Hướng dẫn học sinh khai thác và vận dụng một bài tập sách giáo khoa hình học 12 nhằm rèn luyện năng lực tư duy logic cho học sinh

I - MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ở trường THPT dạy toán hoạt động toán học cho học sinh, giải toán hình thức chủ yếu Để rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh việc trang bị tốt kiến thức cho em giáo viên cần hướng dẫn học sinh phát triển, mở rộng kết toán có sách giáo khoa để em có hội suy nghĩ tìm tòi kết sau toán Thực tế, nhà trường phổ thông phần lớn giáo viên chưa có thói quen khai thác phát triển toán thành chuỗi toán liên quan cho học sinh Mà chủ yếu dừng lại tập đơn lẻ làm cho học sinh thụ động, khó tìm mối liên hệ kiến thức học Cho nên gặp toán em xuất phát từ đâu? Những kiến thức cần sử dụng gì? Nó liên quan với toán học? Trong thực tiễn giảng dạy thân thấy việc tìm tòi mở rộng tập sách giáo khoa phương pháp học khoa học, có hiệu tiết tập Phát triển từ dễ đến khó đường phù hợp cho học sinh rèn luyện kỹ giải toán Việc tìm tòi để phát triển, mở rộng toán làm tăng thêm hứng thú học tập, óc sáng tạo học sinh Từ giúp em có sở khoa học phân tích, phán đoán tìm lời giải cho toán khác ngày tự tin vào khả giải toán Trong trình giảng dạy môn Toán, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên gặp không khó khăn, nguồn liệu để phục vụ cho giảng dạy phải có tính hệ thống theo chuyên đề khai thác sâu từ kiến thức sách giáo khoa Để có điều đó, giáo viên không ngừng nghiên cứu có ý thức tích lũy cách có hệ thống theo mảng kiến thức suốt trình giảng dạy xếp theo hệ thống có tính logic cao Đặc biệt khai thác sâu từ kiến thức sách giáo khoa Mặc dù có nhiều tài liệu viết ứng dụng phương pháp tỉ số thể tích, dừng lại việc ứng dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích, tính tỉ số thể tích, tính khoảng cách chưa sâu vào ứng dụng để giải toán mở rộng Từ lý trên, chọn đề tài nghiên cứu là: “Hướng dẫn học sinh khai thác vận dụng tập sách giáo khoa hình học 12 nhằm rèn luyện lực tư lôgíc cho học sinh” Mục đích nghiên cứu - Nhằm mục đích đưa lại hiệu giảng dạy đặc biệt ôn thi HSG ĐH cho HS Khối 12 Bên cạnh qua qúa trình nghiên cứu trình độ chuyên môn thân nâng cao đưa lại hiệu tốt giảng dạy - Nhằm nâng cao lực tư logíc chất lượng dạy học chủ đề hình học không gian cho học sinh trường THPT Như Thanh Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu toán ứng dụng tỉ số thể tích toán tính thể tích toán hình học không gian có liên quan Đề tài áp dụng rộng rãi cho em học sinh THPT, học sinh lớp 12 ôn thi Đại học, Cao đẳng, em học sinh giỏi tất giáo viên dạy Toán trường THPT tham khảo Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu ứng dụng phát triển tập trang 25 SGK hình học 12 ban - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài II - NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Giải toán trình suy luận, nhằm khám phá quan hệ lôgíc cho chưa biết Mỗi bái toán có cách giải, cách suy luận riêng, nên đứng trước toán học sinh thường đâu? phải làm nào? Trong trình dạy học, chunggs ta dạy hết cho học sinh tất tập em cúng làm hết tập Vì vậy, để tạo mối liên hệ tập, hướng dẫn cho học sinh giải toán, giáo viên không nên dừng lại toán cụ thể; mà sau giải toán này, học sinh phải giải loạt vấn đề liên quan mà giáo viên định hướng Quá trình phải tập đơn giản đến phức tạp để rèn luyện lực tư cho học sinh Từ giúp em có sở khoa học phân tích, định hướng tìm tòi lời giải cho toán khác đặc biệt cố cho em lòng tin vào khả giải toán Thực trạng vấn đề nghiên cứu Qua trình dạy học trường THPT Như Thanh nhiều năm nhận thấy việc học môn toán học sinh khó khăn, đặc biệt phàn hình học không gian Các em đâu, vận dụng kiến thức liên quan nào… Chính nhứng khó khăn ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập môn Toán nói chung phần hình học nói riêng, dẫn đến em không hứng thú việc học môn Toán Giải pháp tổ chức thực Xuất phát từ toán SGK hình học 12 xem toán gốc cho trình tự nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm Bài toán: Cho khối chóp S.ABC cạnh SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác với S Chứng minh rằng: VS.A ' B 'C ' SA ' SB' SC ' = Trong VS.ABC SA SB SC VS.A’B’C’ VSABC thể tích khối chóp S.A’B’C’ S.ABC (Bài tập 4- Tr25 - SGK hình học 12 ban bản) Lời giải: Gọi H’ H hình chiếu A’ A lên mặt phẳng (SBC) ta có: A 'H '.S∆SB'C ' · VS.A ' B'C ' A 'H '.S∆SB'C ' A'H'.SB'.SC'sin BSC A'H'.SB'.SC' = = = = · VS.ABC AH.S∆ SAB AH.SB.SC AH.SB.SCsin BSC AH.S∆SAB A 'H ' SA ' = Ta có: ∆SH’A’∼∆ SHA Nên: AH SA Do đó: VS.A ' B'C ' SA ' SB' SC' = VS.ABC SA SB SC Vậy, ta có điều phải chứng minh Xem toán nêu toán gốc, ta khai thác toán góc độ khác Sau đây, xin đưa bốn hướng khai thác toán để hướng dẫn học sinh giải tốt toán hình học không gian Hướng 1: Ứng dụng toán gốc để giải toán S tìm tỷ số thể tích Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác B’ vuông cân C cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) có SA=AB Mặt phẳng (α) qua A A C ’ C B vuông góc với SB cắt SB B’ cắt SC C’ (B’ C’ khác S) Tìm tỉ số thể tích hai phần khối chóp cắt (α)? Lời giải: Ta đặt: CB = CA = a; AB =SA = a ; SB = 2a; SC = a VS.AB 'C' SA SB' SC' SB' SC' = = VS.ABC SA SB SC SB SC Dễ dàng chứng minh tam giác AC’B’ vuông C’ Nên ta có: VS.AB'C' SA SB' SC' SB' SC' SB'.SB SC'.SC ( SA ) ( SA ) 4a = = = = = = 2 2 2 VS.ABC SA SB SC SB SC SB SC ( SB ) ( SC ) 4a 3a 2 VS.AB 'C ' 1 = VS.AB'C' = VS.ABC ⇒ VA.BCC ' B' = VS.ABC Hay VA.BCC ' B ' 3 Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi B’, D’ trung điểm SB SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính tỉ số thể tích VS.AB 'C ' D ' VABCDD 'C ' B ' Lời giải: Gọi O giao điểm AC BD I giao điểm SO B’D’ Khi AI cắt SC C’ Ta có: VS.AB 'C ' SB' SC' SC ' = = VS.ABC SB SC SC VS.AC ' D ' SC ' SD ' SC ' = = VS.ACD SC SD SC Suy ra: SC ' SC ' VS.AB ' C ' + VS.AC ' D ' = (VS.ABC + VS.ACD ) = VS.ABCD SC SC Kẻ OO’//AC’ (O’∈SC) Ta có SC’ = C’O’ = O’C 1 Do đó: VS.A ' B 'C ' D ' = VS.ABCD Hay VS.A ' B 'C ' D ' = VS.ABCD Suy ra: VABCDD 'C ' B ' = VS.AB 'C ' D ' = Vậy VABCDD 'C ' B ' Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC lấy M N cạnh SA SB cho SM SN = , = Mặt phẳng (α) qua MN song song với SC chia khối chóp MA NB thành hai phần, tìm tỉ số thể tích hai phần Lời giải: Kéo dài MN cắt AB I, kẻ MD song song SC (D ∈AC); E =DI ∩ CB Khi tứ giác MNED thiết diện khối chóp cắt (α) Ta có: VA.MDI AM AD AI 2 16 = = = VA.SCB AS AC AB 3 27 (Do kẻ MJ//AB ta có : Ta lại có: ∆NMJ = ∆NIB 1 16 VA.MDI = VS.ABC = VS.ABC 16 16 27 27 ⇒VAMDEN = VAMDI − VIBNE = 16 VS.ABC − VS.ABC = VS.ABC 27 27 Gọi VSMDCEN phần thể tích lại ta có : VSMDCEN = VS.ABC − VAMDEN = VS.ABC VAMDBNE VSMDCEN VS.ABC = = VS.ABC 16 VA.SCB 27 , BJ = NJ ⇒ BI = AB ;AI = AB) VIBNE IB IN IE 1 1 = = = VIAMD IA IM ID 2 16 Suy ra: VI.BNE = Vậy: Vậy VA.MDI = Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a; SA = SB = SC = 2a Gọi M trung điểm cạnh SA; N giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng (MBC) Gọi V, V1 thể tích khối chóp S.ABCD S.BCNM Tính tỷ số V1 V (Trích đề thi HSG Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu - 2010) Lời giải: Do (MBC) chứa BC//(SAD) nên N giao điểm đường thẳng qua M song song với AD Suy N trung điểm SD Ta có: VS.ABC = VS.ACD = V (Do ABCD hình thoi nên S∆ABC = S∆ACD ) VS.MBC SB SC SM SM = = = VS.ABC SB SC SA SA ⇒ VS.MBC = V ; VS.MCN VS.ACD SM SC SN SM SN V = = ⇒ VS.MCN = SA SC SD SA SD 3V V Suy ra: V1 = VS.MBC + VS.NCM = Vậy = V 8 = Hướng 2: Ứng dụng toán gốc vào tính thể tích khối đa diện Trong trình giải toán tính thể tích khối đa diện, tính trực tiếp cách dễ dàng Việc vận dụng toán mở rộng để tính thể tích khối đa diện gặp thường xuyên đề thi kỳ thi ĐH kỳ thi HSG Sau xin đưa số ví dụ điển hình để hướng dẫn học sinh ứng dụng toán để tính thể tích khối đa diện · · Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, BAD = ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD) SA=2a Gọi M, N trung điểm SA SD Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a? Lời giải : Áp dụng công thức ta có: VS.BCM SB SC SM VS.CMN SM SN SC = = ; = = VS.BCA SB SC SA VS.CAD SA SD SC VS.BCNM = VS.BCM + VS.CNM = Ta có: 1 VS.BCA + VS.CAD VS.ABC = SA.S∆ABC và: 1 = SA BA.BC = a 3 VS.ACD = SA.S∆ACD 1 1 = SA CA.CD = 2a a 2.a = a 3 3 Vậy: VS.BCNM = VS.BCM + VS.CNM = 1 a 2a a VS.BCA + VS.CAD = + = 2.3 4.3 1 a 2a a VS.BCA + VS.CAD = + = 2.3 4.3 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a Lời giải : VCMNP CN CP = = Ta có: (1) VCMBD CB CD Nên: VS.BCNM = VS.BCM + VS.CNM = VCMBD VM.BCD MB = = = VCSBD VS.BCD SB (2) Nhân theo vế (1) với (2) ta có: VCMNP 1 = ⇒ VCMNP = VS.BCD VS.BCD 8 Gọi H trung điểm AD ta có SH ⊥ AD mà (SAD) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥(ABCD) Do đó: Vậy: VS.BCD 1 a a3 = SH.S∆BCD = a = 3 2 12 VCMNP a3 (đvtt) = 96 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; SA = a SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a (Trích đề thi HSG Tỉnh Hải Dương 2012) Lời giải : Ta có: BC ⊥ AB; BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB); SC ⊥ (P) ⇒ SC ⊥ AB’ ⇒ AB’⇒ (SBC) Tương tự ta có: AD’ ⊥ SD Lại có: VS.AB 'C ' D ' = Vs.AB 'C ' + VS.AD 'C ' VS.AB 'C ' SA SB' SC ' SB.SB' SC.SC' = = = VS.ABC SA SB SC SB SC VS.AD 'C ' VS.ADC SA SA 3 = = = SB2 SC 20 SA SD ' SC ' SD.SD ' SC.SC' = = SA SD SC SD SC2 (1) (2) SA SA 3 = = = SD SC2 20 1 a3 Do: VS.ABC = VS.ADC = a a = Khi cộng theo vế (1) (2) ta có: VS.AB 'C ' VS.AD 'C ' VS.AD 'C ' VS.AB 'C ' + = 9 9 a 3 3.a 3 + = + = a ⇒ VS.AB 'C ' D ' = = a VS.ADC VS.ABC 20 20 10 10 20 6 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a; BC = a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = b Gọi M trung điểm SD, N trung điểm AD Gọi (P) mặt phẳng qua BM cắt mặt phẳng (SAC) theo đường thẳng vuông góc với BM Chứng minh rằng: AC ⊥ (BMN) tính thể tích khối đa diện S.KMHB Lời giải : Dễ CM AC ⊥ BN Lại có: MN // SA ⇒ MN ⊥ AC (1) (2) Từ (1) (2) ta có: AC ⊥ (BMN) Giả sử (P) cắt (SAC) theo giao tuyến (d) ⊥ BM Mà (d) AC đồng phẳng ⇒ (d) // (AC) Gọi: O = (AC)∩(BD) Trong mặt phẳng (SBD): SO cắt BM I Qua I kẻ đường thẳng (d) // (AC) cắt SA, SC H, K ⇒ Mặt phẳng (MHBK) mặt phẳng (P) cần dựng Lại I trọng tâm ∆SDC HK//AC nên: SH SK SI = = = (3) SC SA SO Theo công thức tính tỉ số thể tích ta có: VSMBK VSDBA = SM SB SK VSMHB SM SH SB = ; = = SD SB SA VSDCB SD SC SB ⇒ VSKMHB =VSKMB + VSMHB = 1 ( VS.DBC + VS.DBA ) = VS.ABCD = 2.a b (đvtt) 3 Hướng 3: Ứng dụng toán gốc vào chứng minh đẳng thức hình học Việc chứng minh ứng dụng đẳng thức thức hình học không gian quan trọng song không dễ dàng để chứng minh đẳng thức Sau xin đưa ra số đẳng thức quan việc chứng minh đơn giản việc vận dụng toán gốc nói Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng (α) cắt cạnh SA, SB, SC, SD A’, B’, C’, D’ Chứng minh rằng: SA SC SB SD + = + SA ' SC ' SB' SD ' Lời giải : Xét hình chóp S.ABC S.ADC ta có: VS.A ' B 'C ' SA ' SB' SC ' = VS.ABC SA SB SC Và: VS.A ' D 'C ' SA ' SD ' SC ' = VS.ADC SA SD SC (1) (2) Vì: VS.ABC = VS.ACD = VS.ABCD Cộng theo vế (1) (2) ta có: VS.A ' B 'C ' D ' SA ' SB' SC' SA ' SD ' SC' = + SA SB SC SA SD SC VS.ABCD (3) Tương tự xét hình chóp S.ABD S.BCD ta có: và: VS.B 'C ' D ' SB' SC ' SD ' = VS.BCD SB SC SD VS.A ' B ' D ' SA ' SB' SD ' = (4) VS.ABC SA SB SD (5) vì: VS.ABD = VS.BCD = VS.ABCD Cộng theo vế (4) (5) ta có: VS.A ' B 'C ' D ' SA ' SB' SD' SB' SC' SD ' = + SA SB SD SB SC SD VS.ABCD (6) Từ (3) (6) ta có: SA ' SB' SC' SA ' SD ' SC' SA ' SB' SD ' SB' SC ' SD ' + = + SA SB SC SA SD SC SA SB SD SB SC SD ⇔ SA ' SB' SC ' SD '  SD SB  SA ' SB' SC' SD '  SC SA  + +  ÷=  ÷ SA SB SC SD  SD ' SB'  SA SB SC SD  SC ' SA '  ⇔ SD SB SC SA + = + Suy điều phải chứng minh SD ' SB' SC ' SA ' Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC Gọi G tâm tam giác ABC Mặt phẳng (α) cắt cạnh SA, SB, SC, SG điểm A’, B’, C’, G’ khác S Chứng minh rằng: SA SB SC SG + + =3 SA ' SB' SC ' SG ' Lời giải : Do G trọng tâm tam giác ABC nên: VS.ABG = VS.BCG = VS.ACG = VS.ABC VS.A ' B'C ' SA ' SB' SC ' = Ta có: VS.ABC SA SB SC Mặt khác ta có: VS.A 'B 'C ' VS.A ' B'G ' VS.A 'C'G ' VS.B'C 'G ' = + + = VS.ABC VS.ABC VS.ABC VS.ABC  1 V V V =  S.A ' B ' G ' + S.A 'C 'G ' + S.B' C ' G ' ÷  VS.ABG VS.ACG VS.BCG  (1)  SA ' SB' SG ' SA ' SC ' SG ' SB' SC ' SG '  =  + + ÷  SA SB SG SA SC SG SB SC SG  = SA ' SB' SC' SG '  SC SB SA  + +  ÷ SA SB SC SG  SC' SB' SA '  (2) Từ (1) (2) ta có: SA SB SC SG + + =3 Suy điều phải chứng minh SA ' SB' SC ' SG ' Ví dụ : Cho tứ diện ABCD cạnh a ,AH đường cao tứ diện O trung điểm AH Một mặt phẳng qua O cắt cạnh AB, AC, AD M ,N ,P CMR: 1 + + = AM AN AP a Lời giải : Ta có : VA.MNP AM AN AN = VA.BCD AB AC AD Mặt khác : (1) VA.MNP VA.MON + VA.NOP + VA.PON = VA.BCD VA.BCD = VA.MON VA.NOP VA.PON + + VA.BCD VA.BCD VA.BCD = VA.MON V V + A.NOP + A.PON (Do VA.BCH = VA.CDH = VA.BDH = VA.BCD ) 3VA.BCH 3VA.CDH 3VA.BDH  AM AN AO AN AP AO AP AM AO  + + =  ÷  AB AC AH AC AD AH AD AB AH    + + =  ÷  AB AC AC AD AD AB  1 AM AN = AN AP AP AM AM AN AP  AD AB AC   + + ÷ AB AC AD  AP AM AN  Từ (1) (2) ta có : (2) AM AN AN AM AN AP  AD AB AC   + + = ÷ AB AC AD AB AC AD  AP AM AN  1 a a a  1=  + + ÷  AM AN AP  Hay ta có : 1 + + = Suy điều phải chứng minh AM AN AP a Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC, Lấy điểm M nằm tam giác ABC đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt mặt bên điểm A’, B’, C’.Chứng minh rằng: VM.A ' B 'C ' MA ' MB' MC ' = VS.ABC SA SB SC Lời giải : Gọi A1, B1, C1 điểm đối xứng với A’, B’, C’ qua M Khi ta có: VM.A 'B 'C ' = VM.A1B1C1 Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm A ; B2 ; C2 cho: SA = MA ' ;SB2 = MB' ;SC = MC' Khi hình chóp S.A B2C2 ảnh hình chóp M.A1B1C1 qua phép tịnh tiến theo véc tơ uuur MS Nên ta có: VM.A ' B'C ' = VM.A1B1C1 = VS.A 2B2C2 Khi đó: Hay: VM.A ' B ' C ' VS.A2 B2C2 SA SB2 SC = = VS.ABC VS.ABC SA SB SC VM.A ' B 'C ' MA ' MB' MC ' = VS.ABC SA SB SC Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy.Góc tạo SC mặt phẳng (SAB) α Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD M, N, P S V  cos2α  CMR: S.AMNP =  ÷ VS.ABCD  cos α  N Lời giải : Ta có: từ (gt) suy ∠BSC = α , BC ⊥ SB, SC ⊥ AN P VS.AMNP 2VS.AMN SA SM SN = = Lại có : VS.ABCD VS.ABCD SA SB SC SM SN SM.SB SN.SC = SB SC SB2 SC SA SA = SB2 SC a sin α M O = Mặt khác ta có: SB = a.cot α ,SC = C D a ( 1) A B  cos α  cos 2α Nên SA = SB − AB = a cot α − a = a  − 1÷ = a sin α  sin α  2 2 2 Do đó: SM SA sin α cos 2α cos 2α = = =a SB SB sin α a cos α cos α (2) SN SA 2 cos 2α sin α = = a = cos 2α SC SC2 sin α a (3) V  cos2α  Lấy (2) (3) thay vào (1) ta có : S.AMNP =  ÷ Vậy ta có điều phải CM VS.ABCD  cos α  Hướng 4: Vận dụng toán gốc vào giải toán cực trị hình học không gian Đối với toán tìm giá trị nhỏ lớn đại lượng biến thiên không dễ dàng Bởi việc tìm giá trị nhỏ lớn đại lượng biến thiên hình học không gian lại khó khăn Sau xin đưa số toán hay khó mà việc vận dụng toán gốc để giải thực thuận lợi đơn giản Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, AD = b , SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M điểm nằm cạnh SA cho AM = x (0 < x < 2a) Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MBC) Tìm x theo a để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích (Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thanh Hóa -2014) Lời giải : Thiết diện hình thang vuông MNCB, vuông B M Tính diện tích thiết diện: S MNCB = ( MN + CB ) MB ; BM = BA2 + AM = a + x ∆SMN đồng dạng ∆SAD ⇒ MN = SM AD (2a − x).b = SA 2a  2ab − bx  + b a2 + x2 Vậy S MNCB =  2 2a  Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD ⇒ VS ABCD = SA.S ABCD = 2a 2b =V Gọi V1 thể tích khối SMNCB: V1 = VS MBC + VS MNC V SM SB.SC SM 2a − x S MBC = = = Ta có V SA SB SC SA 2a S ABC 1 V 2a − x V 2a − x ab (2a − x) = a.b VSABC = SA.S ABC = 2a 2b = ⇒ VSMBC = = 6 2a 2a 2 V SM SN SC SM SN  MN   2a − x  = = Ta có S MNC = ÷ = ÷ VS ACD SA.SC.SD SA SD  AD   2a  ⇒ VS ACD = V a 2b = ⇒ VS MNC = Yêu cầu toán ⇔ V1 = (2a − x) a 2b (2a − x) = b 4a 12 V a 2b (2a − x).ab (2a − x) b a 2b = ⇔ + = 12  x = a (3 + 5) > 2a (loai ) ⇔ x − 6ax + 4a = ⇔   x = a (3 − 5) (t / m) Vậy với x = a (3 − 5) mp(MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng (P) qua AG cắt cạnh SB, SC M, N Gọi V 1, V S thể tích khối chóp S.AMN S.ABC Tìm giá trị lớn V V1 Lời giải : Gọi J giao điểm SG BC ⇒ J trung A N M điểm BC Suy ra: S∆ABJ = S∆ACJ = SABC ⇒VS.ABJ = VS.ACJ = Đặt: x = V VS.ABC = 2 SM SN ,y = SB SC G C B (x, y ∈ (0;1]) VS.AMG SA SM SG 2x V 2x = = ⇒ VS.AMG = VS.ABJ SA SB SJ 3 Tương tự: VS.AGN = V1 V = 2y V V ⇒ V1 = VS.AMG + VS.AGN = (y + x) (1) 3 SA SM SN = xy ⇒ V1 = Vxy SA SB SC (2) Từ (1) (2) ⇒ x + y = 3xy (*) Theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta có: x + y ≥ xy Dấu “=” xảy x = y Từ (*) ta có: 3xy ≥ xy ⇔ xy ≥ Dấu “=” xảy khi: x = y = V = ≤ Dấu “=” xảy x = y = V1 xy Vậy giá trị lớn V SM SN = = = ⇔ V1 SB SC Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng (α) qua AK cắt SB SD M N V Đặt V1 = VS.AMKN ; V = VS.ABCD Khi mặt phẳng (α) song song BD tỉnh tỉ số V Đặt x = V SM SN V , y= Tính theo x y CMR: ≤ ≤ V SB SD V Lời giải : a) Gọi O tâm hình bình hành ABCD I giao điểm AK SO; Qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB SD M N Ta có: SM SN = ; = Vì S.ABCD có đáy hình bình hành nên: V S.ABC = VS.ADC SB SD = V V SM SK 1 S.AMK = = = Ta có: V SB SC 3 S.ABC 6 ⇒ VS.AMK = V ⇒ VS.ANK = V Mà: V = VS.ABC + VS.ADC Vậy V1 = VS.AMK + VS.ANK ⇒ V1 = V V SM SK x S.AMK = = x ⇒ VS.AMK = V b) Ta có: V SB SC S.ABC y Tượng tự ta có: VS.ANK = V Suy ra: V1 x + y = V (1) Do: V1 = VS.AMN + VS.MNK VS.ABC = VS.ADC = V V SM SN xy S.AMN = = xy ⇒ VS.AMK = V Mà: V SB SD S.ABD ⇒ VS.KMN SM SN SK xy = = xy ⇒ VS.KMK = V VS.CBD SB SD SC ⇒ V1 3xy = V (2) Từ (1) (2) suy ra: y= x Do x > 0; y > nên suy x > 3x − Mặt khác: y ≤ ⇒ x 1  ≤ ⇒ x ≥ Vậy ta có: x ∈  ;1 3x − 2  Xét hàm số: f(x) = Ta có: f’(x) = 3x V1 3xy 1  = = với x ∈  ;1 4(3x − 1) V 2  3x(3x − 2) 4(3x − 1) Bảng biến thiên: x f’(x) f(x) Vậy: + 3 V1 ≤ ≤ V x = V1 = ⇔ Khi: x = V  Khi: V1 = ⇔x= V 3 M trung điểm SB M trùng B; Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng (α) qua trung điểm I đoạn thẳng AG cắt cạnh AB, AC, AD điểm (khác A) Gọi hA, hB, hC, hD khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến h 2B + h C2 + h D2 mặt phẳng (α) Chứng minh rằng: ≥ h 2A Lời giải : Gọi B’, C’, D’ giao điểm mặt phẳng (α) với cạnh AB, AC, AD Ta có: VAGBC = VAGCD = VAGDB = VABCD (*) Vì: VAB'C'D' = VAIB'C' + VAIC'D' + VAID'B' (*) nên: VAB'C'D' VAIB'C' VAIC'D' VAID'B' = + + ⇔ VABCD 3VAGBC 3VAGCD 3VAGDB AB'.AC'.AD ' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB ' = + + AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB AB AC AD AG + + = =6 AB' AC ' AD' AI ⇔ BB' CC' DD' + + = Mặt khác ta có: AB' AC' AD' BB' h B CC ' h C DD' h D = , = , = AB' h A AC ' h A AD' h A Suy ra: hB hC hD + + = ⇔ h B + h C + h D = 3h A hA hA hA 2 Ta có: ( h B + h C + h D ) ≤ ( h B + h C + h D ) (**) ⇔ ( h B − h C ) + ( h C − h D ) + ( h D − h B ) ≥ (luôn đúng) 2 2 2 Kết hợp với (**) ta được: ( 3h A ) ≤ ( h B + h C + h D ) h 2B + h C2 + h 2D ≥ h 2A Vậy ta có điều phải chứng minh hay: 3.3 Một số tập vận dụng : Bài tập Cho hình chop tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC) ; SA =2a Gọi M, N hình chiếu vuông góc A lên SB, SC Tính thể tích khối chop A.BCNM theo a Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, đáy lớn AD = 2a, AB = BC = a, SB = 2a, hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm O AD Trên cạnh SC, SD lấy cạnh M, N cho SM = MC, SN = DN Mặt phẳng (α ) qua MN song song với BC cắt SA, SB P Q Tính thể tích khối chóp S.MNPQ theo a Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a; SA = SB = SC =2a Gọi M trung điểm SA; N giao điểm đường thẳng SD mặt phẳng (MBC) Gọi V, V1 thể tích khối chóp S.ABCD S.BCNM a) Tính tỷ số V1 V b) Chứng minh V ≤ 2a Bài tập Cho hình chóp S.ACD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc ∠BAD = 600 , SA ⊥ (ABCD) , SA=a Gọi C’ trung điểm SC mặt phẳng (P) qua AC’ song song song với BD cắt SB ,SD lầ lượt B’ D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Bài tập Cho tứ diện ABCD cạnh a AH đường cao tứ diện O trung điểm AH Một mặt phẳng qua Ocawts AB, AC, AD M, N, P CMR: 1 + + = AM AN AP a Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường SKKN thực giảng dạy năm học 2015-2016 tham gia dạy đội tuyển HSG nhà trường, em HSG lớp 11A1 Luyện thi Đại học Trong trình hướng dẫn học sinh học chuyên đề này, em hứng thú tự tin, biết vận dụng gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn hình học nói riêng môn toán nói chung Mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học Kết đạt nói khả quan, đội tuyển học sinh giỏi nhà trường gồm em tham dự kì thi cấp tỉnh em làm câu V.1 đề thi Các giải đạt ấn tượng giải Nhì, hai giải ba giải KK III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Các toán hình học không gian nội dung quan trọng khó chương trình môn toán bậc THPT Sáng kiến hướng dẫn học sinh vận dụng kết qủa tập SGK vào giải toán hình học không gian tập trung chủ yếu vào dạng tập sau : Tính thể tích, tỉ số thể tích, chứng minh đẳng thức hình học đặc biệt toán cực trị hình học không gian Thông qua dạy học chuyên đề gây hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao khả tư lô gic khả sáng tạo học sinh Sáng kiến có tác dụng tốt việc bồi dưỡng học sinh giỏi ôn luyện thi THPT QG Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn có nhiều thiếu sót hạn chế Rất mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần quan tâm đến việc khai thác mở rộng tập SGK Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời viết thành tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên Sở GD& ĐT nên gửi SKKN đạt giải trường THPT để giáo viên tham khảo trình giảng dạy XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Như Thanh, ngày 10 tháng 05 năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Nguyễn Khắc Sâm TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK Hình học 12 ban - Nhà XBGD năm 2008 SGK Hình học 12 nâng cao - Nhà XBGD năm 2008 Các dạng Toán LT ĐH Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 Các viết tạp chí TH&TT Các đề thi ĐH & CĐ, đề thi HSG tỉnh Trần Văn Tấn -Các chuyên đề hình học 12 Đề thi HSG tỉnh- Nguồn Internet  ... định hướng Quá trình phải tập đơn giản đến phức tạp để rèn luyện lực tư cho học sinh Từ giúp em có sở khoa học phân tích, định hướng tìm tòi lời giải cho toán khác đặc biệt cố cho em lòng tin vào... Xem toán nêu toán gốc, ta khai thác toán góc độ khác Sau đây, xin đưa bốn hướng khai thác toán để hướng dẫn học sinh giải tốt toán hình học không gian Hướng 1: Ứng dụng toán gốc để giải toán... 3.3 Một số tập vận dụng : Bài tập Cho hình chop tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC) ; SA =2a Gọi M, N hình chiếu vuông góc A lên SB, SC Tính thể tích khối chop A.BCNM theo a Bài tập