Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS nga bạch nga sơn ứng dụng và phát triển từ một bài toán ban đầu

Mỗi hằng đẳng thức giúp học sinh giải được một lớp các bài toán, việc vận dụng đằng đẳng thức giúp học sinh thực hiện giải toán nhanh hơn, gọn hơn.. Đối với học sinh lớp 9, giáo

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG THCS NGA BẠCH ỨNG DỤNG VÀ PHÁT

TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN BAN ĐẦU

Người thực hiện: Nguyễn Văn Học

Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Nga Bạch SKKN thuộc lĩnh vực môn : Toán

THANH HÓA NĂM 2017

MỤC LỤC

Ứng dụng 1: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào phân

tích đa thức thành nhân tử

6

Ứng dụng 2: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào rút gọn

biểu thức:

7

Ứng dụng 3: Hướng dẫn học sinh sử dụng dụng hằng đẳng thức vào

chứng minh chia hết:

8

Ứng dụng 4: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào chứng

minh đẳng thức

9

Ứng dụng 5: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào tính giá

trị của biểu thức

10

Ứng dụng 6: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào giải

phương trình và hệ phương trình

11

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình dạy học làm cho học sinh lĩnh hội được các kiến thức là rất cần thiết Tuy nhiên để học sinh vận dụng những kiến thức vào giải các bài toán thì cần nắm vững các kiếm thức cơ bản từ đó ứng dụng vào các để giải các bài toán Những hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8 Mỗi hằng đẳng thức giúp học sinh giải được một lớp các bài toán, việc vận dụng đằng đẳng thức giúp học sinh thực hiện giải toán nhanh hơn, gọn hơn

Để trở thành học sinh giỏi Toán, ngoài những yêu cầu về kiến thức cơ bản trong chương trình cần nắm vững, học sinh còn phải biết tìm tòi, khai thác, vận dụng những kiến thức nâng cao Đối với học sinh lớp 9, giáo viên ngoài việc hướng dẫn các em vận dụng nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ trong sách giáo khoa thì cần phải cung cấp thêm một số hằng đẳng thức tổng quát, một

số hằng đẳng thức nâng cao, giúp các em học sinh khá giỏi có thể vận dụng để giải được nhiều bài toán khó, nhiều dạng bài tập hơn Khai thác ứng dụng của các hằng đẳng thức nâng cao nhằm bổ sung những kiến thức mới, khơi dậy niềm say mê học tập, phát huy tính tích cực nhận thức và phát triển kỹ năng tự học của học sinh

Vậy ta phải dạy cho học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống và từ những bài toán cơ bản đó hoặc các bài toán đã làm mà phải vận dụng được và phát triển ra các bài toán khác trở thành các bài toán tổng quát hay tìm ra quy luật cách giải các bài toán Làm sao để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình Trong quá trình dạy học Toán, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tôi thấy có hai bài toán liên quan đến tổng ba lập phương và những bài toán này có rất nhiều ứng dụng, đê có thể giúp học sinh vận dụng các bài toán này vào giải một

số bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, rút gọn biểu thức, chứng minh bất đẳng thức, , giúp học sinh rèn luyện tư duy toán học; sáng tạo trong quá trình học tập, tiếp thu kiến thức mới là điều rất cần thiết Để đáp ứng được yêu cầu trên và nhu cầu học tập của học sinh Do vậy trong giảng dạy tôi thường phải chắt lọc những nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành bài toán tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy Toán học

Trong quá trình nghiên cứu chương trình toán THCS tôi nhận thấy việc hướng dẫn Học sinh giải một bài toán và từ bài toán đó nếu thay đổi các điều kiện hay thêm bớt các điều kiện để cho bài toán đó trở thành những bài toán khác Xuất phát từ những động cơ và thực tế nói trên nên tôi xin được trao đổi

một số kinh nghiệm nhỏ này cùng các bạn với tên đề tài là:" Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Nga Bạch ứng dụng và phát triển từ một bài toán ban đầu "

1.2 Mục đích nghiên cứu:

- Đối với học sinh các bài toán đã biết thì như những hằng đẳng thức đáng nhớ là một đơn vị kiến thức vô cùng quan trọng, nếu không nắm được thì sẽ không

có thể giải quyết được nhiều bài toán tiếp theo, chính vì thế tìm cách dạy - học môn toán để áp dụng hằng đẳng thức một cách có hiệu cao nhất, từ đó tiết kiệm được thời gian của thầy và trò khi dạy – học Thông qua đề tài nhằm giúp các

em chủ động kiến thức, biết vận dụng kiến thức đúng lúc vào giải quyết những dạng bài tập như thế nào Làm cho các em không còn phải lo lắng, lúng túng và mắc phải những sai lầm khi bắt gặp dạng toán này Bên cạnh đó học sinh còn được rèn luyện kỹ năng phân tích – tổng hợp các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Đề tài này nghiên cứu về bài toán- Hằng đẳng thức đã biết và vận dụng vào

giải một số bài toán: đó là

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca)  1

(a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a)  1

- Các ứng dụng của nó: Nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 thì a + b + c = 0

Hoặc (a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) = 0  a = b= c

- Nếu (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 0 thì hoặc a = -b hoặc b = - c hoặc c = -a

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế và thống kê

- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh

- Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh cùng với nhóm chuyên môn thực hiện

- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề và trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận:

- Trong dạy hoc toán học tôi thấy hai bài toán sau trong sách giáo khoa như là

chìa khóa để giải những bài toán mới đó là: Chứng minh bài toán:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca)  1

(a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a)  1

- Việc khai thác bài toán trong sách giáo khoa đem đến cho chúng ta nhiều điều thú vị sâu sắc hệ thống bài tập trong sách giáo khoa cũng như sách bồi dưỡng hết sức cơ bản và được chắt lọc kỹ lưỡng hàm chứa nhiều vấn đề, chúng ta cần khai thác và phát triển nó ví dụ :

Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc  4

Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3  3

Toán học là công cụ để phát triển tư duy, chính vì vậy việc giải toán có ý nghĩa rất quan trọng trong việc phát triển tư duy cho học sinh Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi chỉ xin đề cập đến ý nghĩa của việc vận dụng các bài toán đã biết đó là các bài toán đã biết có thể coi như là các hằng đẳng thức cho học sinh lớp 9 Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, tôi thấy cho học sinh nắm được các hằng đẳng thức hay là các bài toán đã biết, tác động mạnh đến tư duy phân tích và tư duy tổng hợp của học sinh Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ được các kiến thức liên quan đã học trước đó Trong quá trình giải bài tập, các em vừa đi tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại những kiến thức mình đã học mà có khi không nhớ hết Từ đó khi dạy học , giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh phân tích để tìm được lời giải cho bài toán mà còn phát hiện được các cách giải khác nhau cho bài toán

2.2 Thực trạng

- Việc nắm vững các bài toán đã biết- hằng đẳng thức là một yêu cầu cần thiết đối với học sinh, phần nhiều các em học sinh của chúng ta chỉ nắm được một số hằng đẳng thức đơn giản và vận dụng vào một số bài tập ở dạng đơn giản, còn nhiều hằng đẳng thức mở rộng thì nhìn chung các em chưa chú ý nhiều đến, có hai bài toán trong sách giáo khoa đây là những hằng đẳng thức mà được ứng dụng rất rộng rãi, việc áp dụng nó cho ta cách giải rất nhanh, nhưng nhiều em chưa thật sự chú ý nhiều nên vận dụng còn lúng túng, thậm chí không nhớ được kết quả của bài tập này Để khắc phục được những nhược điểm trên cho các

em, tôi luôn suy nghĩ phải tìm ra các khía cạnh mới để khêu gợi suy nghĩ của các em, kích thích trí tò mò qua các vấn đề này mà thầy cô đưa ra thông qua đó để trang bị một cách có hệ thống các kiến thức thiết thực, trang bị cho các em một cách nhìn các bài toán ở nhiều góc độ khác nhau, tăng khả năng tư duy lôgích và rèn luyện tính sáng tạo cho các em, giúp cho các em

có tác phong độc lập khi giải toán Đứng trước một bài toán có thể chủ động vững tin biết đặt ra các câu hỏi và tìm ra câu hỏi trả lời thích hợp để giải quyết bài toán một cách trọn vẹn

- Trên cơ sở nghiên cứu các đối tượng học sinh Tôi đã tìm hiểu các hằng đẳng thức, phương pháp giải và ứng dụng để chứng minh các bài toán , … và tìm hiểu, vận dụng để chứng minh các bài toán khác

- Hướng dẫn học sinh giải các bài toán cơ bản, ứng dụng để giải các bài toán khác và các bài tập nâng cao

Trong chương trình toán có rất nhiều các dạng toán khác nhau, sử dụng các bài toán cơ bản hay các hằng đẳng thức đã biết để làm tiền đề cho bài toán này (bài toán mới) Mỗi bài có những yêu cầu khác nhau và những đặc trưng riêng, khi học sinh bắt gặp thì cảm thấy khó và nhiều học sinh khi giải một bài toán chỉ biết được cách giải và kết quả bài toán đó mà không vận dụng được vào trong những bài toán khác, vì sao lại như vậy Bởi vì các em chưa nắm được kiến thức cơ bản, không nhớ cách giải từng dạng bài và thói quen gợi nhớ, mở rộng, vận dụng các bài toán cũ nên không giải được các bài toán đặt ra nếu ta thay đổi giả thiết

Qua kết quả khảo sát ở 2 nhón học sinh (hai nhóm tương đương) tôi thấy có những vấn đề sau:

- Vận dụng các hằng đẳng thức còn yếu

- Khả năng tư duy của học sinh còn hạn chế

- Cách trình bày lời giải cho một bài toàn còn kém

- Chưa có khả năng sáng tạo và vận dụng các bài toán đã biết

Kết quả khảo sát các lớp học sinh khi chưa truyền đạt kiến thức

Số lượng

Các mức độ kiến thức đạt được

dụng

%

Từ những kết quả trên, để có hiệu quả tốt hơn, tôi đã tìm tòi và suy nghĩ và đưa ra phương án : đó là: Từ một bài toán ta thay đổi các giả thiết thì sẽ được một bài toán khác và cũng từ một bài toán vận dụng để giải các bài toán khác Nếu Học Sinh làm được 2 điều này thì không những nắm vững kiến thức cơ bản , nắm vững các bài toán, các dạng toán đã làm mà còn có khả năng tư duy sáng tạo, tổng hợp rất cao

2.3 Các biện pháp

Để giúp học sinh lớp 9 có kỹ năng giải thành thạo các bài tập và vận các bài tập như phần cơ sở lý luận, trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ kết quả của hai bài tập trên Giáo viên cần giúp học sinh phân loại các bài tập theo các dạng toán cơ bản, nâng cao Ở mỗi dạng toán, giáo viên cần đưa ra các ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh biết vận dụng các bài tập đã biết - hằng đẳng thức để giải Giáo viên đưa ra những bài tập tương tự, bài tập nâng cao để học sinh có thể tự giải

+ Các bài toán trên sử dụng để giải nhiều bài toán thuộc các dạng sau: 1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử

1.2 Rút gọn biểu thức

1.3 Chứng minh chia hết

1.4 Chứng minh đẳng thức

1.5 Tính giá trị của biểu thức

1.6 Giải phương trình và hệ phương trình

2 4 Nội dung cụ thể

Trong chương trình toán THCS có rất nhiều các hằng đẳng thức song có hai hằng đẳng thức rất quen thuộc với các bạn HS lớp 9 Chúng được đưa vào chương trình phổ thông như là một bài toán đó là:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca)  1 (1)

(a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a)  1 (2)

Chứng minh:

Chứng minh hằng đẳng thức (1)

Ta có : a3 + b3 + c3 – 3abc= (a+ b)3 – 3ab(a+b) + c3

= (a+b+c)3 – 3(a+b)2c – 3(a+b)c2 - 3ab(a+b) + c3

= (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) (đpcm) Chứng minh hằng đẳng thức (2)

Ta có: (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = (a+b)3 + 3(a+b)2c + 3(a+b)c2 + c3

= 3(a+b)(ac +bc + c2 + ab)

= 3(a+ b)(b+c)(c + a) (đpcm)

"Hai hằng đẳng thức này hầu như bị nhiều người bỏ rơi Thật ra nó cho ta nhiều điều thú vị Trước hết ta chú ý đến hằng đẳng thức (1)"

Từ (1) => a3 + b3 + c3 = 3abc  















c b a

c b

 2 (3)

Từ (2) => (a +b +c)3 = a3 + b3 + c3

























a c

c b

b a

 2 (4)

"Việc vận dụng hai hằng đẳng thức này trong nhiều trường hợp rất là hiệu quả và bất ngờ Sau đây ta xét một số bài toán minh họa"

Ứng dụng 1: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Bài toán 1: Phân tích đa thức 27x3 + 125y3 + z3 - 45xyz thành nhân tử

Giải: 27x3 + 125y3 + z3 - 45xyz = (3x)3 + (5y)3 + z3 - 3.(3x).(5y).z

= (3x + 5y + z)[(3x)2 + (5y)2 + z2 - (3x)(5y) - (3x)z - (5y)z]

= (3x + 5y + z)(9x2 + 25y2 + z2 - 15xy - 3xz - 5yz)

Bài toán 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử

Giải: Đặt m = x - y, n = y - z, p = z - x thì m + n + p = 0.

Suy ra m3 + n3 + p3 = 3mnp

Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)

Với m = x2 + y2; n = z2 - x2; p = - y2 - z2 cũng cho m + n + p = 0 ta có bài toán sau:

Bài toán 3: Phân tích thành nhân tử: Q= (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3

Giải: Q = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3

= (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3

Đặt m = x2 + y2; n = z2 - x2; p = - y2 - z2  m + n + p = 0

 Q = m3 + n3 + p3 = 3mnp = 3(x2 + y2)(z2 - x2)(- y2 - z2)

= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x - z)

Với m = x + y - z; n = x - y + z; p = - x + y + z cũng cho m + n + p = 0 và ta có bài toán: Phân tích thành nhân tử:

(x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x - y + z)3 - (- x + y + z)3  1

Bài tập vận dụng

Phân tích các đa thức thành nhân tử:

1) a3 + 8b3 + 27c3 - 18abc

2) (x - y + z)3 - x3 + y3 - z3

3) (a + b)3 - (b + c)3 + (c - a)3

4) (3x2 - 2x + 1)3 + (x - x2 - 1)3 - (2x2 - x)3

Ứng dụng 2: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào rút gọn biểu

thức:

Bài toán 4: Rút gọn biểu thức

A = ( a+b+ c)3 – ( a+ b – c)3 – ( b + c – a)3 – ( c+ a – b)3  2

Giải:

Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ:

Đặt

x a b c

y b c a x y z a b c

z c a b

  







   



Khi đó : A = ( x+ y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3( x+y)(y+z)(z+x)

= 3.2b.2c.2a = 24abc

Nhận xét:

Như vậy trong lời giải bài toán đã sử dụng yếu tố phụ x, y, z với mục đích giảm thiểu độ phức tạp cho lời giải Đây là ý tưởng không hề mới nhưng mạng lại hiệu quả rất cao bởi trong cuốn " Giải bài toán như thế nào", Pô – li

–a đã khẳng định rằng yếu tố phụ như nhịp cầu nối bài toán toán cần tìm ra cách giải với bài toán đã biết cách giải  2

Chú ý: Tiếp theo ta sẽ tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức trên để thực hiện một

vài phép biến đổi đại số và cụ thể ở dưới đây là việc trục căn thức bậc ba ở mẫu số

Bài toán 5: Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức sau:

A = 3 31 3

a b c , với abc = 1  1 Giải: Áp dụng hằng đẳng thức:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

Ta coi mẫu số của A có dạng a + b + c Khi đó nhân cả tử và mẫu của A với (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca), tức là      3a 2 3b 2 3c 2 3ab 3bc 3ca ta được:

A = 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3

3

a b c abc

  

= 3 2 3 2 3 2 3 3 3

3

a b c

  

Bài toán 6: Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức:

B = 2 13

4 4 2 2 16    2 Giải: Áp dụng hằng đẳng thức:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

Ta coi mẫu số của A có dạng a + b + c Khi nhân cả tử và mẫu của B với ( a2 +

b2 + c2 – ab –bc- ca) ta có :

A = 16 16 4 4 256 16 64 4 32 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

(4 4) (2 2) 16 3.4 4.2 2.16

= 272 60 43 15 4 683





Bài toán 7: Hãy thực hiện trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) A = 3 1 3

1 3 2 2 4    2 b) B = 3 31 3

a b c với abc = 1000

Từ bài toán 1: Nếu cho thêm giả thiết về các số a, b, c bài toán có thể viết dưới

dạng yêu cầu chứng minh về tính chia hết sau đây là một số ví dụ

Ứng dụng 3: Hướng dẫn học sinh sử dụng dụng hằng đẳng thức vào chứng

minh chia hết:

Bài toán 8: Cho 3 số nguyên a,b,c thảo mãn:

a + b + c = ( a- b)( b- c)(c –a)

Chứng minh rằng: ( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 chia hết cho 3  1

Giải:

Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ:

x a b

y b c x y z

z c a

 







  



Khi đó : ( a –b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 = x3 + y3 + z3

= (x+ y+z)(x2+y2 + z2- xy-yz-xz) + 3xyz = 3( a-b)( b- c)( c- a)

= 3( a+b+c) (vì a + b+c =(a- b)( b- c)(c –a))

Từ đó ta có ngay ( a –b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 chia hết cho 3

Bài toán 9: Cho 3 số nguyên a,b,c thảo mãn:

a + b + c = ( a- b)( b- c)(c –a)

Chứng minh rằng: M = ( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 chia hết cho 81  2

Giải: Vì (a-b) + ( b- c) + ( c- a) = 0 nên theo ( 3) ta có a3 + b3 + c3 = 3abc

( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 = 3( a-b)( b-c)( c-a)

Xét 3 số dư của phép chia a, b ,c cho 3

a) Nếu cả ba số dư khác nhau ( là 0, 1 , 2) thì ( a + b + c ) 3

khi đó ( a-b)( b- c)( c-a) không chia hết cho 3, trái với giả thiết

b) Nếu có hai số dư bằng nhau thi a + b + c không chia hết cho 3, trong khi

đó một trong ba hiệu ( a- b), ( b- c), ( c- a) chia hết cho 3, trái với giả thiết c) Vậy chỉ còn trường hợp cả ba số a ,b ,c đều có cùng số dư khi chia cho 3, lúc đó 3 ( a-b)( b- c)( c-a)3.3.3.3 nên M  81

Nhận xét:

Cũng với phương pháp trên chúng ta còn có thể chứng minh được các kết quả tổng quát hơn như sau

1 Chứng ming rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số:

( a+b+c)p + ( a- b –c)p+ ( b- c-a)p + ( c- a- b)p chi hết cho 8pabc

2 Chứng ming rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số

( a- b)p + ( b- c)p + ( c- a)p chia hết cho p( a-b)(b-c)(c-a)  1

Ứng dụng 4: Hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức vào chứng minh

đẳng thức Bài toán 10: Biết x+ y + z = 0 Chứng ming rằng

2( x5 + y5 + z5) = 5xyz( x2 + y2 + z2)  2

Giải

Từ giả thiết x + y+ z = 0 => 3xyz = x3 + y3 +z3

 3xyz( x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 +z3)( x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x2y2( x+y)+ y2z2( y + z)+ z2x2( z+x)

= x5 + y5 + z5 - x2y2z- - y2z2x- z2y2x

= x5 + y5 + z5 - xyz( xy+yz+xz) Mặt khác: cũng từ:

+) x + y+ z = 0  0 = ( x+ y + z) 2 = x2 + y2 + z2+ 2(y + 2yz+ 2xz)

 xy+ yz+xz = - 1

2 ( x2 + y2 + z2) Thay xy+ yz+xz = - 1

2 ( x2 + y2 + z2) vào biểu thức trên ta được 3xyz ( x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 +1

2 xyz( x2 + y2 + z2)

 2( x5 + y5 + z5) = 5xyz( x2 + y2 + z2) ( đpcm)

Bài toán 11:

Biết :

ax by c

bx cy a

cx ay b









(*) Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc  5