Hướng dẫn giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT CẨM THỦY - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ Người thực hiện: Lê Trung Hưng Chức vụ: Hiệu trưởng SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn THANH HỐ, NĂM 2020 MỤC LỤC NỘI DUNG I Mở đầu …………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài ………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………… II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………… 2.1 Cơ sở lý luận……………………………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề…………………………………… 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề …………… 2.3.1 Kiến thức trang bị.………………………………… 2.3.2 Phương pháp chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp vec tơ ………………………… 2.3.3 Các dạng toán … 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục ………………………………………………………… III Kết luận, kiến nghị ………………………………………… 3.1 Kết luận ………………………………………………… 3.2 Kiến nghị ………………………………………………… TRANG 2 2 2 3 16 17 17 17 I MỞ ĐẦU: 1.1 Lí chọn đề tài: Hình học khơng gian chiếm vị trí quan trọng chương trình tốn cấp trung học phổ thơng, việc tìm kiếm đường tổ chức dạy học cho phần hình học khơng gian ln quan tâm, tìm hiểu nghiên cứu Dạy học kiến thức hình học phương pháp khác nhằm tạo cho học sinh tính linh hoạt, đa dạng tiếp cận tốn hình học Phương pháp vec tơ kết hợp chương trình Hình học giải tích lớp 12 Hình học không gian, cụ thể xây dựng hệ trục tọa độ Đề vng góc hình vẽ tồn hình học khơng gian Trong q trình giảng dạy nghiên cứu nhận thấy phương pháp véc tơ tỏ hữu hiệu số tốn hình học khơng gian mà giải phương pháp tổng hợp tương đối vất vả, dạng tốn khơng chỉ khó mà còn hay, lôi em học sinh giỏi Để giúp học sinh định hướng cách làm dạng toán này, hiểu sâu hơn, tự tin gặp tốn hình học khơng gian, phát triển tư duy, hướng học sinh tới niềm say mê sáng tạo, chọn đề tài: "Hướng dẫn giải số tốn hình học khơng gian phương pháp vec tơ" 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đưa phương pháp giúp học sinh định hướng dạng tốn hình học khơng gian giải phương pháp vec tơ, đồng thời rèn luyện kỹ giải toán, nâng cao khả tư duy, giúp học sinh có hướng nhìn dạng tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu số dạng tốn hình học khơng gian giải phương pháp vec tơ cách vận dụng phương pháp vec tơ để giải tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu đề tài xây dựng sở lí thuyết, vận dụng vào tập thơng qua hệ thống ví dụ II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 2.1 Cơ sở lí luận: Khi đứng trước toán, học sinh cần định hướng tốn thuộc dạng nào? Có thể áp dụng phương pháp để giải toán đó? Vậy tốn hình học khơng gian giải phương pháp vec tơ? Học sinh cấp THPT nói chung, học sinh khối 12 nói riêng q trình phát triển, bồi dưỡng chọn lọc trình độ khác học sinh vậy, nội dung phương pháp dạy học phải linh hoạt phù hợp với điều kiện cụ thể thầy trò, việc tổ chức dạy học Vì việc cung cấp nội dung phương pháp dạy phần cần thiết 2.2 Thực trạng vấn đề: Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy phần tập liên quan đến tốn hình học khơng gian phần tập khó, học sinh tương đối gặp khó khăn cách tư duy, định hướng cách giải, lúng túng gặp phải tình Vì vậy, dạng tập trở thành vấn đề khó vượt qua học sinh Để giải vướng mắc học sinh tốn hình học khơng gian, ngồi cách giải bẳng phương pháp hình học tổng hợp túy, ta dùng phương pháp vectơ để giải số tốn hình học khơng gian Lời giải phương pháp khắc phục số khó khăn mà học sinh thường gặp, giúp học sinh dễ tiếp thu vận dụng cách dễ dàng, nhanh chóng việc làm tập 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề: 2.3.1 Kiến thức trang bị Học sinh cần nắm số định lý: Định lý hai véctơ phương; Định lý phân tích vectơ theo hai vectơ không phương mặt phẳng; Định lý phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng khơng gian Học sinh cần có kỹ biến đổi biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước ghi nhớ số toán KIẾN THỨC CƠ BẢN a) Định nghĩa véctơ: uuur +) Véctơ AB đoạn thẳng có hướng điểm A điểm đầu; B điểm cuối uuur uuur +) Cho điểm A, B ta có véctơ AB BA B uuur r +) Khi A trùng B ta có véctơ khơng AA  A b) Tính chất: C uuur uuuu r uuur uuuu r D uuur uuuu r u u u r u u u u r � � AB ��CD �AB ��CD AB  CD � � r 1) AB  CD � �uuur uuuur �uuur uuuu O | AB || CD | | AB || CD | � � uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur 2) Với điểm A, B, C ta có: AB  BC  AC ; AB  AC  CB uuur uuuu r uuuu r uuur uuuur A B 3) ABCD hình bình hành: AB  AD  AC; AB  DC uuuu r uuuur 4) M AB  M, A, B thẳng hàng  MA  k MB với điểm O bất kì: uuur uuur uuuuu r OA  kOB OM  1 k uuuu r uuuur r 5) M trung điểm AB  MA  MB  với điểm O bất kì: uuur uuur uuuuu r OA  OB OM  uuur uuur uuuu r r 6) G trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  uuur uuur uuuu r uuuu r OA  OB  OC OG  7) G trọng tâm tứ giác ABCD tứ diện ABCD ta có: uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r OA  OB  OC  OD GA  GB  GC  GD 0 OG  r ur �k  0: b ��a � r r ur ur � 8) b  ka � �k  0: b ��a ur �r b  k a � ur r ur � r ur r ur r 9) a  b �a  b ; a  b �a  b ur r r r 10) Nếu a; b �0 không phương tồn c cho r r r ur r ur c  xa  yb xa  yb  � x  y  ur r ur r ur r ur r ur r 11) a.b | a |.| b | cos(a, b); a  b � a.b  ur r r r ur 12) a, b; c �0 khơng đồng phẳng khơng gian tồn d ur r ur r cho d  xa  yb  zc 13) Góc hai đường thẳng AB CD tính theo cơng thức: uuur uuur AB.CD cos  uuu r uuur AB CD uuu r uuur2 14) Khoảng cách hai điểm A B : AB  AB  AB 2.3.2 Phương pháp chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp vec tơ: Khi gặp toán hình học khơng gian, học sinh nhận dạng định hướng giải phương pháp vec tơ: - Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận tốn hình học khơng gian cho “ngôn ngữ” véctơ - Thực u cầu tốn thơng qua việc tiến hành phép biến đổi hệ thức véctơ theo hệ vectơ sở - Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học khơng gian tương ứng 2.3.3 Các dạng toán Để giúp học sinh giải tốt tốn hình học khơng gian thường gặp tơi đúc kết thành dạng tốn sau: Dạng Các toán liên quan đến quan hệ song song: Ví dụ [1] Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Giả sử M, N, P, Q trọng tâm tam giác AA’B’, A’B’C’, ABC, BCC’ Chứng minh : MN // PQ Định hướng: Để giải toán ta cần ghi nhớ kiến thức: Hai đường thẳng phân uuur uuuu r biệt AB CD song song với chỉ AB  kCD Lời giải: Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở, biểu diễn kiện tốn sang ngơn ngữ vec tơ: uuuur ur uuur r uuuu r r AA '  a, AB  b, AC  c   B1 N A1 C1 Theo ra: +M trọng tâm tam giác AA’B’: uuuuu r uuuur uuuur AM  ( AA '  AB ') (1) +N trọng tâm tam giác A’B’C’: uuuur uuuur uuuur uuuur AN  ( AA '  AB '  AC ') (2) +P trọng tâm tam giác ABC: uuur uuur uuuu r AP  ( AB  AC ) (3) +Q trọng tâm tam giác BCC1: uuuu r uuur uuuu r uuuur AQ  ( AB  AC  AC ') (4) uuuur uuuu r + MN / / PQ � MN  k PQ Bước 2: Biến đổi biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu toán r ur r uuuur uuuur uuuuu Từ (1), (2): MN  AN  AM   a  c  (5) uuuu r uuuu r uuur ur r Từ (3), (4): PQ  AQ  AP   a  c  (6) r uuuur uuuu Từ (5), (6): MN  PQ (7) Bước 3: Chuyển kết luận ngơn ngữ hình học tổng hợp Từ (7) : MN // PQ M F B E A C Ví dụ [1] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 M điểm chia đoạn AD theo tỉ số  , N điểm chia đoạn A1C theo tỉ số  Chứng minh: MN//(BC1D) Định hướng: Để giải toán ta cần ghi nhớ kiến thức: ur r Cho hai vé tơ a, b không phương thuộc mặt phẳng (P), AB khơng thuộc (P) r uuur ur Khi :AB//(P) � AB  xa  yb Lời giải: Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn kiện tốn sang ngơn ngữ vec tơ: BB b BC c { BA a , , } + M điểm chia đoạn AD theo tỉ số nên AM  AD (1)  + N điểm chia đoạn A1C theo tỉ số  D1 A1 N 4, J D M C1 B1 A I C O B nên A1 N  A1C (2) Bước 2: Biến đổi biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu tốn Ta có : BD a  c , BC1 b  c MN BN  BM = BA  AA1  A1 N  BA  AM a  b  (c  a  b)  a  c 5 3  a  b  c  (a  c)  (b  c) 5 5  BD  BC1 5 uuuur uuuur uuuur Suy ra: MN   BD  BC1 (3) 5 Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian Từ (3) : MN // (BC1D) Ví dụ [6] Cho hình hộp ABCD A / B / C / D / Gọi M , N , P trung điểm AB, CC / , A / D / Chứng minh: ( MNP) //( A / BC / ) Định hướng: Để giải toán ta cần ghi nhớ kiến thức: Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) (MNP) Khi đó: (ABC) / /  MNP  uuu r uuuu r uuur � AB  xMN  yMP � � �uuur uuuu r uuur �AC  x1 MN  y1 MP Lời giải: Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn kiện tốn sang ngơn ngữ vec tơ:                 /  AB  a , AD  b , AA  c    B a A M C b c D N B/ C/  ,  /  /   + Ta có A / B  a  c A C a  b    + (MNP) / /  A ' BC '  uuur uuuur uuuuu r � �PN  x A ' B  y A ' C ' � �uuuu r uuuur uuuuu r �PM  x1 A ' B  y1 A ' C ' A/ P D/ Bước 2: Biến đổi biểu thức vec tơ phù hợp với u cầu tốn Ta có:              /   /  /    PN PD /  D / C /  C / N  b  a  c  ( A B  A C ) (1)      ,   /   / BA  c  a BC  b  c      /   / (2)         a  b  c  ( BA  BC ) MP  MA AA /  A / P  2 Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học khơng gian r �uuur uuuur uuuuu PN  ( A ' B  A ' C ') � � Từ (1) (2) : �uuuur uuuur uuuuu r �PM  ( A ' B  A ' C ') � Vậy ( MNP) //( A/ BC / ) Bài tập vận dụng Bài Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử I tâm mặt ABB 1A1; E, F trung điểm CC1 CD Chứng minh : IE//AF Bài Cho hình hộp ABCD A / B / C / D / Gọi M , N trung điểm CD DD / Gọi G1 ,G2 trọng tâm tứ diện A / D / MN BCC / D / Chứng minh : G1G2 //( ABB / A / ) Bài Cho tứ diện ABCD Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh (G1G2G3 ) // (BCD) Dạng Các toán liên quan đến tính góc khoảng cách Định hướng: Để sử dụng phương pháp vec tơ dạng toán ta cần nhớ kiến thức: + Góc hai đường thẳng AB CD tính theo cơng thức: uuur uuur AB.CD cos  uuu r uuur AB CD uuu r uuur2 + Khoảng cách hai điểm A B : AB  AB  AB r + Cho điểm M đường thẳng l có véctơ chỉ phương a , điểm A thuộc l Tính khoảng cách từ M đến l uuuur ur Đặt AM  m , gọi N hình chiếu M lên l uuuur ur ur uu r ur r uuuur uuuur uuuuu ur uu r Khi đó: MN  AN  AM  xa  m MN  a �  xa  m  a  uuuu r Khoảng cách cần tìm : MN   r ur xa  m  + Cho (ABC), điểm M khơng thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) góc MA (ABC) r r uuuuu r uu r uuur ur uuuu Đặt AM  m , AB  a, AC  b , gọi N hình chiếu M lên (ABC) r uu r uuuuu r uuuur uuuu ur r Khi : MN  AN  AM  xa  yb  m r uu ur r ur � ( xa  yb  m)a  � r uu r r Do MN  ( ABC ) nên � ur ( xa  yb  m )b  � Khi cho biết x,y ta tìm khoảng cách từ M đến (ABC) ur r r uu r  u r r ur r xa  yb  m  Nếu xa  yb �0 góc AM (ABC) góc m xa  yb , còn r r ur xa  yb  AM  (ABC) ur + Cho đường thẳng chéo nhau, d qua A1 có véc tơ chỉ phương a1 ; đường uu r thẳng d2 qua A2 có véc tơ chỉ phương a2 Tính khoảng cách góc hai đường thẳng ur uu r a1.a2 - Góc hai đường thẳng : cos  ur uur a1 a2 - Đoạn vng góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), đó: uuuu r ur � �P1 P2 a1  � x, y r uu r �uuuu �P1 P2 a2  uuuu r ur ur uu r Khoảng cách cần tìm: P1 P2  ( xa1  m  ya2 )2 uuuu r ur ur uu r P1 P2  xa1  m  ya2 Do Ví dụ [2] Cho hai tia Ax1 By1 hợp với góc 600 Đường thẳng AB vng góc với hai Ax1 By1 AB = a Hai điểm M, N nằm hai tia Ax1 By1sao cho AM = m, BN = n Tính cosin góc hai đường thẳng MN AB theo a, m ,n Lời giải: Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn kiện sang ngôn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc : MA a , AB b , BN c ;khi a m , b a , c n a.b b.c 0; a.c  mn Bước 2: Biến đổi biểu thức vec tơ phù hợp với u cầu tốn Ta có: MN MA  AB  BN a  b  c ; AB MN b.(a  b  c) a ; AB  b a ; MN  (a  b  c)  m  n  a  m.n Vậy cos(MN ; AB)  a m  n  a  mn Ví dụ [6] Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC với cạnh 1, cạnh SA vng góc vng góc với đáy, SA  Mặt phẳng    song song với đường thẳng SB AC, mặt phẳng    song song với đường thẳng SC AB Tính giá trị góc hai mặt phẳng       Lời giải: Chon hệ véc tơ sở uuur ur uuur r uuuu r r AS  a, AB  b, AC  c   uu r u r Giả sử m, n véc tơ r khác , tương ứng vng góc hai mặt phẳng       , còn  góc hai mặt phẳng     uu ru r m.n Thế thì: cos  uur ur m.n uu r ur r S C A r Đặt m  xa  yb  zc B uu r m    Ta có: r r r ur r uuur uu r � � b  c xa  yb  zc  �SB.m  � � �uuuur uur � �r ur r r �AC.m  � c ( xa  yb  zc )0 �    y  23 6x  y  z  � � � �� � �y  z  �x   z � uu r Số phương trình bé số ẩn, điều chứng tỏ m     không xác định r uu r u r r Chọn z  1 � x  1, y  nên m  a  4b  2c véc tơ vng góc với    uuur u r � r � u r ur r t  u �SC.n  � �� Tương tự : n  ta  ub  vc     � �uuur ur � �AB.n  v  2u � u r ur uu ru r r m.n Khi : cos  uur ur  m.n r Chọn : u  2 � v  4, t  � n  a  2b  4c Ví dụ [1] Cạnh đáy lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 a, điểm O O1 tương ứng trọng tâm dáy ABC A 1B1C1.Độ dài hình chiếu đoạn thẳng AO1 đường thẳng B1O Lời giải: uuuur 5a Hãy tính đường cao lăng trụ ur uuu r r uuur ur Chọn hệ véc tơ sở  AA1  m, AB  n, AC  p ur Giả sử h  m Ta có: uuuuu r uuuuur uuuur uuuur uur ur ur AO1  AA1  AB1  AC1   3m  n  p  3 uuuur uuuu r uuuur uu r u r ur B1O  AO  AB1   3m  2n  p  Suy ra: uuuur uuuur AO1  B1O  9h2  3a  uuuur uuuur AO1.B1O   uuuur 5a Vì: AO1 cos = C1  A1 O1 N B1 6h  a 6h2  a , cos  3h2  a 2C     A O M B 10 nên 9h2  3a (6h2  a2 ) 5a a  �h 6(3h2  a2 ) Ví dụ [3] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a E điểm đối xứng D qua trung điểm SA M , N trung điểm AE BC Tính khoảng cách MN AC Lời giải:             Đặt : OA  a , OB  b , OS  c E       Ta có : a c 0, b c 0, a b 0                      MN  MA  AC  CN  SD  AC  CB M                 ( SO  OD )  AC  ( CO  OB ) 2    a  c 2     B AC  a Gọi PQ đường vng góc chung MN AC , ta có:                      PQ  PM  MA  AQ x MN  SD  y AO      1  x( a  c )  ( c  b )  y a 2   1  ( y  x) a  ( x  1) c  b 2 2 3 2          ( y  x) a  ( x  1) c 0  PQ MN 0             PQ AC 0    2( y  x) a 0    1 a2 a 2  PQ  b  PQ  OB   PQ  S P c A D a b O N C  x     y 2  Bài tập vân dụng Bài Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin góc cạnh đối diện Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h Tính cosin góc: 1.Giữa AB1 BC1 11 2.Giữa AB B1C Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Bài Cho tứ diện SABC cạnh BD đường cao tam giác ABC Tam giác BDE nằm mặt phẳng tạo với cạnh AC góc  , biết điểm S E nằm phía mặt phẳng (ABC) Tính SE Dạng Các tốn liên quan đến quan hệ vng góc Định hướng: Để sử dụng phương pháp vec tơ dạng toán ta cần nhớ kiến thức: +uuuHai đường thẳng phân biệt AB CD vng góc với chỉ r uuuu r AB.CD  r ur + Cho hai a, b không phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) uuur ur � �AB.a  Khi : AB  (P) � �uuur r �AB.b  Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M N điểm thuộc đường chéo BA1 CB1 cho: BM CN  ,  Chứng minh rằng: MA1 NB1 MN  BA1 , MN  CB1 Lời giải: uuu r r uuur r uuur r Chọn hệ véc tơ sở  BA  a, BB1  b, BC  c r r r rr rr rr Khi đó: a  b  c  a; a.b  c.b  a.c  Theo : uuuu r uuur BM  � BM  BA1  3 MA1 CN uuur uuur  � CN  CB1  3 NB1 C1 D1 r r ab   r r bc A1 B1 N  M D  C A B Mặt khác: uuur uuur uuur r r BN  BC  CN  2b  c uuuu r uuur uuuu r r r r MN  BN  MN  a  b  c    Do đó: uuuu r uuur r r r MN BA1  a  b  c uuuu r uuur r r r MN CB1   a  b  c  r r    a  b   � MN  BA    b  c   � MN  CB r r 12 Ví dụ [4] Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có mặt hình thoi Các góc phẳng góc tam diện đỉnh A1 Chứng minh rằng: A1C  ( AB1 D1 ) Lời giải: Chọn hệ véc tơ sở uuuur ur uuuuu r r uuuuur r A1 A  a, A1B1  b, A1D1  c  D1  C1 O1 Theo giả thiết :   AA1 D1  D1 A1 B1 AA1 B1   Gọi m độ dài cạch hình hộp Ta có: uuur r r r uuur uuur r r r r r  B1 A1  A1C  a  b  c � A1C AB1  ( a  b  c ) b  a  uuur uuur � A1C  AB1 (1) D uuur uuuu r r r r r r C A1C AD1  ( a  b  c ) c  a  uuur uuuu r A � A1C  AD1 (2) B Từ (1) (2) suy A1C  ( AB1D1 ) Ví dụ 10 [3] Cho hình chóp S ABCD ó đáy ABCD hình chữ nhật , AB a , AD a , SA  (ABCD) , M trung điểm AD Chứng minh : ( SAC )  ( SMB)   Lời giải:             Đặt : AB  a , AD  b , AS  c       Ta có : a c 0, b c 0, a b 0    S    BM  SA (1)           BM  a  b , AC  a  b       2 12  BM AC  a  b  AB  AD 0 2         BM  AC (2) Từ (1) (2)  BM  (SAC )  ( SAC )  ( SMB) c A b M D a B C Bài tập vân dụng Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N trung điểm cạnh AD BB’ Chứng minh : MN  A’C Bài Cho hình chóp tam giác S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a E điểm đối xứng D qua trung điểm SA M , N trung điểm AE BC Chứng minh MN  BD 13 Bài Cho hình chóp S.ABC, SA  (ABC), SA=a , AC=2a, AB=a,  ABC 90 O Gọi M N làuhai điếmr r cho: uuur uuuu 3MB  MS  uuur uuuu r r NS  3NC  Chứng minh: SC  (AMN) Bài Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC tam giác cân A Vẽ SO  (ABC), D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: DC  (SOE)) Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC A / B / C / Gọi M, N trung điểm AA / ,CC / G trọng tâm A / B / C / a) Chứng minh MG //( AB / N ) b) Chứng minh: ( MGC / ) //( AB / N ) Nhận xét chung: Qua ví dụ, ta thấy thuận lợi khả áp dụng phong phú phương pháp vec tơ việc giải tốn hình học khơng gian Đây phần kiến thức thiếu học sinh học hình học khơng gian Phương pháp chỉ học sinh tiếp nhận học chương trình hình học giải tích lớp 12 Tuy nhiên, không nên lạm dụng phương pháp mà quên phương pháp tổng hợp phương pháp giải hay phát triển tư tốt Cũng phải ý chỉ phận tốn hình khơng gian giải phương pháp vec tơ Trên thực tế, có toán giải phương pháp vec tơ hay phương pháp tổng hợp Nói chung, Phương pháp vec tơ để giải tốn hình khơng gian phương pháp hay, thể vượt trội số trường hợp, cơng cụ cần thiết hành trang học sinh, trang bị công cụ này, học sinh dễ dàng ứng phó với dạng tốn áp dụng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục: Để kiểm tra tính hiệu đề tài, tiến hành kiểm tra hai đối tượng hai lớp có lực học tương đương: lớp 12A4 12A5 Lớp 12A4 hướng dẫn sử dụng phương pháp vec tơ giải tốn hình học không gian, lớp 12A5 chưa hướng dẫn Với hình thức kiểm tra làm tự luận, thời gian tiết học (45 phút), với đề bài: Câu Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC vuông A, AB  3a, AC  AD  4a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)? Câu Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C MN? 14 Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA  a ( SAB)  ( ABCD) Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN? Kết thu sau: Lớp Số HS Giỏi SL % Khá Trung bình SL % SL % 12A4 Lớp thực nghiệm 46 15 32,61 16 34,78 15 12A5 Lớp đối chứng 45 11,11 11 24,44 19 Yếu SL % 32,61 0 42,23 10 22,22 Từ bảng kết nêu cho thấy lớp dạy thực nghiệm có kết học tập đạt cao Như cách sử dụng phương pháp vectơ việc giải số tốn hình học khơng gian học sinh giải yêu cầu đề tốt hơn, gọn hơn, hiệu Điều phản ánh kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt Đồng thời qua việc rèn luyện cho học sinh sử dụng phương pháp vào giải tốn, em có tư tích cực, độc lập tạo cho em mạnh dạn, tự tin , yêu thích, ham mê với mơn tốn III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 3.1 Kết luận: Phương pháp vectơ ứng dụng nhiều vào tốn hình học khơng gian, tốn chứng minh, tốn tính góc, tính khoảng cách, tốn tính diện tích, tính thể tích khối đa diện,… Nhưng với khn khổ đề tài có hạn tơi chỉ nêu phần ví dụ số tốn điển hình, chủ yếu tính khoảng cách góc, phù hợp với trình độ nhận thức lực tư phận học sinh trung bình Qua đề tài tơi nhận thấy, phải cho học sinh làm nhiều toán với cách giải khác nhau, giúp em không còn thấy phương hướng đứng trước dạng tập dạng khác Đồng thời thấy ưu điểm việc sử dụng phương pháp vectơ việc giải số tốn hình học khơng gian biết cách vận dụng tốt phương pháp Thơng qua rèn luyện kỹ trình bày ngắn gọn, chặt chẽ, logic Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Kết áp dụng đề tài vào giảng dạy thể qua phần 2.4 Trong thời gian tới, thân tiếp tục đưa đề tài vào giảng dạy học sinh trung bình trở lên với mong muốn em đạt kết tốt học tập, đặc biệt kì thi 15 3.2 Đề xuất: Việc dạy hình học khơng gian cần phải kiên trì, uốn nắn kiểm tra thường xuyên liên tục Mỗi tốn thường có nhiều cách giải, yêu cầu học sinh phải thành thạo quy trình giải dạng Do tập yêu cầu học sinh cần chỉ bước quy trình giải Học sinh làm thành thạo cách cho tiến hành sử dụng cách khác cần phân tích rõ ưu điểm hạn chế từ chọn cách giải tối ưu Q trình tìm hiểu khó khăn học sinh giải tốn hình học khơng gian Bản thân tơi suy nghĩ nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh , Do tơi xây dựng đề tài cho học sinh lớp 12 Định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho em Tuy vậy, trình viết, thời gian kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế định Rất mong nhận góp ý Hội đồng khoa học nhà trường đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Trung Hưng 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* [1] Đào Tam, Giáo trình hình học sơ cấp 2007, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải toán hình học phẳng, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Lộc, Phương pháp vec tơ giải tốn hình học khơng gian, NXB Giáo Dục [4] Tuyển chọn theo chuyên đề toán học tuổi trẻ , NXB Giáo Dục [5] Sách giáo khoa Hình học 11 Hình học 12 [6] Sách tập Hình học 11 Hình học 12 17 ... vướng mắc học sinh tốn hình học khơng gian, ngồi cách giải bẳng phương pháp hình học tổng hợp túy, ta dùng phương pháp vectơ để giải số tốn hình học khơng gian Lời giải phương pháp khắc phục số khó... chọn đề tài: "Hướng dẫn giải số toán hình học khơng gian phương pháp vec tơ" 1.2 Mục đích nghiên cứu: Đưa phương pháp giúp học sinh định hướng dạng tốn hình học khơng gian giải phương pháp vec tơ,...  AB 2.3.2 Phương pháp chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp vec tơ: Khi gặp tốn hình học không gian, học sinh nhận dạng định hướng giải phương pháp vec tơ: - Lựa chọn số véctơ mà