SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Giải toán nghệ thuật thực hành mà có, tốn mà bạn giải bình thường khêu gợi trí tò mò buộc bạn phải sáng tạo, đặc biệt bạn tự giải lấy toán bạn biết quyến rũ sáng tạo niềm vui thắng lợi Đối với học sinh, sau mong muốn giải tốn cụ thể có tò mò sâu sắc hơn, mong muốn biết đường lối, phương tiện, lập luận qua trình dẫn tới cách giải, mà điều khơng sách trình bày cho học sinh Bài tập toán đa dạng phong phú, việc giải tập yêu cầu quan trọng học sinh Trong chương trình sách giáo khoa mơn Tốn nói chung phân mơn Hình học khơng gian nói riêng, số lượng tập chưa có sẳn thuật tốn giải lớn gây cho học sinh khơng khó khăn, lúng túng giải chúng dẫn đến tâm lí sợ ngại, thiếu tự tin vào khả Đây trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ học tập học sinh Do giải tập giáo viên không đơn cung cấp lời giải mà quan trọng “dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm đường hợp lí để giải tốn” Bởi “Tìm cách giải tốn phát minh” Bên cạnh đó, đề thi THPT quốc gia đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm qua, tốn hình học không gian liên quan đến véc tơ thiếu tốn khơng thuộc loại khó Tuy nhiên học sinh coi tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp giải véc tơ Véc tơ với tính chất giúp cho việc nghiên cứu hình học định lượng hơn, phần giúp ta giải số tốn hình học không gian thuận lợi để học sinh thấy khai thác điểm mạnh véc tơ giải tốn hình học khơng gian, lý mạnh dạn chọn đề tài ‘‘ Rèn luyện kỹ giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ’’ 1.2 Mục đích nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải tốn hình học khơng gian nói riêng đạt kết cao trình học tập thi tuyển nói chung 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 11A1 11A4 ôn thi THPT Quốc gia ôn thi HSG tỉnh Thanh Hóa - Các dạng tốn hình học khơng gian mà sử dụng véc tơ để giải chương trình hình khơng gian 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận; - Điều tra thực tế; - Thực nghiệm sư phạm 1.5 Những điểm sáng kiến Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: - Đưa hệ thống lí thuyết, hệ thống phương pháp giải - Lựa chọn ví dụ, tập cụ thể Phân tích tỉ mỉ hướng giải, vận dụng hoạt động lực tư kỹ vận dụng kiến thức học sinh để từ giúp học sinh đưa lời giải toán - Thực nghiệm sư phạm 2 Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Nội dung chủ đề véc tơ chương trình tốn THPT Ở chương trình lớp 10 véc tơ áp dụng để chứng minh hệ thức lượng tam giác đường tròn Nó sở để trình bày phương pháp tọa độ mặt phẳng Chương I - véc tơ: Trình bày khái niệm véc tơ (véc tơ, véc tơ phương, hướng, nhau) phép toán cộng trừ véc tơ, nhân véc tơ với số Đồng thời trình bày kiến thức mở đầu tọa độ, trục hệ trục tọa độ mặt phẳng Tọa độ véc tơ, điểm trục hệ trục tọa độ Chương II – Tích vô hướng véc tơ ứng dụng, bao gồm: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ tích vô hướng, hệ thức lượng tam giác [1] Ở chương trình lớp 11 – véc tơ khơng gian mọt chương III: Quan hệ vng góc khơng gian Các phép tốn tính chất véc tơ không gian hiểu tương tự véc tơ mặt phẳng, nên khơng trình bày cách tỉ mỉ Chỉ có khái niệm đồng phẳng ba véc tơ Việc đưa véc tơ vào chương trình giúp cho việc chứng minh số tính chất quan hệ vng góc thuận lợi yêu cầu giảm tải chương trình phân ban 2006 [2] Ở chương trình lớp 12 có đưa vào khái nệm tích có hướng hai véc tơ, r r r r ký hiệu a, b  a ∧ b , xác định biểu thức tọa độ để làm sở viết phương trình mặt phẳng [3] 2.1.2 Sử dụng phương pháp véc tơ để giải toán hình học [2] Dùng véc tơ phép tốn véc tơ giải nhanh số tập hình học Sau số kết thường sử dụng • Để chứng minh điểm A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh véc tơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB, AC, AD đồng phẳng, tức chứng minh AB = kAC + lAD • Để chứng minh hai đường thẳng AB CD song song trùng ta uuur uuur chứng minh hai véc tơ AB CD phương, tức chứng minh uuur uuur AB = kCD • Để chứng minh đường thẳng AB song song nằm ( P ) , ta lấy ( P ) hai véc tơ r r r a b không phương chứng minh cho ba véc tơ a , r r r uuur uuur b AB đồng phẳng tìm véc tơ c ( P ) cho AB c phương • Để chứng minh hai đường thẳng AB CD vng góc với ta chứng uuur uuur minh AB.CD = uuur • Để tính độ dài đoạn thẳng AB ta biểu diễn véc tơ AB theo véc uuur uuur tơ biết tính AB2 Từ suy AB = AB2 uuur uuur uuur uuur OA.OB · · • Để tính AOB ta tín tích vơ hướng OA.OB , từ suy cos AOB = OA.OB 2.2 Thực trang vấn đề trước áp dụng SKKN Qua thực tế trực tiếp giảng dạy trường THPT Thọ Xuân cho thấy HS thường gặp lúng túng không giải tập học chương III phần tập liên quan đến “Véc tơ khơng gian - Quan hệ vng góc” ngun nhân tình trạng xuất phát từ nhiều phía : * Về phía HS : - Khơng nắm vững định nghĩa, tính chất, quy tắc véc tơ - Khơng nắm vững kỹ áp dụng quy tắc véc tơ - Không nắm vững phương pháp lựa chọn tập nên sử dụng véc tơ - Nhiều HS chưa tự giác tích cực, chưa phát huy khả tư sáng tạo * Về phía GV: GV cung cấp hết kiến thức, phương pháp giải tập cho HS thời gian ngắn lớp * Về phía phụ huynh: Sự quan tâm số phụ huynh đến việc học tập em hạn chế 2.3 Giải pháp tổ chức thực để giải vấn đề: Sử dụng kĩ thuật véc tơ để xử lí số dạng tốn hình học khơng gian DẠNG I Chứng minh điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song uuur uuur Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ AB AC uuur uuur phương, tức AB = k AC Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt AB CD song song, ta chứng minh uuur uuur ∃k ∈ ¡ , AB = kCD Bài Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi G, G ' trọng tâm tam giác A ' BD CB ' D ' Chứng minh A, G, G ', C ' thẳng hàng [3] Hướng dẫn Bước 1: Phân tích tốn uuur uuuuur uuuu r Để chứng minh A, G, G ', C ' thẳng hàng, ta chứng minh vectơ AG, C ' G ', AC ' phương Chọn hệ vectơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) cho việc biểu diễn uuur uuuuur uuuu r vectơ AG, C ' G ', AC ' theo hệ vectơ thuận lợi thông thường ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh hình hộp chung đỉnh Chú ý giả thiết G, G ' trọng tâm tam giác A ' BD CB ' D ' Bước 2: Thực giải toán uuur r uuur r uuur r Đặt AB = a , AD = b , AA ' = c uuuu r r r r Ta có: AC ' = a + b + c ( 1) Vì G trọng tâm tam giác A ' BD nên: uuur uuur uuur uuur r r r AG = AD + AB + AA ' = a + b + c 3 ( ) ( ) ( 2) Vì G ' trọng tâm tam giác CB ' D ' nên: uuuuur uuuur uuuuu r uuuu r r r r C ' G ' = C ' C + C ' B ' + C'D' = − a − b − c ( 3) 3 uuur uuuu r Từ ( 1) ( ) suy ra: AG = AC ' ⇒ A, G, C ' thẳng hàng uuuuur r uuuu Từ ( 1) ( 3) suy ra: C ' G ' = − AC ' ⇒ A, G ', C ' thẳng hàng Vậy bốn điểm A, G, G ', C ' thẳng hàng ( ) ( ) Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với M, N thuộc cạnh CA, DC’ cho uuur uuur uuur uuuu r MC = mMA ND = mNC ' Tìm m để MN song song với BD’ [5] Hướng dẫn Bước 1: Phân tích tốn uuuu r uuur Đề MN / / BD’ MN phương với BD ' , tức có số thực k cho uuuu r uuur MN = k BD ' Chọn hệ vectơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) cho việc biểu diễn uuuu r uuur vectơ MN , BD ' theo hệ vectơ thuận lợi thông thường ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh hình hộp chung đỉnh uuur uuur uuur uuuu r Chú ý giả thiết MC = mMA ND = mNC ' Bước 2: Thực giải toán uuu r r uuur r uuu r r Đặt BA = a , BB ' = b;BC = c uuuu r uuur uuuu r 1+ m r r uuu r uuur uuur r r r m r r uuuu a− (b + c) , BD ' = BA + BC + BB ' = − a + b + c 1− m 1− m Ta có: MN = BN − BM = uuuu r uuur m +1 m =− ⇔m=− Để MN / / BD’ MN = k BD ' ⇒ 1− m 1− m Vậy m = − MN song song với BD’ Một số tập tương tự [5]: Bài Cho hai tia Ax, By chéo nhau, M di chuyển Ax , N di chuyển By Giả sử AM = BN , I điểm chia MN theo tỉ số IM = k Chứng minh I di chuyển IN tia cố định Bài Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Tìm điểm M thuooch đoạn AC điểm N thuộc đoạn C ' D cho MN song song với BD ' Dạng II Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng ta chứng minh véc tơ uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB, AC , AD đồng phẳng, tức chứng minh AB = k AC + l AD Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng ( α ) , nằm mặt r r phẳng ( α ) ta lấy ( α ) hai véc tơ a, b không phương chứng minh ba uuur r r r uuur r véc tơ AB, a, b đồng phẳng tìm véc tơ c ( α ) cho AB c phương Bài Cho tứ diện ABCD , I trung điểm AB , J trung điểm CD Điểm M chia AD theo tỉ số MA NB = k , điểm N chia BC theo tỉ số =k MD NC Chứng minh I , J , M , N đồng phẳng [3] Hướng dẫn Bước 1: Phân tích tốn uu r uuur uur Để chứng minh I , J , M , N đồng phẳng, ta chứng minh ba véc tơ IJ , IM , IN Hay có uu r uuur uur thể biểu diễn IJ = mIM + nIN uu r uuur uur Ta chọn hệ véc tơ sở biểu diễn véc tơ IJ , IM , IN theo chúng, từ suy I , J , M , N đồng phẳng Bước 2: Thực giải toán uuu r r uuur r uuur r Đặt AB = a , AC = b; AD = c Theo ta có: uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuuu r k uuur k r AM = k MD ⇔ AM = k AD − AM ⇔ AM = AD hay AM = c 1+ k 1+ k uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur k uuur uuu k r r BN = k NC ⇔ BN = k BC − BN ⇔ BN = AC − AB hay BN = b−a 1+ k 1+ k uuur uu r uuuu r 1r k r c ( 1) Do IM = IA + AM = − a + 1+ k uur uur uuur r k r r 1− k r k r IN = IB + BN = a + b−a = a+ b ( 2) 1+ k 2(1+ k ) 1+ k uu r uur uur r uuur uu r uuur uu 1r 1r 1r IJ = IC + ID = IA + AC + IA + AD = − a + b + c ( 3) 2 2 uuur uur r r r r k 2k uu −a + b + c = IJ Từ ( 1) , ( ) ( 3) suy ra: IM + IN = 1+ k 1+ k Vậy I , J , M , N đồng phẳng ( ) ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) Bài Cho hình chóp S ABC , gọi G trọng tâm tam giác ABC Một mặt phẳng ( P ) cắt đoạn thẳng rằng: SA, SB, SC , SG theo thứ tự A’, B’, C’, G’ Chứng minh SA SB SC SG + + = [6] SA ' SB ' SC ' SG ' Hướng dẫn Bước 1: Phân tích tốn SA SB SC SG = x; = y; = z; =m SA ' SB ' SC ' SG ' uuur uuur uuur Chọn hệ véc tơ sở với điểm đầu S Sau biểu diễn véc tơ SA '; SB '; SC ' ; uuur SG ' theo véc tơ chọn từ sử dụng điều kiện đồng phẳng véc tơ Để chứng minh toán ta đặt tỷ số suy điều phải chứng minh Bước 2: Thực giải toán uur r uur r uuu r r SA SB SC SG = x; = y; = z; =m SA ' SB ' SC ' SG ' uuur r uuur r uuur r uuur uuu r r r r Ta có SA ' = x a; SB ' = y b; SC ' = z c; SG ' = m SG = 3m (a + b + c) Đặt SA = a; SB = b; SC = c Do A’, B’, C’, G’ đồng phẳng nên ∃α, β, γ ∈ R ; α + β + γ = cho r r r αr βr γr SG ' = αSA ' + βSB' + γSC' ⇒ 3m (a + b + c) = x a + y b + z c x  α = 3m  α β γ y  ⇒ = = = ⇒ β = 3m x y z 3m  z  γ = 3m  Do α + β + γ = ⇒ x + y + z = 3m SA + SB + SC = SG , SA ' SB ' SC ' SG ' Vậy, ta có SA SB SC SG + + = SA ' SB ' SC ' SG ' Bài Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Các điểm M , N , P trung điểm cạnh AD, BB ', C ' D ' Chứng minh đường thẳng C ' D song song với mặt phẳng ( MNP ) [8] Hướng dẫn Bước 1: Phân tích tốn Để chứng minh đường thẳng C ' D song song với mặt phẳng ( MNP ) , ta chứng minh uuur uuuu r uuur ba véc tơ C'D; MN ; MP đồng phẳng nghĩa phải tồn hai số thực uuur uuur uuuu r x, y cho: C'D = xMP + yMN Bước 2: Thực giải toán uuu r r uuur r uuur r Đặt AB = a , AD = b; AA ' = c uuuu r uuur uuu r uuur r 1r 1r 2 uuur uuuu r uuuur uuuur r r r MP = MD + DD ' + D ' P = a + b + c 2 uuuur uuuuur uuuur r r C ' D = C ' D ' + D 'D = − a − c r r r 1r 1r uuur uuur uuuu r Giả sử C'D = xMP + yMN ⇔ −a − c = x  a − b + c ÷+ 2   Ta có: MN = MA + AB + BN = a − b + c  r r r y a + b + c÷ 2  10 Bước Thực giải toán uuu r r uuur r uuur r Đặt AB = a , AD = b; AA ' = c uuuu r uuur uuu r uuur r r r MN = MA + AB + BN = a − b + c Ta có 2 uuuur uuuur uuuur uuuur r r r A ' C = A ' B + A 'D' + A ' A = a + b − c rr rr rr r r r Vì ABCD A ' B ' C ' D ' hình lập phương nên: a.b = b.c = c.a = a = b = c = x (với x độ dài cạnh hình lập phương) uuuu r uuuu r r r r r r r Khi ta có: MN A 'C =  a − b + c ÷ a + b − c 2   r r r r r r r r2 r r r r r r r2 = a + a.b − a.c − a.b − b + b.c + a.c + b.c − c 2 2 2 r r2 r2 1 = a − b − c = x2 − x2 − x2 = 2 2 uuuu r uuuu r Vậy, MN ⊥ A 'C ⇒ MN ⊥ A ' C ( ) Bài Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh BD AC Trên đường thẳng AB, ND lấy điểm E F cho EF song song với CM Tính độ dài đoạn EF theo a [3] Hướng dẫn Bước Phân tích tốn uuur Để tính độ dài đoạn EF ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, biểu diễn véc tơ EF uuur uuur theo véc tơ sở tính EF Từ suy độ dài đoạn EF = EF 12 Bước Thực giải toán uuu r r uuur u r uuur r Đặt AB = x; AC = y; AD = z uuur uuur uuur AE = m , AF = n AN + (1 − n) AD AB ru r ru r r r a2 Ta có x y = z y = z.x = uuuu r r r uuur r uuur uuur r uuur n u r r AM = ( x + z ); AE = m x ; AF = n AN + (1 − n ) z ; AF = y + (1 − n ) z Lúc 2 uuuu r uuuu r uuur r u r r CM = AM − AC = ( x − y + z) Suy uuur uuur uuur r nu r r EF = AF − AE = −mx + y + (1 − n ) z k  − m =  uuur uuuu r  n Do CM / EF CM//EF nên EF = kCM ⇒  = −k ⇒ k = − 2 k  1 − n =  u r r u r r uuur r r a EF = − ( x − y + z ) ⇒ EF = ( x − y + z ) ⇒ EF = Bài Cho lăng trụ tam giác ABC A' B ' C ' Tìm góc hai đường thẳng AB ' BC ' , biết AA ' = AB [3] 13 Hướng dẫn Bước Phân tích tốn uuuu r uuuu r Để toán ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, biểu diễn hai véc tơ AB ' BC ' uuuu r uuuu r theo véc tơ sở tính tích vơ hướng AB '.BC ' Từ áp dụng cơng thức uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r tính tích vơ hướng AB '.BC ' = AB '.BC '.cos ( AB ', BC ' ) , suy góc hai đường thẳng AB ' BC ' Bước Thực giải toán uuur r uuu r r uuur r r x r r Đặt AB = x , AA ' = a; AB = b; AC = c , với a = , b = c = x uuuu r r r uuuu r uuur uuuuu r r r r Ta có AB ' = a + b , BC ' = BB ' + B ' C ' = a − b + c uuuu r uuuu r r r r r r r r r r r r r r2 r r x2 x2 3x Do AB '.BC ' = ( a + b ) ( a − b + c ) = a − a.b + a.c + b.a − b + b.c = − x + = − 10 x 30 x 30 , BC ' = B ' C '2 + BB '2 = 5 uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r AB '.BC ' Do đó: cos AB ', BC ' = = − ⇒ ( AB ', BC') = arccos AB '.BC ' Mà AB ' = AB + BB '2 = ( ) Một số tập tương tự: Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P trung điểm cạnh uuuu r uuur α AB, CB, AD G trọng tâm tam giác BCD , góc vectơ MG NP Tính cos α [5] 14 · Bài Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh a, BAD = α với uuuur uuur , cạnh bên AA ' = 2a Gọi M điểm thỏa mãn DM = k DA N trung điểm cạnh A ' B ' Tìm k để C ' M ⊥ D ' N [5] · Bài Cho lăng trụ (ABCD.A'B'C'D') có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD = 1200 cos α = Hình chiếu B′ lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H đoạn thẳng CD tam giác ABB’ tam giác cân Tính cosα với α góc hai đường thẳng BH AC ' [6] Dạng IV Tính giá trị biểu thức chứng minh hệ thức hình học Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A′ , C ′ uuu r uur uuur r uuu SC Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng A′C ′ cắt 2019 cạnh SB , SD B′ , D′ ( B ', D ' không trùng S ) Tính giá trị biểu thức: thỏa mãn SA′ = SA , SC ′ = T= SB SD + [8] SB ' SD ' Hướng dẫn Bước Phân tích tốn uuur uur uuur uuu r Để giải toán ta biểu diễn véc tơ SB ' theo SB SD ' theo SD Từ áp dụng uuur uuur uuur uuur quy tắc véc tơ biểu diễn véc tơ SA ' theo SB ' , SD ' SC ' Sau sử dụng điều kiện đồng phẳng điểm suy kết Bước Thực giải toán 15 uuur uur uuur uuu r Đặt SB′ = x.SB , SD′ = y.SD ( x, y > ) , T = + x y uuur uuur uuu r uur uuu r uur uur uur uuu r uuu r Ta có AD = BC ⇔ SD − SA = SC − SB ⇔ SA = SB + SD − SC uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2019 uuur ⇔ 3.SA′ = SB′ + SD′ − 2019.SC ′ ⇔ SA′ = SB′ + SD′ − SC ′ x y 3x 3y Do điểm A′ , B′ , C ′ , D′ đồng phẳng 1 2019 1 Nên ta có = 3x + y − ⇒ T = x + y = 2022 Bài (HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có AB = AA′ = a Điểm M thay đổi đường thẳng AB′ cho mặt phẳng qua M , vng góc AB cắt đường thẳng BC ′ điểm N đoạn BC ′ Xác định vị trí M để biểu thức 2AM + MN đạt giá trị nhỏ [5] Hướng dẫn Bước Phân tích tốn uuuu r uuur uuur uuuu r Để toán ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, ta đặt AM = m AB′ , BN = nBC ′ biểu uuuu r diễn véc tơ MN theo véc tơ chọn đặt Sau sử dụng điều kiện vng góc hai véc tơ thiết lập yêu cầu toán theo m, n đưa hàm số bậc hai để xét tìm giá trị nhỏ Bước Thực giải toán uuu r uuur r uuur uuuu r uuur uuur uuuu r Đặt AB = ar , AC = b , AA′ = cr , AM = m AB′ , BN = nBC ′ 16 uuuu r uuur uuu r uuur r r r Khi MN = MA + AB + BN = ( − m − n ) a + nb + ( n − m ) c Do ( P ) vuông góc AB nên MN vng góc AB , ta r uuuu r uuu r r r r 2 MN AB = ⇔ a ( − m − n ) a + nb + ( n − m ) c  = ⇔ ( − m − n ) a + n a = r r (do a.b = a ) Từ n = − 2m 2 2 2 2 Khi MN = ( 12m − 18m + ) a nên AM + MN = ( 20m − 18m + ) a   Do N thuộc đoạn BC ′ nên n ∈ [ 0;1] , suy m ∈  ;1 2  b 1  =m= < nên f ( m ) đồng biến  ;1 2a 20 2  1 Từ f ( m ) nhỏ f  ÷ m = 2 2 Tức 2AM + MN nhỏ M trung điểm AB′ Đặt f ( m ) = 20m − 18m + , − Bài (HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = Một mặt phẳng (α ) thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt cạnh SA, SB , SC điểm A ', B ', C ' Chứng minh biểu thức T= 1 + + có giá trị không đổi [5] SA ' SB ' SC ' Hướng dẫn Bước Phân tích tốn uuu r Để toán ta sử dụng quy tắc trọng tâm biểu diễn véc tơ SG theo véc tơ uur uur uuu r uur uur uuu r uuur uuur uuur SA, SB, SC Sau lại biểu diễn SA, SB, SC theo véc tơ SA ', SB ', SC ' , sử dụng 17 điều kiện đồng phẳng véc tơ thiết lập yêu cầu toán Bước Thực giải tốn uuuu r Vì G trọng tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất: MG = r uuur uuur uuur uuuu MS + MA + MB + MC , ( ) với M điểm tùy ý Áp dụng tính chất cho điểm M ≡ S ta có: uuu r uur uur uur uuu r r uur uur uuu SG = SS + SA + SB + SC = SA + SB + SC 4 uur SA uuur uur SB uuur uuu r SC uuur SA ', SB = SB ', SC = SC ' Lại có SA = SA ' SB ' SC ' uuu r uuur uuur uuur SA ' + SB ' + SC ' Do SG = 4SA ' 4SB ' SC ' ( ) ( ) 1 + + = ⇒ T = 4 SA ' SB ' SC ' Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có tâm O AB = 3a, AD = AA′ = 4a Vì bốn điểm A ', B ', C ', G đồng phẳng nên phải có Mặt phẳng ( P ) qua O cắt tia AB ', AC , AD ' tương ứng ba điểm phân biệt M , N , P Tìm giá trị lớn biểu thức T = AM AN AP [7] Hướng dẫn Bước Phân tích tốn uuuu r uuur uuur uuur Để toán ta chọn hệ véc tơ sở phù hợp, ta đặt AM = m AB′ , AN = n AC , uuur uuuur uuur AN = p AD ' biểu diễn véc tơ AO theo véc tơ chọn đặt Sau sử dụng điều kiện đồng phẳng véc tơ thiết lập yêu cầu toán theo m, n, p sử dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ biểu thức cần tìm 18 Bước Thực giải toán uuur r uuu r r uuur ur uuuur r r r Đặt AA ' = a, AB = b, AD = d Ta có AC ' = a + b + c uuur uuuu r uuur uuu r  AO = x AM + y AN + z AP  Vì M , N , P, O đồng phẳng nên   x + y + z = uuuu r uuuu r r r uuur uuur r ur uuu r uuuu r r u r Ta có : AM = m AB ' = m(a + b), AN = n.AC = n(b + d ), AP = p AD ' = p (a + d ) uuur uuuu r r r ur 1 1 AO = AC ' = (a + b + d ) Suy mx = ny = pz = ⇒ + + = 4 m n p 2 ⇒ 1 4 AB ' AC AD ' 5a 5a 4a + + = 4⇒ + + =4⇒ + + = AM AN AP AM AN AD ' AM AN AD ' BĐT Cauchy : Vậy minT = 4 675 ≥ 33 ⇒T ≥ 5T 16 15 675 Khi AM = AN = , AD ' = 16 Một số tập tương tự [5]: Bài Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh Gọi G trung điểm BD ' Mặt phẳng ( P) thay đổi qua điểm G cắt đoạn thẳng AD ', CD ', D ' B ' tương ứng H , K , I Chứng minh: 1 + + = 2 D'I D'K D'H Bài Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB,OC đơi vng góc với O Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng ( ABC ) P điểm bất PA PB PC PH + + = + OA2 OB OC OH Bài Cho hình hộp ABCD A' B 'C ' D ' Lấy M , N đoạn CA' C ' D cho: MA' = m.MC , NC ' = nND ( M khác C , A' N khác C ' , D ) Giả sử MN // BD ' , chứng minh rằng: m + n = 10 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Một mặt phẳng ( P ) kỳ tam giác ABC Chứng minh không qua S ,cắt cạnh SA, SB, SC , SD điểm A ', B ', C ', D ' Chứng minh SA SB SC SD + = + SA ' SB ' SC ' SD ' 2.4 Hiệu việc triển khai đề tài SKKN 19 Khi triển khai đề tài tiến hành 02 lớp thuộc trường THPT Thọ Xuân, là: Lớp dạy 11A1 (học ban A) lớp dạy 11A (học ban bản) * Kết đạt - Về mặt định tính : Khi tơi áp dụng phương pháp sử dụng kĩ thuật chọn hệ véc tơ sở vào giải dạng tốn hình học khơng gian phức tạp, tơi thấy học sinh tơi ham học hình hơn, u thích tập hình khơng gian khơng thấy lo lắng, lúng túng việc xử lí tốn hình khơng gian phức tạp - Về mặt định lượng : Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy nhận thấy kết đạt khả quan nhiều Cụ thể thực nghiệm sư phạm tiến hành hai lớp có trình độ tương đương Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra sau: Bài Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có cạnh bên a Ba điểm M , N , P thay đổi cạnh AA′ , BB′ , CC ′ cho AM + BN + CP = a Chứng minh mặt phẳng ( MNP) qua điểm cố định uuur uuuu r uuur uuur Bài Cho tứ diện ABCD , điểm M , N xác định MA = xMC , NB = y ND ( x, y ≠ 1) Tìm điều kiện x y để ba đường thẳng AB, CD, MN song song với mặt phẳng Bài Cho hình chóp S ABCD   có đáy ABCD hình bình hành Gọi G điểm uuu r uuu r uuu r uuur uuur r thỏa mãn: GS + GA + GB + GC + GD = Một mặt phẳng qua AG cắt cạnh SB, SC , SD M , N , P Chứng minh rằng: BM CN DP + + = SM SN SP Số liệu thống kê kết thể qua bảng sau đây: Bảng: Kết kiểm tra cụ thể sau: Điểm 10 Số lượng Lớp TN (11A4) 0 10 13 45 ĐC (11A1) 0 12 10 3 45 Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, có 68,9% giỏi Có em đạt điểm tuyệt đối 20 Lớp ĐC có 80,0% điểm trung bình trở lên, có 35,6% điểm giỏi, khơng có HS đạt điểm tuyệt đối Kết kiểm tra cho thấy kết lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng đạt giỏi Một nguyên nhân phủ định lớp thực nghiệm HS thường xuyên thực phương pháp (như sử dụng trên) cách thức tìm tòi lời giải toán… Như vậy, bước đầu đề tài khắc phục khó khăn sai lầm học sinh thường mắc phải giải tập hình học qua đề thi THPT Quốc gia năm trước tốn liên quan; đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập học sinh đem lại hiệu rõ rệt Trong thời gian tới, đề tài tiếp tục áp dụng vào thực tiễn giảng dạy nhà trường mong đạt hiệu tốt đẹp đạt trình thực nghiệm Kết luận kiến nghị 3.1 Kết nghiên cứu 21 Hình học khơng gian loại tốn đa phần khơng có phương pháp giải cụ thể nên khó hiểu, khó trình bày khó tính tốn Vì vậy, nghiên cứu, phân tích số tốn hình học khơng gian có ý nghĩa lớn trình dạy áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề, từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực, chủ động, củng cố trau thêm kiến thức giải tốn hình khơng gian Từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập thi THPT Quốc gia thi HSG cấp tỉnh 3.2 Kiến nghị, đề xuất Vì tốn có nhiều cách giải, nên trình học tập giải tốn ta cố gắng suy nghĩ tìm tòi nhiều cách giải cho toán, lựa chọn phương pháp mà tâm đắc cho tốn Từ tiết kiệm thời gian làm đặc biệt tránh sai sót đáng tiếc Vì vậy, học giáo viên dạy nên cố gắng vận dụng linh hoạt phương pháp giải để học sinh học tập giải tập cách tốt nhằm nâng cao chất lượng dạy học Trên quan điểm cá nhân việc giảng dạy phần hình học có ứng dụng véc tơ để chuẩn bị cho kì thi tới Trong trình biên soạn chắn nhiều thiếu sót, mong Thầy em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài tơi hồn thiện áp dụng rộng rãi Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2019 ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN 22 viết, không chép nội dung người khác Trịnh Duy Văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa thí điểm 10 bản, nâng cao, NXB Giáo dục 23 Sách giáo khoa thí điểm 11 bản, nâng cao, NXB Giáo dục Sách tập hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục Sách giáo khoa thí điểm 12 bản, nâng cao, NXB Giáo dục Mạng internet Doãn Minh Cường (1998), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học năm 1997-1998, Nxb Giáo dục, Hà Nội Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường (2004), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng tồn Quốc (mơn Tốn), Nxb Hà Nội, Hà Nội Tổng tập đề thi OLYMPIC 30 tháng 4, Toán học 11, Nxb ĐH Sư Phạm DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN 24 Họ tên tác giả: Trịnh Duy Văn Chức vụ đơn vị công tác: TTCM trường THPT Thọ Xuân TT Tên đề tài SKKN Kinh nghiệm dạy học toán 1 Sơ đồ tư Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại Sở B 2008 - 2009 Sở C 2009 - 2010 Sở B 2011 - 2012 Sở B 2012 - 2013 Sở C 2013 - 2014 Sở C 2015 - 2016 Hướng dẫn học sinh giải toán xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp 2 hình chóp, lăng trụ lược đồ bốn bước Rèn luyện kỹ giải toán 3 hình học khơng gian Phương Pháp tọa độ Giúp học sinh khắc phục số 4 sai lầm thường gặp tính tích phân Rèn luyện kỹ giải phương trình, hệ phương trình phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số cho học sinh lớp 12 Rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học để giải số tốn có nội dung thực tiễn chương 25 trình TỐN 10 Rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học để giải số tốn có nội Sở B 2016 - 2017 Sở C 2017 - 2018 dung thực tiễn chương trình TỐN 12 Rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học để giải số tốn có nội dung thực tiễn chương trình TỐN 11 26 ... tròn Nó sở để trình bày phương pháp tọa độ mặt phẳng Chương I - véc tơ: Trình bày khái niệm véc tơ (véc tơ, véc tơ phương, hướng, nhau) phép toán cộng trừ véc tơ, nhân véc tơ với số Đồng thời trình... tích phân Rèn luyện kỹ giải phương trình, hệ phương trình phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số cho học sinh lớp 12 Rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học để giải số toán có... chọn hệ véc tơ sở vào giải dạng tốn hình học không gian phức tạp, thấy học sinh tơi ham học hình hơn, u thích tập hình khơng gian khơng thấy lo lắng, lúng túng việc xử lí tốn hình khơng gian phức