hàm số đơn giản, chọn đề tài: “Vận dụng tính liên tục hàm số vào giải phương trình, bất phương trình nhằm phát triển tư logic cho học sinh THPT ” với mục đích giúp học sinh liên kết kiến thức toán học hàm số để tìm phương pháp giải phương trình, bất phương trình 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Để học sinh phát triển tư logic, chủ động việc tiếp thu , cảm nhận tri thức liên hệ kết nối kiến thức – cũ để lĩnh hội tri thức cách có hiệu Đề tài nhằm giúp học sinh có thêm phương pháp giải phương trình, bất phương trình cách tính chất liên tục hàm số mà không cần biến đổi phức tạp hay đặt ẩn phụ rườm rà, không tạo cho học sinh cảm giác xa lạ mà lại có tác dụng kích thích tính chủ động, sáng tạo, hứng thú giải toán 1.3.Đối tượng nghiên cứu: Các dạy chương trình đại số & giải tích 11; giải tích 12 Học sinh trung học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu kĩ lý thuyết sách giáo khoa - Nghiên cứu khả tiếp thu học sinh trường THPT để có cách định hướng đặt câu hỏi phù hợp, dễ hiểu đối tượng học sinh - Thông qua hệ thống tập giúp học sinh tiếp cận với phương pháp giải toán từ học sinh tìm tòi phát giải vấn đề tương tự II NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lí luận: Mục đích dạy học điểm số cụ thể môn học, trình học mà điều quan trọng thân việc học, cách học khả đảm nhiệm, tổ chức thực trình học tập cách có hiệu Việc thực trình mà học sinh-người học thực hoạt động để đạt họ cần đạt Học sinh phải biết vận dụng học để tiếp nhận mới, vận dụng để khẳng định cũ giải vấn đề liên quan đến cũ chưa thực để từ lĩnh hội củng cố tri thức 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Trong việc rèn luyện khả sáng tạo cho học sinh, môn Toán có vị trí bật dạy học môn Toán kết hợp phương pháp quy nạp thực nghiệm với phương pháp suy diễn logic Môn Toán tạo hội rèn luyện cho người học khả suy đoán, tưởng tượng Học Toán gắn liền với phép suy luận logic phép suy luận có lí Phương pháp hàm số cho phép tiếp cận kiến thức Toán học phổ thông cách gần gũi, quen thuộc Đồng thời phương pháp hàm số phương pháp giải toán có hiệu cách nhanh chóng, tổng quát không cần vào giải tỉ mỉ toán mà cần nêu điều kiện vận dụng tính chất hàm số đưa kết Nó có tác dụng tích cực việc phát triển tư duy, lực phân tích , tổng hợp…Có tập SGK mang chức củng cố lý thuyết biết thay đổi số yếu tố toán thao tác trí tuệ vận dụng kiến thức liên chương giải vấn đề tạo cảm giác hứng thú phát triển tư sáng tạo cho học sinh Trong sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến vấn đề : “Vận dụng tính liên tục hàm số để giải phương trình, bất phương trình nhằm phát triển lực tư logic cho học sinh THPT” với mục đích giúp học sinh nhìn nhận vấn đề cách tổng quan giải vấn đề nhiều phương pháp tạo hứng thú học 2.3.Các giải pháp thực hiện: 2.3.1 Một số kiến thức bản: +) Hàm số y = f(x) xác định khoảng K x ∈ K Hàm số y = f(x) gọi f ( x) = f ( x0 ) [4- tr.136] liên tục điểm x0 xlim →x +) Hàm số y = f(x) gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng [4 – trang136] +) Hàm số y = f(x) gọi liên tục đoạn [ a; b] liên tục f ( x ) = f (a ) ; lim f ( x) = f (b) [4- tr 136] khoảng ( a; b) xlim →a x →b +) Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a; b] f(a).f(b) < tồn điểm c ∈ (a ; b) cho f(c) = [4- trang 138] +) +) Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a; b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm nằm khoảng (a ; b) [4- tr.139] 2.3.2 Vận dụng tính liên tục hàm số khoảng để giải phương trình: + − Tính chất Nếu hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b ] f (a) f (b) < tồn điểm c ∈ ( a; b ) cho f (c) = Hệ Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục, đồng biến đoạn [ a; b] f (a) f (b) < tồn điểm c ∈ ( a; b ) cho f (c) = Các ví dụ áp dụng Ví dụ Chứng minh phương trình ( x − 2x)2 + x2 − = có nghiệm phân biệt Lời giải: [8- tr.53] Xét hàm số f ( x) = ( x − 2x) + x2 − R Hàm số hàm đa thức nên liên tục R, suy hàm số liên tục đoạn [-1; 0] ; [ 0; 1] ; [1 ; 2]; [2 ; 3] 73 > , f (0) = −1 , f (1) = > , f (2) = − < , f (3) = > 9 Nên: f (−1) f (0) < 0; f (0) f (1) < ; f (1) f (2) < ; f (2) f (3) < Do tồn số thực x1 ∈ (−1;0) , x2 ∈ (0;1) , x3 ∈ (1; 2) , x4 ∈ (2;3) cho Ta có: f (−1) = f ( xi ) = với i = 1, 2,3, Lại có phương trình f ( x) = phương trình bậc bốn x Nên có không nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình x − x − x − = (1) có nghiệm Giải (1) ⇔ x5 = ( x + 1) ≥ ⇒ x ≥ ⇒ ( x + 1)2 ≥ ⇒ x ≥ Xét hàm số f ( x) = x − x − x − với x ≥ Khi f(x) hàm số liên tục với x ≥ Mà f(1)=-30 Suy PT có nghiệm thuộc (1;2) (2) Mặt khác: f ' ( x) = x − x − = x( x − 1) + 2( x − 1) + x ≥ Suy hàm số f đồng biến [1;+∞) (3) Từ (2) (3) PT f(x) = có nghiệm [3- tr 84] Ví dụ Chứng minh với a>0, hệ phương trình sau có nghiệm nhất: e x − e y = ln(1 + x) − ln(1 + y ) (1)  (2) y − x = a x+a Giải ĐK x,y>-1 Từ (2): y=x+a Thế vào (1): e − e x + ln(1 + x) − ln(1 + a + x) = Xét hàm số f ( x) = e x + a − e x + ln(1 + x) − ln(1 + a + x) với x>-1 Do hàm số f(x) liên tục khoảng (-1 ;+ ∞ ) lim+ f ( x) = −∞ lim f ( x) = +∞ x → −1 x → +∞ Nên PT f(x) = có nghiệm khoảng (-1 ;+ ∞ ) 1 − 1+ x 1+ a + x Mặt khác f ' ( x) = e x (e a − 1) + = e x (e a − 1) + a > 0, ∀x > −1 (1 + x)(1 + a + x) Do hàm số đồng biến khoảng (-1 ;+ ∞ ) Vậy PT f(x) = có nghiệm khoảng (-1 ;+ ∞ ) Hay hệ cho có nghiệm 2.3.3 Vận dụng tính liên tục hàm số khoảng để bất giải phương trình Tính chất Nếu hàm số f liên tục khoảng (a; b) phương trình f ( x) = nghiệm khoảng (a; b) dấu f(x) không đổi (hoặc dương âm) khoảng (a; b) Tính chất đưa sách Đại số giải tích 11 nâng cao, tính chất có nhờ sử dụng tính chất Thật vậy, Giả sử f(x) đổi dấu khoảng (a; b) Khi đó, tồn x1 x2 thuộc khoảng (a; b) cho x1 < x2 mà f ( x1 ) f ( x2 ) < Do đó, tồn c ∈ ( x1; x2 ) mà f (c) = hay phương trình f ( x) = có nghiệm khoảng ( a; b) Mâu thuẫn với giả thiết Các ví dụ áp dụng Ví dụ Giải bất phương trình: ( x − x) x + x + ≤ x − x − x Giải Bất phương trình cho tương đương với: x( x − 3)( x + x + − x − 2) ≤ Xét phương trình: x( x − 3)( x + x + − x − 2) =   x = x =  ⇔ x = ⇔ x = ⇔    x + ≥  x + 2x + = x +  2   x + x + = x + x + x = x =   x = Do đó, hàm số f ( x) = x ( x − 3)( x + x + − x − 2) liên tục R vàphương trình f(x) =0 có ba nghiệm x=0, x=1 x=3 Nên khoảng (−∞;0) , (0;1) , (1;3) , (3; +∞) phương trình f(x)=0 nghiệm Hay khoảng (−∞;0) , (0;1) , (1;3) , (3; +∞) giá trị f(x) không đổi dấu Mà f(-1) > 0, f( ) < 0, f(2) > 0, f(4) < Từ đó, ta có: −∞ +∞ x f(x) + 0 + [0;1] ∪ [3; +∞ ) Vậy, tập nghiệm bất phương trình cho Rõ ràng không cần biến đổi nhiều hay xét trường hợp dấu biểu thức liên quan kết luận nghiệm bất phương trình cho cách nhanh Ví dụ Giải bất phương trình: x +1 + x2 − 4x +1 ≥ x 0 ≤ x ≤ − Giải ĐK   x ≥ + (*) Xét PT x + + x − x + = x ⇔ x2 − 4x + = − x + x −1 ⇒ x2 − x + = x2 + x + − x − x x + x 1 Thay vào (1) ta x = 4; x = 4 Do đó, hàm số f ( x) = x + + x − x + − x liên tục 0; −  ∪  + 3; +∞ có nghiệm x = 4; x = Nên phương trình f(x) = nghiệm  1 1  khoảng  0; ÷ ,  ; − ÷, + 3; ( 4; +∞ ) Hay f(x) không đổi dấu  4 4  1 khoảng Mà f( ) > 0, f( 3,9 ) < 0, f(3,9) < f(5) > Do ta có ⇔ x x − 15 x + x = ⇔ x = 0; x = 4; x = ) ( bảng xét dấu: x f(x) + ) 2− - +∞ 2+ - +   Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm bất phương trình  0;  ∪ [ 4; +∞ )  4 Ví dụ Giải bất phương trình : 3x − + − x − > Giải phương trình: 3 x − + − x − = (1) Đặt u = 3x − , v = − x , v ≥ (*) Giải Điều kiện x ≤ Khi u = 3x − v = − x − 2u  v= (2)  2u + 3v =  ⇔ Ta có hệ phương trình  2 5u + 3v = 5u +  − 2u  = (3)  ÷    Ta có (2) ⇔ 15u3 + 4u2 - 32u + 40 = ⇔ (u+2)(15u2-26u+20) = ⇔ u = -2 Thay vào (1) ta có v=4 (thoả mãn (*)) Khi − x = hay x = -2 Hay phương trình (1) có nghiệm x = -2   6 Do đó, hàm số f ( x) = 3x − + − x − liên tục  −∞;  có  nghiệm x = -2 Nên f(x) = nghiệm khoảng (−∞; −2) (−2; ) Hay f(x) không đổi dấu khoảng Mà f(-3) > f(0) < Do ta có bảng: x −∞ f(x) + -2 +∞ - Vậy tập nghiệm bất phương trình cho ( −∞; −2 ) Ví dụ Giải bất phương trình : x + x − 3 3x + > − 3x [11- tr.350] Giải Xét phương trình: x3 + 3x − 3 3x + = − 3x Đặt y + = 3x + ⇔ (y+1)3 = 3x+5 Thay vào (1) được: (x+1)3 = 3y+5 ( x + 1) = y + (2) Ta có hệ  ( y + 1) = x + (3) Trừ vế cho vế (2) (3) ta (x - y)[(x + 1)2 + (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 3] = ⇔ x = y (Vì (x + 1)2 + (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + > với x,y thuộc R) Thay vào (2) ta có : (x + 1)3 = 3x + ⇔ x3 + 3x2 – = ⇔ x = x = -2 Nên phương trình có hai nghiệm x = 1, x = -2 Do hàm số f ( x) = x3 + 3x − 3 3x + − + 3x liên tục R có hai nghiệm x = -2 x = Nên dấu f(x) không đổi khoảng ( −∞; −2 ) , ( −2;1) ( 1; +∞ ) Mà f(-3) < 0, f(0) < f(2)>0 Từ ta có bảng xét dấu: −∞ +∞ x -2 f(x) - + Từ bảng ta có tập nghiệm bất phương trình cho là: ( 1; +∞ ) Ví dụ Giải bất phương trình : ( x − x + 1) ( 3 x + + x + ) > x − x − [7- tr.176] Giải Điều kiện: x ≥ −2 (*) 2 Xét phương trình: ( x − x + 1) ( 3x + + x + ) = x − x − Với điều kiện (*) phương trình tương đương với: 3( x − 1) ( [ ) 3x + + x + = ( x − 1)(8 x + 2) ( ) ] ⇔ ( x − 1) 3( x − 1) 3x + + x + − 8( x − 1) − 10 = x = ⇔  3( x − 1) x + + x + − 8( x − 1) − 10 = 0(2) ( ) Do x=1 nghiệm phương trình (2) nên: (2) ⇔ 3(3 x + + x + ) − 10 −8 = x −1 Xét hàm số f ( x) = 3(3 3x + + x + ) − 10 − tập [ − 2;1) ∪ (1;+∞) x −1 10 + + > , ∀x ∈ ( − 2;1) ∪ (1;+∞) 3x + x − ( x − 1) Do hàm số f(x) đồng biến tập [ − 2;1) (1;+∞) Khi tập [ − 2;1) (1;+∞) phương trình (3) có nhiều nghiệm Ta có f '( x) = Mà f(-1)=f(2)=0 nên phương tŕnh (3) có hai nghiệm x=-1 x=2 Do đó, phương trình cho có ba nghiệm x=-1; x=1 x=2 2 Do vậy, hàm số f ( x) = ( x − x + 1) ( 3x + + x + ) − ( x − x − ) liên tục [ −2; +∞ ) có ba nghiệm x=-1; x=1 x=2 Nên dấu f(x) không đổi khoảng ( −2; −1) , ( −1;1) , ( 1; ) ( 2; +∞ ) Ta có bảng xét dấu: −∞ +∞ x -2 -1 f(x) + + - + Từ bảng ta có tập nghiệm bất phương trình ( −2; −1) ∪ ( −1;1) ∪ (2; +∞) x−2 Ví dụ Giải bất phương trình: ( + x −x3−1)( x + x + 6) ≥ −1 [8- tr.102] Giải: Hàm số f ( x) = + x − g ( x) = − đồng biến R Mà f(2)=0 g(1)=0 Do đó: f(x)>0=f(2) ⇔ x>2 ⇔ x-2>0 f(x)0 g(x)0=f(-1) ⇔ x>-1 ⇔ x+1>0 f(x)