Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS thị trấn thường xuân xây dựng hệ thống bài tập theo nhiều hướng khác nhau từ một bài tập sách giáo khoa

1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong q trình giảng dạy nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng việc định hướng, liên kết, mở rộng lật ngược toán vấn đề quan trọng, khơng giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức dạng tốn mà cịn nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt hố tốn để từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho em học sinh Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng lật ngược tốn khác nhau, tìm mối liên hệ chung chúng giúp cho học sinh hứng thú phát triển lực tự học cách khoa học học toán Qua nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh thấy đa số học sinh không nhớ làm chí có khác lời văn nội dung lại hoàn giống với toán cũ Đặc biệt toán đảo tốn tổng qt học sinh thường khơng có kỹ nhận Chính vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận toán cũ, tốn đảo, tốn tổng qt…đồng thời góp phần vào việc đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực bồi dưỡng lực học toán cho học sinh, rèn luyện khả sáng tạo học toán cho học sinh muốn góp phần vào cơng tác bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi Toán trường THCS Thị Trấn nói riêng học sinh tồn huyện Thường Xn nói chung Tơi xin trình bày đề tài: “ Hướng dẫn học sinh lớp trường THCS Thị Trấn Thường Xuân xây dựng hệ thống tập theo nhiều hướng khác từ tập sách giáo khoa ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Cung cấp kiến thức phương pháp tự học cho học sinh học mơn Tốn - Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh Khơi dậy tính sáng tạo giải tốn học sinh - Phát triển lực tự học, biết liên kết mở rộng tốn từ giúp em hình thành phương pháp giải - Giúp học sinh hứng thú học tập đặc biệt bồi dưỡng Học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động lực tự học học sinh 1.4 Phạm vi nghiên cứu Nội dung chương trình Tốn THCS mà chủ yếu chương trình lớp Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Đặc điểm lứa tuổi THCS muốn tự khám phá, tìm hiểu trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy giáo Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động đồng thời phát triển lực tự học học trình lâu dài, kiên nhẫn phải có phương pháp Tính tích cực, tự giác, chủ động lực tự học học sinh thể số mặt sau: - Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khuôn, máy móc - Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh - Phải có óc hồi nghi, đặt câu hỏi sao? Do đâu? Như nào? Liệu có trường hợp khơng? Các trường hợp khác kết luận có khơng? Và phải biết tổng hợp tốn liên quan - Tính chủ động học sinh cịn thể chỗ biết nhìn nhận vấn đề giải vấn đề - Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề biết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua nhiều năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tham khảo học hỏi đồng nghiệp ngồi huyện tơi nhận rằng: - Học sinh yếu tốn kiến thức cịn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư trình học tập - Học sinh làm tập rập khn, máy móc để từ làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Các em cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân khơng phát huy hết - Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao - Nhiều học sinh hài lịng với lời giải mình, mà khơng tìm lời giải khác, khơng khai thác phát triển tốn, sáng tạo tốn nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Một số giáo viên chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo toán các luyện tập, tự chọn - Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ toán với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức, quan trọng nâng cao tư cho em làm cho em có hứng thú học toán - Trước thực đề tài khảo sát 32 học sinh lớp 9A trường THCS Thị Trấn Thường Xuân năm học 2015 - 2016 Kết thu sau: Giỏi Khá TB Yếu, SL TL (%) SL TL (%) SL TL (%) SL TL (%) 32 9.4 12 37.5 15 46.9 6.2 Trước thực trạng địi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp có hiệu Sĩ số 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong trình dạy tốn, thầy giáo có khơng lần gặp toán cũ mà cách phát biểu hồn tồn khác, khác chút Những tốn tương tự, mở rộng, đặc biệt hóa hay lật ngược toán mà toán có phương pháp giải Nếu giáo viên định hướng cho học sinh kỹ thường xuyên liên hệ toán với toán biết toán đảo, toán tổng quát, toán đặc biệt làm cho học sinh phát tốn khơng nhanh chóng xếp loại tốn từ định hướng phương pháp giải cách tích cực chủ động Sau đưa số ví dụ để giải thực trạng để thể nội dung đề tài 2.3.1 Ví dụ (Bài tập 30 trang 116 SGK Tốn tập 1): Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh rằng: · a COD = 90o b CD =AC + BD y x Hướng dẫn: D M C A O B a -Vì CA CM hai tiếp tuyến đường tròn (O) cắt C · nên OC tia phân giác COM (1) CM = CA + DM DB hai tiếp tuyến đường tròn (O) cắt D · nên OD tia phân giác MOB (2) DM = DB - Từ (1) (2) ⇒ CO ⊥ OD b Ta có CD = CM + MD mà CM = CA DM = DB (chứng minh trên) Nên CD =AC + BD Nhận xét: Đây toán đơn giản học sinh giỏi, chí em trung bình làm Nhưng ta thêm câu hỏi khác khơng học sinh trung bình mà cịn em giỏi củng gặp nhiều khó khăn Sau số toán xuất phát từ tập 2.3.2 Xây dựng hệ thống toán Bài tốn1: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D.Chứng minh tích AC.BD khơng đổi M di chuyển đường tròn Hướng dẫn: y x D M C A B O Theo câu a phần ví dụ: ∆ COD vng O, OM đường cao nên OM = CM.MD Theo câu b phần ví dụ: CM = CA, BD = MD Do OM2 = CA.BD mà OM = R ( khơng đổi) Nên CA.BD khơng đổi Bài tốn 2: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh đường thẳng AB tiếp xúc với đường ngoại tiếp tam giác COD Hướng dẫn : y x D N M C A O B - Gọi N trung điểm CD ⇒ NC = ND = NO ( ∆ COD vng O) Do ON bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ COD(1) - Ax ⊥ AB (gt) By ⊥ AB(gt) ⇒ AC // BD nên ACDB hình thang - Xét hình thang ACDB có NC = ND OA = OB Nên ON đường trung bình hình thang ACDB ⇒ ON // AC Do ON ⊥ AB ( AC ⊥ AB) (2) - Từ (1) (2) Suy AB tiếp xúc với đường ngoại tiếp tam giác COD Bài tốn 3: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác COD Chứng minh: < < Hướng dẫn : y x D M N C SCDO = p.r = r.( a+b+c)A Mặt khácOSCDO = OM.CD = R.a B ⇒ Do : r.( a+b+c) = R.a R.a = r.( a+b+c) hay = Xét tam giác CDO ta có: +) b + c > a ⇒ a+b+c > 2a ⇒ < = (1) +) a > b, a > c ( tam giác CDO vng O) ⇒ a+b+c < 3a hay > = (2) Từ (1) (2) suy ra: < < Bài toán 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D Xác định vị trí M để chu vi diện tích tứ giác ACDB đạt giáytrị nhỏ x Tìm giá trị nhỏ theo R Hướng dẫn: D M C - Ta có PACDB = CA + AB +BD + DC = AB + 2CD B A O Mà CD ≥ AB Suy : PACDB ≥ 3AB hay PACDB ≥ 6R Dấu “ = ” xảy CD = AB Vậy GTNN PACDB = 6R - SACDB = AB = ≥ Hay SACDB ≥ 2R2 Dấu “ = ” xảy CD = AB Vậy GTNN SACDB = 2R2 Khi M nằm cung AB Bài tốn 5: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM BMD Hướng dẫn: y x D M C A H B O Ta có: + SACBD = ( AC + BD) AB = CD.AB Mà CD ≥ AB SACBD ≥ AB2 = 2R2 (1) Dấu “ =” xảy điểm M nằm cung AB + SAMB = MH.AB Mà MH ≤ R SAMB ≤ R.2R = R2(2) Dấu “ =” xảy điểm M nằm cung AB + SAMC + S BMD = SACBD - SAMB (3).Từ (1), (2) (3) suy ra: Để SAMC + S BMD nhỏ SACBD nhỏ SAMB lớn Mà SACBD nhỏ 2R2 SAMB lớn R2 Vậy SAMC + S BMD nhỏ = R2 Nhận xét: Từ câu đến câu thêm câu hỏi mà chưa thêm giao điểm lật ngược lại vấn đề toán Nhưng đảo lại tốn ví dụ thêm giao điểm câu hỏi khó nhiều giúp em liên hệ hình vẽ với nhau, hiểu sâu toán, nắm bắt kiến thức cách chủ động, đồng thời tạo hứng thú cho em học tập Xuất phát từ ý tưởng ta lại có số tập thú vị Bài tốn ( Bài tốn đảo ví dụ) Cho đoạn thẳng AB, kẻ hai tia Ax By vng góc với AB nằm mặt phẳng có bờ đường thẳng AB Trên tia Ax tia Ay lấy hai điểm C D cho AC + BD = yCD Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn đường kính AB Huớng dẫn: D x M C A O B Ở có nhiều cách làm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa định lý tiếp tuyến -Trên CD lấy điểm M cho CM = CA ⇒MD = BD ( AC + BD = CD) -Do tam giác ACM MDB cân C D 1800 − ·ACM suy ra: ·AMC = · 1800 − BDM · BMD = · ·AMC + BMD = ( · 3600 − ·ACM + BDM ) · · - Mà ACM + BDM = 180 ( tứ giác ABDC hình thang vng) · Nên ·AMC + BMD = 900 ⇒ ·AMB = 900 ⇒M thuộc đường trịn đường kính AB(1) - Trên AB lấy điểm O cho OA = OB Nối O với M ta có MO = OA = OB · · · hay tam giác AOM cân O ⇒ OMA + ·AMC = OAM + CAM = 900 ⇒ OM ⊥ CD (2) - Từ (1) (2) suy CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB y Cách 2: D x M C F E Lấy đoạn CD điểm M cho CM = CA Gọi E F theo thứ tự A B O trung điểm AM MB Nối CO'≡với E nối D với F cắt O’ - Xét ∆ CAM cân C có CE đường trung tuyến Nên CE đường cao đường phân giác (1) - Xét ∆ MDB cân D có DF đường trung tuyến Nên DF đường cao đường phân giác (2) · ' CD + CDO · · - Từ (1) (2) suy O = 1800) ' ’= 90 (vì ·ACD + CDB · ' D = 900 ⇒ CO Do tứ giác O’EMF hình chữ nhật ⇒ ·AMB = 900 MO’ = EF - Trên AB lấy điểm O cho OA = OB Vì ∆ AMB vng M nên MO = OA = OB = AB (3) - Xét ∆AMB có: EA = EM MF = FB nên FE đường trung bình tam giác AMB ⇒FE = AB (4) - Từ (3) (4) suy MO = MO’ hay O ≡ O’ - Xét ∆ACO ∆MCO có: CO chung CA = CM · = ·ACO MCO Do đó: ∆ACO = ∆MCO · · Suy CMO = CAO = 900 hay CM ⊥ MO nên CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB Cách 3: y D N x M C A O B - Từ O kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt CD N suy NC = ND Xét hình thang vng ACDB có ON đường trung bình nên ON = = = CN = ND ⇒∆NCO cân N · · · · ⇒ NCO = CON mà ·ACO = CON ( CA // ON) ⇒ ·ACO = NCO - Từ O kẻ OM ⊥ CD ( M ∈ CD) - Xét ∆ACO ∆MCO có: · · · = OMC = 900 , CO chung, ·ACO = NCO OAC nên ∆ACO = ∆MCO Do AO = OB = OM hay M thuộc đường tròn đường kính AB mà CD ⊥ OM M nên CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB Nhận xét: Qua toán rèn cho em thành thạo kỹ chứng minh tốn hình học khơng có cách mà có nhiều khác nắm vững nội dung tốn cách tích cực, chủ động tự giác Từ giúp em tự tin thấy say mê Toán học nhiều Cũng từ cách làm thứ toán ta có tốn số toán khác cách cho thêm giao điểm Bài tốn 7: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D.Gọi N trung điểm CD Tìm quỹ tích điểm N điểm M chạy nửa đường z tròn y Hướng dẩn: D N x K M C A B O - Nối N với O cắt đường trịn tâm O K Ta có NO đường trung bình hình thang ACDB Suy ON // CA // BD (1) - Vì tia Ax, By điểm O cố định nên tia Oz cố định Vậy M di chuyễn nửa đường tròn tâm O điểm I di chuyển tia Kz Nhận xét: Cái khó khác so với ta phải vẽ thêm đường phụ Chính điều tạo cho học sinh thói quen suy nghĩ khác Không phải lúc theo lối mịn tư mà phải có óc hồi nghi Tại người ta lại cho trung điểm điểm có mối liên hệ với trung điểm cịn lại Và từ giúp cho học sinh tự tin giải toán Bài toán 8: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D Nối M với B cắt Ax N Chứng minh a C trung điểm AN y x b ON ⊥ AD Hướng dẫn: D N M C L H A O B a Ta có: AC = CM (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OM = R Do CO đường trung trực AM ⇒ AM ⊥ CO mà AM ⊥ NB ⇒ CO // NB - Xét ∆ANB có OA = OB = R CO // NB ( CMT) nên CO đường trung bình ∆ANB ⇒CA = NC · b Ta có AN // BD ( vng góc với AB) ⇒ ·ANB = NBD ( so le trong) 0 · · · · · · · Mà ANB + NAM = 90 NBD + ODB = 90 nên NAM = ODB = ODM ⇒ tanMAN = tanODM hay = ⇒ = (1) · · · · · Mặt khác NMO = ·AMD ( Vì NMA = OMD = 900 CMN = BMD ) (2) ⇒ · ⇒ · Từ (1) (2) suy ra: ∆ OMN ∽ ∆DMA tứ giác ANMH nội MNO = MAD · · tiếp Do NAM = NHA = 90 hay ON ⊥ AD Nhận xét: Dựa vào cách chứng minh tốn ta lại có tốn khó Bài tốn 9: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D.Gọi giao điểm CO AM P, giao điểm OD MB Q Chứng minh a.Tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn b.Xác định giá trị nhỏ bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Hướng dẫn: y x N D E M C P F Q a.Theo P, Q trung điểm A AM MB B O · ⇒ · Nên PQ đường trung bình ∆AMB PQ // AB Do đó: MQP = MBA · · · · mà MQP = QPO ( CO // MB) ⇒ QPO = MBA (1) · · Xét tứ giác MDNO có OMD = OBD = 90 ⇒ tứ giác MDNO nội tiếp ⇒· · (2) MDO = MBO · · Từ (1) (2) suy MDO = QPO Do tứ giác CPQD nội tiếp b Gọi E F trung điểm CD QP N tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CPQD ⇒ OE // AC NF ⊥ QP Mà PQ // AB( câu a) ⇒NF ⊥ AB NF // AC (3) Mặt khác: NE MQ vng góc với CD nên NE // MQ (4) Từ (3) (4) suy tứ giác NEOF hình bình hành 10 ⇒NE = FO = R ( tứ giác MPOQ hình chữ nhật) Xét tam giác CNE có CN = = ≥ = R Dấu “=” xảy AB = CD hay M điểm cung CD Giá trị nhỏ bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD R Nhận xét: Ở toán thứ giúp cho học sinh hình thành tính chủ động, sáng tạo biết liên kết tốn giải tốn tốn khơng dễ khơng giải toán trước Khai thác tiếp ta lại có tốn thứ 10 Bài tốn10: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D.Từ M kẻ MH ⊥ AB Gọi E F chân đường vng góc hạ từ H xuống AM BM a Chứng minh tứ giác AEFB nội tiếp đường tròn b Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB Chứng minh EF = 2OG c Chứng minh MH, CB, AD đồng quy y x D M C F E A P L O H B G Nhận xét: Đây tốn khơng dễ chút ta biết vận dụng kết tập tốn trở nên đơn gin hn rt nhiu Hng dn: = M ả = F µ = 900 ) a.Tứ giác AEFB hình chữ nhật( E ⇒· · · · · · · mà EMH = MBH (cùng phụ với MHB ) Nên MEF = MBH MEF = EMH Do tứ giác AEFB nội tiếp đường tròn b Gọi giao điểm EF MH Q Vì O trung điểm AB nên GO ⊥ AB.mà MH ⊥ AB nên GO // MH (1) · · · Mặt khác MEF = BMO ( MBO ) ⇒ · · · · Mà BMO + OMA = 90 MEF + OMA = 90 · = 900 hay OM ⊥ EF mà GQ ⊥ EF ( LE = LF) Nên OM //QG (2) MPE Từ (1) (2) suy tứ giác MOGL hình bình hành ⇒ OG = QM mà QM = EF nên OG = EF c Gọi giao điểm AD MH L - Xét tam giác CDA có: ML // AC( ⊥ AB) ⇒ = = (1) 11 - Xét tam giác ADB có LH // BD ( ⊥ AB) ⇒ = (2) - Từ (1) (2) suy = = Mà = ( ML // CA) Do = Mặt khác MD = BD, MC = AC (TC hai TT cắt nhau) ⇒ = ⇒ = ⇒ MH = LH hay L trung điểm MH (3) - Tương tự: Gọi K giao điểm CB MH ta có K trung điểm MH (4) Từ (3) (4) suy L K trùng nhau.Vậy MH, CB, AD đồng quy Nhận xét: Nếu thay đổi chút hai tiếp tuyến Ax By trở thành hai cát tuyến ta có tốn tổng qt khó Bài tốn 11 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB điểm Q cố định nằm đoạn OB Qua Q vẽ đường thẳng d vng góc với OB Vẽ cát Ay cắt nửa đường trịn M ( M ln năm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d có chứa điểm A) cắt đường thẳng d T Nối T với B cắt nửa đường tròn C Qua N M kẻ tiếp tuyến Nx Mz với nửa đường tròn cắt R Gọi giao điểm BM AN I a Chứng minh I, R thuộc đường thẳng d b Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIT Chứng minh cát tuyến Ay thay đổi điểm K nằm đường thẳng cố định Hướng dẫn: d y T R K M N I A z B' O Q B x a - Xét tam giác ATB có BM, AN TQ ba đường cao nên I nằm đường thẳng (d) - Gọi R’ trung điểm TI ⇒NR’là đường trung tuyến tam giác ITN ⇒ R’N = R’T ⇒∆TR’N cân R’ ⇒ R · ' TN = TNR · ' ⇒ · · - ∆OAN cân O NAO = ANO · · · mà NAO = TNR ) ' (cùng BNx · · Do ANO = TNR ' mà AN ⊥ TN ⇒ON ⊥ R’N ⇒R’N tiếp tuyến đường tròn (O) (4) - Chứng minh tương tự ta có: R’M tiếp tuyến đường tròn(O) (5) Từ (4) (5) ⇒R ≡ R’ hay R nằm đường thẳng (d) 12 b Gọi B’ điểm đối xứng với B qua Q mà B Q cố định ⇒B’ cố định mà IQ · ' B = IBB · ' đường trung trực BB’ nên ∆ BIB’ tam giác cân I IB · · ' = ·ATQ ( phụ với TAQ · ' B = ·ATQ mà IBB ) Nên IB ⇒tứ giác TIB’A nội tiếp (1) Mặt khác: K tâm đường tròn ngoại tiếp ∆TIA nên đường tròn tâm K qua điểm A điểm B’ cố định Tức K nằm đường trung trực đoạn thẳng cố định AB’ Nhận xét: Nếu ta đặc biệt toán số 11 ta lại có tốn số 12 hay hơn, khó điều giúp em biết quy lạ quen, biết quy tổng quát cụ thể ngược lại Bài toán 12: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ cát AMT BNT với đường tròn tâm O cho tổng khoảng cách từ A,B đến đường thẳng MN R Qua N M kẻ tiếp tuyến Nx Mz với nửa đường tròn cắt R Gọi giao điểm BM AN I a.Tính độ dài đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác MINT theo R b.Tìm giá trị lớn diện tích tam giác TAB theo R M,N di chuyển nửa đường tròn thỏa mãn điều kiện toán Hướng dẫn: T R N B' H A' M I A K O B a Theo câu 11 T, R, I thẳng hàng nên đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác MINT TI - Gọi H trung điểm MN ⇒ RO đường trung trực MN - Dựng AA’ BB’ ⊥ MN Xét tứ giác AA’B’B có AA’ // BB’( ⊥ MN) nên tứ giác AA’B’B hình thang mà OH đường trung bình nên OH = (AA’+BB’) = R - Xét tam giác MOH vuông O có MH2 = MO2 - OH2 = R2 - R2 = R2 ⇒MH = R ¼ =600 ⇒ MN = R hay tam giác OMN tam giác ⇒ sđ MN ¼ ) = ( 1800 - 600) = 600 ⇒ MRN · - ·ATB = ( sđ »AB - sđ MN = 1200 ⇒· RMH = 30 13 ⇒ MR = = ⇒ TI = b Xét ∆TAB có AN BM đường cao cắt I nên TI ⊥ AB - Theo câu a ·ATB = 600 mà AB cố định nên T ln chạy cung A chứa góc 600 dựng đoạn thẳng AB M,N thay đổi Do diện tích tam giác TAB lớn đường cao TK lớn ( S TAB = TK.AB mà AB không đổi) Mà TK lớn T điểm cung chứa góc 60 dựng đoạn thẳng AB Khi tam giác TAB tam giác ⇒ STAB lớn = TK.AB = R.2R = R2 (đvdt) Cuối để chốt lại đề tài cho học sinh thử sức toán 13 đề thi HSG lớp tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 - 2015 Bài tốn 13: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AO cắt nửa đường tròn cho D Trên cung BD lấy điểm M (M khác B M khác D) Tiếp tuyến nửa đường tròn cho M cắt đường thẳng CD E Gọi F giao điểm AM CD Chứng minh tam giác EMF tam giác cân Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng Chứng minh góc ABI có số đo khơng đổi M di chuyển cung BD Hướng dẫn: E M D I K F O A C B N 1) Gọi N giao điểm CD với nửa đường trịn cịn lại Vì OA ⊥ DN nên A điểm cung DN ¼ · » ) (góc có đỉnh bên đường tròn) = (sd MD + sd AN Ta có: DFM · ¼ + sd »AD) = sd ¼ ⇒ DFM = (sd MD AM (vì »AN = »AD ) (1) 2 14 · = sd ¼ AM (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) (2) Mặt khác: EMA · · · · ⇒ ∆EMF cân E Từ (1) (2) suy ra: DFM hay EFM = EMF = EMF 2) vẽ đường kính DK đường trịn ngoại tiếp tam giác DMF · Ta có: DFK = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (I)) ⇒ KF / / AB (cùng vng góc với DN) · · (cặp góc đồng vị) ⇒ MFK = MAB · · Mà MFK (cùng chắn cung MK đường tròn (I)) = MDK · · Nên ⇒ MDK = MAB (*) · · Mặt khác: MDB (cùng chắn cung MB đường tròn (O)) (**) = MAB · · Từ (*) (**) suy ra: MDK = MDB Mà K, D nằm nửa mặt phẳng bờ MD nên D, K, B thẳng hàng Hay D, I, B thẳng hàng (DK đường kính đường trịn (I)) 3) Vì D, I, B thẳng hàng nên ·ABI = ·ABD = sd »AD Do A, D đường trịn (O) đường kính AB cố định nên cung AD không đổi Suy ·ABI không đổi M di chuyển cung BD 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua giảng dạy theo tinh thần đề tài đã: - Góp phần phát triển lực tư học sinh, phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo Hệ thống kiến thức chương trình cố, gây hứng thú học tập môn Làm tảng tiếp thu kiến thức tiếp theo, học tập môn khác tốt - Rèn luyện cách trình bày tốn chứng minh hình đầy đủ, chặt chẽ, lập luận có cứ, xác Khắc sâu vào cố kiến thức có liên quan - Nếu dạy tốn mà biết hệ thống liên kết chúng hệ thống tập khơng giúp cho việc giảng dạy thêm phần sinh động mà giúp cho học sinh cảm thấy hứng thú chủ động đồng thời nắm bắt kiến thức cách vững vàng - Điều thể rõ thông qua kết làm kiểm tra khảo sát 32 học sinh lớp 9A trường THCS Thị Trấn Thường Xuân sau thực đề tài năm học 2015 - 2016: Sĩ số 32 Giỏi SL TL (%) 13 40,6 Khá SL TL (%) 17 53,1 TB SL TL (%) 6,3 Yếu, SL TL (%) 0 Kết luận, kiến nghị Qua q trình nghiên cứu đề tài tơi thấy, người dạy cần tạo cho học sinh thói quen khơng dừng lại kết vừa tìm mà phải phân tích, khai thác để có kết Thơng qua việc hướng dẫn học sinh tìm tịi, sáng tạo tốn từ toán học, gặp giúp học sinh tự 15 tin giải tốn, nhờ mà học sinh phát huy tư nâng cao lực sáng tạo, bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu khoa học Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng Việc khai thác, liên kết, lật ngược tốn quan trọng, khơng giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức dạng tốn mà cịn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá toán Hơn nữa, việc liên kết tốn khác nhau, tìm mối liên hệ chung chúng giúp cho học sinh có hứng thú học tốn Ví dụ ví dụ nhỏ minh họa cho việc đổi phương pháp dạy - học theo hướng tích cực nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy, sáng tạo phát triển lực tự học Học sinh học tập mơn Tốn Ý tưởng “Giúp học sinh hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động đồng thời phát triển lực tự học ” có từ lâu Nhưng là: Từ tốn khơng mới, giáo viên biến thành xếp chúng theo hệ thống định giúp học sinh tiếp thu nhanh hơn,vững vàng hứng thú Bản thân trước từ vào nghề đặc biệt từ giao dạy bồi dưỡng tơi cảm thấy khó khăn việc giúp học sinh hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động đồng thời phát triển lực tự học cho học sinh cố mà kết không cao từ áp dụng cách làm tơi trình bày kết khả quan Khơng thân tơi áp dụng mà tơi cịn chia cách làm cho đồng nghiệp trường từ kết thi khảo sát, thi chuyển cấp vào lớp 10 THPT thi học sinh giỏi tồn huyện trường tơi xếp thứ Trên kinh nghiệm mà tơi rút q trình giảng dạy tơi có phần thành cơng việc thay đổi phương pháp dạy học trường THCS Thị Trấn đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi chuyển cấp Đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu sót mong nhận góp ý giúp đỡ q thầy bạn đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thường Xuân, ngày 20 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Nguyễn Sỹ Điệp 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 123456- Sách giáo khoa sách tập Toán Nhà xuất giáo dục Nâng cao phát triển Toán 8,9 Tác giả: Vũ Hữu Bình Tuyển tập đề thi HSG Toán THCS.Nhà Xuất giáo dục Tuyển tập tập chí Tốn tuổi thơ số Nhà Xuất giáo dục 23 chuyên đề 1001 toán sơ cấp Tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh Các loại tài liệu khác 17 18 ... thú học toán - Trước thực đề tài khảo sát 32 học sinh lớp 9A trường THCS Thị Trấn Thường Xuân năm học 2015 - 2016 Kết thu sau: Giỏi Khá TB Yếu, SL TL (%) SL TL (%) SL TL (%) SL TL (%) 32 9. 4... cho việc đổi phương pháp dạy - học theo hướng tích cực nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy, sáng tạo phát triển lực tự học Học sinh học tập mơn Tốn Ý tưởng “Giúp học sinh hình thành tính tích cực,... vững vàng - Điều thể rõ thông qua kết làm kiểm tra khảo sát 32 học sinh lớp 9A trường THCS Thị Trấn Thường Xuân sau thực đề tài năm học 2015 - 2016: Sĩ số 32 Giỏi SL TL (%) 13 40,6 Khá SL TL (%)