Phân dạng bài tập đạo hàm nhằm phát triển năng lực tư duy toán cho học sinh lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGA SƠN ***** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN DẠNG BÀI TẬP ĐẠO HÀM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 11 Người thực hiện: Nguyễn Đức Biên Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận SKKN 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 24 3.1 Kết luận 24 3.2 Kiến nghị 25 MỞ ĐẦU “Trước Đạo hàm Tích phân học trọn vẹn Giải tích 12 Ngày nay, phần lí thuyết đạo hàm học chương trình Đại số Giải tích 11 để phục vụ kịp thời cho việc học mơn khoa học khác như, Vật lí, Hóa học, Ở đây, học sinh học đầy đủ hệ thống đạo hàm cấp một, từ toán đưa đến xuất khái niệm đạo hàm, định nghĩa, quy tắc tính cơng thức đạo hàm quan trọng Đạo hàm cấp hai đưa nhằm giúp cho việc hiểu chất cách tính tốn khái niệm quan trọng Vật lí gia tốc Định nghĩa Vi phân đưa nhằm chuẩn bị cho việc học Tích phân Giải tích 12 Vì khơng có thời gian học lớp 11, phần Ứng dụng đạo hàm chuyển sang đầu chương Giải tích 12 ” (Trích Đại số Giải tích 11trang 145-NXB Giáo dục Việt Nam) Đoạn giới thiệu SGK nói lên quan trọng việc dạy học chương Đạo hàm hàm số Một khái niệm toán học xây dựng tảng kiến thức Giải tích trừu tượng, lại quay trở lại để giải toán thực tế Tốn học, Vật lý, Hóa học 1.1 Lý chọn đề tài Mơn Tốn môn học tạo nhiều hội giúp học sinh (HS) phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS tư trừu tượng, xác, hợp logic, phương pháp khoa học suy nghĩ, suy luận, từ rèn cho HS trí thơng minh, sáng tạo Trong chương trình Giải tích lớp 11 – THPT, nội dung đạo hàm chiếm khối lượng kiến thức thời gian chương, lại tiền đề để học sinh học “Ứng dụng đạo hàm” Giải tích 12 Kiến thức đạo hàm chiếm tỷ trọng lớn đề thi THPT quốc gia trước đề thi tốt nghiệp THPT ngày Khi trường Đại học tổ chức thi tuyển sinh phần kiến thức chiếm tỷ lệ lớn (Sau đỗ vào trường Đại học em lại học Đạo hàm mức độ cao hơn) Bởi vậy, việc dạy học Đạo hàm từ lớp 11 phải coi trọng, bước đầu em học sinh tiếp cận với nó, lại xuyên suốt q trình học tập thi cử phía trước Đạo hàm nội dung chương trình tốn phổ thơng, hai phép tính Giải tích Đạo hàm cơng cụ giúp nghiên cứu tính chất hàm số tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị, điểm tới hạn hàm số Vận dụng tính chất đạo hàm cịn giúp HS giải toán Đại số như: giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức… Ngồi ra, đạo hàm ứng dụng lĩnh vực khác như: tốn tính vận tốc, gia tốc chuyển động vật lý, toán cực trị kinh tế, chuyển động… Thực tế dạy học Toán trường THPT cho thấy cịn nhiều học sinh gặp khó khăn sử dụng kiến thức đạo hàm để giải tập, nguyên nhân em không hiểu sâu sắc khái niệm ứng dụng kiến thức Chính lý nêu chọn đề tài để nghiên cứu: Phân dạng tập đạo hàm nhằm phát triển lực tư toán cho học sinh lớp 11 1.2 Mục đích nghiên cứu Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận làm quen với cách học, cách làm nhanh toán dạng tập đạo hàm xây dựng hệ thống tập phù hợp với cấp độ nhận thức nhằm giúp HS phát triển lực học Toán Đây vấn đề gắn với việc dạy học theo hướng phát huy lực, phẩm chất người học Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi muốn định hướng để học sinh đưa hướng giải tự nhiên phù hợp với kiến thức học học sinh lớp 11 tốn có liên quan đến việc áp dụng đạo hàm vào toán thực tế 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Kiến thức đạo hàm hàm số - Kiến thức giới hạn hàm số - Học sinh lớp 11C năm học 2019-2020 trường THPT Nga sơn - Học sinh lớp 11M năm học 2020 – 2021 trường THPT Nga Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp - Sử dụng phương pháp thực nghiệm - Sử dụng phương pháp phân tích so sánh vấn đề có liên quan đến đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận SKKN 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm điểm y  f  x Cho hàm số hạn (hữu hạn) hàm số y  f  x f�  x0   lim x � x0 Nếu lim x � x0 a; b x � a; b xác định     Nếu tồn giới f  x   f  x0  x  x0 giới hạn gọi đạo hàm f �x y�x điểm x0 Kí hiệu:     Vậy f  x   f  x0  x  x0 x  x  x0 y  f  x   f  x0   f  x0  x   f  x0  f�  x0   lim x �0 y x x gọi số gia đối số điểm x0 y gọi số gia hàm số tương ứng 2.1.2 Định nghĩa đạo hàm bên phải, bên trái - Đạo hàm bên trái f�  x0   lim x � x0 f  x   f  x0  y  lim  x �0 x x  x0 x � x0 hiểu x � x0 x  x0 - Đạo hàm bên phải f�  x0   lim x � x0 f  x   f  x0  y  lim  x �0 x x  x0 x � x0 hiểu x � x0 x  x0 Nhận xét: Hàm số f  x có đạo hàm điểm   Khi   2.1.3 Đạo hàm khoảng, đoạn  f �x   f �x  f�  x0   x0  x0 � f � f�  x0  tồn y  f  x a; b - Hàm số gọi có đạo hàm khoảng   có đạo hàm điểm khoảng - Hàm số y  f  x a; b gọi có đạo hàm đoạn   có đạo hàm khoảng   có đạo hàm phải a đạo hàm trái b 2.1.4 Quan hệ tồn đạo hàm tính liện tục hàm số a; b - Nếu hàm số y  f  x có đạo hàm điểm x0 liên tục điểm Chú ý: Hàm số liên tục điểm x0 khơng có đạo hàm điểm Hàm số khơng liên tục x0 khơng có đạo hàm điểm 2.1.5 Các quy tắc tính đạo hàm - Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương u  u x ; v  v x Cho hàm số định Ta có: có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác u  v � u�  v� ;  u  v � u�  v� ;  � vu �;  � uv  uv � uv � vu � �u � � � v �v � Chú ý:  � kv�  kv ( k: số); � v� �1 � �v � v2 ��  v  v x �0  v  v x �0 u �u � �u � u1� �u2�� �un� ;  uv w � u� v.w  uv � w  uv w.� n Mở rộng:  - Đạo hàm hàm số hợp y  f  u x   f  u ��   Khi đó: y� x  yu.ux với Bảng công th ức đ ạo hàm c m ột s ố hàm s ố th ường g ặp u  u x Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm hợp Cho hàm số u u x  c � 0,c số  x � � �1 � �x �  x2 �� � u� �1 � �u �  u2 ��  x � 21x  u � 2u�u  x  � a.x   1 u  u  �  u�   1 Bảng đạo hàm hàm số lượng giác  sin x � cos x cosu  sinu � u�  cosx �  sin x sinu  cosu � u�  tan x � cos2 x  cot x �  sin2 x  tanu � u� cos2 u  cotu �  u� sin2 u 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Việc “Phân dạng tập đạo hàm nhằm phát triển lực tư toán cho học sinh lớp 11” cần thiết lí sau: Thứ nhất: Mơn Tốn có thay đổi lớn cách kiểm tra đánh giá Chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Sách giáo khoa chưa có nhiều dạng tập phần Trước đạo hàm chương Giải tích lớp 12 chương Đạo hàm xếp vào cuối lớp 11, từ địi hỏi học sinh lớp 11 phải có tư ban đầu giải tích Thứ hai: Ngồi việc trực tiếp giải dạng tập học sinh cần nắm vững kiến thức đạo hàm, tích phân … nhiều kiến thức có liên quan khác để giải tốn vật lý, hóa học, kinh tế 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan Đã trình bày sở lý luận 2.3.2 Một số ví dụ áp dụng Dạng CÁC DẠNG TỐN TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: Tính đạo hàm hàm số Cách 1: Tính lim x � x0 f  x   f  x0  x  x0 y  f  x điểm x0 định nghĩa (1) Nếu tồn giới hạn (1) hàm số có đạo hàm x0 ngược lại hàm số khơng có đạo hàm x0 Cách 2: Tính theo số gia - Cho x0 số gia x : - Lập tỷ số x  x  x0 � y  f  x0  x   f  x0  y - Tính giới hạn x �0 x lim Mối quan hệ tính liên tục vào đạo hàm Hàm số y  f  x - Hàm số - Hàm số � lim f  x   f  x0  liên tục điểm x0 x�x y  f  x y  f  x có đạo hàm điểm x0 � y  f  x liên tục điểm x0 liên tục điểm x0 chưa có đạo hàm điểm x0 Ví dụ 1: Cho hàm số f  x   x  Tính đạo hàm hàm số điểm x0  A B D C 2 Lời giải: Đáp án A f  x   f  1 x 1   lim x � x 1 x 1 lim Cách 1: Xét x �1  lim x �1  x  1  x 1 1   x 1  2  x    lim x �1 y  f  x  1  f  1  x   Cách 2: y x    x x y x    lim  lim x �0 x x �0 x �0 x x lim x   x  a b a b a  b  Hs ý: Nhân lượng liên hợp: Giải theo cách tỏ đơn giản nhanh cách Ví dụ 2: Khi tính đạo hàm hàm số học sinh tính theo bước sau: Bước 1: f  x   f    f  x   11 f  x   x2  5x   lim x �0   x  a  b2 a b  a b điểm x0  , f  x   f   x  x   11  x    x      x7 x2 x2 x2 Bước 2: f  x   f  2 lim  lim  x    � x �2 x �2 x2 Bước 3: Vậy f    Tính tốn hay sai? Nếu sai sai bước A Bước B Bước C Bước D Tính tốn Lời giải: Đáp án D Học sinh tính đạo hàm định nghĩa theo cách bước Hs ý: � a  x  x1   x  x2   Phương trình bậc hai ax  bx  c  có hai nghiệm x1 , x2 Ví dụ 3: Số gia hàm số x0  1 f  x   x2 ứng với số gia x đối số x là: A  x   x  B  x   2x  x C    x D  x   2x Lời giải: Đáp án D Với số gia x đối số x điểm x0  1 , ta có: y   1  x     x   2x 2 f  x   x2  x Ví dụ 4: Cho hàm số đối số x x0 là: A  lim  x   x0 x  x x �0 lim  x  x  1 C x �0 Lời giải: Đáp án B , đạo hàm hàm số ứng với số gia x  B D  lim  x   x0 x  x x �0  y   x0  x    x0  x    x02  x0    x   x0 x  x Ta có: lim  x  x0  1 x �0 y  lim  x  x0  1 x �0 x x �0 � f�  x0   lim Ví dụ 5: Cho hàm số sau sai A f�  x0   lim x � x0 f�  x0   lim y  f  x f �x có đao hàm điểm x0   Khẳng định f  x   f  x0  x  x0 B f�  x0   lim x �0 f  x0  x   f  x0  x f  x  x0   f  x0  f  x  h   f  x0  f�  x0   xlim � x0 x  x0 h D h �0 C Lời giải: Đáp án D A theo định nghĩa B x  x  x0 nên x � x0 � x � C Đặt h  x  x  x0 � x  h  x0 , h � x � x0 f�  x0   lim x � x0 f  x   f  x0  f  x  h   f  x0  f  x0  h   f  x0   lim  lim h �0 x  x0 h  x0  x0 h �0 h Ví dụ 6: Xét ba mệnh đề sau: (1) Nếu hàm số f  x f x có đạo hàm điểm x  x0   liên tục điểm (2) Nếu hàm số f  x  liên tục điểm x  x0 f  x  có đạo hàm điểm (3) Nếu hàm số   gián đoạn điểm x  x0 chắn   khơng có đạo hàm điểm Trong ba mệnh trên: A (1) (3) B (2) C (1) (2) D (2) (3) Lời giải: Đáp án A f x f x Mệnh đề (2) sai vì: Xét hàm số f  x  x có tập xác định D  � nên hàm số f  x   f  0 f  x   f  0 1 lim  1 x0 x0 liên tục �, ta có: x�0 x �0 nên hàm số khơng có đạo hàm x  lim  x x Khi x � � x  nên Hs ý:  x  x Khi x � � x  nên Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  x2  x  x Tính đạo hàm hàm số điểm x0  1 A Lời giải: Đáp án D C B D Không tồn Hàm số liên tục x0  1 Ta có f  x   f  1 x2  x  lim  lim 0 x �1 x �1 x 1 x  x  1 f  x   f  1 x 1  lim 2 x �1 x  x  1 x 1 (1) lim x �1 (2) Từ (1) (2) � hàm số khơng có đạo hàm điểm x0  1 Hs ý: Đây dạng toán đặc trưng hàm số xác định liên tục x0 khơng có đạo hàm điểm Hàm số f  x có đạo hàm Ví dụ 8: Cho hàm số Khi f�  0 x0 � f �  x0   f � x0   f � x0  3 4 x � f  x  � � x �0 x  kết sau đây? A B 16 C D Lời giải: Đáp án A Ta có: lim x �0 f  x   f  0 2 4 x 1  lim  lim  x �0 x �0   x x0 x � � x x  f  x   �2  1 kết sau �x x �1 Khi f � Ví dụ : Cho hàm số � A B C D f  1 không tồn 10 A x  2x  B x  2(x)  C x  2x  D x.x  2(x)  2x Bài 3:Số gia hàm số f ( x)  x  x  ứng với x x là: A x(x  x  4) B 2x  x C x(2 x  4x) � x2  1 x �0 � f ( x)  � x � x  � Bài 4: Cho hàm số f ( x ) xác định: D x  4x (0) Giá trị f � bằng: A B  C 2 D Không tồn �x3  x  x x �1 � f ( x)  � x  3x  � x  � Bài 5: Cho hàm số f ( x ) xác định (1) bằng: Giá trị f � A C B.1 D Không tồn Bài 6:Xét hai mệnh đề: ( I ) f ( x) có đạo hàm x0 f ( x) liên tục x0 ( II ) f ( x) có liên tục x0 f ( x ) đạo hàm x0 Mệnh đề đúng? A.Chỉ ( I ) B Chỉ ( II ) C Cả hai sai D Cả hai Bài 7: Cho đồ thị hàm số y  f ( x) hình vẽ: Hàm số khơng có đạo hàm điểm sau đây? A x  C x  B x  D x  � x3  x  x   x �1 � f ( x)  � x 1 � x  � Bài 8: Cho hàm số 1 A B C (1) bằng: Giá trị f � D 13 x �1 2x  � �3 f ( x)  �x  x  x  x  � x 1 � Bài 9: Cho hàm số A B C (1) bằng: Giá trị f � D Không tồn �x x �0 � f ( x )  �x �  x  � Bài 10: Cho hàm số f ( x ) xác định � Xét hai mệnh đề sau: (I ) f � (0)  ( II ) Hàm số khơng có đạo hàm x0  Mệnh đề đúng? A Chỉ ( I ) B Chỉ ( II ) C Cả hai D Cả hai sai Dạng 2: CÁC DẠNG TỐN VỀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Đạo hàm hàm đa thức - hữu tỉ - thức hàm hợp Phương pháp: - Sử dụng quy tắc, cơng thức tính đạo hàm phần lý thuyết - Nhận biết tính đạo hàm hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức - Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Ví dụ 14:Đạo hàm hàm số biểu thức đây? A B C D Lời giải: Đáp án C y�  10 x  x a 2x 1 y x    x  biểu thức có dạng Ví dụ 15: Đạo hàm hàm số Khi a nhận giá trị sau đây: A a  3 Lời giải: Đáp án C y�  B a  C a  D a  5  x  1 � x     x  1  x   � � a  2  x  2  x  2 Hs ý: Ta có cơng thức tổng qt: � ad  bc �ax  b � � � �cx  d �  cx  d  với c �0 ad  bc �0 14 ax  bx x2  x  y x    x  biểu thức có dạng Ví dụ 16: Đạo hàm hàm số Khi a.b bằng: A a.b  2 Lời giải: Đáp án A B a.b  1 C a.b  D a.b   x  1  x  1   x  x  1 x  x y�   � a.b  2 2 x  1 x  1   Cách 1: Cách 2: 1 x2  2x y  x � y�  1  2 x 1  x  1  x  1 Hs ý: Với a.a��0 ta có � aa� �ax  bx  c � x  2ab� x  bb�  ac�  � � �� x  b�  a�  � a xb � Ví dụ 17: Đạo hàm hàm số x ax  b  x  1 y x2  x  x  x  biểu thức có dạng Khi a  b bằng: A a  b  B a  b  Lời giải: Đáp án D y Cách 1: C a  b  10 D a  b  12 4  x  1 x2  x 1  4 8x   1 � y�   2 x  x 1 x  x 1  x2  x  1  x2  x  1 � u� v  uv� �u � � � v2 Cách 2: Áp dụng �v � y�   x  1  x  x  1   x  x  3  x  1 x  x  1  x 8 x   x  1 � a  b  12 Nhận xét: Khi tính đạo hàm hàn phân thức ta chia để viết phân thức phần nguyên phần dư tính đạo hàm dễ dàng áp dụng công thức đạo hàm thương Đây cách tính nguyên hàm lớp 12 Ví dụ 19: Đạo hàm hàm số x �� là: A x  a  Lời giải: Đáp án D y  ax   a  1 x  a  a B 2ax   a (với a số) C 2ax  3a  2a  D 2ax  a  y�  2ax  a  15 Hs ý: Khi lấy đạo hàm hàm số chứa tham số, ta coi tham số số Ví dụ 19: Đạo hàm hàm số y  x  x  biểu thức có dạng ax  b x2  x  Khi a  b bằng: A a  b  B a  b  1 x y�  C a  b  D a  b  2  x  1 � 2x 1  � a b 1 x2  x  x2  x  Lời giải: Đáp án C Ví dụ 20: Đạo hàm hàm số A  x  x  1 C  x  x  1 y   x  x  1  x  1  x  1 y�   x  x  1 x là: B  x  x  1 D x  x  1  x  1  x  1 �  x  x  1 Lời giải: Đáp án C Hs ý: Đây công thức đạo hàm hàm số hợp  x  1 � �x  x  x �1 f  x  � � x   x  là: Ví dụ 21: Đạo hàm hàm số x  �2 x � f�  x   � x  �2 x  � A �2 x  x  f�  x  � � � x  x  � B x  x �1 � � f�  x   � x  �2 x  � C x  x  � � f�  x   � x  �2 x  � D Lời giải: Đáp án D Với Với x  1: f �  x   2x  x  1: f �  x  Với x  1, ta có x 1 lim x �1 f  x   f  1 x 1  lim  � x � x 1 x 1 nên khơng có đạo hàm x  x  x  � � f�  x   � x  �2 x  � Vậy 16 Hs ý: Loại toán kết hợp tính đạo hàm cơng thức tính đạo hàm định nghĩa điểm x0 �3  x x  � � f  x  � �1 x �1 � x Ví dụ 22: Tính đạo hàm hàm số � x x  f�  x  � �  x  � � x2 A � � x x  � f�  x   �1 x  � � x  �x B � x x  f�  x  � �1 x  � �x C � � x x  � f�  x   �1 x  � � x  �x D Lời giải: Đáp án B Với Với x  1: f �  x  x x  1: f �  x   x2 � lim f  x   lim  � x �1 x �x�1 � lim f  x   lim f  x    f  1 � x �1 �lim f  x   lim  x  x�1  x�1 Với x  1, ta có �x�1 � Hàm số liên tục x  � � f  x   f  1  lim �xlim x �1 ��1 x 1 � � � f  x   f  1  lim �lim x �1 x 1 Xét �x�1 1 x  1 x 1 � f�  1  1  x2 1  1 x 1 � � x x  � f�  x   �1 x  � � x  �x Vậy 17 Hs ý: Trên khoảng xác định ta tính đạo hàm quy tắc Tại điểm x  x0 ta xét đạo hàm định nghĩa Ví dụ 23: Cho hàm số A Lời giải: Đáp án D f  x    3x  1 B f �1 Giá trị   là: C 4 D 24 f�  x    3x  1  3x  1 � 12 x  x  1 � f �  1  24 Cách 1: Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào hình: Nhận xét: Bằng cách ta tính nhanh chóng đạo hàm điểm xác định x  x0 Hs ý: Dùng MTCT: Tính đạo hàm hàm số điểm x  x0 Ví dụ 24: Cho hàm số A f  x  x 1 B Đạo hàm hàm số x  là: C D Không tồn Lời giải: Đáp án D f�  x  � � � x 1 Không tồn f  1 f  x  xác định với x  Ta có: Hs ý: Với tốn sử dụng MTCT kết hình hiển thị thơng báo “Math ERROR” khơng tính Nhận xét: Việc sử dụng tính chất để tính đạo hàm làm cho việc tính đạo hàm trở nên đơn giản nhiều Nhưng cạnh có dạng bắt buộc ta phải tính định nghĩa Đặc biệt tính đạo hàm điểm MTBT giúp cho ta kết nhanh chóng, cạnh có dạng mà máy tính khơng tính Dạng 3: ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp chung: - Vận dụng công thức đạo hàm bốn hàm số y  sin x , y  cos x , y  tan x , y  cot x hàm hợp 18 - Vận dụng phối hợp quy tắc đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số hợp - Vận dụng phương trình lượng giác bản, phương trình bậc với sinx cosx, phương trình tích số…để giải phương trình y '  Chú ý: Biến đổi lượng giác để thu gọn hàm số, biểu thức lượng giác Hs ý: (sin n u ) '  n sin n 1 u.(sin u) ' (cos n u ) '  n cos n 1 u.(cos u ) ' (tan n u ) '  n tan n 1 u.(tan u ) ' (cot n u ) '  n cot n 1 u.(cot u ) ' Ví dụ 25 : Đạo hàm hàm số y  2sin x.cos x có biểu thức sau đây? A 30cos x.sin x B 8cos8 x  2cos x C 8cos8 x  cos x D 30 cos x  30sin x Lời giải: Đáp án C Cách 1(Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng tính): Ta có y  2sin x.cos x  sin x  sin x � y '  8cos x  cos x Cách 2(Áp dụng công thức đạo hàm tích): y '  cos x.cos x  10sin x.sin x  3cos8 x  3cos x  5cos x  5cos8 x  8cos8 x  2cos x Nhận xét: Nếu dùng cách sử dụng cơng thức biến đổi từ tích sang tổng rút gọn sau việc tính đạo hàm y ' đơn giản Hs ý sin a cos b  [sin(a  b)  sin(a  b)] cos a cos b  [cos(a  b)  cos( a  b)] y Ví dụ 26: Đạo hàm hàm số Vậy giá trị a là: A a  B a  2 Lời giải: Đáp án B a sin x  cos x sin x  cos x có dạng (sin x  cos x) C a  D a  (cos x  sin x)(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(cos x  sin x) 2  (sin x  cos x) (sin x  cos x) � a  2 y'  u u ' v  uv ' ( )'  2 v2 Hs ý: Áp dụng quy tắc: v sin x  cos x  Ví dụ 27: Đạo hàm hàm số y  cot x là: 19 1 A sin x cot x 1 B 2sin x cot x C cot x  sin x D cot x Lời giải: Đáp án B Cách 1: y' (cot x) ' 1  2 cot x 2sin x cot x Cách 2: Học sin sử dụng MTCT tính đạo hàm hàm số y  cot x điểm x x  ta kết 1  thay vào đáp án ta đáp án B Đây “thủ thuật” tính tốn Với trắc nghiệm gặp cơng thức “khó tính trực tiếp” BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Dạng 1: Đạo hàm hàm đa thức – hữu tỷ - thức hàm hợp Bài 11: Đạo hàm hàm số y  x  x  12 x  là: A x  11x  B x  18 x  12 C x  18 x  12 D x  x  12 2 Bài 12: Đạo hàm hàm số y   x  3mx  3(1  m ) x  m  m (với m tham số) bằng: 2 A 3x  6mx   m B  x  3mx   3m 2 C 3x  6mx   3m 2 D 3x  6mx   3m 2 Bài 13: Đạo hàm hàm số y  ( x  1) (3  x ) biểu thức có dạng ax  bx  cx Khi a  b  c bằng: A B C D Bài 14: Đạo hàm hàm số y  ( x  1)( x  2)( x  3) biểu thức có dạng ax  bx  cx  15 x  dx  ex  gx Khi a  b  c  d  e  g bằng: A B y C D a 2x 1 x  biểu thức có dạng ( x  1) Khi Bài 15: Đạo hàm hàm số a nhận giá trị sau đây? A a  2 B a  1 C a  3 D a   x  3x  ax  bx y 2( x  1) Bài 16: Đạo hàm hàm số biểu thức có dạng 2( x  1) Khi a.b bằng: A 2 B 1 C Dạng 2: Đạo hàm hàm số lượng giác D 20 Bài 17 : Hàm số y  cos x.sin x có đạo hàm biểu thức sau đây? A C sin x  3cos x  1 sin x  cos x  1 Bài 18: Hàm số y B D sin x  3cos x  1 sin x  cos x  1   tan x  có đạo hàm biểu thức sau đây?  tan x  A  B  tan x C D  tan x   tan x    tan x  Bài 19: Đạo hàm hàm số cos x 2sin x biểu thức sau đây?  sin x  cos x 3 A B C 2sin x D 2sin x � � � � � cos x f� f  x  � � f � �  sin x Giá trị �6 � � �là Bài 20: Cho hàm số 4 8 A B C D   sin x 2sin x y   cos x 2sin x Dạng 4: TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ Nhận xét: Trong chương trình phần tiếp tuyến đưa vào 1, đạo hàm hàm số điểm Nếu dạy học sinh phần đầu việc tính đạo hàm cịn phức tạp, tơi để sau em thành thạo kỹ tính đạo hàm ta áp dụng Phương trình tiếp tuyến - Tiếp tuyến điểm y Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  điểm M ( x0 ; y0 ) � C  (C) M f(x0)+ : y f�  x0   x  x0   y0 Hs ý: - Hệ số góc - Nếu cho x0 k  f�  x0  f(x 0) vào y  f  x tìm y  f  x giải phương trình tìm x0 - Nếu cho y0 vào - Tiếp tuyến biết hệ số góc y0 T M x0 x0+ O k  f�  x0   * - Hệ số góc k tiếp tuyến: 21 x * Giải phương trình   ta tìm hồnh độ tiếp điểm x0 phương trình y  f  x tìm tung độ y0 - Khi phương trình tiếp tuyến: Hs ý: y  k  x  x0   y0  d * Tiếp tuyến d //: y  ax  b � k  a * Tiếp tuyến d  : y  ax  b � k a  1 * k  tan  , với  góc d tia Ox - Tiếp tuyến qua điểm C M x ;y Lập phương trình tiếp tuyến d với   biết d qua điểm  M M  Phương pháp: - Gọi M  x0 ; y0  � C  tiếp điểm - Phương trình tiếp tuyến M0 : y  f �  x0   x  x0   y0  d y y  f�  x0   xM  x0  Giải phương trình - Vì đường thẳng d qua M nên M ta tìm x0 suy y0 Hs ý : Điểm M  x0 ; y0  C thuộc khơng thuộc đường cong   Ví dụ 28: Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị  C  Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  1;3 là: A y  3x Lời giải: Đáp án A B y   x  C y  9 x  D y  9 x  y�  3x  x  là:    Phương trình tiếp tuyến  Chú ý: Hs dùng MTBT để tính đạo hàm x=-1 cách nhanh chóng M 1;3 Ví dụ 29: Cho hàm số y y  y�1 x   � y  3 x x  có đồ thị  C  Phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ x0  1 là: A y   x  Lời giải: Đáp án D Tập xác định: y�   x  1 B y  x  C y  x  D y   x  D  �\  1 ; y�  1  1; y  1  2 22 Phương trình tiếp tuyến Ví dụ 30: Cho hàm số M  1;   là: y  x4  x2   C  y  y�  1  x  1  y  1   x  Phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ y0  là: A y  x  6; y  8 x  B y  x  6; y  8 x  C y  x  8; y  8 x  Lời giải: Đáp án A D y  41x  17 y�  4x3  4x y0  � x  x   � x  1; x  Phương trình tiếp tuyến M  1;  : y  x  Phương trình tiếp tuyến M  1;  : y  8 x  Ví dụ 31: Tiếp tuyến đồ thị hàm số bằng: A B 7 Lời giải: Đáp án C Tập xác định: nhanh) D  �\  2 4x  x  điểm x0  có hệ số góc C 10 ; k  y�  3  10 Ví dụ 32: Tiếp tuyến đồ thị hàm số phương trình là: A y  9 x  11 y y D 3 (Hs dùng MTBT tính x3  3x2  có hệ số góc k  9 có B y  9 x  27 C y  9 x  43 D y  9 x  11 Lời giải: Đáp án A y�  x2  x k  9 � y �  x0   9 � x0  3 � y0  16 Phương trình tiếp tuyến M  3; 16  : y  9 x  11 Ví dụ 33: Cho hàm số y 2x 1 x 1  C Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến quađiểm M  7;5 3 29 y  x ;y  x 4 16 16 A 3 y   x ;y   x 4 16 16 C 3 y   x ;y   x 16 16 B 3 29 y   x ;y   x 4 16 16 D Lời giải: Đáp án D 23 Gọi 5 M  x0 ; y0  3  x0  1 tiếp điểm Do tiếp tuyến qua  7  x0   M  7;5 nên: x0  � x0  x0   � x0  1; x0  x0  y  x 4 Ta tìm hai phương trình tiếp tuyến là: y 29 x 16 16 Hs ý: Học sinh cần phân biệt loại tốn viết phương trình tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0  viết phương trình tiếp tuyến qua điểm ban đầu điểm M  xM ; yM  M  xM ; y M  Dấu hiệu C thuộc đường cong   hay khơng thuộc đường cong   BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG C Bài 21: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 1 x  điểm có hồnh độ x0  A y  x  B y  x  C y  x  D y  x  Bài 22: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  điểm có tung độ y0  A y x B y x C y 3 x 2 D y x Bài 23: Số tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x)  sin x , x �[0; 2 ] song song với đường thẳng A y x 3 : B C D Bài 24: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  điểm x0  1 có hệ số góc : A B C D 1 3 Bài 25: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ hệ trục Oxy là: A y   x  y   x  B y  x   5 y  x   24 C y  x  y  x  18  18   y  x   9 3  18  18  y  x   9 D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Thực tế giảng dạy phần Đạo hàm hàm số với lớp 11C không áp dụng cách phân dạng tập giảng dạy lớp 11M cách phân dạng tập nhận thấy Học sinh lớp 11C tiếp thu làm tập hơn, em không làm tốn đạo hàm, học sinh lớp 11M khác rõ rệt Các dạng tập em so dạng hướng làm tốt Các tiết học em tham gia học chăm Một số bạn học sinh trung bình yếu biết cách làm dạng tốn đơn giản, lớp học khơng cịn tình trạng “học sinh bị bỏ rơi” Ít em biết sử dụng MTBT để tính đạo hàm điểm Cách làm tạo học tập tích cực từ học sinh, dạng tốn phân chia xếp từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng làm cho em có tư theo hướng tích cực, lực tư em phát triển tốt Đây tiền đề để em học tốt phần ứng dụng đạo hàm hàm số dạy chương I Giải tích 12 Đây đơn vị kiến thức chiếm phần lớp đề thi tốt nghiệp THPT kỳ thi học sinh giỏi Để kiểm tra hiệu chi tiết SKKN tơi cho hai nhóm lớp làm dạng thu kết cụ thể sau Lớp/số hs Số học sinh có lời giải Số học sinh có lời giải 11/C38 Số lượng 30 % 79% Số lượng 13 % 34% 11M/36 36 100% 24 67% Qua kết mơn tốn cuối năm học em lớp 11M có tiến rõ rệt KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sau dạy xong chương Đạo hàm nhận thấy: - Việc dạy cho học sinh không đơn giản việc xây dựng kế hoạch giảng theo mẫu, dạy lý thuyết nào, tập đặc trưng chương phải giáo viên chuẩn bị kỹ lưỡng 25 - Mỗi đơn vị kiến thức cung cấp cho học sinh kèm theo dạng tập phù hợp để củng cố Mỗi đối tượng học sinh khác cung cấp dạng tập khác để em phát triển tốt tư duy, lục mình, quan trọng khơng học sinh bị bỏ lại học - Trong kho tài liệu khổng lồ mạng, phải biết khai thác, phân loại, tránh tình trạng đưa dạng không phù hợp với đối tượng học sinh Mỗi dạng bài, cụ thể phải giáo viên kiểm tra kỹ mặt, tính đắn, tính logic, phát triển so với khác - Đạo hàm đơn vị kiến thức vơ quan trọng chương trình tốn THPT, giáo viên dạy đơn vị kiến thức cần kiên trì, tỷ mỷ định nghĩa, tính chất Nhất rèn luyện cho học sinh cẩn thận tính tốn 3.2 KIẾN NGHỊ Đạo hàm hàm số khái niệm Giải tích, làm đến giải tích dùng đến Cũng tính phủ rộng nên có nhiều tài liệu viết chuyên đề Các tài liệu mang tính chuyên sâu, đề cao logic kỹ thuật tính tốn Với phương châm làm nhẹ nhàng, đơn giản phần trình bày khái niệm tốn học Tơi muốn đưa đến cho học sinh cách tiếp cận đơn giản đạo hàm, dạng tập mang tính đặc trưng trắc nghiệm, khơng q nghiêng trình bày Tơi mong sáng kiến dạng tài liệu để đồng nghiệp, học sinh có ví dụ cụ thể, có dạng tập trắc nghiệm hay để thực hành sau đơn vị kiến thức Dù cố gắng nhiều chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q đồng nghiệp, bạn đọc để tơi có dịp bổ sung, sửa chữa tích luỹ thêm nhiều kinh nghiệm hay XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 26 Nguyễn Đức Biên TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách Đại số Giải tích 11 - Trần Văn Hạo – NXB Giáo Dục [2].Dạy học theo hướng hình thành phát triển lực người học trường phổ thơng – Lê Đình Trung – NXB Đại học Sư phạm [3] Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG mơn Tốn [4] Đề thi thử THPTQG trường THPT – Nguồn internet 27 ... phần Đạo hàm hàm số với lớp 11C không áp dụng cách phân dạng tập giảng dạy lớp 11M cách phân dạng tập nhận thấy Học sinh lớp 11C tiếp thu làm tập hơn, em không làm toán đạo hàm, học sinh lớp 11M... cứu: Phân dạng tập đạo hàm nhằm phát triển lực tư toán cho học sinh lớp 11 1.2 Mục đích nghiên cứu Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận làm quen với cách học, cách làm nhanh toán dạng tập đạo hàm. .. nhiều dạng tập phần Trước đạo hàm chương Giải tích lớp 12 chương Đạo hàm xếp vào cuối lớp 11, từ địi hỏi học sinh lớp 11 phải có tư ban đầu giải tích Thứ hai: Ngoài việc trực tiếp giải dạng tập học