skkn sử DỤNG TÍNH đơn điệu của hàm số để GIẢI PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phần 1: Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI Hiện ,giáo dục không ngừng cải cách đổi Để kịp với xu hướng này,rất nhiều yêu cầu đặt Một số để có phương pháp giải toán hay ,nhanh,mà cho kết xác Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số phương pháp giải toán Có nhiều toán nhìn tưởng khó,nếu giải lời giải khó hiểu,rắc rối Nhưng áp dụng phương pháp ,bài toán trở thành đơn giản ,gọn nhiều Đó ứng dụng phương pháp ,ngoài phương pháp sử dụng tính đơn điệu phát huy ưu việt nhiều trường hợp khác Nói tóm lại,phương pháp cần thiết em học sinh chuẩn bị ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông,thi đại học cao đẳng.Nó giúp em phát huy tối đa tính sáng tạo việc tìm đường giải toán nhanh ,hay xác Trong trình dạy học môn toán bậc trung học phổ thông, gặp nhiều toán chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình ,bất phương trình ,hệ phương trình.Để giải toán dạng có ta giải nhiều phương pháp khác , có giải phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số.Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán phương pháp hay,thông thường để giải toán đơn giản,gọn nhẹ so với phương pháp khác Tuy nhiên để học sinh có kỹ ta cần hệ thống hoá lại tập ,để học sinh giáo viên bớt lúng túng Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán ,chiếm vị trí đặc biệt quan trọng toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình ,bất phương trình ,hệ phương trình.Phương pháp dựa mối liên hệ tính đồng biến nghịch biến hàm số với đạo hàm [Type text] SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu cần xây dựng hàm số thích hợp ,rồi nghiên cứu tính đồng biến ,nghịch biến đoạn thích hợp.Các hàm số nhiều trường hợp nhận từ đầu ,còn trường hợp đặc biệt ta cần khôn khéo để phát chúng Phần : PHƯƠNG PHÁP ,CÁCH THỨC THỰC HIỆN A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1) Nhắc lại tính đơn điệu hàm số a) Hàm số y = f(x) gọi tăng hay đồng biến khoảng (a;b) với x1;x2 thuộc khoảng (a;b) mà x1 < x2 thỡ f(x1) < f(x2) b) Hàm số y = f(x) gọi giảm hay nghịch biến khoảng (a;b) với x1;x2 thuộc khoảng (a;b) mà x1 < x2 thỡ f(x1) > f(x2) 2) Điều kiện cần điều kiện đủ tính đơn điệu Định lý 1(điều kiện cần): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) a Nếu hàm số f(x) tăng khoảng (a;b ) f '(x)  0, x(a;b) b Nếu hàm số f(x) giảm khoảng (a;b ) f '(x)  0,x(a;b) Đ ịnh lý 2(điều kiện đủ) : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) a Nếu f '(x) > 0, x(a;b) thỡ hàm số f(x) tăng khoảng (a;b ) b Nếu f '(x) < 0, x(a;b) thỡ hàm số f(x) giảm khoảng (a;b ) Định lý : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) a Nếu f '(x)  0, x(a;b) , đẳng thức xảy số hữu hạn điểm (a;b) thỡ hàm số f(x) tăng khoảng (a;b ) b Nếu f '(x)  0, x(a;b), đẳng thức xảy số hữu hạn điểm (a;b) thỡ hàm số f(x) giảm khoảng (a;b ) 3) Hàm số hằng: Định lý : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a;b) f '(x) = x(a;b) thỡ hàm số y = f(x) không đổi khoảng (a;b) [Type text] SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH B MỘT SỐ BÀI TOÁN I SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRèNH 1.Phương phỏp : Sử dụng cỏc tớnh chất đơn điệu hàm số để giải phương trỡnh dạng toỏn khỏ quen thuộc Ta có hướng ỏp dụng sau: Hướng : Thực theo bước : Bước : Chuyển phương trỡnh dạng : f(x) = k (1) Bước : Xột hàm số y = f(x) Dựng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử hàm số đồng biến) Bước : Nhận xột :  Với x = x0 f(x) = f(x0) = k , x = x0 nghiệm  Với x > x0  f(x) f(x0) = k , phương trỡnh vụ nghiệm  Với x < x0  f(x)  t(-3; 2) Suy hàm số đồng biến (-3; 2) + Do : phương trình (2a) có nghiệm nghiệm Thấy t = thỏa mãn phương trình (2a) Khi : x2 –x =  Vậy phương trình có nghiệm V d ụ Giải phương trỡnh : 3x2 18x + 24 = (3) Nhận xét :Bài toán học sinh khử dấu giá trị tuyệt đối dẫn đến nhiều trường hợp phức tạp hơn.Nhưng ta quan sát thấy biểu thức chứa hai giá trị tuyệt đối bình phương trừ cho dẫn đến vế trái phương trình nên tìm cách đưa phương trình dạng f(u) = f(v)( Hướng 3) giải dễ dàng Giải : Điều kiện : x ≠ (3)  (2x – 5)2 x ≠ = (x 1)2  (*) Xột hàm số f(t) = t2 Đạo hàm f '(t) = 2t + Khi : (*)  với t > > , t > nờn hàm số đồng biến trờn ( ; +) = x=4vx=2 Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = x = [Type V ớtext] dụ Giải phương trỡnh : x3 x2 + 78x (4) SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nhận xét :Bài toán khử dẫn đến số mũ cao phức tạp Nhưng ta quan sát thấy số bậc vế trỏi số bậc vế phải giống thỡ ta biến đổi Hướng theo dạng f(u) = f(v) ta áp dụng tính đơn điệu dễ dàng Giải: TXĐ: D = R (4)   ) (*) Xột hàm số f(t) = t3 + 5t với t R Ta cú f '(t) = 3t2 + > ,  Hàm số đồng biến trờn R Khi (*)    Vậy phương trỡnh (4) cú nghiệm x = ; V d ụ Giải phương trỡnh : (5) Nhận xét :Bài toán học sinh lúng túng hai số không giống nhau.Nhưng ta Nhận xét :Quan sát thấy biểu thức chứa logarit hai vế chung “ x2 – 2x” nên đặt ẩn phụ cho tìm cách đưa phương trình mũ áp dụng tính đơn điệu giải dễ dàng [Type text] SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x < 1- Giải : Điều kiện : (5)  v x > 1+  (a) Đặt t = x2 – 2x – ( t > ), : (a)  (b) Đặt y = (b)    = = (c) hàm số nghịch biến (-;+) nên phương trình (c) có Hàm số f(y) = nghiệm nghiệm Nhận xét thấy y = nghiệm phương trình (c) Khi : t =  x2 – 2x – =  x = v x = -2 Vậy phương trình (5) có nghiệm x = 4, x = -2 V d ụ Giải phương trỡnh : = (6) Nhận xét :Bài toán học sinh lúng túng VT có số VP đa thức.Nhưng ta quan sát thấy biểu thức phân tích (x2 – x) – (x – ) giống số mũ VT nên đặt ẩn phụ cho tìm cách đưa phương trình dạng f(u) = f(v)( Hướng 3) giải dễ dàng Giải : (6)  +x–1= + x2 – x  f(x – 1) = f(x2 – x ) (*) [Type text] SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Xét hàm số f(t) = +t TXĐ: D = R f '(t) = ln2 + >  tD  hàm số đồng biến (-;+) Vậy (*)  x2 – x = x –  x = Vậy phương trình có nghiệm x = V d ụ Giải phương trỡnh : x>0 Giải : Điều kiện : Đặt t = x=  Phương trình trở thành : Vì hàm số f(t) = =  + = (7) đồng biến (-;+) nên phương trình (7) có nghiệm + nghiệm Thấy t = -1 nghiệm phương trình (7) Khi : x= Vậy phương trình có nghiệm x = V d ụ Giải phương trỡnh : [Type text] (8) SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nhận xét :Bài toán học sinh lúng túng VT có logarit số mũ Nhưng ta quan sát thấy biểu thức số mũ đưa nên đặt ẩn phụ tìm cách đưa phương trình dạng f(u) = f(v)( Hướng 3) giải dễ dàng Giải : Điều kiện : x ≤ v x ≥ Đặt t = = – t , t ≥ Suy Khi (8) có dạng : – (*) – Xét hàm số f(t) = f '(t) = + với t ≥ = ln5 > ,  t[0;+) Suy hàm số đồng biến [0;+) Mặt khác : f(1) = = Vậy (*)  f(t) = f(1)  t =  Vậy phương trình có nghiệm x = = 1 x= II SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRèNH 1.Phương phỏp : Thực theo bước: Bước : Đặt điều kiện cho cỏc biểu thức hệ cú nghĩa Bước : Từ hệ ban đầu, xác định phương trỡnh hệ ẩn [Type text] hai ẩn.Giải phương trỡnh phương pháp hàm số biết SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Áp dụng : V d ụ Giải hệ phương trỡnh : Nhận xét :Trong phương trỡnh (1) xuất dạng hàm số f(x) = f(y) đạo hàm dương nên ta dùng phương pháp hàm số cho phương trỡnh (1) (1)   (*) Xột hàm số f(t) = f '(t) = Suy hàm số đồng biến trờn R (*) x = y vào (2) ta : = 12  x = Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (2;2) ; (-2;-2) V d ụ Giải hệ phương trỡnh : Nhận xét :Trong hệ phương trỡnh trờn loại hệ phương trỡnh đối xứng loại 2.Khi ta trừ hai phương trỡnh cho ,ta thấy xuất hàm số f(x) = f(y) Hệ phương trỡnh   (*) Xột hàm số f(t) = f '(t) = Suy hàm số đồng biến trờn R (*) x = y vào (3) ta : [Type text]  (**) SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Xột hàm số f(x) = Suy hàm số đồng biến trờn R f '(x) = x = thỏa f(1) = Do phương trỡnh (**) cú nghiệm x = Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (1;1) V d ụ Giải hệ phương trỡnh : Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn nhỡn ta thấy khó Nhưng ta quan sát kỹ phương trỡnh (5) phương trỡnh bậc hai theo x(xy+2) cú nghiệm nên ta rút Do ta dự đoán đưa hàm số f( y= dựng hàm số để giải Điều kiện : x ≠  (5)   Ta được:  (*) Xột hàm số f(t) = Suy hàm số đồng biến trờn R f '(t) = (*) = x=2y= Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x ; y) = (2; [Type text] vào (4) SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH V d ụ Giải hệ phương trỡnh : Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn nhỡn ta thấy khó Nhưng ta quan sát kỹ phương trỡnh (6) xuất “2(3 – y) = (5 – 2y)+1” tương tự “ ”.Do ta dự đoán đưa dựng hàm số để giải hàm số f( Điều kiện :  (6)  (*) Xột hàm số f(t) = (t2 + 1) t có đạo hàm f '(t) = 3t2 + > 0, Suy hàm số đồng biến trờn R (*)  2x =  4x2 + vào (7) ta được: ( 8) Nhận thấy x = x = khụng phải nghiệm phương trỡnh (8) Xột hàm số g(x) = 4x2 + trờn (0; g '(x) = 8x – 8x trờn (0; Suy g(x) nghịch biến trờn (0; Tại x =  g( Suy pt(8) cú nghiệm x = [Type text]  SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x ; y) = ( V d ụ Giải hệ phương trỡnh : Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn nhỡn ta thấy khó Nhưng ta quan sát kỹ phương trỡnh (9) xuất “ ” “ ”cú thể đưa đẳng thức.Do ta dự đoán đưa hàm số f( dựng hàm số để giải Hệ phương trỡnh  (10)   (9)  f ( x – ) = f( y + 1) (*) Xột hàm số f(t) = t3 – 12t trờn [ Suy hàm số nghịch biến trờn [ cú f '(t) = 3t2 – 12 = 3( t2 – ) < 0, [ (*)  x – = y +  y = x – vào (10) ta : 4x – 8x + =    Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ( ; Phần : HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Sử dụng phương pháp tính đơn điệu hàm số để giải phương trỡnh hệ phương trỡnh giỳp cho toỏn trở nờn ngắn gọn cú hiệu cao.Nú giỳp cho học sinh giỏo viờn [Type text] SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH trỡnh bày cỏch lụgic làm vấn đề đơn giản nhiều so với ban đầu.Phương pháp gúp phần lớn giải toỏn ,khụng phải có phương trỡnh ,bất phương trỡnh hệ phương trỡnh mà cũn ỏp dụng cho nhiều toỏn khỏc : tỡm giỏ trị lớn nhỏ hàm số,chứng minh bất đẳng thức, Thậm , số phương trỡnh bất phương trỡnh ỏp dụng phương pháp giải vấn đề Sau thực phương pháp ,các lớp tụi dạy cú hiệu rừ rệt.Nú gúp phần vào tỉ lệ đậu tốt nghiệp đại học.Cụ thể năm 2011 – 2012 , lớp tụi dạy đạt tốt nghiệp 100% số lượng đậu Đại học cao nhiều so với năm trước Phần : KẾT LUẬN -Sau rèn luyện hệ thống kiến thức trên,các em học sinh mạnh dạn ,linh hoạt việc dùng đạo hàm để giải toán -Cái hay cách giải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số để giải phương trình -Tránh phải xét nhiều trường hợp số toán -Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót ,thừa nghiệm tránh việc giải phương trình bậc cao Nội dung phương pháp nờu số vớ dụ không đáng kể mụn toỏn, bờn cạnh có gợi ý nho nhỏ để học sinh nhận dạng toán Đây phương phỏp giải toỏn nhằm nõng cao chất lượng cho việc dạy giỏo viờn việc học cho học sinh ( phương pháp nghiêng học sinh khỏ – giỏi) Nội dung phương pháp vấn đề mẻ mà đồng nghiệp khác [Type text] SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH thực từ lõu Tuy nhiờn, tụi muốn đưa để đồng nghiệp đóng góp ý kiến xõy dựng thờm giỳp tụi hoàn thiện phương pháp giảng dạy sau nhằm đạt kết cao Phần :TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp giải toỏn Đạo hàm ứng dụng tỏc giả Ths.Lờ Hồng Đức(chủ biờn) Nhà xuất Đại học sư phạm , năm xuất 2004 Một số đề thi Đại học năm tập tham khảo Biờn Hũa ngày 25 thỏng 05 năm 2013 Người thực Ninh Thế Phụng [Type text] SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH [Type text] [...]... Sử dụng phương pháp tính đơn điệu của hàm số để giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh giỳp cho bài toỏn trở nờn ngắn gọn và cú hiệu quả cao.Nú giỳp cho học sinh và giỏo viờn [Type text] SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH trỡnh bày một cỏch lụgic và làm vấn đề đơn giản hơn nhiều so với ban đầu .Phương pháp này gúp phần rất lớn trong giải toỏn ,khụng phải chỉ có phương. .. x(xy+2) và cú duy nhất nghiệm nên ta rút được Do đó ta dự đoán đưa về hàm số f( y= và dựng hàm số để giải Điều kiện : x ≠ 0  (5)   Ta được:  (*) Xột hàm số f(t) = Suy ra hàm số đồng biến trờn R f '(t) = (*) = x=2y= Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x ; y) = (2; [Type text] thế vào (4) SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH V ớ d ụ 4 Giải hệ phương trỡnh : Nhận xét : Hệ. ..SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Xột hàm số f(x) = Suy ra hàm số đồng biến trờn R f '(x) = tại x = 1 thỏa f(1) = 0 Do đó phương trỡnh (**) cú nghiệm duy nhất x = 1 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (1;1) V ớ d ụ 3 Giải hệ phương trỡnh : Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn thoạt nhỡn ta thấy khó Nhưng ta quan sát kỹ phương trỡnh (5) là phương trỡnh bậc... trỡnh (8) Xột hàm số g(x) = 4x2 + trờn (0; g '(x) = 8x – 8x trờn (0; Suy ra g(x) nghịch biến trờn (0; Tại x =  g( Suy ra pt(8) cú nghiệm duy nhất x = [Type text]  SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x ; y) = ( V ớ d ụ 5 Giải hệ phương trỡnh : Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn thoạt nhỡn ta thấy khó Nhưng ta quan sát kỹ phương trỡnh... khác đó [Type text] SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH thực hiện từ lõu Tuy nhiờn, tụi muốn đưa ra đây để các đồng nghiệp đóng góp ý kiến xõy dựng thờm giỳp tụi hoàn thiện hơn trong phương pháp giảng dạy sau này nhằm đạt kết quả cao nhất Phần 5 :TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Phương pháp giải toỏn Đạo hàm và ứng dụng của tỏc giả Ths.Lờ Hồng Đức(chủ biờn) của Nhà xuất bản Đại... tốt nghiệp 100% và số lượng đậu Đại học cao hơn nhiều so với năm trước đó Phần 4 : KẾT LUẬN -Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên,các em học sinh đã mạnh dạn hơn ,linh hoạt hơn trong việc dùng đạo hàm để giải toán -Cái hay của cách giải này là sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình -Tránh phải xét nhiều trường hợp ở một số bài toán -Tránh việc bình phương hai vế dễ... phương trỡnh ,bất phương trỡnh và hệ phương trỡnh mà cũn ỏp dụng cho nhiều bài toỏn khỏc : như tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, chứng minh bất đẳng thức, Thậm chớ , một số phương trỡnh và bất phương trỡnh chớ ỏp dụng phương pháp này mới giải quyết được vấn đề Sau khi thực hiện phương pháp này ,các lớp tụi dạy cú hiệu quả rừ rệt.Nú gúp một phần vào tỉ lệ đậu tốt nghiệp và đại học.Cụ thể năm... dụng của tỏc giả Ths.Lờ Hồng Đức(chủ biờn) của Nhà xuất bản Đại học sư phạm , năm xuất bản 2004 2 Một số đề thi Đại học của các năm và bài tập tham khảo Biờn Hũa ngày 25 thỏng 05 năm 2013 Người thực hiện Ninh Thế Phụng [Type text] SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH [Type text] ... “ ” và “ ”cú thể đưa về hằng đẳng thức.Do đó ta dự đoán đưa về hàm số f( và dựng hàm số để giải Hệ phương trỡnh  (10)   (9)  f ( x – 1 ) = f( y + 1) (*) Xột hàm số f(t) = t3 – 12t trờn [ Suy ra hàm số nghịch biến trờn [ cú f '(t) = 3t2 – 12 = 3( t2 – 4 ) < 0, [ (*)  x – 1 = y + 1  y = x – 2 thế vào (10) ta được : 4x – 8x + 3 = 0  2   Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm ( ; Phần 3 : HIỆU QUẢ CỦA... : Hệ phương trỡnh trờn thoạt nhỡn ta thấy khó Nhưng ta quan sát kỹ phương trỡnh (6) xuất hiện “2(3 – y) = (5 – 2y)+1” tương tự “ ”.Do đó ta dự đoán đưa và dựng hàm số để giải về hàm số f( Điều kiện :  (6)  (*) Xột hàm số f(t) = (t2 + 1) t có đạo hàm f '(t) = 3t2 + 1 > 0, Suy ra hàm số đồng biến trờn R (*)  2x =  4x2 + thế vào (7) ta được: ( 8) Nhận thấy x = 0 và x = khụng phải là nghiệm của phương