SKKN rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình, bất phương trình mũ logarit có chứa tham số

I. Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong chơng trình Toán lớp 11 có rất nhiều bài toán phơng trình, bất phơng trình chứa tham số. Không những bài toán đợc đặt ra dới dạng giải và biện luận, mà còn rất nhiều dạng khác nữa, chẳng hạn nh: tìm điều kiện tham số để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trớc; tìm điều kiện để hai phơng trình tơng đơng với nhau; v.v Thực tiễn s phạm cho thấy, khi đứng trớc những phơng trình và bất phơng trình chứa tham số, học sinh thờng gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng, đồng thời cũng nhiều khi mắc phải những sai lầm. Rất nhiều giáo viên có kinh nghiệm đã đúc kết rằng: Những bài toán có tham số luôn không dễ đối với học sinh và bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì thờng có tâm lý e ngại, thậm chí sợ sệt dạng Toán này. Giáo viên nhiều ngời có tâm lý lảng tránh phơng trình và bất phơng trình chứa tham số trong quá trình dạy, bởi vì nó đòi hỏi những lập luận tơng đối phức tạp đối với học sinh. Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, t duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn); trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ không phát triển đ- ợc t duy và cũng không đáp ứng đợc nhu cầu giải quyết vấn đề. Kỹ năng giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số là cực kì thiết thực đối với học sinh THPT. Nếu có kỹ năng này thì hiệu quả học tập môn Toán sẽ đợc nâng cao; ngợc lại, nếu kỹ năng này bị hạn chế thì học sinh sẽ gặp phải rất nhiều khó khăn trong việc chiếm lĩnh và kiến tạo tri thức Toán học. Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển các loại hình t duy toán học. Thông qua những bài toán đó, học sinh có dịp rèn luyện nhiều hoạt động trí tuệ, ngợc lại bằng hoạt động trí tuệ, học sinh có khả năng giải quyết những vấn đề này (Đó là hoạt động t duy hàm nhằm phát hiện và nghiên cứu những sự tơng ứng; hoạt động ngôn ngữ - lôgic; hoạt động phân chia trờng hợp; hoạt động nhận dạng và thể hiện; v.v ). Một trong những đặc điểm của chơng trình toán THPT là: Đi sâu nghiên cứu những phơng trình và bất phơng trình chứa tham số (Còn phơng trình và bất phơng trình không chứa tham số thì đã bắt đầu đợc học từ bậc THCS). Phần phơng trình và bất phơng trình đợc lặp lại theo chiều hớng nâng cao và đi sâu vào những vấn đề có chứa tham số. Đối với học sinh khá, giỏi thì các bài toán chứa tham số lại càng có vai trò quan trọng hơn nữa. Thực tiễn dạy học Toán ở trờng phổ thông đòi hỏi phải có những công trình nghiên cứu nhằm đa ra những thủ pháp dạy học, những hớng dẫn s phạm để giúp ngời giáo viên giảng dạy tốt những kiến thức trong chơng trình, nhất là những kiến thức tơng đối phức tạp nhng giàu tính ứng dụng và khá điển hình. Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến rèn luyện kỹ năng, nhng cho đến nay vẫn cha có công trình nào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan tới phơng trình, bất phơng trình chứa tham số. Vì những lí do trên đây tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là: rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình , bất phơng trình mũ logaritcó chứa tham số . 2. Mục đích nghiên cứu - 1 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số trong dạy học Đại số và Giải tích ở lớp 11 bậc THPT. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây: 3.1. Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là nh thế nào? 3.2. Những tình huống điển hình nào thờng gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số? 3.3. Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số, học sinh thờng gặp những khó khăn và sai lầm nào? 3.4. Những biện pháp s phạm nào đợc sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số? 3.5. Kết quả của thực nghiệm s phạm là nh thế nào? 4. Phơng pháp nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phơng pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm s phạm. 5. Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất và thực hiện những biện pháp, những hớng dẫn s phạm thích hợp thì sẽ rèn luyện đợc cho học sinh THPT kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất ph- ơng trình chứa tham số, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở lớp 11 trờng phổ thông. II. Nội dung - 2 rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình , bất phơng trình mũ logarit có chứa tham số 1 Biện pháp 1: Giúp học sinh hiểu đúng bản chất, vai trò của tham số trong bài toán Con ngời không thể suy nghĩ khi cha hiểu đầy đủ, chính xác vấn đề đặt ra. Do vậy, khi gặp bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số, học sinh không thể tiến hành hoạt động tìm tòi lời giải một khi họ cha hiểu đúng về tham số. Rất nhiều học sinh e ngại khi tiếp xúc với bài toán có chứa tham số, trong số đó không ít học sinh không hiểu đợc bản chất, vai trò của tham số trong bài toán. Để giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về tham số, trong quá trình giảng dạy thông qua hoạt động giáo viên cần làm sáng tỏ các vấn đề sau: 1.1. Tham số là gì? a) Học sinh đã đợc làm quen với thuật ngữ ẩn số ở bậc THCS, còn thuật ngữ tham số ở đầu cấp THPT mới giới thiệu sẽ không tránh khỏi việc học sinh thấy bỡ ngỡ, khó hiểu khi tiếp xúc với thuật ngữ này. SGK Đại số 10, Nâng cao, đa ra lời giới thiệu về tham số: Những phơng trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những chữ khác. Các chữ này đợc xem là những số đã biết gọi là tham số. Với tầm nhận thức của học sinh không tránh khỏi việc họ cảm thấy băn khoăn khi thấy tham số là một chữ mà chữ lại đợc xem nh số đã biết. Tại sao chữ mà lại xem nh số đã biết? Số đã biết là những số nào? Để học sinh hiểu đúng đắn, chính xác thuật ngữ tham số giáo viên cần đa ra hoạt động cụ thể, nhằm hình thành khái niệm. Chẳng hạn, có thể đa ra một trong những hoạt động sau: Hoạt động 1a: Một ngời đi xe đạp với vận tốc 10km/h, tính quãng đờng đi đợc trong khoảng thời gian 30 phút, 60 phút, 90 phút? Học sinh dễ dàng tính đợc khi dựa vào công thức: s = v.t = 15.t t = 30 (p) = 1/2 (h) thì S = 10.1/2 = 5 km t = 60 (p) = 1 (h) thì S = 10.1 = 10 km t = 90 (p) = 3/2 (h) thì S = 1.3/2 = 15 km Nh vậy, khi t thay đổi kéo theo sự thay đổi của S. Ta có thể xem biểu thức: S = 10.t là một phơng trình ẩn S, khi đó với mỗi giá trị t sẽ cho một nghiệm S của phơng trình. Để đặc trng cho chuyển động trên trong Toán học ta xét phơng trình: x = 10.a Với x là ẩn và a là một số đã biết, tuy nhiên giá trị cụ thể của a là không xác định, bởi a = 1, a = 2 , , a có thể là một số cụ thể nào đó. Số a trong ph ơng trình trên đợc gọi là tham số. Hoạt động 1b: Giáo viên đa ra cho học sinh các phơng trình: log 2 ( x 2 x) + 1 = 0 log 2 (x 2 2x) + 1 = 0 log 2 (x 2 4x )+ 1 = 0 Yêu cầu học sinh khái quát hóa dạng phơng trình trên bằng câu hỏi: H: Các phơng trình trên có điểm nào chung? (đều là phơng trình logarit cùng cơ số 2) H: Hệ số nào của các phơng trình trên là giống nhau? H: Đa ra phơng trình tổng quát của phơng trình trên? Học sinh đa ra phơng trình: log a (f(x)) + 1 = 0, ở các phơng trình trên a nhận giá trị: 2, 1.2, 4, H: Cho vài ví dụ về phơng trình dạng trên? khi đó a nhận giá trị nào? Vậy a có thể nhận vô số giá trị thuộc tập hợp số thực và khi nghiên cứu phơng trình: log a (f(x)) + 1 = 0. Ta nói đây là phơng trình ẩn x với tham số a - 3 H: Nêu kết luận về tham số? b) Cần nói rõ cho học sinh thấy tham số thờng đợc ký hiệu bằng các chữ cái: k, a, m, , nh - ng tuyệt đối không đợc giống với ký hiệu ẩn của phơng trình, bất phơng trình. Khi học sinh mới tiếp xúc với bài toán có chứa tham số, giáo viên cần có câu hỏi nhằm giúp học sinh ghi nhớ và phân biệt ba thuật ngữ: ẩn số, tham số và nghiệm của phơng trình. Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị x, thỏa mãn x > 1, nghiệm đúng bất phơng trình: 2 2(x x) m log (x m 1) 1 + + < với mọi giá trị của m: 0 < m 4. Đây là bài toán khá rắc rối và nó phần nào đi ngợc với t duy giải toán thông thờng. Bởi bài toán yêu cầu tìm nghiệm bất phơng trình thỏa mãn với mọi giá trị tham số: 0 < m 4, thông th- ờng bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi giá trị x. Khi tiếp xúc bài toán này, sẽ rất nhiều học sinh cảm thấy khó xác định bài toán và thấy lúng túng. Nh vậy, trớc hết giáo viên cần phải giúp học sinh vợt qua rào cản này. H: Đâu là ẩn số? ẩn số là x bởi ta cần tìm giá trị x, thỏa mãn x > 1, nghiệm đúng bất phơng trình. H: Nghiệm của bất phơng trình cần thỏa mãn điều kiện gì? Lớn hơn 1 và bất phơng trình khi đó đúng với mọi giá trị m: 0 < m 4. H: Đâu là tham số trong bài toán? Chỉ ra miền xác định của tham số trong bài toán? H: Bài toán yêu cầu xác định điều gì? Tìm nghiệm bất phơng trình thỏa mãn điều kiện nghiệm lớn hơn 1 và đúng với mọi giá trị m: 0 < m 4. H: Nêu miền xác định của ẩn số và tham số? Miền xác định ẩn số là (1; +), miền xác định tham số là nửa đoạn (0;4]. Chính nhờ vào đặc điểm miền xác định tham số và ẩn số ta dễ dàng: x + m - 1 > 0 và 2 2(x 1) 1 m + > Nên ta thực hiện phép biến đổi: (1) x + m - 1 < 2 2(x 1) m + mx + m 2 m < 2 2(x x)+ (2) Bài toán yêu cầu tìm x để bất phơng trình thỏa mãn với mọi m thỏa mãn: 0 < m 4. Nên ta xem xét bất phơng trình (2) là bất phơng trình bậc 2 ẩn số m và khi đó x thành tham số. Nh vậy, tùy vào yêu cầu bài toán mà vai trò của ẩn số và tham số có thể đánh tráo, tuy nhiên về cơ bản thì ta vẫn phải hiểu x là ẩn số, m là tham số. (2) m 2 + (x 1)m 2(x 2 + x) < 0 (m + 2x)(m x 1) < 0 Do xét x > 1 nên ta có nghiệm bất phơng trình trên là: -2x < m < x + 1 Để bất phơng trình luôn thỏa mãn khi: 0 < m 4 thì: - 2x 0 < m 4 < x +1 x > 3. Thông qua ví dụ này ta thấy việc xác định đâu là ẩn số, đâu là tham số, cùng miền xác định của chúng là điều kiện rất quan trọng. Tuy nhiên vai trò của ẩn số, tham số là không cố định, cứng nhắc, mà trong hoàn cảnh cụ thể ta có thể đánh tráo nhằm làm cho việc giải quyết bài toán nên nhẹ nhàng hơn. Trong nhiều bài toán nó còn có ý nghĩa quyết định. Chẳng hạn, bài toán: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: - 2x 3 + (m + 1)x 2 + 2(1 m)x + m 2 1 = 0 (m là tham số). - 4 Nếu giải quyết Bài toán này theo ẩn x là điều rất khó khăn bởi phơng trình trên là phơng trình bậc 3 mà việc nhẩm nghiệm là khó có thể thực hiện đợc (nếu không muốn nói là không thể). Nhng nếu biết thay đổi vai trò giữa ẩn và tham số thì bài toán sẽ đơn giản hơn, nếu xét phơng trình với ẩn m thì nó sẽ là phơng trình bậc hai: m 2 + (x 2 2x).m + (-2x 3 + x 2 + 2x - 1) = 0 (3) với = x 4 + 4x 3 - 8x + 4 = (x 2 + 2x - 2) 2 Nên bằng phơng pháp tính nghiệm ta phân tích đợc: (3) (m + x 2 - 1)(m - 2x + 1) = 0 Đến đây bài toán không còn khó khăn phức tạp nữa, bởi điều kiện để phơng trình có nghiệm trở thành (m + x 2 - 1) = 0 có nghiệm hoặc (m - 2x + 1) = 0 có nghiệm. Giáo viên cần tận dụng tốt cơ hội trong dạy học Toán để giúp học sinh bản chất, hiểu đúng và đầy đủ về tham số. Thứ nhất, khi dạy bài toán về phơng trình có chứa tham số có thể yêu cầu học sinh giải bài toán với những giá trị cụ thể hoặc yêu cầu học sinh cho một ví dụ cụ thể của tham số và với giá trị đó phơng trình sẽ trở thành thế nào? Khi học sinh thực hiện đợc điều này giáo viên cần chỉ rõ đây là những trờng hợp cụ thể của tham số, ngoài ra tham số còn có thể có rất nhiều giá trị thuộc miền xác định của nó. Hoạt động 2: Cho bất phơng trình: log 3 x.log 2 x + 2m > log 2 x m + log 3 x 2 Tìm m để tập nghiệm của bất phơng trình chứa khoảng (1, +). Giáo viên yêu cầu học sinh cho một vài giá trị cụ thể của tham số, khi đó phơng trình sẽ nh thế nào? Yêu cầu học sinh giải với một trong những giá trị cụ thể của tham số, chẳng hạn: Hãy giải với bất phơng trình với m = 1! Để tránh việc học sinh nhận thức sai khi họ thờng lấy ví dụ giá trị tham số trong tập hợp số tự nhiên thì giáo viên nên chỉ ra các ví dụ cụ thể: m = 2 ; m = - 2 ; ; nhắc nhở học sinh tham số m lấy giá trị trong tập hợp số thực Ă nên nó có vô số giá trị. Để học sinh hiểu hơn về tham số khi tiến hành giải các bài tập giải và biện luận sau khi đa ra kết luận bài toán, giáo viên nêu ra những giá trị cụ thể của tham số và yêu cầu học sinh nêu kết luận về phơng trình ngay lập tức (dựa vào kết quả biện luận). 1.2. Giúp học sinh ý thức đợc tác động của tham số đến bài toán Có thể với giá trị này của tham số phơng trình, bất phơng trình vô nghiệm, với giá trị kia có vô số nghiệm và cũng có những giá trị cho1 nghiệm, 2 nghiệm, , n nghiệm. Nh vậy tham số thay đổi có thể kéo theo rất nhiều khả năng về nghiệm của phơng trình, bên cạnh đó cũng cần cho học sinh thấy rằng có những bài toán dù tham số có thay đổi thì vẫn cho một kết quả về nghiệm của phơng trình, bất phơng trình. Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy khi tham số thay đổi thì phơng trình, bất phơng trình luôn có nghiệm (vô nghiệm) cũng là bình thờng, tuy nhiên cần lu ý học sinh phơng trình luôn có nghiệm không có nghĩa là nghiệm nh nhau với mọi giá trị tham số. Bên cạnh đó thì có nhiều bài toán, khi tham số thay đổi thì nó có có thể vô nghiệm, có nghiệm và có vô số nghiệm. Chẳng hạn, nh Ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải và biện luận phơng trình: 2 x 1 ( ) m 1 2 = + Tiến hành giải bài toán ta thu đợc kết luận: +) Với m = 0 thì phơng trình có nghiệm với mọi x thỏa mãn: x = 0. +) Với m < 0 thì phơng trình vô nghiệm. +) Với m > 0 phơng trình có 2 nghiệm x = 2 log (m 1) + . - 5 Để giúp học sinh hiểu hơn về sự tác động của tham số đối với bài toán, thì thông qua Ví dụ 2, giáo viên có thể đa ra câu hỏi: H: Tìm m để phơng trình có nghiệm? H: Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm H: Chỉ ra giá trị tham số để phơng trình vô nghiệm? Sau đó, giáo viên cần phân tích để học sinh thấy rõ đợc sự tác động của tham số đối với ph- ơng trình. Rõ ràng với m = 0 thì phơng trình có 1 nghiệm x = 0, nhng với m < 0 thì phơng trình lại vô nghiệm và với m >0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x = 2 log (m 1) + . Khi học sinh ý thức đợc sự tác động của tham số thì họ mới khỏi bỡ ngỡ khi tiếp xúc với các đề toán chứa tham số. Cùng là một phơng trình có thể đặt ra các yêu cầu nh: tìm điều kiện để nó có vô số nghiệm, tìm điều kiện để nó vô nghiệm cũng là chuyện hợp lý. Học sinh nắm đợc vai trò của tham số thì họ sẽ biết cách biện luận phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số và tránh đợc sai lầm không đáng có. Thông qua bài toán cụ thể, giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy tham số là số đã biết, nên nghiệm của phơng trình có thể biểu diễn qua tham số. Chẳng hạn, trong Ví dụ 2, nghiệm của phơng trình khi m > 0 là: x = 2 log (m 1) + . 2. Biện pháp 2: Hình thành khả năng phát hiện sự tơng ứng để từ đó rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán Một phơng pháp rất hay đợc sử dụng nhằm giải các bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số, đó là: phơng pháp đặt ẩn phụ. Việc đặt ẩn phụ (khác với ẩn đã cho) nhằm chuyển bài toán về dạng khác với mong muốn bài toán với ẩn mới (ẩn phụ) sẽ dễ giải hơn bài toán đã cho. Phát hiện ra cách thức đặt ẩn phụ là cả một nghệ thuật, đòi hỏi ngời làm toán phải quan sát kĩ bài ra, vận dụng các mối liên hệ trong bài toán, huy động kiến thức, kinh nghiệm đã có. Tuy nhiên, sau khi phát hiện ra cách thức đặt ẩn phụ thì cần đặt điều kiện cho ẩn phụ, phát hiện ra mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, để từ đó chuyển đổi yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang ẩn phụ. Tìm điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cách phát biểu bài toán là khâu quan trọng trong trong quá trình giải bài toán có tham số bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ, nó quyết định rất lớn đến sự đúng hay sai của lời giải. Đây cũng là kỹ năng mà học sinh còn yếu và th ờng hay gặp phải những sai lầm. ở biện pháp này chúng tôi xin đa ra một số cách thức nhằm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng phát hiện các sự tơng ứng và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán. 2.1. Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tìm điều kiện cho ẩn phụ a) Tìm điều kiện cho ẩn phụ là gì? Với những học sinh hơi yếu thì ngay cả việc trả lời câu hỏi: Tìm điều kiện cho ẩn số phụ là làm gì? Cũng đã là khó khăn, nên nếu khi họ đã không hiểu hoạt động này thì mọi thứ rao giảng của giáo viên đều trở nên vô ích. Nh vậy trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thấy: Tìm điều kiện cho ẩn phụ thực chất là tìm miền giá trị của hàm t = (x) (biểu thức đặt ẩn phụ), với x thuộc miền xác định mà bài toán đã cho. Hay nói nôm na tìm điều kiện ẩn phụ tức là với giá trị của x, xác định miền giá trị của t. Để giúp học sinh hiểu việc tìm điều kiện ẩn số phụ, giáo viên có thể đa ra ví dụ đơn giản, chẳng hạn: Tìm miền giá trị của ẩn phụ: t = x 2 ; t = x ; . b) Giúp học sinh ý thức đợc việc tìm điều kiện cho ẩn phụ Khi giải phơng trình, bất phơng trình không chứa tham số, học sinh tự nhận thấy việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thật không cần thiết lắm, bởi sau khi giải ra ẩn phụ rồi quay về tìm ẩn ban đầu do đó điều kiện chỉ là bớc đệm giúp loại ẩn phụ không thỏa mãn mà thôi. Học sinh thấy việc đặt điều kiện có thể bỏ qua, hoặc có thể đặt thừa điều kiện cho ẩn phụ, chẳng hạn: Ví dụ 10: Giải và biện luận phơng trình: 2 2 2 x x x 3 (3 5) m(3 5) 2 + + + = - 6 2 2 x x 3 5 3 5 ( ) m( ) 8 2 2 + + = Đặt ẩn phụ: u = 2 x (3 5)+ Tới đây học sinh có thể đặt điều kiện cho ẩn phụ và cũng có thể không. Nếu đặt điều kiện có thể học sinh đặt là: 1. Điều kiện: u > 0 (Tìm thừa điều kiện cho ẩn phụ) hoặc 2. Điều kiện: u 1 (Tìm đúng điều kiện cho ẩn phụ) Tiếp tục tiến hành giải, với cách đặt ẩn phụ nh vậy ta thu đợc phơng trình: u 2 8u + m = 0 (u 4) = 16 m (*) Nếu m >16 , phơng trình vô nghiệm Nếu m = 16 , phơng trình có nghiệm u = 4 Từ đây do phải trở về tìm ẩn đã cho là x nên buộc phải giải phơng trình: 2 x 3 5 ( ) 4 2 + = x= 3 5 ( ) 2 log 4 + Nếu m < 16 thì PT (*) có 2 nghiệm phân biệt 1 2 u 4 16 m u 4 16 m = + = Nếu 7 < m < 16 thì cả hai nghiệm đều thoả mãn nên nghiệm của phơng trình là 1;2 3 5 2 3;4 3 5 2 x log (4 16 m) x log (4 16 m) + + = + = Nếu m < 7 thì chỉ có nghiệm là 1 u 4 16 m= + Vậy phơng trình có 2 nghiệm là 1;2 3 5 2 x log (4 16 m) + = + Nh vậy, nếu không đặt điều kiện cho ẩn phụ u thì bài toán giải không đúng, còn nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ là u 0 thì vẫn dẫn tới loại đợc trờng hợp nghiệm của u không thoả mãn. Nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ chính xác thì cũng chỉ giúp phơng trình cố đầy đủ nghiệm. Chính những bài toán không chứa tham số này làm cho học sinh thờ ơ với bớc đặt điều kiện của ẩn phụ, họ có thể đặt có thể không, có thể đặt thừa điều kiện của ẩn phụ mà vẫn không ảnh hởng đến lời giải bài toán và lối suy nghĩ nh vậy dễ dẫn học sinh đến sai lầm trong bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số. Bởi đối với dạng toán là phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số thì điều kiện kiên quyết ảnh hởng đến lời giải chính là điều kiện của ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ chính là cơ sở cho những lập luận, trong bài toán mới bài toán đối với ẩn phụ. Khi đặt ẩn phụ đối với bài toán không chứa tham số thì sau khi tìm ra ẩn phụ phải quay lại tìm ẩn ban đầu nên việc đặt điều kiện cho ẩn phụ không thật quan trọng, còn với bài toán chứa tham số thì sau khi đặt ẩn phụ yêu cầu bài toán sẽ đợc chuyển sang đối với ẩn phụ và sẽ tiến hành suy luận trên phơng trình mới (phơng trình đối với ẩn phụ). Do vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận ra việc đặt điều kiện của ẩn phụ có ảnh hởng rất lớn đến lời giải bài toán. Để góp phần giúp học sinh ý thức đợc tầm quan trọng của việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thì thông qua Ví dụ 10, giáo viên có thể đa ra hoạt động sau: Hoạt động 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: - 7 2 2 2 x x x 3 (3 5) m(3 5) 2 + + + = (1) Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ nh trên Ví dụ 10, là: u = 2 x (3 5)+ . Đợc: u 2 8u + m = 0 (2) Đến đây giáo viên đa ra các lời giải tơng ứng với các cách đặt điều kiện, yêu cầu học sinh tìm ra lời giải đúng. Lời giải 1: (Không đặt điều kiện tham số) Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có nghiệm: ' 16 m 0 m 16 = . Lời giải 2: u = 2 x (3 5)+ , điều kiện: u 1. Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có nghiệm thỏa mãn u 1. Để tìm tham số m sao cho phơng trình (2) có nghiệm thỏa mãn u 1, ta dùng phơng pháp đồ thị: Đồ thị (C 1 ): y = u 2 8u Đồ thị (C 2 ): y = - m Khi đó nghiệm của phơng trình (2) chính là giao điểm của 2 đồ thị (C 1 ) và (C 2 ). Phơng trình (2) sẽ có nghiệm thỏa mãn u 1 khi và chỉ khi đồ thị (C 2 ) cắt đồ thị (C 1 ) ở điểm nằm về phía phải của đờng thẳng x = 1. Dựa vào đồ thị ta nhận thấy với m - 16 thì (2) luôn có nghiệm thoả mãn u 1. Vậy để phơng trình đã cho có nghiệm thì: m - 16. Sau khi đa ra 3 lời giải giáo viên có thể đặt câu hỏi nhằm giúp học sinh hoạt động, chẳng hạn: H: Nhận xét về kết quả của 3 lời giải? H: Lời giải nào là đúng đắn và lập luận chính xác? H: Tại sao lại phải đặt điều kiện chặt chẽ cho ẩn phụ với bài toán có chứa tham số? 2.2. Khắc sâu mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ Để giải phơng trình, bất phơng trình nhiều khi ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t = (x), mối quan hệ giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ đợc thể hiện thông qua hàm số . Giáo viên cần giúp học sinh nhận ra mối tơng quan của t và x, tức là trả lời câu hỏi: với giá trị t bất kỳ thì sẽ có bao nhiêu giá trị x tơng ứng? Với giá trị x bất kỳ thuộc miền xác định của bài toán, thì tồn tại một giá trị t, tuy nhiên vấn đề mà ta cần quan tâm lại là vấn đề ngợc lại. Trớc hết, giáo viên cần hớng dẫn học sinh nhận ra với giá trị nào của ẩn phụ t thì tồn tại giá trị x tơng ứng, điều này giống nh bài toán tìm điều kiện tham số t để phơng trình t = (x) có nghiệm. Học sinh cần trả lời đợc câu hỏi: Với những giá trị nào của t để phơng trình t = (x) tồn tại x? Với những cả giá trị nào của t thì t = (x) sẽ không tồn x? Thực chất chỉ cần tìm câu trả lời đợc một trong hai câu hỏi và phủ định lại đáp án đó thì đợc đáp án cho câu hỏi còn lại. Khi đặt ẩn phụ thì có thể với mọi giá trị của t đều dẫn đến sự tồn tại của x, chẳng hạn nh phép đặt ẩn phụ: +) t = 2 1/x ; t = (1/2) 1/x ; +) t = log a x; Tuy nhiên, cần lu ý học sinh bởi điều này không phải bao giờ cũng đúng, chẳng hạn phép đặt ẩn phụ: t = + 2 x 2 1 . Học sinh sẽ đễ dàng nhận thấy điều kiện của t là: t > 1, do đó với - 8 x y 8 -16 0 2 4 những giá trị 1<t < 2 thì sẽ không tồn tại giá trị x tơng ứng. Tuy nhiên, kết luận trên vẫn cha đầy đủ, bởi nó cha xác định hết những giá trị của t để không tồn tại x tơng ứng. Cần nhắc nhở học sinh biết xem xét biểu thức trong dấu căn, chứ không nên suy luận đơn giản là: t = + 2 x 2 1 2 , nên với giá trị t 2 thì sẽ tồn tại giá trị x tơng ứng. ở đây học sinh có thể đánh giá: + 2 x 2 1 2 + 2 x 2 1 2 . Nên t 2 , vậy với giá trị t 2 thì sẽ tồn tại giá trị x tơng ứng. Do vậy, ngoài việc xem xét phép toán, cần xem xét biểu thức trong phép toán: = f (x) 2 t ; = a log f(x) t ; Với những phép đặt ẩn phụ trên ta cha đợc khẳng định với t 0 thì sẽ tồn tại x, điều này rất có thể dẫn đến sai lầm. Để tìm miền xác định của t cần phải xem xét đến miền xác định của f(x). Tiếp đến, học sinh cần nhận thấy trong các giá trị của t dẫn tới tồn tại x trong biểu thức t = (x), thì ứng với một giá trị t cụ thể bất kỳ nào đó có bao nhiêu giá trị x. Sự t ơng ứng giữa t và x là rất quan trọng trong những bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để phơng trình có số nghiệm xác định. Với phép đặt ẩn phụ t = (x), nếu là hàm đơn điệu thì trong miền giá trị của t sự tơng ứng sẽ là 1 1. Chẳng hạn, phép đặt ẩn phụ: t = + 2 x 1 2 x 2 + 1 = log 2 t 0 x 2 = log 2 t 0 1 +) Với t 0 = 2 thì sẽ tồn tại 1 giá trị x tơng ứng là x = 0 +) Với t 0 > 2 thì sẽ tồn tại 2 giá trị x tơng ứng là: = 2 0 x log t - 1 Vậy với mỗi t 0 > 2 sẽ tồn tại 2 giá trị x tơng ứng. Giáo viên cần nhắc nhở học sinh suy xét kĩ càng mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Bởi mối quan hệ này khá phức tạp và phong phú, nếu xem xét không kỹ càng có thể dẫn đến sai lầm không đáng có. Một khi học sinh ý thức đầy đủ mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ sẽ giúp học sinh lập luận chính xác và có thể ứng phó linh hoạt khi yêu cầu của bài toán thay đổi. Để xác định sâu mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ thì trong giảng dạy giáo viên không chỉ nên dừng lại ở yêu cầu của bài toán mà còn có thể đặt ra các yêu cầu khác nhau, nhằm giúp học sinh phản ứng tốt trớc các kiểu bài toán và giúp họ hiểu chắc chắn về mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ. Trong ví dụ này ta phân tích, diễn giải cách thức nhằm giúp học sinh phát hiện ra điều kiện ẩn phụ, cũng nh mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. ở đây ta thấy, không phải mọi giá trị của ẩn phụ đều dẫn tới sự tồn tại của ẩn ban đầu, mà chỉ những giá trị ẩn phụ thoã mãn t 2 thì mới dẫn đến sự tồn tại của ẩn ban đầu tơng ứng. Tuy nhiên, nếu bài toán chỉ dừng lại ở đây thì giáo viên cha hoàn thành đợc nhiệm vụ khắc sâu mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Để giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn sự tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, giáo viên có thể thay đổi yêu cầu bài toán, rồi yêu cầu học sinh hoạt động suy luận để giải quyết. Giáo viên có thể đa ra hoạt động sau: Với sự suy xét và lập luận trên nếu giáo viên có sự hỗ trợ đúng mực làm sao cho học sinh là chủ thể hoạt động thì chắc chắn học sinh sẽ nắm bắt, hiểu rõ hơn mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Từ đó hình thành kĩ năng giải các bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ. 2.3. Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán - 9 Ngôn ngữ toán học là ngôn ngữ khoa học đòi hỏi sự ngắn gọn, chính xác và dễ hiểu. Học sinh vẫn thờng yếu kém trong việc diễn đạt ngôn ngữ toán học, nên việc rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán là hết sức quan trọng. Khi tiến hành chuyển đổi ngôn ngữ bài toán thì yêu cầu lập luận phải có căn cứ đồng thời đảm bảo tính chặt chẽ, chính xác. Giải phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ thì việc chuyển đổi yêu cầu bài toán sang yêu cầu đối với ẩn phụ là không thể tránh khỏi. Để rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh, giáo viên cần tiến hành phân tích, mổ xẻ vấn đề trớc khi đa ra lập luận chuyển đổi. Ví dụ 12: Cho phơng trình: + + = tgx tgx (3 2 2) (3 2 2) m Tìm m để phơng trình có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- /2; /2) Để giải phơng trình ta dùng phơng pháp đặt ẩn số phụ: t = + tgx (3 2 2) , thì: t > 0 Do : + = tgx tgx (3 2 2) .(3 2 2) 1 . Nên: = tgx 1 (3 2 2) t Phơng trình trở thành : t + 1 t = m t 2 mt + 1 = 0 (2) Yêu cầu bài toán đối với phơng trình (1) là có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- /2; /2). Giáo viên cần có câu hỏi dẫn dắt nhằm để học sinh tự phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán. H: Để phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- /2; /2) thì điều kiện cần trớc hết là gì? Phơng trình (2) chắc chắn phải có nghiệm H: Phơng trình (2) có nghiệm t 0 thì kết luận đợc gì về nghiệm của phơng trình (1)? Nếu phơng trình (2) có nghiệm t 0 thì t 0 = + tgx (3 2 2) +) Sẽ vô nghiệm x nếu t 0 0. +) Sẽ có đúng 1 nghiệm x nếu t 0 > 0. H: Với mỗi nghiệm t 0 > 0 của phơng trình (2) thì sẽ có bao nhiêu nghiệm x tơng ứng? t 0 = + tgx (3 2 2) + = = 0 3 2 2 tgx log t tg x = + k (k  ) Vậy sẽ có vô số nghiệm x. H: Bài toán yêu cầu tìm nghiệm x xác định ở đâu? Nghiệm x thuộc khoảng (- /2; /2) H: Với khoảng xác định (- /2; /2), thì ứng với một nghiệm t 0 > 0 của phơng trình (2) sẽ có bao nhiêu nghiệm x tơng ứng? Với khoảng xác định (- /2; /2) thì với mỗi giá trị tgx sẽ cho 1 nghiệm x nên: t 0 = + tgx (3 2 2) + = 0 3 2 2 tgx log t sẽ có sự tơng ứng 1-1 giữa t 0 và x. Vậy với mỗi giá trị t 0 > 0 sẽ có 1 giá trị x tơng ứng thuộc khoảng (- /2; /2) H: Để phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc (- /2; /2) thì phơng trình (2) phải nh thế nào? Phơng trình (2) phải có đúng 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn t > 0. H: Phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán? Phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- /2; /2) khi và chỉ khi phơng trình (2) có 2 nghiệm phân t 1 , t 2 thỏa mãn: 0 < t 1 < t 2 . - 10 [...]... hình liên quan đến phơng trình và bất phơng trình mũ logarit có chứa tham số 3 Chỉ ra một số sai lầm thờng gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình mũ logarit có chứa tham số 4 Xây dựng một số biện pháp s phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình mũ logarit có chứa tham số 5 Thiết kế các thức... nó phần nào minh họa đợc cách thức để hình thành kĩ năng cho học sinh, đồng thời thể hiện đợc phơng pháp dạy học tích cực III Thực nghiệm s phạm 3.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm s phạm đợc tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình, bất phơng trình chứa tham số; kiểm nghiệm tính đúng... dựng các Biện pháp s phạm nhằm khắc phục những trở ngại, khó khăn, sai lầm mà học sinh thờng gặp phải trong quá trình học nội dung phơng trình, bất phơng trình Biện pháp s phạm phù hợp với học sinh ở nhiều trình độ khác nhau, nó có thể giúp học sinh hiểu hơn các vấn đề về phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số Đồng thời, vạch ra phơng hớng nhằm tìm ra lời giải một số dạng toán về phơng trình. .. cung cấp đầy đủ cho học sinh những phơng pháp giải cơ bản, đồng thời nêu lên những dạng toán điển hình Các phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số đợc đa ra ở trên thì hầu hết học sinh đã đợc làm quen khi học về nội dung phơng trình, bất phơng trình không chứa tham số Nh vậy, học sinh hầu nh đã định hình đợc về các phơng pháp đó, duy chỉ có phơng pháp sử dụng điều kiện cần và đủ... đây, xin đa ra cách giới thiệu phơng pháp giải sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số Giáo viên có thể đa ra một ví dụ về bài toán giải bằng phơng pháp điều kiện cần và đủ, chẳng hạn: Ví dụ 18: Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất: log3 2 ( 4 x + x + 5) = a (1) Hớng dẫn học sinh tìm lời giải: H: Hãy vận dụng các phơng pháp đã biết để giải bài toán?... thì sau khi tìm ra nghiệm phơng trình cuối cùng thì cần phải thử lại để loại các nghiệm ngoại lai 4 Biện pháp 4: Hình thành khả năng nhận dạng, định hớng phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số Trong quá trình giải toán thì khả năng nhận dạng, định hớng phơng pháp giải là điều hết sức quan trọng Đây chính là khâu đầu tiên của quá trình t duy tìm lời giải bài toán, nếu bế tắc ở giai... học sinh thờng vận dụng định lý, phép biến đổi một cách máy móc mà không chú ý đến điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi ấy - 15 Ngoài các phép biến đổi đồng nhất thức nh trên, giáo viên cần hình thành kĩ năng giải phơng trình, bất phơng trình vô tỷ bằng biến đổi tơng đơng Đối với các phép biến đổi tơng đơng để giải các phơng trình, bất phơng trình vô tỷ cơ bản nh: f(x) = g(x) ; f(x) = g(x) ;... trình hệ quả của phơng trình f(x) = g(x) nếu nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) v Khi bình phơng hai vế của một phơng trình, ta đợc phơng trình hệ quả của phơng trình đã cho: f(x) = g(x) [f(x)]2= [g(x)]2 Đối với bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số rất hiếm khi sử dụng phép biến đổi phơng trình hệ quả Nên cần lu ý học sinh điều kiện có thể thực hiện phép bình... logx3 +2cos 0 ( Đề 109 câu I2 - Đề thi tuyển sinh ) Câu II: Với giá trị nào của m thì phơng trình 1 2 x 1 = 3m 2 có nghiệm duy nhất ? ( Đề 49 Câu III1- Đề thi tuyển sinh ) Câu III: Giải và biện luận theo tham số m bất phơng trình 1 log x 100 log m 100 > 0 2 (Đề 80 Câu II1- Đề thi tuyển sinh) Việc ra đề nh trên hàm chứa những dụng ý s phạm, tất nhiên Đề kiểm tra này dành cho học sinh có học lực khá... phơng trình, bất phơng trình thỏa mãn tính chất nào đó, dựa vào tính chất này suy ra các giá trị của tham số Điều kiện đủ: Kiểm tra các giá trị của tham số tìm đợc trong điều kiện cần có thỏa mãn yêu cầu phơng trình có nghiệm duy nhất hay không Cơ sở suy luận lôgic của phơng pháp này là: A B và kiểm tra xem B A có đúng hay không? H: Giả sử phơng trình (1) có nghiệm là x0, từ nghiệm x0 này liệu có thể . hình. Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến rèn luyện kỹ năng, nhng cho đến nay vẫn cha có công trình nào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan tới phơng trình, bất phơng. phơng trình chứa tham số. Vì những lí do trên đây tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là: rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình , bất phơng trình mũ logaritcó. đến sai lầm trong bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số. Bởi đối với dạng toán là phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số thì điều kiện kiên quyết ảnh hởng đến lời giải