Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS nga bạch nga sơn ứng dụng và phát triển từ một bài toán ban đầu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS NGA BẠCH ỨNG DỤNG VÀ PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN BAN ĐẦU Người thực hiện: Nguyễn Văn Học Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Nga Bạch SKKN thuộc lĩnh vực môn : Toán THANH HÓA NĂM 2017 MỤC LỤC Tên chương mục MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 : Cơ sở lý luận Trang 3 3 3 2.2 Thực trạng 2.3 Các giải pháp Nội dung cụ thể 5 Ứng dụng 1: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử Ứng dụng 2: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào rút gọn biểu thức: Ứng dụng 3: Hướng dẫn học sinh sử dụng dụng đẳng thức vào chứng minh chia hết: Ứng dụng 4: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào chứng minh đẳng thức Ứng dụng 5: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào tính giá trị biểu thức Ứng dụng 6: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào giải phương trình và hệ phương trình 2.5 Hiệu KẾT LUẬN –KIẾN NGHỊ 10 11 14 15 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 16 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong trình dạy học làm cho học sinh lĩnh hội kiến thức là cần thiết Tuy nhiên để học sinh vận dụng kiến thức vào giải bài toán cần nắm vững kiếm thức từ ứng dụng vào để giải bài toán Những đẳng thức đáng nhớ là nội dung kiến thức quan trọng chương trình Đại số lớp Mỗi đẳng thức giúp học sinh giải lớp bài toán, việc vận dụng đằng đẳng thức giúp học sinh thực giải toán nhanh hơn, gọn Để trở thành học sinh giỏi Toán, ngoài yêu cầu về kiến thức chương trình cần nắm vững, học sinh phải biết tìm tòi, khai thác, vận dụng kiến thức nâng cao Đối với học sinh lớp 9, giáo viên ngoài việc hướng dẫn em vận dụng nhuần nhuyễn bảy đẳng thức đáng nhớ sách giáo khoa cần phải cung cấp thêm số đẳng thức tổng quát, số đẳng thức nâng cao, giúp em học sinh giỏi vận dụng để giải nhiều bài toán khó, nhiều dạng bài tập Khai thác ứng dụng đẳng thức nâng cao nhằm bổ sung kiến thức mới, khơi dậy niềm say mê học tập, phát huy tính tích cực nhận thức và phát triển kỹ tự học học sinh Vậy ta phải dạy cho học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống và từ bài toán bài toán làm mà phải vận dụng và phát triển bài toán khác trở thành bài toán tổng quát hay tìm quy luật cách giải bài toán Làm để em có hứng thú, say mê học tập là câu hỏi mà thầy cô đặt cho Trong trình dạy học Toán, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, thấy có hai bài toán liên quan đến tổng ba lập phương và bài toán này có nhiều ứng dụng, đê giúp học sinh vận dụng bài toán này vào giải số bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, rút gọn biểu thức, chứng minh bất đẳng thức, , giúp học sinh rèn luyện tư toán học; sáng tạo trình học tập, tiếp thu kiến thức là điều cần thiết Để đáp ứng yêu cầu và nhu cầu học tập học sinh Do giảng dạy thường phải chắt lọc nội dung kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành bài toán tổng quát giúp học sinh phát triển tư Toán học Trong trình nghiên cứu chương trình toán THCS nhận thấy việc hướng dẫn Học sinh giải bài toán và từ bài toán thay đổi điều kiện hay thêm bớt điều kiện bài toán trở thành bài toán khác Xuất phát từ động và thực tế nói nên xin trao đổi số kinh nghiệm nhỏ này bạn với tên đề tài là:" Hướng dẫn học sinh lớp trường THCS Nga Bạch ứng dụng phát triển từ toán ban đầu " 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Đối với học sinh bài toán biết đẳng thức đáng nhớ là đơn vị kiến thức vô quan trọng, không nắm không giải nhiều bài toán tiếp theo, chính tìm cách dạy - học môn toán để áp dụng đẳng thức cách có hiệu cao nhất, từ tiết kiệm thời gian thầy và trò dạy – học Thông qua đề tài nhằm giúp em chủ động kiến thức, biết vận dụng kiến thức lúc vào giải dạng bài tập nào Làm cho em lo lắng, lúng túng và mắc phải sai lầm bắt gặp dạng toán này Bên cạnh học sinh rèn luyện kỹ phân tích – tổng hợp vấn đề nảy sinh sống 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Đề tài này nghiên cứu về bài toán- Hằng đẳng thức biết và vận dụng vào giải số bài toán: là a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) [ 1] (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a) [ 1] - Các ứng dụng nó: Nếu a3 + b3 + c3 - 3abc = a + b + c = Hoặc (a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) = ⇔ a = b= c - Nếu (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = a = -b b = - c c = -a 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế và thống kê - Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết học tập học sinh - Thực nghiệm giảng dạy cho em học sinh với nhóm chuyên môn thực - Điều tra, đánh giá kết học tập học sinh sau thực nghiệm giảng dạy chuyên đề và trao đổi ý kiến với đồng nghiệp NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận: - Trong dạy hoc toán học thấy hai bài toán sau sách giáo khoa là chìa khóa để giải bài toán là: Chứng minh bài toán: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) [ 1] (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a) [ 1] - Việc khai thác bài toán sách giáo khoa đem đến cho nhiều điều thú vị sâu sắc hệ thống bài tập sách giáo khoa sách bồi dưỡng hết sức và chắt lọc kỹ lưỡng hàm chứa nhiều vấn đề, cần khai thác và phát triển ví dụ : Cho a + b + c = Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc [ 4] Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 [ 3] Toán học là công cụ để phát triển tư duy, chính việc giải toán có ý nghĩa quan trọng việc phát triển tư cho học sinh Trong khuôn khổ đề tài này, xin đề cập đến ý nghĩa việc vận dụng bài toán biết là bài toán biết coi là đẳng thức cho học sinh lớp Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, thấy cho học sinh nắm đẳng thức hay là bài toán biết, tác động mạnh đến tư phân tích và tư tổng hợp học sinh Từ giúp em hệ thống và nhớ kiến thức liên quan học trước Trong trình giải bài tập, em vừa tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại kiến thức học mà có không nhớ hết Từ dạy học , giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh phân tích để tìm lời giải cho bài toán mà phát cách giải khác cho bài toán 2.2 Thực trạng - Việc nắm vững bài toán biết- đẳng thức là yêu cầu cần thiết học sinh, phần nhiều em học sinh nắm số đẳng thức đơn giản và vận dụng vào số bài tập dạng đơn giản, nhiều đẳng thức mở rộng nhìn chung em chưa ý nhiều đến, có hai bài toán sách giáo khoa là đẳng thức mà ứng dụng rộng rãi, việc áp dụng cho ta cách giải nhanh, nhiều em chưa thật ý nhiều nên vận dụng lúng túng, chí không nhớ kết bài tập này Để khắc phục nhược điểm cho em, suy nghĩ phải tìm khía cạnh để khêu gợi suy nghĩ em, kích thích trí tò mò qua vấn đề này mà thầy cô đưa thông qua để trang bị cách có hệ thống kiến thức thiết thực, trang bị cho em cách nhìn bài toán nhiều góc độ khác nhau, tăng khả tư lôgích và rèn luyện tính sáng tạo cho em, giúp cho em có tác phong độc lập giải toán Đứng trước bài toán chủ động vững tin biết đặt câu hỏi và tìm câu hỏi trả lời thích hợp để giải bài toán cách trọn vẹn - Trên sở nghiên cứu đối tượng học sinh Tôi tìm hiểu đẳng thức, phương pháp giải và ứng dụng để chứng minh bài toán , … và tìm hiểu, vận dụng để chứng minh bài toán khác - Hướng dẫn học sinh giải bài toán bản, ứng dụng để giải bài toán khác và bài tập nâng cao Trong chương trình toán có nhiều dạng toán khác nhau, sử dụng bài toán hay đẳng thức biết để làm tiền đề cho bài toán này (bài toán mới) Mỗi bài có yêu cầu khác và đặc trưng riêng, học sinh bắt gặp cảm thấy khó và nhiều học sinh giải bài toán biết cách giải và kết bài toán mà không vận dụng vào bài toán khác, lại Bởi em chưa nắm kiến thức bản, không nhớ cách giải dạng bài và thói quen gợi nhớ, mở rộng, vận dụng bài toán cũ nên không giải bài toán đặt ta thay đổi giả thiết Qua kết khảo sát nhón học sinh (hai nhóm tương đương) thấy có vấn đề sau: - Vận dụng đẳng thức yếu - Khả tư học sinh hạn chế - Cách trình bày lời giải cho bài toàn - Chưa có khả sáng tạo và vận dụng bài toán biết Kết khảo sát lớp học sinh chưa truyền đạt kiến thức Lớp 9A Lớp 9B Số lượng Biết 30 30 15 18 Các mức độ kiến thức đạt % Hiểu % Vận dụng 50 14 46.7 60 12 40 % 3.3 Từ kết trên, để có hiệu tốt hơn, tìm tòi và suy nghĩ và đưa phương án : là: Từ bài toán ta thay đổi giả thiết bài toán khác và từ bài toán vận dụng để giải bài toán khác Nếu Học Sinh làm điều này nắm vững kiến thức , nắm vững bài toán, dạng toán làm mà có khả tư sáng tạo, tổng hợp cao 2.3 Các biện pháp Để giúp học sinh lớp có kỹ giải thành thạo bài tập và vận bài tập phần sở lý luận, trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm đẳng thức đáng nhớ kết hai bài tập Giáo viên cần giúp học sinh phân loại bài tập theo dạng toán bản, nâng cao Ở dạng toán, giáo viên cần đưa ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh biết vận dụng bài tập biết - đẳng thức để giải Giáo viên đưa bài tập tương tự, bài tập nâng cao để học sinh tự giải + Các bài toán sử dụng để giải nhiều bài toán thuộc dạng sau: 1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 1.2 Rút gọn biểu thức 1.3 Chứng minh chia hết 1.4 Chứng minh đẳng thức 1.5 Tính giá trị biểu thức 1.6 Giải phương trình và hệ phương trình Nội dung cụ thể Trong chương trình toán THCS có nhiều đẳng thức song có hai đẳng thức quen thuộc với bạn HS lớp Chúng đưa vào chương trình phổ thông là bài toán là: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) [ 1] (1) (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a+ b)(b+c)(c + a) [ 1] (2) Chứng minh: Chứng minh đẳng thức (1) Ta có : a3 + b3 + c3 – 3abc= (a+ b)3 – 3ab(a+b) + c3 = (a+b+c)3 – 3(a+b)2c – 3(a+b)c2 - 3ab(a+b) + c3 = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) (đpcm) Chứng minh đẳng thức (2) Ta có: (a +b +c)3 – a3 – b3 – c3 = (a+b)3 + 3(a+b)2c + 3(a+b)c2 + c3 = 3(a+b)(ac +bc + c2 + ab) = 3(a+ b)(b+c)(c + a) (đpcm) "Hai đẳng thức này bị nhiều người bỏ rơi Thật cho ta nhiều điều thú vị Trước hết ta ý đến đẳng thức (1)" a + b + c = [ 2] Từ (1) => a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔  (3) a = b = c  Từ (2) => (a +b +c)3 = a3 + b3 + c3 a = −b ⇔ b = −c [ 2] c = −a (4) "Việc vận dụng hai đẳng thức này nhiều trường hợp là hiệu và bất ngờ Sau ta xét số bài toán minh họa" Ứng dụng 1: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử Bài toán 1: Phân tích đa thức 27x3 + 125y3 + z3 - 45xyz thành nhân tử Giải: 27x3 + 125y3 + z3 - 45xyz = (3x)3 + (5y)3 + z3 - 3.(3x).(5y).z = (3x + 5y + z)[(3x)2 + (5y)2 + z2 - (3x)(5y) - (3x)z - (5y)z] = (3x + 5y + z)(9x2 + 25y2 + z2 - 15xy - 3xz - 5yz) Bài toán 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử Giải: Đặt m = x - y, n = y - z, p = z - x m + n + p = Suy m3 + n3 + p3 = 3mnp Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) Với m = x2 + y2; n = z2 - x2; p = - y2 - z2 cho m + n + p = ta có bài toán sau: Bài toán 3: Phân tích thành nhân tử: Q= (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 Giải: Q = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3 Đặt m = x2 + y2; n = z2 - x2; p = - y2 - z2 ⇒ m + n + p = ⇒ Q = m3 + n3 + p3 = 3mnp = 3(x2 + y2)(z2 - x2)(- y2 - z2) = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x - z) Với m = x + y - z; n = x - y + z; p = - x + y + z cho m + n + p = và ta có bài toán: Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x - y + z)3 - (- x + y + z)3 [ 1] Bài tập vận dụng Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) a3 + 8b3 + 27c3 - 18abc 2) (x - y + z)3 - x3 + y3 - z3 3) (a + b)3 - (b + c)3 + (c - a)3 4) (3x2 - 2x + 1)3 + (x - x2 - 1)3 - (2x2 - x)3 Ứng dụng 2: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào rút gọn biểu thức: Bài toán 4: Rút gọn biểu thức A = ( a+b+ c)3 – ( a+ b – c)3 – ( b + c – a)3 – ( c+ a – b)3 [ 2] Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ: x = a + b − c  Đặt  y = b + c − a ⇒ x + y + z = a + b + c z = c + a − b  Khi : A = ( x+ y + z)3 – x3 – y3 – z3 = 3( x+y)(y+z)(z+x) = 3.2b.2c.2a = 24abc Nhận xét: Như lời giải bài toán sử dụng yếu tố phụ x, y, z với mục đích giảm thiểu độ phức tạp cho lời giải Đây là ý tưởng không hề mạng lại hiệu cao " Giải bài toán nào", Pô – li –a khẳng định yếu tố phụ nhịp cầu nối toán toán cần tìm cách giải với toán biết cách giải [ 2] Chú ý: Tiếp theo ta tiếp tục sử dụng đẳng thức để thực vài phép biến đổi đại số và cụ thể là việc trục thức bậc ba mẫu số Bài toán 5: Trục thức mẫu số biểu thức sau: A= , với abc = [ 1] a+ b+3c Giải: Áp dụng đẳng thức: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) Ta coi mẫu số A có dạng a + b + c Khi nhân tử và mẫu A với (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca), tức là A= ( a) +( b) +( c) 3 − ab − bc − ca ta được: a + b + c − ab − bc − ca a + b + c − 3 abc = a + b + c − ab − bc − ca a +b+c −3 Bài toán 6: Trục thức mẫu số biểu thức: B= [ 2] 4 + − 16 Giải: Áp dụng đẳng thức: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) Ta coi mẫu số A có dạng a + b + c Khi nhân tử và mẫu B với ( a2 + b2 + c2 – ab –bc- ca) ta có : A= 16 16 + 4 + 256 + 16 − 64 − 32 (4 4)3 + (2 2)3 − 1633.4 4.2 2.16 = 272 − 60 15 − 68 = −3056 764 Bài toán 7: Hãy thực trục thức mẫu biểu thức sau: a) A = b) B = [ 2] 1+ − với abc = 1000 a+3b+3c Từ bài toán 1: Nếu cho thêm giả thiết về số a, b, c bài toán viết dạng yêu cầu chứng minh về tính chia hết sau là số ví dụ Ứng dụng 3: Hướng dẫn học sinh sử dụng dụng đẳng thức vào chứng minh chia hết: Bài toán 8: Cho số nguyên a,b,c thảo mãn: a + b + c = ( a- b)( b- c)(c –a) Chứng minh rằng: ( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 chia hết cho [ 1] Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ: Đặt: x = a − b  y = b −c ⇒ x + y + z = z = c − a  Khi : ( a –b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 = x3 + y3 + z3 = (x+ y+z)(x2+y2 + z2- xy-yz-xz) + 3xyz = 3( a-b)( b- c)( c- a) = 3( a+b+c) (vì a + b+c =(a- b)( b- c)(c –a)) 3 Từ ta có ( a –b) + ( b- c) + ( c- a)3 chia hết cho Bài toán 9: Cho số nguyên a,b,c thảo mãn: a + b + c = ( a- b)( b- c)(c –a) Chứng minh rằng: M = ( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 chia hết cho 81 [ 2] Giải: Vì (a-b) + ( b- c) + ( c- a) = nên theo ( 3) ta có a3 + b3 + c3 = 3abc ( a- b)3 + ( b- c)3 + ( c- a)3 = 3( a-b)( b-c)( c-a) Xét số dư phép chia a, b ,c cho a) Nếu ba số dư khác ( là 0, , 2) ( a + b + c ) M3 ( a-b)( b- c)( c-a) không chia hết cho 3, trái với giả thiết b) Nếu có hai số dư thi a + b + c không chia hết cho 3, trong ba hiệu ( a- b), ( b- c), ( c- a) chia hết cho 3, trái với giả thiết c) Vậy trường hợp ba số a ,b ,c đều có số dư chia cho 3, lúc ( a-b)( b- c)( c-a) M3.3.3.3 nên M M81 Nhận xét: Cũng với phương pháp chứng minh kết tổng quát sau Chứng ming với p là số nguyên tố lẻ số: ( a+b+c)p + ( a- b –c)p+ ( b- c-a)p + ( c- a- b)p chi hết cho 8pabc Chứng ming với p là số nguyên tố lẻ số ( a- b)p + ( b- c)p + ( c- a)p chia hết cho p( a-b)(b-c)(c-a) [ 1] Ứng dụng 4: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào chứng minh đẳng thức Bài toán 10: Biết x+ y + z = Chứng ming 2( x5 + y5 + z5) = 5xyz( x2 + y2 + z2) [ 2] Giải Từ giả thiết x + y+ z = => 3xyz = x3 + y3 +z3 ⇔ 3xyz( x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 +z3)( x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x2y2( x+y)+ y2z2( y + z)+ z2x2( z+x) = x5 + y5 + z5 - x2y2z- - y2z2x- z2y2x = x5 + y5 + z5 - xyz( xy+yz+xz) Mặt khác: từ: +) x + y+ z = ⇒ = ( x+ y + z) = x2 + y2 + z2+ 2(y + 2yz+ 2xz) ⇒ xy+ yz+xz = - ( x2 + y + z ) ( x2 + y2 + z2) vào biểu thức ta 3xyz ( x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + xyz( x2 + y2 + z2) ⇔ 2( x5 + y5 + z5) = 5xyz( x2 + y2 + z2) ( đpcm) Thay xy+ yz+xz = - Bài toán 11: ax + by = c  Biết : bx + cy = a cx + ay = b  (*) Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc [ 5] 10 a + b + c = Giải: Do a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔  a = b = c a + b + c = Nên ta cần chứng minh  a = b = c Thật vậy: giả sử ( x,y) nghiệm ( *) cộng theo vế (*) ta a + b + c = a + b + c = ( a + b+c)( x+y - 1) = ⇔    x + y −1 =  x + y −1 = Từ x+ y – = => y = – x vào ( *) ta a =b =c từ ta có điều phải chứng minh Ứng dụng 5: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào tính giá trị biểu thức Bài toán 12: Cho a, b, c là số thực khác cho a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 Hãy tính giá trị biểu thức a  b  c  M= 1 + 1 + 1 +  [ 5] b  c  a  (5) y  x  z  Giải: Đặt x= bc, y = ac, z = ab => xyz ≠ => M = 1 + 1 + 1 +  x  z  y  x + y + z = Từ giả thiết (5) => x3 + y3 + z3 = 3xyz ⇔  x = y = z Ta xét hai trường hợp 1) x + y + z = 3(x+y)(y+z)(z+x) = - 3xyz => (x+y)(y+z)(z+x) = - xyz y  x  z   x + y  z + x  y + z    = -1 ⇒ M = 1 + 1 + 1 +  =    x  z  y   x  z  y   2) Nếu x=y=z (hay a= b= c) => M = Bài toán 13: Giải: suy Cho xy + yz + xz = và x; y; z khác yz xz xy Hãy tính A = + + [ 1] x y z Từ xy + yz + xz = và x; y; z khác 1 + + = nên theo (3) ta có x y z 11 Từ A = 1 xyz xyz xyz + + + + = xyz( =3 3 3 3 )= 3xyz xyz x y z x y z Nhận xét : Ở toán ta sử dụng điều kiện xuôi để tính giá trị biểu thức, ví dụ minh họa điều kiện ngược để tính gía trị biểu thức [ 1] Bài toán 14: Biết a3 + b3 = 3ab -1, tính giá trị biểu thức A= a+b [ 1] Giải: Biến đổi về dạng : a3 + b3 = 3ab -1 ⇔ a3 + b3 + = 3a.b.1 a + b + =  a + b = −1  A = −1  A = −1 ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ a = b = a = b = A = A = Bài toán 15: Biết a3 – b3 = 3ab +1 Tính giá trị biểu thức A = a- b [ 1] Giải: Biến đổi giả thiết về dạng : a3 – b3 = 3ab +1 ⇔ a3 +(- b)3 +(- 1)3 = 3a.(-b).(-1)  a + (− b) + (−1) =  A = −1 ⇔ ⇔ a = − b = −1  A = −2 Chú ý : Bài toán này phát biểu sau: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, Hãy tìm tập hợp điểm M( x;y ) cho : x3 – y3 = 3xy + [ 2] Bài toán 16: Tìm công thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k: S= 1.2.3 +3.4.7 + 7.8.15+ …+ (2k – 1)2k(2k+1-1) [ 2] Giải: Vì (2k – 1) + 2k + (1- 2k+1)= nên áp dụng đẳng thức (1) ta có (2k- 1)3 + (2k)3- (2k+1- 1)3 = -3(2k – 1)2k(2k+1-1) Từ -3S = (-3).1.2.3 + (-3).3.4.7 +(-3)7.8.15 + …+ (-3) (2k- 1)2k(2k+ 1- 1) => - 3S = (1 + 3- 33) + ( 33 + 43 – 73 )+ ( 73 + 83 – 153 ) +… + (2k- 1)3 + 23k(2k+1- 1)3 => -3S = + 23 + 43 +83 +…+ 33k – (2k+1- 1)3 (*) 3 3k 3k+3 2k+1 => 24S = -2 – – - … - – + 8(2 - 1) (**) Cộng theo vế (*) và (**) ta => 21S = – 23k+3 + 7(2k+1-1)3 Hay S = k (2 − 1)(2 k +1 − 1)(2 k + − 1) Ứng dụng 6: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào giải phương trình hệ phương trình 12 Bài toán 17: Giải phương trình: a) x3 -3x + = b) x3 + 16 = 12x [ 1] Giải: a) Ta có x3 -3x + = ⇔ x3 + 13 + 13 = 3.x.1.1 x +1+1 =  x = −2 ⇔  ⇔ x = = x = Vậy phương tình có hai nghiệm x = -2, x = b) x + + = Ta có x3 + 16 = 12x ⇔ x3 + 23 + 23 = 3.2.2.x ⇔  x = = Vậy phương tình có hai nghiệm x = -4, x = Bài toán tương tự:  x = −4 ⇔ x = Giải phương trình 6x3 + 3x- = [ 1] Bài toán 18: Giải phương trình (x-3)3+ (x+1)3-= 8.(x-1)3 [ 2] Lời giải: Vì (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 nên (a-b)3+(b-c)3+(c-a)3=3.(a-b)(b-c)(c-a) Ta có: (x-3)3+ (x+1)3-= 8.(x-1)3 ⇔ [(3x+3)-(2x+6)]3+[(2x+6)-(x+5)]3+[(x+5)-(3x+3)]3 x =  ⇔ 3.(x-3)(x+1)(-2x+2)=0 ⇔ x = −1   x = Tập nghiệm S = { 3;−1;1} Bài toán 19: Giải phương trình a) ( x- 2)3 + ( x + 1)3 + ( 1- 2x)3 = b) x − + x − + x − = [ 1] Giải: a) Sử dụng đẳng thức biến đổi phương trình về dạng : ( x- 2)3 + ( x + 1)3 + ( 1- 2x)3 = ⇔ (x-2+x+1+2x)  (x − 2) + (x + 1) + (1 − x) − (x − 2)(x + 1)(1 − x)  + 3(x − 2)(x + 1)(1 − x) = x = ⇔ ( x- 2)(x+1)( 1-2x) = ⇔  x = −1  x = 1/ a Đặt a = x − , b = x − , c= x−3 Khi phương trình có dạng : a+ b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ ( x- 1)+ ( x- 2) + ( x- 3) = 3 x − x − x − ⇔ x -2 = (x − 1)(x − 2)(x − 3) ⇔ ( x- 2)3 = ( x- 1)( x-2)( x-3) 13 ⇔ ( x -2) (x − 2) − (x − 1)(x − 3) ] =0 ⇔ x- = ⇔ x = Thử lại thấy x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Trong câu a) só thể sử dụng đánh giá ( x- 1)+ ( x- 2) + ( x- 3) = Do đó, phương trình tương đương với: ( x- 1)( x-2)( x-3) ⇔ x = x = x = Từ ta thử lại để chọn nghiệm Một số bài toán tương tự a) ( x- 3)3 + ( 2x -3)3 = 27 ( x-2)3 b) ( x- 3)3 + ( x + 1)3 = 8( x-1)3 c) (a x+b)3 + (bx + a)3 + ( a+b)3(x+1)3 = d) x + + x + + x + = [ 2] Bài toán 20: Giải hệ phương trình x + y + z =  2 x + y + z =  x3 + y3 + z =  [ 1] Giải: Từ x+ y + z = và x3 + y3 + z3 = ta suy ( x + y + z)3 – ( x3 + y3 + z3) = x + y = o ⇔ ( x+ y)( y + z)( z + x) = ⇔  y + z =  z + x = Khi z = x = y =  + Với x + y = 0, hệ có dạng  x + y = ⇔  z =  x2 + y =  + Với y + z = 0, hệ có nghiệm ( 1;0;0) + Với z + x = 0, hệ có nghiệm ( 0, 1;0) Nhận xét: Chúng ta đều biết " Sau tìm lời giải bài toán , nhiều trường hợp, ta từ kết cách giải mà suy giải khác nhau( hiểu có cách giải khác)" Cụ thể từ nghiệm tìm được, ta thấy x- = y – z – = đễ dàng suy cách giải khác sau: Từ x2 + y2 + z2 = suy - ≤ x, y, z ≤ Khi , kết hợp x2 + y2 + z2 = và x3 + y3 + z3 = ta suy x2( 1-x) + y2( 1-y)+z2( 1-z) = 14  x = 0; y = 0; z = ⇔ x2( 1-x) = y2( 1-y) =z2( 1-z) = ⇔  x = 0; y = 1; z =  x = 1; y = 0; z = Đó chính là ý tưởng " Một cách tìm nhiều lời giải bài toán" Bài toán 21: Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình:  x + y + 3z = ( I)  3 (x − 1) + (2 y − 3) + (3 z − 2) = 18 [ 2] Giải:  x + y + 3z = (x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = ⇔ 3 (x − 1) + (2 y − 3) + (3 z − 2) = 18 (x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = 18 Ta có :  3 (II) Áp dụng đẳng thức a3 + b3 + c3 = 3abc ta có: (x − 1) + (2 y − 3) + (3z − 2) = (x − 1)(2 y − 3)(3z − 2) = ( II) ⇔  Vì x; y ; z nguyên nên x- 1; 2y – 3; 3z – nguyên Do đó: Giá trị tuyệt đối số (x - 1); (2y -3); (3z- 2) đều là ước 6, nghĩa là đều thuộc tập hợp { ± 1;±2;±3;±6} Từ để 3z- nghiệm nguyên 3z – = 3z- = -2 a) Với 3z- = thay vào hệ ( II) ta (x − 1) + (2 x − 3) = −1  (x − 1)(2 y − 3) = Vậy ( x -1) và ( 2y -3) là nghiệm phương trình : t2 +t +6 = Phương trình này vô nghiệm b) Với 3z – = -2 thay vào hệ ( II ) ta (x + 1) + (2 y − 3) =  (x + 1)(2 y− 3) = −3 Vậy ( x+1) và ( 2y -3) là nghiệm phương trình: t2 -2t -3 = Phương trình này có hai nghiệm t1 = -1; t2 = Kết hợp với 3z- = -2 suy hệ phương trình (I) có hai nghiệm nguyên (x;y;z) là (0;3;0); (4;1;0) • Những cách nhìn khác toán cho ta cách phát biểu khác toán ngược lại, từ hình thành phảm chất nhạy bén cho người làm toán 2.5 Hiệu Với kinh nghiệm vừa trình bày trên, sau thời gian thực hiện, thân thu kết sau: Kiến thức: Học sinh tiếp nhận kiến thức cách, chủ động, có hệ thống, học sinh phân biệt và nhận dạng bài toán liên quan đến đẳng thức, bài toán biết và từ hầu hết giải bài tập phần này, xoá cảm giác khó và phức tạp ban đầu Qua rèn luyện cho học sinh trí thông minh, 15 sáng tạo, phẩm chất trí tuệ và học sinh thấy dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú học môn này Kĩ năng; Khi gặp bài toán liên quan đến đẳng thức bài toán nào sinh có khả quan sát, phân tích đưa cách giải cách hợp lí hiệu và nhanh nhất, vận dụng bài toán gốc cách linh hoạt Thái độ: Từ kiến thức em có ý thức tự giác và hứng thú học tập ngày cao hơn, đa số em có nhu cầu tìn tòi , nâng cao kiến thức Chính lẽ số học sinh giỏi ngày tăng lên Bảng thống kê: Kiểm nghiệm kết kiểm tra sau áp dụng đề tài: Số Các mức độ kiến thức đạt lượng Biết % Hiểu % Vận % dụng Lớp 9A 30 0 17 56,7 13 43.3 Lớp 9B 30 0 18 30 12 40 Qua phần khảo sát số học sinh giỏi tăng lên, số học sinh yếu giản KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua thực tế giảng dạy, tổ chức biện pháp nhằm phát triển tư cho học sinh và vận dụng đẳng thức để giải bài toán thông qua bài toán , nhận thấy có số ưu điểm bật là: Giúp học sinh có “chìa khoá” để mở hầu hết bài toán hình học và mở nhiều bài toán nói chung; Học sinh xây dựng đường lối tìm lời giải bài toán nhanh, gọn chứng minh khoa học Các biện pháp này sử dụng rộng rãi với nhiều đơn vị kiến thức khác Khi giải bài toàn cần lưu ý: + Ta cần phân tích kỹ yếu tố có bài toán phần hệ số, phần biến, phấn số mũ, dấu (+, - ) bài toán xem xét vận dụng kiến thức cũ để giải + Phân dạng bài toán cách có hệ thống và hướng dẫn phương pháp dạng, bài, từ khai thác vận dụng để đưa bài toán + Làm cho học sinh nắm vững đẳng thức + Đưa bài toán mang tính chất đặc trưng và phương pháp để học sinh vận dụng giải bài toán tương tự + Trong bài toán nào gợi nhớ bài toán làm + Phần "hằng đẳng thức hay bài toán " lớp là nội dung quan trọng kiến thức này có liên quan chặt chẽ, là tiền đề cho học sinh học tốt kến thức về sau và đặc biệt ứng dụng nhiều Do vậy, trước hết cần cho học sinh nắm thật vững bài toán bản, đẳng thức, phép biến đổi, bất đẳng thức 16 3.2 Kiến nghị Hiện chất lượng học tập môn Toán chưa cao, có nhiều em học tập yếu về môn Toán nên phải tạo điều kiện cho giáo viên có thời gian nghiên cứu, có thời gian bồi dưỡng cho học sinh yếu về môn Toán Tôi mong nhà trường và cấp quản lí giáo dục sớm trang bị đầy đủ về sở vật chất, thiết bị, tài liệu, đồ dùng dạy học để công tác giảng dạy nhà trường đạt kết cao Trong phần nghiên cứu này đưa vấn đề nhỏ nhiều vấn đề lớn là vận dụng và khai thác đến bài toán số vấn đề khác : bất đẳng thức, hệ thức, đường tròn, cách chứng minh đoạn thẳng nhau… dạng bài toán và dành cho đối tượng là học sinh lớp Vấn đề này ta đưa nhiều bài toán khác nữa, lĩnh vực khác nhau, đối tượng không là học sinh lớp mà áp dụng cho tất đối tượng học sinh khối lớp khác Khi khảo sát và áp dụng không thu gọn là nhóm học sinh mà có nhiều nhóm học sinh Từ ta có kết cao và chính xác Trên là vài kinh nghiệm nhỏ thân tự rút dạy phần đẳng thức Trong trình giảng dạy chắn chưa thể hoàn hảo Rất mong nhận góp ý chân tình bạn đồng nghiệp để năm học tới tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu nghiệp giáo dục nước nhà.Trên là số kinh nghiệm nhỏ thân, mạnh dạn trình bày với mục tiêu nâng cao chất lượng học tập học sinh, đồng thời bồi dưỡng, tích luỹ thêm cho về trình độ chuyên môn nghiệp vụ Do điều kiện nghiên cứu vấn đề phạm vi hẹp, vốn tài liệu ít nên đề tài này hẳn nhiều thiêu sót Rất mong đóng góp ý kiến nhiệt tình thầy cô giáo, bạn đồng nghiệp, hội đồng khoa học giáo dục cấp và bạn đọc để bài viết này hoàn thiện và đề tài này sử dụng rộng rãi Xin trân trọng cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan là SKKN viết, không chép nội dung người khác Người thực : Nguyễn Văn Học 17 NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO: -Tuyển chọn bài thi học sinh giỏi lớp 6-7-8-9– Tác giả : Lê Hồng ĐứcNhà xuất Hà Nội năm 2005 - Tuyển chọn theo chuyên đề toán học và tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục,2006 3- Các dạng toán và phương pháp giải toán 8- Nhà xuất giáo dục năm 2008 4- Tuyển chọn 400 bài tập toán 8-Tác giả phan Văn Đức – NXB Đà Nẵng năm 2006 5- 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp – Tác giả:Nguyễn Văn Vĩnh- NXB GD năm 2008 18 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNH KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Học Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Nga Bạch STT Tên đề tài SKKN Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Một số tổng , cách tính và ứng dụng Một số tổng , cách tính và ứng dụng Cách tìm chữ số tận và ứng dụng Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Hướng dẫn học sinh lớp ứng dụng và phát triển từ bài toán ban đầu Hướng dẫn học sinh lớp sử dụng tính đồng thời việc giải số dạng toán Phương pháp giải bài toán tính góc lớp Hướng dẫn học sinh lớp giải bài toán cực trị Trường THCS Nga Bạch Hướng dẫn học sinh lớp trường THCS Nga Bạch vận dụng tính chất dãy tỉ số vào giải bài toán Hướng dẫn học sinh lớp Trường THCS Nga Bạch ứng dụng và phát triển từ bài toán ban đầu 10 11 12 Cấp đành giá xếp loại Tỉnh Kết đánh giá xếp loại C Năm học đánh giá xếp loại 2004-2005 Huyện A 2004-2005 Tỉnh Huyện Huyện C A B 2005-2006 2006-2006 2006-2007 Huyện C 2007-2008 Huyện B 2009-2010 Huyện B 2010-2011 Huyện C 2011-2012 Huyện B 2013-2014 Huyện B 2015-2016 Huyện A 2016-2017 19 ... này bạn với tên đề tài là:" Hướng dẫn học sinh lớp trường THCS Nga Bạch ứng dụng phát triển từ toán ban đầu " 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Đối với học sinh bài toán biết đẳng thức đáng nhớ... việc giải số dạng toán Phương pháp giải bài toán tính góc lớp Hướng dẫn học sinh lớp giải bài toán cực trị Trường THCS Nga Bạch Hướng dẫn học sinh lớp trường THCS Nga Bạch vận dụng tính... 8b3 + 27c3 - 18abc 2) (x - y + z)3 - x3 + y3 - z3 3) (a + b)3 - (b + c)3 + (c - a)3 4) (3x2 - 2x + 1)3 + (x - x2 - 1)3 - (2x2 - x)3 Ứng dụng 2: Hướng dẫn học sinh sử dụng đẳng thức vào rút gọn