ỨNG DỤNG đạo hàm GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, hệ PHƯƠNG TRÌNH, bất PHƯƠNG TRÌNH mũ, LOGARIT

Có rất nhiều dạng toán về phương trình, bất phương trình hay và khó, có thể dùng làm một câu phân loại học sinh trong các đề thi đại học, cao đẳng mà phương pháp giải các phương trình, b

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT.

Trương Thị Thúy Hảo – THPT Chuyên Vĩnh Phúc

MỞ ĐẦU

Phương trình, bất phương trình mũ và logarit là một chủ đề quan trọng trong

chương trình luyện thi đại học, cao đẳng Có rất nhiều dạng toán về phương trình, bất phương trình hay và khó, có thể dùng làm một câu phân loại học sinh trong các đề thi đại học, cao đẳng mà phương pháp giải các phương trình, bất

phương trình này chủ yếu dựa vào tính đơn điệu của hàm số Xuất phát từ thực

tiễn giảng dạy, cùng với mong muốn giúp cho các em học sinh có thêm tư liệu học tập, tra cứu khi học tập về vấn đề này, chúng tôi mạnh dạn biên soạn chuyên đề : “Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình mũ và logarit”

ĐỐI TƯỢNG BỒI DƯỠNG VÀ SỐ TIẾT DẠY

- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh lớp 12 luyện thi đại học

- Số tiết dạy cho HS 10 tiết

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG

TRÌNH MŨ, LOGARIT PHẦN I: KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1- Đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản

2 - Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

a. Nếu f x'( ) 0> với mọi x∈( ; )a b thì hàm y= f x( ) đồng biến trên khoảng đó.

b. Nếu f x'( ) 0< với mọi x∈ ( ; )a b thì hàm y= f x( ) nghịch biến trên khoảng đó

Mở rộng định lý:

Định lý 2 Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng ( ; )a b Nếu f x'( ) 0 ≥

(hoặc f x'( ) 0 ≤ ) và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên khoảng ( ; )a b thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó

3- Các tính chất liên quan giữa tính đơn điệu và nghiệm của phương trình:

Tính chất 1: Nếu hàm số y= f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b thì phương trình ( )f x = k k R, ∈ có không quá một nghiệm trong khoảng ( ; )a b

Tính chất 2: Nếu hàm số y= f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng

( ; )a b thì với ,u v∈( ; )a b ta có f u( ) = f v( ) ⇔ =u v

Tính chất 3: Nếu hàm số y= f x( ) đồng biến và hàm số y g x= ( ) nghịch biến trên khoảng ( ; )a b thì phương trình f x( ) =g x( ) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng ( ; )a b .

4-Các định lý về giá trị trung bình đối với hàm số liên tục:

Định lý 3: Nếu hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; và f a f b( ) ( ) 0 < thì phương trình f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( ; )a b

Định lý 4: Nếu hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b thì ; f x nhận mọi ( )

giá trị nằm giữa f a và ( ) f b ( )

Định lý 5: Nếu hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b thì ; f x đạt được giá ( )

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

Chú ý: Xét hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; Khi đó:

• Phương trình f x m( )= có nghiệm trên đoạn [ ]a b; khi và chỉ khi m thuộc tập

giá trị của hàm số y= f x( ), x∈[ ]a b; và số nghiệm phương trình là số giao điểm với hoành độ thuộc [ ]a b của đồ thị hàm số ; y= f x( ) và đường thẳng

5- Tính đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit.

• Hàm số y a= xđồng biến trên R khi a> 1, nghịch biến trên Rkhi 0 < <a 1

• Hàm số y=loga x đồng biến trên Rkhi a> 1, nghịch biến trên R khi 0 < <a 1

PHẦN II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.

Đường lối chung để giải một phương trình là biến đổi phương trình đã cho

về phương trình cơ bản cùng lớp, ví dụ để giải phương trình ax b+ =0,a≠0, ta

cần biến đổi về dạng x=α, hay để giải phương trình ax2 +bx c+ =0,a≠0, ta

cần biến đổi phương trình này về dạng x2 =α2 Bởi vậy, đối với phương trình

mũ, phương trình logarit cũng không phải là ngoại lệ

Tuy nhiên đối với một số phương trình đặc biệt, chẳng hạn như phương trình x2 =2 ,x x>0, thì việc biến đổi về phương trình cơ bản là quá khó khăn, nếu không muốn nói là không thể được Đối với những phương trình kiểu như vậy, chúng ta cần phải có phương pháp giải đặc biệt hơn, một trong những

phương pháp đó là phương pháp hàm số xuất phát từ ý tưởng rất đơn sơ

“Phương trình f x( ) =g x( ) có nghiệm khi và chỉ khi hai đồ thị y= f x( )

và y g x= ( ) có điểm chung”

Những đặc trưng cơ bản giúp chúng ta nhận ra được hai đồ thị có điểm chung hay không có thể kể đến là tính liên tục của hàm số, tính đơn điệu của hàm số, miền giá trị của hàm số …

Phần lý thuyết về cách giải phương trình mũ, logarit bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong sách giáo khoa hiện được trình bày khá đơn giản, hệ thống ví dụ chưa phong phú; các bài tập trong sách giáo khoa còn ít

và không đa dạng nên gây khó khăn cho học sinh khi học tập Bên cạnh đó, học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong việc nhận diện những bài toán thuộc lớp này Chính vì vậy khi sử dụng phương pháp này để giải phương trình các em học sinh còn lúng túng, việc định hướng tìm lời giải còn gặp nhiều khó khăn Hy vọng rằng chuyên đề này sẽ giúp các em khắc phục được ít nhiều những khó khăn đó

II 1 Giải phương trình mũ và logarit:

Bài 1.1: Giải các phương trình sau:

a 5x = − +2x 7 b log 2x= − +x 3

Hướng dẫn : Để giải các phương trình trên ta sử dụng tính đơn điệu của hàm

số mũ và hàm số logarit chứng minh phương trình có nhiều nhất một nghiệm và nhẩm nghiệm của phương trình

Giải :

a Phương trình tương đương 5 2x+ − =x 7 0

Xét hàm số f x( ) 5 2= + −x x 7, tập xác định R

'( ) 5 ln5 2 0 x

f x = + > ∀ ∈x R suy ra f x( ) đồng biến trên R

⇒ phương trình f x( ) 0= có nhiều nhất một nghiệm

Nhận xét x=1 là một nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1

b Điều kiện : x> 0

Phương trình tương đương log 2x x+ − = 3 0

= + > ∀ ∈ suy ra f x( ) đồng biến trên R+

⇒ phương trình f x( ) 0= có nhiều nhất một nghiệm

Nhận xét x= 2 là một nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=2

Bài 1.2 : Giải các phương trình sau:

⇔ + − = ⇔ =

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= 0 ; x=1

b Điều kiện : x>0

Đặt t=log2x, phương trình đã cho trở thành: t2 + −(x 7)t+ −12 4x=0

Giải phương trình bậc hai ẩn t theo x ta được :

2

164

3

x t

Theo bài 1.1.b ta được nghiệm của phương trình đã cho là: x=16 ; x= 2

Bài 1.3 : Giải các phương trình sau:

Nhận xét x= −1; 1x= là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= −1; 1x=

−

3( ) log

2

x= x= là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1; 2

Nhận xét: Trong phương trình 1.4.b, các số hạng là các biểu thức mũ với cơ số

khác nhau nên việc đưa về cùng cơ số là rất phức tạp Chúng ta có thể giải phương trình này bằng cách dùng tính đơn điệu của hàm số như sau:

Giải:

a Viết lại phương trình dưới dạng 2x− 1 + − =x 1 2x2 −x + x2 −x (1)

Để ý rằng hàm số f( )t = 2t +t là hàm đồng biến trên R , nên (1) tương đương

với

f x− = f x − ⇔ − =x x x − ⇔ =x x .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1

b Viết lại phương trình đã cho về dạng

Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x=0;x=1

Bài 1.5: Giải phương trình : 2log 5(x+3) = x

Hướng dẫn : Đối với những phương trình chứa ẩn ở cả mũ và biểu thức dưới

dấu logarit ta có thể đặt ẩn phụ hoặc logarit hai vế để đưa về phương trình mũ.

Giải : Điều kiện : x> −3

Do vế trái của phương trình là số dương nên x >0

Khi đó : Phương trình đã cho tương đương với log (5 x+ =3) log2 x

Do x>0 nên x+ > >3 x 0; ln 5 ln 2 0> > do đó ( x+3 ln 5) >xln 2 suy

ra (x 13 ln 5) − xln 21 <0

+ hay f x'( ) 0 < ∀ >x 0 Suy ra f x( )nghịch biến trên R

do đó phương trình f x( ) 0= có nhiều nhất một nghiệm

Lại có : f(2) 0= nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất x= 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x= 2

Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x=0;x=1

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình f x( ) 0= có đúng hai nghiệm thực

phân biệt

Hướng dẫn:

Trong một số bài toán chứng minh phương trình có nghiệm, thường không nhẩm được nghiệm của phương trình mà phải sử dụng kết hợp tính chất: “ có nhiều nhất một nghiệm” với định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình.

Bài 1.9: Giải phương trình : 2logx + = −8 (x 8)log 21

Giải: Điều kiện: x>8

Đặt y=2logx + ⇒ >8 y 8

Ta được hệ phương trình : ( )

2 2

nên phương trình f x( ) 0= luôn có nghiệm trên D

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất trong khoảng 1;1

2

II 2 Giải bất phương trình mũ và logarit:

Bài 2.1: Giải bất phương trình : 2x+1 − 4x > −x 1

Giải: Bất phương trình tương đương 2x+1+ + >(x 1) 22x +2x

Nhận xét: Hàm số ( ) 2f t = +t t là hàm đồng biến trên R do đó bất phương

trình f x( + > 1) f x(2 ) tương đương với x+ >1 2x⇔ <x 1

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x<1

Bài 2.2: Giải bất phương trình : 7x−1−6x+ ≥5 0

Giải: Xét hàm số f x( ) 7= x− 1−6x+5, x R∈

1'( ) 7x ln 7 6,

6

ln 7 7

Bất phương trình tương đương : ln(x+ − <1) x 0

( ) ( ) 0

Bài 2.5: Giải bất phương trình:

Suy ra phương trình f x'( ) 0= có nhiều nhất một nghiệm trên R

( )

f x +∞ +∞

0

Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x R∈

Hướng dẫn: Đối với những bất phương trình chứa ẩn cả ở mũ và logarit ta nên

đặt ẩn phụ để đưa về bất phương trình đơn giản hơn.

Giải: Điều kiện: x >0

Đặt t =log6 x, bất phương trình đã cho trở thành:

Giải: Điều kiện: x > − 1

Đặt t =log (3 x+1), bất phương trình đã cho trở thành:

Bài 2.8: Giải bất phương trình : x(3log2 x−2)>9log2 x−2

Giải: Điều kiện: x >0

Bất phương trình tương đương: 3 (x− 3 ) log2x> 2 (x− 1 )

Nhận thấy x=3 không là nghiệm của bất phương trình

Nếu x>3 bất phương trình ⇔

3

1log

Từ bảng biến thiên ta có:

Nếu x>3 bất phương trình đã cho tương đương ( ) 0f x > ⇔ >x 4

Nếu 0< <x 3 bất phương trình đã cho tương đương ( ) 0f x < ⇔ < <0 x 1

Vậy bất phương trình có nghiệm x>4 hoặc 0< <x 1

II.3 Giải hệ phương trình mũ và logarit:

Hệ phương trình tương đương

t + > ≥ −t t nên f t'( ) 0 > ∀ ∈t R suy ra ( )f t đồng biến trên R do đó

phương trình (1) tương đương x= y.

Thay vào hệ đã cho ta được phương trình x+ x2 − 2x+ = 2 3x− 1 + 1 (2)

Đặt t = −x 1,

phương trình (2) trở thành t+ t2 + = 1 3t ⇔ln(t+ t2+ =1) t.ln 3

Nhận xét t+ t2 + ≥ + ≥ 1 t t 0 ∀ ∈t R nên phương trình tương đương

2ln(t+ t + =1) t.ln 3

Xét hàm số g t( ) ln( = t+ t2 + − 1) t.ln 3, t R∈

2

1 '( ) ln 3,

g = nên phương trình g t( ) 0= có duy nhất một nghiệm t=0

Khi đó hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y= =1

1

x

y

y e

y x e

Hệ đã cho tương đương với

2

1

1 1

'(t)

t t

Thay vào phương trình (1) ta được: 2013 2

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g x( ) 0= có nhiều nhất 2 nghiệm Lại có lim ( )x→1+g x =xlim ( )→+∞g x = +∞ và 2 2

3

g = +e − < nên ( ) 0g x = có ít nhất 2 nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thỏa mãn x>0,y>0

Bài 3.3: Giải hệ phương trình : 1

1

x y

f t'( )= + + >e t e 1 0 ∀ ∈t Rsuy ra f t( ) đồng biến trên R do đó

phương trình (2) tương đương x y=

Thay vào phương trình (1) ta được e x =ex x− +1 ⇔ − + − =e x ex x 1 0

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g x( ) 0= có nhiều nhất 2 nghiệm

Do g(0) = g(1) 0 = nên phương trình ( ) 0g x = có đúng hai nghiệm x=0 và

1

Khi đó hệ phương trình đã cho có đúng hai cặp nghiệm (0;0) và (1;1).

( , )1

Xét hàm số: ( )f t = +e t t, tập xác định R

f t'( )= + >e t 1 0 ∀ ∈t Rsuy ra f t( ) đồng biến trên R do đó

phương trình (2) tương đương x y x y+ = − ⇔ =y 0

Thay vào phương trình (1) ta được e x = +x 1 ⇔ − − =e x x 1 0

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình g x( ) 0= có đúng một nghiệm x=0

Khi đó hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ; ) (0;0)x y =

II.4 Một số bài toán có tham số:

Bài 4.1: Tìm giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất :

log ( 6 ) log ( 3 2 2 ) 0

2 5

13

236

02

3

2 2

2

x x m

x x

x x

m

x x

Xét hàm số f(x) = −x2 − 8x+ 3 , − 3 < x< 1 ta có f' (x) = − 2x− 8 , f' (x) < 0khi

4

−

>

x , do đó f (x) nghịch biến trong khoảng ( − 3 ; 1 ), f( − 3 ) = 18 ,f( 1 ) = − 6 Vậy

hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất khi − < < 6 m 18

Bài 4.2: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm âm phân biệt:

4x+ −2x+ − + =m 4 0

Giải: Đặt t=2 ,x+2 t>0 phương trình đã cho trở thành t2 − − + =2t m 4 0 (*)

f x - 0 + ( )

t = x+ Do x∈1;3 3 ⇒ ∈t [ ]1; 2 .

Phương trình đã cho trở thành t2 +mt−2m− =2 0 (2)

Nhận xét t=2 không là nghiệm của phương trình

Với t ≠2, phương trình tương đương : 2 2

2

t m t

Vậy m≥ − 1 thỏa mãn đề bài

(3m+ 1)4x + − (2 m)2x+ < 1 0 (1)

Giải: Đặt t = 2 ,x x> ⇒ > 0 t 1

Bất phương trình đã cho trở thành (3m+ 1)t2 + − (2 m t) + < 1 0 (2)

( 2 1) 3

Suy ra hàm số ( )f t luôn đồng biến trên và liên tục trên (1; +∞ )

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng ∀ >x 0 khi và chỉ khi :

Vậy m≤ − 2 thỏa mãn đề bài

t m

4 1 '( )

Ta thấy f t'( ) 0, > ∀ ∈t ( )0;1 , f t( ) liên tục trên [ ]0;1 nên f t( ) đồng biến trên [ ]0;1

Do đó phương trình đã cho có nghiệm 1;1

Giải: Điều kiện: x >0.

t

1 32 + ∞ '( )

4'( )

Vậy các giá trị m thỏa mãn là : 6 67

7

m

≤ ≤

II 4 Bài tập tự luyện:

Bài 1: Giải các phương trình:

1 log 3 5( + 3x + = 1) log 3 4( x + 1)

1 log ( ) log

11.3cosx −2cosx =cosx

12.log (cos2 x+ =1) 2cosx

nghiệm thuộc khoảng ( ; )

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đoàn Quỳnh, Giải tích 12 nâng cao, 2009, NXB Giáo dục

[2] Lê Hồng Đức, 2005, Phương pháp giải toán mũ-logarit, NXB Hà Nội

[3] Trần Văn Hạo, 2007, Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục

[4] Tủ sách toán học và tuổi trẻ, 2012, NXB Giáo dục

[5] Tuyển tập tạp chí Toán học và Tuổi trẻ năm 2004