Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và bất phương trình

Đặt vấn đề:Trong thực tế chúng ta thường gặp những bài toán tìm nghiệm của phương trình hay tập nghiệm của bất phương trình.. Vì vậy, các bài toán tìm nghiệm của phương trình hay tập ngh

I Đặt vấn đề:

Trong thực tế chúng ta thường gặp những bài toán tìm nghiệm của phương trình hay tập nghiệm của bất phương trình Vì vậy, các bài toán tìm nghiệm của phương trình hay tập nghiệm của bất phương trình thường xuyên có mặt trong các kì thi tuyển sinh vào lớp

10 THPT; hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũng như các đề thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia nhiều năm gần đây, các bài toán này rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lí, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ

Hơn nữa, không phải phương trình hoặc bất phương trình nào cũng có bài giải trong sáng, ngắn gọn Đặc biệt, là các phương trình, bất phương trình vô tỉ, lượng giác Ví dụ như việc tìm nghiệm của phương trình

x x  x  x  theo phương pháp thông thường rất khó và phức tạp, nhiều khi dẫn đến không giải ra

Tuy nhiên, nếu chúng ta sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình trên thì bài toán có lời giải rất trong sáng

và ngắn gọn, học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức

Căn cứ vào những lí do nêu trên, Tôi chọn đề tài:

"

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và bất phương trình" làm sáng kiến kinh nghiệm

cho bản thân Do nhiều điều kiện cũng như kinh nghiệm còn hạn chế, hơn nữa, đây là vấn đề tương đối rộng nên không thể tránh khỏi sai sót Rất mong sự góp ý quí báu của các thầy cô và sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp

II Giải quyết vấn đề:

Cơ sở để giải quyết vấn đề này là dung đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số và dựa vào chiều biến thiên của hàm số để kết luận về nghiệm của phương trình, hệ phương trình và bất phương trình…

Ngoài ra, để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất có thể dựa vào nhận xét sau đây:

1 Giả sử hàm số f x( ) đơn điệu trên khoảng (a; b) thì trên khoảng (a; b) phương trình f x ( ) 0 có nhiều nhất một nghiệm

2 Nếu hàm số f x( ) đơn điệu trên khoảng (a; b) thì

1 , 2 ( ; )

x x a b

  ta có f x( ) 1 f x( ) 2  x1 x2

Sau đây là một số bài toán minh họa cho các phương pháp này

Bài 1: Giải phương trình x x 5  x  7 x 16 14 (*) 

Bài giải

Phương trình (*) tương đương

f x  x x  x  x  

Tập xác định D  [5; )

Vậy hàm số f x( ) đồng biến trên [5;  ) (1)

Mặt khác, f(9) 0  (2) Từ (1) và (2) phương trình (*)

có nghiệm duy nhất x 9.

Bài 2: Giải phương trình 2x sinx cosx 1 0 (*) 

Bài giải

Xét hàm số f x( ) 2  x sinx cosx 1

Ta có '( ) 2 cos sin 2 2 cos 2 2 0.

4

f x   x x  x   

Vậy hàm số f x( ) đồng biến trên R (1)

Mặt khác, f(0) 0 sin 0 cos 0 1 0      (2) Từ (1) và (2) phương trình (*) có nghiệm duy nhất x 0.

Bài 3: Chứng minh rằng với n là số tự nhiên chẵn và

3

a  thì phương trình (n 1)x n 2 3(n 2)x n 1 a n 2 0

Bài giải

Xét f x( ) (n 1)x n 2 3(n 2)x n 1 a n 2

Tập xác định D R

Ta có f x'( ) (n 1)(n 2)x n 1 3(n 1)(n 2)x n (n 1)(n 2) (x x n 3)

Cho f x'( ) 0   x 3

Bảng xét dấu

x

  3



'( )

f x - 0 +

( )

f x

a n 2 3n 2



Dựa vào bảng biến thiên ta có

2 2

( ) n 3n 0, (Do 3)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 4: Định m để phương trình x4 mx3  2mx2 mx  1 0 (*)

có nghiệm

Bài giải

Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình (*) Chia hai vế phương trình (*) cho x2 ta được

2

2

1

x x

2 0.

      

Đặt t x 1

x

  thì t 2.

Bài toán trở thành định m để

2

t

    







nghiệm Khi đó tương đương

2 2

( ) 2

2

t

t t







 



có nghiệm

4 2 '( )

( 2)

t t

f t

t

  





Cho '( ) 0 2 2

2 2

t

f t

t

  

  

 



Bảng biến thiên:

x -   2 2 -2   2 2

2 +

'( )

f x - 0 + + 0

-( )

f x

+

+

4 2 2 

-12

-

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm thì m  12 hoặc m  4 2 2.

Ngoài ra, chúng ta cũng có thể giải bài toán bằng cách so sánh các nghiệm của phương trình

2 2 2 0

như trên, tuy nhiên phải tính toán phực tạp nhiều hơn.

Bài 5: Giải bất phương trình x  5 2x  3 9 (*)

Bài giải

Phương trình (*) tương đương f x( )  x  5 2x  3 9 0 

Tập xác định [ 3; )

2

D   

2

Vậy hàm số f x( ) đồng biến trên [ 3; )

2

  (1) Mặt khác f(11)  16  25 9 0   (2) Từ (1) và (2) bất phương trình (*) tương đương

( ) (11) 11



Vậy tập nghiệm của bất phương trình (*) là

3

;11

2

S  



Bài 6: Tìm m để bất phương trình mx x 3  m 1 (*) có nghiệm

Bài giải

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi

2 2 1 0

0

mt t m

t

    





2

1

2

0

t

m

t

t













 



có nghiệm

2

2

( ) '( )

Cho f t'( ) 0   t 3 1 (  t 0)

Bảng biến thiên:

t 0 3 1 



'( )

f t + 0

-( )

f t

3 14

1 2

0 Vậy bất phương trình có nghiệm khi m 3 14

Bài tập tương tự

1/ Giải phương trình x 1  x 2  2x 3 2 

2/ Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x  3 m x2  1

3/ Tìm a để phương trình x3  x2  18ax 2a 0 có ba nghiệm dương phân biệt

4/ Giải bất phương trình x 9 5   2x 4.

5/ Tìm a để bất phương trình a 2x2  7  x a nghiệm đúng với mọi x

6/ Định a để bất phương trình 2

log x   1 log (ax a ) có nghiệm

7 Tìm m để phương trình x4 mx3 x2 mx  1 0 có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau

8 Tìm a để phương trình sau đây có đúng hai nghiệm ln 2x 22 2lnx ln 2 x  4 lna ln 2x  4 3 0 

Tân phú, ngày 02 tháng 10 năm 2012 Người viết

Quách Thanh

Thưởng

Ý KIẾN CỦA BGH