Khoá luận tốt nghiệp toán Rèn luyện, phát triển tư duy logic cho học sinh THPT thông qua dạy học các phương pháp suy luận

Theo quan điểm đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay ở các trường trunghọc phổ thông là: phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, tựki

ĐỀ TÀI Rèn luyện, phát triển tư duy logic cho học sinh THPT thông qua dạy học các phương pháp

suy luận

Lời cảm ơn

Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi xin cảm

ơn các thầy cô giáo trong khoa Khoa học – Tự nhiên, trường ĐH Quảng Bình nói chung

và các thầy cô trong Bộ môn Toán nói riêng đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt khóa luận này.

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn Quang Hòe, người đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tôi về kiến thức và phương pháp trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tới gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh bên tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian tôi thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận này.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trường THPT Quảng Ninh – Quảng Ninh – Quảng Bình đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi để khóa luận được hoàn thành.

Trong quá trình thực hiện khóa luận, tôi đã rất cố gắng để hoàn thiện cả về nội dung lẫn hình thức nhưng vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

Quảng Bình, ngày 03 tháng 06 năm 2014

Sinh viên

Trần Thu Hiền

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

I Lý do chọn đề tài: 1

II Mục đích nghiên cứu 2

III Cấu trúc đề tài: 2

IV: Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu: 3

CHƯƠNG I: SUY LUẬN VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4

I Một số khái niệm cơ bản: 4

1.1 Phương pháp suy luận 4

1.2 Suy luận suy diễn (hay suy luận diễn dịch) 4

1.3 Suy luận quy nạp: 5

II Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong dạy học toán 10

2.1 Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau 10

2.2 Hai loại suy luận này thống nhất với nhau 11

III Vai trò và tác dụng của phương pháp suy luận trong dạy học toán 13

IV Mục đích của dạy học toán 15

V Sơ lược tình hình rèn luyện suy luận cho học sinh phổ thông 16

5.1 Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực suy luận cho học sinh: 16

5.2 Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực suy luận cho học sinh ở trường trung học phổ thông 17

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 20

I Phương pháp dạy học khái niệm bằng suy luận 20

1.1 Con đường suy diễn 20

1.2 Con đường quy nạp 21

1.3 Nhận xét 23

II Các biện pháp thực hiện 24

3.1 Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp 24

3.2 Tập cho học sinh nêu dự đoán 31

CHƯƠNG III: RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN CHO HỌC SINH QUA GIẢI BÀI TẬP TOÁN 41

I Tác dụng của phương pháp suy luận đối với học toán 41

II Một số bài tập giúp rèn luyện năng lực suy luận 42

KẾT LUẬN 49

PHỤ LỤC 50

Giáo án thực nghiệm số 1 50

Giáo án thực nghiệm số 2 57

Giáo án thực nghiệm số 3 62

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

Theo quan điểm đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay ở các trường trunghọc phổ thông là: phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, tựkiến tạo kiến thức cho mình, chống lại thói quen học tập thụ động Trong tiết học thầygiáo đóng vai trò quan trọng giúp đỡ học sinh kiến tạo kiến thức chính xác, vì đôi lúc kiếnthức học sinh kiến tạo được chỉ đúng trong một trường hợp Học sinh cần phải kiến tạocách hiểu riêng của mình đối với mọi khái niệm Toán học .Vấn đề bồi dưỡng tư duy sángtạo cho học sinh qua môn toán đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm Trong

đó, nổi tiếng như các tác phẩm "Toán học và các suy luận có lý" quyển 1, quyển 2, "Sáng tạotoán học" của G.Polya; Ở nước ta nhiều tác giả như Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn,Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức đã có nhiềucông trình nghiên cứu về lý luận và thực tiễn về phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

1.2 Về mặt thực tiễn

Với phương pháp dạy học truyền thống (truyền thụ một chiều từ giáo viên, sự tiếp thuthụ động của học sinh) khiến các em học sinh có suy nghĩ rằng toán học đã tồn tại từ lâuvới những công thức và thuật toán bất di bất dịch Đáng tiếc là những suy nghĩ như vậy

hoàn toàn không đúng với bản chất của toán học Yêu cầu đặt ra cho giáo dục Việt Nam

hiện nay là phải đổi mới phương pháp dạy học, cần phải thay đổi phương pháp dạy học

truyền thống đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng tạo, người dạy tổ chức, địnhhướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích cực của học sinh để học sinh tự chiếmlĩnh tri thức và hình thành kỹ năng.

Trong chương trình toán trung học phổ thông thì mảng kiến thức về các phương phápsuy luận là một mảng khá khó, rất phong phú đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc,biết kết hợp nhiều phần kiến thức lại với nhau Tuy nhiên đây là một nội dung dạy họcnếu khai thác tốt có thể giúp cho học sinh phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo Đồngthời suy luận cũng giúp cho học sinh phát hiện ra các tri thức mới cho bản thân, làm chohọc sinh chủ động tiếp cận với kiến thức toán hơn Là một sinh viên sư phạm toán, tôimong muốn góp một phần nhỏ vào vấn đề đổi mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy

và học, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của giáo dục trung học phổ thông nên tôi chọn đề

tài: " Rèn luyện, phát triển tư duy logic cho học sinh THPT thông qua dạy học các phương pháp suy luận"

II Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu "Rèn luyện, phát triển tư duy logic cho học sinh THPT thông quadạy học các phương pháp suy luận" nghiên cứu cơ sở lý luận các phương pháp suy luậntoán học, làm rõ các phương pháp suy luân trong chương trình sách giáo khoa môn Toántrong chương trình THPT và vai trò của nó trong dạy học toán học Từ đó đưa ra một sốbiện pháp thực hiện rèn luyện tư duy logic cho học sinh trong dạy học các phương phápsuy luận, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,tác động đến hứng thứ niềm vui để học sinh khỏi e sợ, chán ngán và rụt rè khi học mônToán, tạo niềm tin cho học sinh và giúp học sinh học tốt môn Toán, tạo động lực học toáncho học sinh Từ đó kết quả học Toán của các em sẽ được nâng cao hơn và đáp ứng kịpthời một con người thời đại

III Cấu trúc đề tài:

Đề tài gồm 3 chương:

Chương I: Suy luận và các khái niệm cơ bản

Chương II: Một số biện pháp thực hiện

Chương III: Rèn luyện phát triển tư duy suy luận cho học sinh qua các bài tập toán.

IV: Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu:

1 Đối tượng nghiên cứu:

- Tài liệu về các phương pháp suy luận

- Các hoạt động nhằm rèn luyện, phát triển tư duy logic cho học sinh khi dạy học cácphương pháp suy luận

- Học sinh và giáo viên ở trường THPT

2 Phạm vi nghiên cứu:

- Phạm vi về thời gian: từ tháng 10/2013 đến tháng 4/2014

- Phạm vi về nội dung: Phương pháp rèn luyện tư duy sáng tạo qua dạy học cácphương pháp suy luận

3 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý luận:

Ÿ Sử dụng phương pháp phân tích - tổng hợp tài liệu

Ÿ Phân loại tài liệu có liên quan để nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

Ÿ Phương pháp quan sát sư phạm

Ÿ Phương pháp điều tra, phỏng vấn

Ÿ Phương pháp dạy thực nghiệm

CHƯƠNG I SUY LUẬN VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

I Một số khái niệm cơ bản:

Trước khi đi vào nội dung chính của đề tài, xin làm rõ một số khái niệm cơ bản cóliên quan

1.1 Phương pháp suy luận

Suy luận là một hình thức tư duy mà từ một hay nhiều phán đoán đã có (tiên đề) ta rút

ra được một số phán đoán mới (kết luận) Suy luận là một quá trình nhận thức hiện thựcgián tiếp Nói chung có hai loại suy luận cơ bản: suy luận suy diễn và suy luận quy nạp

1.2 Suy luận suy diễn (hay suy luận diễn dịch)

Suy luận suy diễn là cách suy luận đi từ cái tổng quát đến cái riêng, từ quy luật phổbiến đến trường hợp cụ thể Do vậy kết luận bao giờ cũng đúng Đặc trưng của suy diễn làviệc rút ra mệnh đề mới từ cái mệnh đề đã có được thực hiện theo các quy tắc logic.Chẳng hạn:

- Quy tắc kết luận: X Y X,

Bảng sau là một số quy tắc suy luận quan trọng thường đặt trên cơ sở các đồng nhất đúng trong logic mệnh đề và logic vị từ Chúng ta có thể xây dựng rất nhiều các quy tắc suy diễn như vậy dựa trên các đồng nhất đúng tuy nhiên ta chỉ xét các suy diễn tương đối đơn giản dễ nhớ, dễ áp dụng.

Tam ®o¹n luËn (p (p p  q))(p q)  r))))(p p  r))) p  q) , q)  r))  p  r))

1.3 Suy luận quy nạp:

Theo từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr 494), phương pháp quy nạp suy luậndựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp riêng lẻ, rồi mở rộng cáckết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát Đặc trưng của suy luận quynạp là không có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét kiểmtra để rút ra kết luận Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng,

có thể sai Có tính ước đoán

a) Quy nạp toán học

Quy nạp toán học là một phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất của nó là suy luậnsuy diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề đúng với n– 0 (hoặc n = p) Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh quantrọng trong toán học, cơ sở của nó là nguyên lí quy nạp toán học (Phương pháp này đượcđưa vào chương trình Đại số và giải tích 11)

b) Quy nạp hoàn toàn

Quy nạp hoàn toàn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút ra trên cơsở nghiên cứu các đối tượng của lớp đó

Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối tượng thuộcphạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng Ta có sơ đồ khái quát như sau:

- Chương trình hình học 10 nâng cao, NXBGD 2006, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên,tr.42 trình bày chứng minh định lí sin trong tam giác:

c) Quy nạp không hoàn toàn

Quy nạp không hoàn toàn là suy luận mà trong đó kết luận khái quát chung về lớp đốitượng nhất định được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủ các đối tượng của lớp ấy.Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của lớp song kếtluận lại rút ra chung cho cả lớp đó Chúng ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới chỉxem xét một số trường hợp riêng mà thôi

Quy nạp không hoàn toàn không thể xem là một phương pháp chứng minh trong toánhọc Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới, có thể đưa đến kếtluận đúng Chẳng hạn, để tìm công thức của tổng n số lẻ đầu tiên, ta xét các trường hợpriêng:

1 = 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

Các kết quả này cho phép dự đoán 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n - 1) = n2, tức là tổng của n

số lẻ đầu tiên bằng n2 Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chững minh bằng quynạp toán học Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp không hoàn toàn cũng có thể đưa đếnkết luận sai

Ví dụ: Xét các số dạng 2

2 n  (số Fermat) Cho n các giá trị 1, 2, 3 ta được các số1tương ứng là 3, 17, 137 đều là các số nguyên tố Do đó, ta có thể nghĩ rằng tất cả các sốFermat đều là các số nguyên tố Song kết luận này không đúng Với n = 4, Euler đã chỉ rarằng 22n  chia hết cho 641 1

Nói tóm lại, kết quả tìm được bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn chỉ là mộtgiả thuyết, chừng nào nó chưa được chứng minh

Trong toán học, phương pháp quy nạp hoàn toàn nói chung, chỉ được sử dụng mộtcách có giới hạn vì đa số mệnh đề toán học được bao gồm vô số trường hợp riêng Do đónói chung không thể sử dụng phương pháp quy nạp hoàn toàn được Còn phương phápquy nạp không hoàn toàn, tuy kết luận của nó có thể sai nhưng lại có ý nghĩa to lớn trongviệc tìm tòi, dự đoán, tìm ra tri thức mới

Polya khẳng định: “Suy luận quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí” haycòn được giáo sư Hoàng Chúng gọi là “suy luận nghe có lí”

d) Phép tương tự

Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kếtluận về những thuộc tính giống nhau, khác nhau của hai đối tượng đó Kết luận của phéptương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lêngiả thuyết.

S

Từ đây dễ dàng tính được P

e) Phép khái quát hóa:

Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng lớn hơn nào đó cóchứa đối tượng này Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là nó cóthể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết

f) Phép đặc biệt hóa:

Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trongtập hợp ban đầu Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừ các trường hợpđặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụnggợi lên giả thuyết.

Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn haysuy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thể coi là tứ giáckhi một cạnh có độ dài bằng 0; Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn của cát tuyến của đườngcong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đến nó

Trong đề tài này sẽ đề cập đến các phương pháp suy luận, mà đi sâu là quy nạp, phépsuy luận có vai trò quan trọng trong chương trình toán THPT

II Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong dạy học toán.

Mục này được trình bày theo G Polya

Phương pháp quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí, còn suy luận suydiễn là một trường hợp riêng của suy luận chứng minh Để làm rõ mối quan hệ của chúng,

ta hãy xét mối quan hệ tổng thể của suy luận chứng minh và suy luận có lí

Trong toán học, chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận chứng minh nhưngviện trợ các giả thuyết bằng suy luận có lí

Một chứng minh toán học là suy luận chứng minh còn kết luận quy nạp của các nhàvật lí, hóa học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật sư, những dẫn chứngtài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tế học, đều thuộc về các suyluận có lí

2.1 Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau

a) Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát;còn suy luận có lí là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện

b) Đối với toán học cũng như các môn khoa học khác, vai trò của suy luận chứngminh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như bản thân toán học) không có khả năng cung

cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biếtđược về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí.

c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi thành luật và đượcgiải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết của cácsuy luận chứng minh Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động và không một

lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng bằng logic chứng minh và có sự nhấtquán như logic chứng minh

2.2 Hai loại suy luận này thống nhất với nhau

Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn mà trái lạibổ sung cho nhau Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệt chứng minh với dựđoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không có căn cứ Trong một suy luận có lí điềuchủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán hợp lí hơn với dự đoán ít hợp lí hơn.Trong “Toán học và những suy luận có lí” (xem [4] tr.6), Polya nhấn mạnh mối liên hệchặt chẽ giữa suy luận chứng minh và suy luận quy nạp như sau: “Toán học được xem làmột môn khoa học chứng minh Tuy nhiên, đó chỉ là một khía cạnh của nó Toán học,trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh Nhưng toán học trong quátrình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành Bạnphải dự đoán về một định lí toán học, trước khi bạn chứng minh nó, bạn phải dự đoán về

ý của chứng minh, trước khi tiến hành chứng minh chi tiết Bạn phải đối chiếu các kết quảquan sát được và suy ra những điều tương tự; bạn phải thử đi thử lại Kết quả công tácsáng tạo của nhà toán học là suy luận chứng minh, là chứng minh; nhưng người ta tìm racách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độnào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗcho dự đoán, cho suy luận có lí”

Qua đó nhận thấy rằng, tuy phương pháp suy luận quy nạp và phương pháp suy luậnsuy diễn có những nét trái ngược song chúng lại có mối quan hệ mật thiết với nhau, thốngnhất với nhau trong quá trình nhận thức Chúng là một cặp phương pháp luôn được ápdụng trong một thể thống nhất kế thừa và làm tiền đề của nhau, hỗ trợ cho nhau Vì nếudiễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, thì trước đó cần phải có quy nạp (quy nạp

không hoàn toàn) để dự đoán ra cái chung đã Nói cách khác, quy nạp cung cấp nguyênliệu cho diễn dịch, diễn dịch lại đặt ra nhu cầu mới cho quy nạp, khẳng định hay phủ địnhnhững dự đoán (giả thiết) của bước quy nạp Cứ như thế, sau mỗi bước quy nạp, conngười lại đi gần thêm vào bản chất chung của sự vật, hiện tượng, hiểu biết càng nhiều vềbản chất chung của thế giới.

Trong từ điển toán học thông dụng (xem [7] tr.496) đã khẳng định: “Suy diễn và quynạp là hai phương pháp suy luận có liên quan mật thiết với nhau, mặc dù bề ngoài chúng

có vẻ tương phản Mọi phép suy diễn đều bao hàm trong nó yếu tố quy nạp, vì bất cứ suydiễn khoa học nào cũng đều bắt nguồn từ sự nghiên cứu các sự vật một cách quy nạp.Ngược lại, phép quy nạp chỉ có giá trị khoa học khi nó dẫn tới sự nhận thức của quy luậtchung” Có thể nói: trong thực tế, quy nạp và diễn dịch bao giờ cũng thống nhất với nhautrong quá trình nhận thức

Ví dụ:

Bài toán định lí lớn Fermat: Phương trình x n y n z n (1) không có nghiệm nguyênkhác không, với bất kì số nguyên n ≥ 3

Ta biết với n = 1: x y z  có vô số nghiệm nguyên

Với n = 2: x2y2 z2 Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam giác vuông,với cạnh huyền a thì luôn có b2c2 a2 Đây chính là nội dung định lí Pythagore

Với n = 3: x3y3 z3 là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứng minh năm1770

Với n = 4: x4y4 z4 cũng là một trường hợp riêng của (1) do chính Fermat chứngminh

Mãi đến năm 1993 – 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, sau gần 350 nămmới chứng minh hoàn toàn định lí này

Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thiết có được bằngsuy luận quy nạp không hoàn toàn Có những giả thuyết đã bị bác bỏ, có nhiều giả thuyết

minh hay bác bỏ Tuy nhiên việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ nhiều giả thuyết đã cótác dụng thúc đẩy sự phát triển của toán học Ví dụ: “Một chân trời mới cho giả thuyếtGôn – bác”, (xem Toán học & Tuổi trẻ, số 7/2004).

III Vai trò và tác dụng của phương pháp suy luận trong dạy học toán.

Suy luận được xem là một trong những nền tảng xây dựng nên các ngành khoa học tựnhiên Từ xưa đến nay, nhờ suy luận mà người ta có thể nhận thức được cái chưa biết từnhững cái đã biết Suy luận toán học còn là cơ sở của sự sáng tạo Từ các phán đoán, đưađến các chứng minh để chấp nhận hay bác bỏ một vấn đề nào đó “Chúng ta cần chú ýrằng toán học có thể xét theo hai phương diện Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toánhọc đã đạt được thì nó nó là một khoa học suy diễn và tính logic nổi bật lên Nhưng nếunhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minhthì trong phương pháp của nó vẫn có mò mẫm, dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và quynạp Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học toán, mới khaithác được đầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện giáo dục toàn diện” (Theo Nguyễn BáKim, Vũ Dương Thụy ở [9], tr.25)

Các tác dụng to lớn của việc rèn luyện và phát triển quy nạp với kết quả học toán củahọc sinh được thể hiện cụ thể như sau:

a) Nhờ quy nạp, ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phân tích,tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, không nhữngcần thiết cho việc học toán mà còn cần thiết cho các môn khoa học khác, cho công tác vàhoạt động của con người

Ví dụ: Khi dạy học định lí Cosin trong tam giác (Hình học 10), người ta đi từ tam giác

ABC có góc A vuông để đi đến biểu thức BC2 AC 2 AB2 0

nhờ định lí Pythagore,rồi tổng quát lên cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông thì

và cụ thể sẽ bằng bao nhiêu?

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh, tổng hợp và tương tự nhưsau:

- Tam giác ABC vuông nên a2 b2c2 Với tam giác ABC không vuông thì a sẽ2

b c thêm bớt một lượng nào đó Vấn đề của ta là tìm lượng đó bằng bao nhiêu?

- Ta sử dụng công cụ vec tơ:

- So sánh: khi A = 900 thì (*) trở thành 2 2 2

a b c Như vậy, định lí Pythagore làmột trường hợp riêng của (*)

- Tổng hợp lại ta được: Trong tam giác ABC bất kì ta luôn có a2 b2c2 2 cosbc A

kĩ thuật, kinh tế,

Ví dụ: Tri thức về tương quan tỉ lệ thuận biểu thị bởi công thức y ax được sử dụngtrong:

- Tính diện tích S của một thửa ruộng hình tam giác có một cạnh bằng a với đường

Nói tóm lại, phương pháp suy luận nói chung và phương pháp quy nạp nói riêng có ýnghĩa quan trọng trong dạy học toán

IV Mục đích của dạy học toán

Trong “Phương pháp dạy học môn toán” (xem [9], tr 45 – 62), GS.TSKH Nguyễn BáKim đã nêu nhiệm vụ của dạy học toán ở trường THPT là:

- Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễnbởi thông qua bộ môn toán chúng ta có thể cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắccác tri thức, phương pháp, kỹ năng đồng thời rèn luyện khả năng vận dụng những hiểubiết toán học vào các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất

- Phát triển năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng, tư duy logic, tư duy biệnchứng, rèn luyện các thao tác tư duy như trừu tượng, phân tích, tổng hợp, so sánh, kháiquát, các phẩm chất tư duy như tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo,

- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ Môn toán góp phần bồidưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện các phẩm chất của ngườilao động mới trong học tập và sản xuất như tính cẩn thận, chính xác, có mục đích, có kếhoạch, phương pháp, kỉ luật, sáng tạo, có óc thẩm mỹ,

Phương pháp suy luận có tác dụng to lớn nhằm phục vụ đắc lực cho việc thực hiệncác mục đích nêu trên Cụ thể:

- Qua thực hiện các phương pháp suy luận, học sinh tự mình tìm tòi, khám phá, rút ra cáctri thức “mới” nên học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu các kiến thức dẫn đến vận dụng tốt hơn

- Học sinh sẽ có kĩ năng thành thạo hơn, rèn luyện các thao tác tư duy, đặc biệt là kháiquát hóa, trừu tượng hóa, tương tự, dẫn đến sáng tạo Ngoài ra, học sinh còn rèn luyệnđược các phẩm chất trí tuệ nêu trên, khả năng so sánh, lựa chọn nhằm phát triển năng lựcphê phán

- Ngoài ra học sinh sẽ có hứng thú học tập, có niềm tin trong sáng tạo và khám phá

V Sơ lược tình hình rèn luyện suy luận cho học sinh phổ thông

5.1 Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực suy luận cho học sinh:

Rèn luyện và phát triển năng lực lập luận, chứng minh cho học sinh là một việc phải

là thường xuyên của giáo viên trung học nhất là THPT

Vì vậy sách giáo khoa toán ở bậc học này đã trình bày kiến thức theo xu hướng tiên

đề hóa nhằm tạo điều kiện cho giáo viên rèn luyện năng lực quan trọng này cho học sinh

Ví dụ như việc yêu cầu học sinh biết chứng minh các tính chất, định lí từ sớm (ngay từlớp 7)

Tuy nhiên, như ý kiến của GS Nguyễn Cảnh Toàn: “Toán học là một môn học rấtthuận lợi trong việc rèn luyện tư duy logic, nhưng cách dạy của chúng ta lại chỉ chú ý đến rènluyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp” Ngành Giáo dục và Đào tạo nước tatrong mấy năm gần đây đã và đang đổi mới phương pháp dạy và học Cụ thể như sau:

a) Cố gắng giảm bớt tính áp đặt cho học sinh, tổ chức các hoạt động, dẫn dắt để họcsinh phát hiện vấn đề, so sánh, nhận xét, khái quát hóa hay trừu tượng hóa

b) Sách giáo khoa hiện nay cũng đã cố gắng giảm bớt yêu cầu về tính logic của vấn

đề mà chú trọng đến tính thực tế

Sách giáo khoa hiện nay đã cố gắng giảm nhẹ phần lí thuyết, chủ yếu là giảm nhẹ cácchứng minh của các tính chất hoặc định lí Các tính chất hoặc định lí này nhiều lúc rấthiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng thực ra chứng minh nó lạikhông đơn giản và không mang lại lợi ích gì nhiều Chẳng hạn, tính chất duy nhất củavectơ đối (Hình học 10) Chúng ta chú trọng hơn đến tính thực tế, tính liên hệ thực tiễn,sự cần thiết phải có chúng trong thực tế

5.2 Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực suy luận cho học sinh ở trường trung học phổ thông

a) Qua trao đổi, dự giờ tôi nhận thấy một trong những yếu điểm của hoạt động dạy vàhọc của chúng ta là phương pháp dạy – học, phần lớn là kiểu thầy giảng trò ghi, thầy đọctrò chép, vai trò của học sinh có phần thụ động Phương pháp đó làm cho học sinh có thóiquen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo, thói quen học lệch, học tủ, học để đi thi mà thôi.Tuy nhiên, trong những năm gần đây, khi chúng ta đẩy mạnh phương pháp dạy vàhọc, chú trọng đến tính tích cực, tự giác, sáng tạo, tính linh hoạt trong tư duy của họcsinh, đặc biệt là có sự tiếp cận, ứng dụng rộng rãi khoa học kĩ thuật và công nghệ thôngtin vào dạy học, phương pháp suy luận nói chung và phương pháp quy nạp nói riêng đãđược sử dụng nhiều hơn, rộng rãi hơn

Ví dụ như nhờ ứng dụng của các phần mềm toán học (Maple, Geometer’s Sketchpad,

Geospack, ), các giáo viên có thể biểu diễn trực quan cho học sinh thấy được các hình

ảnh không gian 2 chiều, 3 chiều, các hình ảnh động, Qua đó học sinh dễ dàng phát hiện,dự đoán các kiến thức “mới” phù hợp với trình độ theo yêu cầu của nội dung chương trìnhgiảng dạy

b) Qua thăm dò ý kiến thì tất cả giáo viên đều nhất trí cho rằng: việc rèn luyện nănglực suy luận quy nạp cho học sinh là cần thiết, không thể xem nhẹ

Nhưng giáo viên cũng đã thấy được những khó khăn sẽ gặp phải khi tiến hành rènluyện và phát triển năng lực suy luận cho học sinh như sau:

+ Học sinh cần phải thay đổi cách học cũ lâu nay.

*) Đa số giáo viên đều nhận thấy tác dụng to lớn nếu rèn luyện được cho học sinhnăng lực suy luận, đặc biệt là: học sinh hiểu bài dễ dàng hơn, hiểu sâu và nhớ lâu nhữngđiều do tự mình thu nhận, tự mình chủ động tìm tòi, phát hiện ra

Kết luận chương:

Trong việc dạy học Toán, cũng như việc dạy học các môn học ở trường phổ thông,điều quan trọng là hình thành cho học sinh một hệ thống khái niệm cơ bản Đó là cơ sở,nền tảng của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh Đối với dạy học các phương phápsuy luận thì việc nắm vững các khái niệm về các phương pháp suy luận, các quy tắc suyluận sẽ giúp cho các em dễ dàng tiếp cận, tìm tòi, khám phá các tri thức “mới”, biết vậndụng linh hoạt các phương pháp trong học tập Vì vậy, ở chương đầu tiên của đề tài, tôi đãhệ thống lại các khái niệm, kiến thức cơ bản nhất có liên quan đến các phương pháp suyluận nhằm giúp bản thân cũng như những người học toán,dạy toán có cơ sở để áp dụngvào công việc dạy học của mình

CHƯƠNG II MỘT SỐ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

Phương pháp suy luận được tiến hành theo con đường từ thực tiễn, từ các ví dụ minhhọa, các kiến thức cũ, các vấn đề đặt ra, các trường hợp đặc biệt, cùng với hệ thống câuhỏi, sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh nhận xét để rút ra các khái niệm, các định lí,các kiến thức mới

I Phương pháp dạy học khái niệm bằng suy luận

1.1 Con đường suy diễn

 Các giai đoạn chủ yếu của con đường này

Bước 1: Phát biểu định nghĩa (khái niệm)

Khái niệm xuất hiện ngay từ đầu với cơ chế đối tượng để xét

Bước 2: Củng cố và vận dụng khái niệm

Cho các ví dụ minh họa (hợp thức hóa đối tượng, nghĩa là chỉ ra sự tồn tại của đốitượng thỏa mãn định nghĩa) và phản ví dụ cho phép làm rõ thuộc tính bản chất của kháiniệm

Cho các bài tập củng cố hoặc đưa vào các tính chất khác của khái niệm, các bài tậpvận dụng

 Sơ đồ hóa tiến trình

 Củng cố

 Vận dụngPhát biểu định nghĩa, khái niệm

1.2 Con đường quy nạp

 Các giai đoạn chủ yếu của con đường này

Bước 1: Nghiên cứu một số trường hợp riêng lẻ và phác thảo định nghĩa.

Giáo viên tổ chức cho học sinh nghiên cứu một số đối tượng riêng lẻ thuộc lớp cácđối tượng xác định khái niệm cần định nghĩa và một vài đối tượng không thuộc lớp này,trong đó khái niệm xuất hiện dưới hình thức “có tên nhưng chưa có định nghĩa” Tên củakhái niệm do giáo viên thông báo, nhưng chưa cho định nghĩa khái niệm

Học sinh, với sự hướng dẫn của giáo viên sẽ khám phá dần dần các thuộc tính bảnchất của khái niệm (nhờ vào các thao tác tư duy phân tích, so sánh, tổng hợp) thể hiệntrong các trường hợp riêng lẻ, cụ thể được nghiên cứu Từ đó, nhờ vào thao tác khái quáthóa, trừu tượng hóa học sinh trình bày phác thảo ban đầu về khái niệm

Chú ý: Tên của khái niệm có thể được giáo viên thông báo vào một thời điểm thíchhợp (không cố định): ngay từ đầu, hoặc sau khi học sinh nghiên cứu cụ thể các trương hợp

đã cho,

Như vậy, mục đích chính của bước này là:

- Hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng về khái niệm

- Phát hiện một số thuộc tính bản chất của khái niệm

- Phác thảo định nghĩa khái niệm

Bước 2: Trình bày định nghĩa chính thức

Trên cơ sở phác thảo định nghĩa của học sinh, giáo viên tổ chức cho học sinh tìm cáchbổ sung, hoàn chỉnh, sau đó trình bày định nghĩa chính thức của khái niệm và các kí hiệu liên quan

Bước 3: Củng cố và vận dụng khái niệm

Cho các ví dụ, phản ví dụ và các bài tập củng cố khái niệm Người ta cũng có thểnghiên cứu các thuộc tính (tính chất) khác của khái niệm (thường được cho dưới dạngđịnh lí, hệ quả, ) hay có thể đưa vào các vấn đề trong đó khái niệm được sử dụng như làcông cụ để giải quyết

 Sơ đồ hóa tiến trình

Ví dụ: Dạy học khái niệm “Hàm số liên tục tại một điểm”

Nghiên cứu các trường hợp riêng lẻ để:

- Phát hiện một số thuộc tính, bản chất của khái niệm

- Hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng

về khái niệm

- Phác thảo định nghĩa khái niệm

Trình bày định nghĩa chính thức của khái niệm

b Tính lim ( )x1 f x

c So sánh f(1) và lim ( )x1 f x

d Vẽ phác đồ thị của hàm số Đồ thị này có là một đường liền nét không?

+ Phát hiện các thuộc tính bản chất (hình thành biểu tượng)

Sau khi giải bài toán trên, giáo viên cho học sinh so sánh đặc trưng của các hàm số đãnghiên cứu và thông báo: Hàm số thứ nhất được gọi là hàm số liên tục tại điểm x = 1, cáchàm số khác gọi là không liên tục tại 1 (hay gián đoạn tại 1)

Hướng dẫn học sinh nêu lên các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số liên tục tạiđiểm x = 1 Từ đó bằng khái quát hóa để có các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm sốliên tục tại điểm x = x0 và phác thảo định nghĩa khái niệm này

* Bước 2: Trình bày định nghĩa khái niệm hàm số liên tục tại x0 dưới dạng kênh lờinhư trong sách giáo khoa và dưới dạng kênh hình (tóm tắt định nghĩa)

* Bước 3: Cho ví dụ minh họa, củng cố Nghiên cứu một số định lí cho phép vận

dụng khái niệm hàm số liên tục vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phươngtrình,

1.3 Nhận xét

 Con đường suy diễn

- Ưu điểm: Ngắn gọn, rõ ràng, sáng sủa và tiết kiệm thời gian Giáo viên dễ làm chủtiến trình dạy học

- Nhược điểm: Khái niệm được trình bày dưới hình thức phi hoàn cảnh hóa, phi cánhân hóa, phi thời gian hóa Do đó, nó chỉ mang nghĩa hình thức Học sinh không thấyđược nguồn gốc nảy sinh và hình thành khái niệm Khó hiểu đối với học sinh trung bình

và yếu Khó phát huy được tính tích cực hoạt động và tính sáng tạo của học sinh Khó cóđiều kiện phát triển các năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quáthóa

 Con đường quy nạp

- Ưu điểm: Trực quan, phù hợp với con đường nhận thức: “Từ trực quan sinh động,đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường nhận thứcchân lí” Do đó dễ hiểu hơn đối với học sinh Cho phép rèn luyện các thao tác tư duy(phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, ), phát triển khả năng quansát Phù hợp với đối tượng học sinh trung bình và yếu Nên tổ chức tốt để phát huy tínhtích cực hoạt động của học sinh.

- Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian

II Các biện pháp thực hiện

Để rèn luyện năng lực, khả năng sử dụng phương pháp suy luận cho học sinh ta cầnthực hiện một số biện pháp sau:

3.1 Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp

b Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học toán

- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẻ nằmtrong một khái niệm, một định lí,

- Từ những thuộc tính riêng lẻ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác, đầy đủmột khái niệm, một định lí,

- Đây là hai thao tác cơ bản luôn luôn được sử dụng để tiến hành các thao tác khác

c Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khi dạy khái niệm “Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0”, giáo viên có thể tiếnhành như sau:

- Kiểm tra bài cũ bằng cách yêu cầu học sinh là các bài tập sau:

1) Cho hàm số

2 1 khi 1

 , xlim ( )0 f x

 nếu có, lim ( )x0 f x và f(0)

3) Cho hàm số

2 1 khi 1( )

 và lim ( )x 1 f x



Học sinh tính toán và đưa ra kết quả cụ thể dưới sự hướng dẫn của giáo viên

- Hàm số có tính chất như ở 1) được gọi là hàm số liên tục, từ đó học sinh tổng quátnêu định nghĩa: lim ( )0 ( )0

x x f x f x

- Ta tiến hành phân tích định nghĩa: lim ( )x x0 f x

 tồn tại khi nào? (lim ( )x x0 f x

- Hàm số f(x) có f x tức là hàm số này xác định tại x( )0 0

Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 lim ( )0 ( )0

Từ đó ta có thể yêu cầu học sinh rút ra hai dấu hiệu nhận biết một hàm số liên tục tạiđiểm x0 Giáo viên có thể sử dụng luôn hai bài tập 1) và 2) làm hai ví dụ minh họa.

Khi dạy định lí, phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết luận, phân tích đểthấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt được sự giống và khácnhau giữa các định lí gần gũi nhau

Ví dụ 2: Định lí về hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

Phân tích giả thiết, kết luận:

Phân tích các bước nhỏ của quá trình chứng minh:

- Hiểu rõ giả thiết:       a   và a 

và a   a/ /     với       .

Khi dạy học sinh giải bài tập toán, cần phải hướng dẫn học sinh:

- Nhìn bao quát một cách tổng hợp xem bài toán đã cho thuộc loại nào, phân tích cái

đã cho và cái phải tìm

- Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau Sau khi phân tích được một số ý thìtổng hợp lại để xem ta có thu được điều gì bổ ích không, còn thiếu yếu tố nào nữa?

- Tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thành phần, bài toánđặc biệt đơn giản hơn và dễ hơn, cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau (Đề thi tuyển sinh đại học 1987)

“Chứng minh a3b3a4b4 (2) cho biết a b 2 (1)”

- Biến đổi kết luận: Nhận thấy rằng trong hai vế đều có chứa cả a lẫn b nên đưa vềmột vế để đặt thành thừa số chung

b Tác dụng

- Hiểu sâu và đúng các đối tượng quan sát

- Thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng

- Giúp cho việc tiến hành thao tác tương tự sau này

c Ví dụ minh họa

- So sánh những sự vật, hiện tượng bề ngoài có vẻ khác nhau nhưng thực chất làgiống nhau, thậm chí có khi chỉ là một.

chỉ là một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác

- So sánh các sự vật hiện tượng theo nhiều khía cạnh khác nhau Có khi chúng khácnhau ở khí cạnh này nhưng lại giống nhau ở khía cạnh khác

Sử dụng các thao tác tư duy trước như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét các đối tượng

cụ thể hay khái quát hóa các sự vật hiện tượng để rút ra các nhận xét, các mệnh đề,

Ví dụ 1: Định lí lớn Fermat đã nêu ở trước Việc thử với n = 3 của Euler và n = 4 của

Fermat là các thử nghiệm để củng cố niềm tin: “Định lí” Fermat đúng là một định lí, vàđiều này được Andrew Wiles khẳng định là đúng vào năm 1994

Ví dụ 2: Từ bài toán rút gọn và tính giá trị của biểu thức:

Khi a2 31 và b2 31

Với cách giải thông thường là thay số vào để tính, hoặc rút gọn rồi mới thay số đềuphức tạp và dễ nhầm lẫn dẫn đến sai sót nhưng nếu sau khi rút gọn xong

21

2 3 1 2 3 1 4 3 1 11 1

nên ta có được ngay kết quả A=1

3.2 Tập cho học sinh nêu dự đoán

+ Hình thành và phát triển kĩ năng tìm tòi, phát hiện ra cái mới cho học sinh

+ Nó là nguồn gốc của phát minh và sáng tạo

3.2.1 Tập dự đoán qua khái quát hóa, đặc biệt hóa

Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra các cái chung trong các đối tượng, hiện tượng, sựkiện, là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu mộttập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu

Muốn khái quát hóa phải so sánh nhiều đối tượng với nhau để rút ra cái chung, nhưngcũng có khi chỉ từ một đối tượng ta cũng có thể khái quát một tính chất, một phươngpháp

Đặc biệt hóa là xét một trường hợp cụ thể nằm trong cái chung, là chuyển từ việcnghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứatrong tập hợp đã cho

Chúng có tác dụng giúp chúng ta có cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trongnhiều cái riêng lẻ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn Đây là một con đường phátminh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết Chú ý rằng các giả thuyết rút ra được từ kháiquát hóa và đặc biệt hóa có thể đúng và cũng có thể sai Vì vậy phải chứng minh

Ví dụ 1: Trong sách giáo khoa thường nêu ngay các bài tập, bài toán ở dạng có sẵn,

học sinh chỉ việc bắt tay vào giải mà thôi Nhưng bằng quy nạp ta có thể hướng dẫn, tậpcho học sinh tạo ra các hệ thức, các bài toán để tự mình giải Điều này cũng có tác dụnggiúp học sinh định hướng được lời giải của bài toán một cách dễ dàng hơn Chẳng hạn :

 Từ việc xem xét mệnh đề chứa biến P(n) = 1

- Từ đây ta có thể nêu lên giả thuyết : "10n 1 2004 n n, 4"

Sau đó nếu với phép thử, cho dù kết luận dự đoán này có nhận kết quả đúng với n

bằng bao nhiêu thì vẫn không thể coi là đã được chứng minh Nhưng mệnh đề này là mộtmệnh đề đúng và sẽ được chứng minh bằng quy nạp toán học Đây cũng là một ví dụ chophép ta khẳng định, giải thích vì sao trong phép quy nạp toán học cần phải chứng tỏ mệnh

đề đúng với n = 0 hay n = p.

Như vậy trong các dự đoán, kết luận rút ra chỉ là giả thuyết đến khi nào nó đượcchứng minh