Tên sáng kiến: “GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”.. Tên sáng kiến: “GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”.. Một trong các
Trang 1I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1 Tên sáng kiến:
“GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”.
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán – Hình học 11
3 Tác giả:
Họ và tên: Dương Công Huân Giới tính: Nam
Ngày tháng năm sinh: 18/01/1985
Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ Toán
Chức vụ, đơn vị công tác: tổ Toán – Tin
4 Đồng tác giả: Không
5 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Không
6 Đơn vị áp dụng sáng kiến
7 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu:
II BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1 Tên sáng kiến:
“GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”.
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán – Hình học 11
3 Mô tả bản chất sáng kiến
3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:
* Thực trạng của việc học môn toán, giải bài tập toán của học sinh THPT.
* Cơ sở của việc nghiên cứu: từ thực trạng của việc dạy và học chương “Véctơ
trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian ” ở phân môn Hình học
* Về chương trình: Hình học 11
3.1.1 Đặt vấn đề:
Trang 2Một trong các nhiệm vụ cơ bản của chương trình hình học cải cách giáo dục phổ thông là
“Bồi dưỡng kỹ năng vận dụng phương pháp véctơ vào việc nghiên cứu một số hình hình học, một
số quan hệ hình học Việc sử dụng vectơ để giải bài toán hình học” Chính vì vậy việc giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải bài toán là cần thiết và phù hợp với xu thế cải cách giáo dục hiện nay
Mặt khác khi đứng trước một bài toán hình học không gian thì học sinh mới chỉ dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng Vì lí do trên tôi chọn đề tài :
“GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ”. 3.1.2 Cơ sở lý luận:
Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán hình học không gian
bằng phương pháp véc tơ
Học sinh cần nắm chắc được một số định lí: Định lí về hai véctơ cùng phương; Định lí về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong mặt phẳng; Định lí về phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng trong không gian
Học sinh cần có kỹ năng biến đổi các biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước và ghi nhớ một số bài toán cơ bản
KIẾN THỨC CƠ BẢN
a) Định nghĩa véctơ:
+) Véctơ ABlà đoạn thẳng có hướng trong đó điểm A là điểm đầu; B là điểm cuối
+) Cho 2 điểm A, B bất kì ta có 2 véctơABvàBA
+) Khi A trùng B ta có véctơ không AA 0
b) Tính chất:
|
|
|
|
|
CD AB CD AB CD AB CD AB CD
AB
2) Với 3 điểm A, B, C ta có: ABBC AC;AB AC CB
3) ABCD là hình bình hành: ABADAC;ABDC
4) M AB M, A, B thẳng hàng MA k MB và với điểm O bất kì:
k
OB k OA OM
1
5) M là trung điểm của AB MAMB 0 và với điểm O bất kì:
2
OB OA
A
C D
O
A
B
B
Trang 36) G là trọng tâm của tam giác ABC GAGBGC 0 và
3
OC OB OA
7) G là trọng tâm của tứ giác ABCD hoặc tứ diện ABCD ta có:
0
GB GC GD
4
OD OC OB OA
a k b
a b
k
a b
k a
k
: 0
9) ab a b;a b a b
10) Nếu a;b 0 và không cùng phương thì !c:cx a y bvà x ay b 0 xy 0
11) a.b |a| |b| cos(a,b);ab a.b 0
12) a,b;c 0và không đồng phẳng trong không gian thì !d:d x ay bz c
3.2 Nội dung giải pháp:
3.2.1.Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian
bằng phương pháp véctơ
Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra “ngôn ngữ” véctơ
Bước 2 Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các
hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở.
Bước 3 Chuyển các kết luận vectơ sang các tính chất hình học không gian tương ứng
3.2.2 Một số dạng toán sử dụng phương pháp Dạng 1 Phần quan hệ song song
Bài toán 1 Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi
AB kCD
.
Bài toán 2 Cho hai vé tơ , a b không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P)
Khi đó :AB//(P) AB xa yb
.
Bài toán 3 Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) và (MNP).
(ABC) / / MNP AB xMN yMP
AC x MN y MP
Trang 4Ví dụ 1 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh : MN // EF
Lời giải:
Bước1:Chọn hệ véc tơ cơ sở
AA1 a AB b AC c, ,
Theo bài ra:
+M là trọng tâm của tam giác AA1B1:
1( 1 1)
3
AM AA AB
(1) +N là trọng tâm của tam giác A1B1C1:
1
3
AN AA AB AC
(2) +E là trọng tâm của tam giác ABC:
1( )
3
AE AB AC
(3) +F là trọng tâm của tam giác BCC1:
1
3
AF AB AC AC
(4) + MN / /EF MN k EF
B1
B
E
F M
N
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
Từ (1), (2): MN AN AM 13a c
(5) Từ (3), (4): EF AF AE 13a c
(6)
Từ (5), (6): MN EF
(7)
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian Từ (7) : MN // EF.
Ví dụ 2 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA1, B1C1 Chứng minh: MN // (DA1C1)
Lời giải:
Trang 5Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở
DA a DC c DD , , 1b
+ M là trung điểm AA1: 1
1 2
DM DA DA
(1) + N là trung điểm B1C1: 1 1
1 2
DN DB DC
(2) +MN / / DA C 1 1 MN xDC1yDA1
(3)
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
2
MNDN DM a c b
12c a c b
A1
D1
C B
N
M
Suy ra: 1 1 1
2
MN DC DA
(4)
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian Từ (4) : MN // (DA1C1)
Ví dụ 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AA1, CC1
và G là trọng tâm của tam giác A1B1C1
Chứng minh: (MGC1) // (AB1N)
Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở
AA1 a AB b AC c, ,
+ M là trung điểm AA1: 1
1 2
AM AA
(1) + N là trung điểm CC1: 1
1 2
AN AC AC
(2) + G là trọng tâm của tam giác A1B1C1:
1( 1 1 1)
3
AG AA AB AC
(3)
1 1 1 1
(MGC ) / / ABN MG x AB y AN
MC x AB y AN
G
A
B 1
B
C
N M
Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
Trang 6Ta có:
(5)
1 ( ) (6) 2
MG x AG y AM x y a xb yc
Từ (5) và (6) , do , ,a b c không đồng phẳng nên ta có:
1
3
1
3
x y
1
(7)
Ta có:
1 1
(8)
1 (9) 2
AN AC CN a c
Từ (8) và (9): MC1 AN (10)
Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
MG//mp(AB )
(11)
Từ (10) :MC1 AN MC1/ /mp AB N( 1 )
(12)
Từ (11) và (12) :mp MGC( 1) / /mp AB N ( 1 )
Bài tập vận dung
Bài 1 Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 Giả sử E là tâm của mặt ABB 1 A 1 ; N, I lần lượt là trung điểm của CC 1 và CD Chứng minh : EN//AI.
Bài 2 Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 Giả sử M, N lần là trọng tâm các tam giác ABA 1 và ABC Chứng minh : MN//(AA 1 C 1 ).
Bài 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 Giả sử M, N, E lần lượt là trung điểm BB 1 , CC 1 , AA 1
G là trọng tâm tam giác A 1 B 1 C 1.
Chứng minh:
1 (MGC 1 )//(BA 1 N)
2 (A 1 GN)//(B 1 CE).
Trang 7Dạng 2 Phần góc và khoảng cách
Bài toán 4 Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức:
os .
AB CD c
AB CD
Bài toán 5 Khoảng cách giữa hai điểm A và B là : ABAB AB2
Bài toán 6 Cho điểm M và đường thẳng l có véctơ chỉ phương a, điểm A thuộc l Tính khoảng cách từ M đến l.
Phương pháp giải:
Đặt AM m
, gọi N là hình chiếu của M lên l.
Khi đó: MN AN AM xa m
và MN axa m a 0
Khoảng cách cần tìm : MN xa m 2
Bài toán 7 Cho (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) và góc
giữa MA và (ABC).
Phương pháp giải:
Đặt AM m
, AB a AC b ,
, gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).
Khi đó : MN AN AM xa yb m
Do MN (ABC) nên ( ) 0
xa yb m a
xa yb m b
Khi cho biết x,y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng xa yb m 2 .Nếu
0
xa yb thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa m và xa yb , còn xa yb 0 thì AM
(ABC).
Trang 8Bài toán 8 Cho đường thẳng chéo nhau, d 1 đi qua A 1 và có véc tơ chỉ phương a1; đường thẳng
d 2 đi qua A 2 và có véc tơ chỉ phương a2
Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên.
Phương pháp giải:
+ Góc giữa hai đường thẳng : 1 2
1 2
os
a a c
a a
+Đoạn vuông góc chung P 1 P 2 ( P 1 thuộc d 1 , P 2 thuộc d 2 ), khi đó: PP1 2 xa1m ya 2
Do
1 2 1
1 2 2
,
PP a
x y
PP a
Khoảng cách cần tìm: 2
1 2 ( 1 2)
PP xa m ya
Ví dụ 4
Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 bằng a, các điểm O và O1 tương ứng trọng tâm của các dáy ABC và A1B1C1.Độ dài hình chiếu của đoạn thẳng AO1 trên đường thẳng
B1O bằng 5
4
a
.Hãy tính đường cao của lăng trụ
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở AA1m AB n AC, , p
Giả sử hm
Ta có:
1
3
Suy ra:
2 2
1 1
2 2
2 2
1
3
h a
h a
B
B1
A1 C1
M
O N
O1
Trang 9Vì: 1
5 os =
4
a
AO c
nên
2 2
h
h a
Ví dụ 5
Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh SA vuông góc vuông góc với đáy, SA 3 Mặt phẳng song song với các đường thẳng SB và AC, mặt phẳng song song với các đường thẳng SC và AB Tính giá trị của góc giữa hai mặt phẳng
và
Lời giải:
Chon hệ véc tơ cơ sở
AS a AB b AC c , ,
Giả sử ,m n là các véc tơ bất kì khác
0,
tương ứng vuông góc hai mặt phẳng
và ,
còn góc hai mặt phẳng và
Thế thì: os .
m n c
m n
Đặt m xa yb zc
S
B
Trang 10Ta có: . 0 0
b c xa yb zc
SB m m
AC m c xa yb zc
23
1
2
y
x y z
Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ m
không được xác định duy nhất
Chọn z 1 x1,y4 nên m a 4b 2c
là một trong các véc tơ vuông góc với
1
2
n ta ub vc
Chọn :u 2 v4,t 1 n a 2b4c Khi đó : os . 1
5
m n c
m n
Bài tập vân dụng.
Bài 1 Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin của góc giữa các cạnh đối diện.
Bài 2 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA 1 =h Tính cosin của góc: 1.Giữa AB 1 và BC 1
2.Giữa AB và B 1 C.
Bài 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Bài 4 Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1 BD là đường cao của tam giác ABC Tam giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc , biết rằng các điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC) Tính SE.
Dạng 3 Phần quan hệ vuông góc
Bài toán 9 Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ khi AB CD . 0 Bài toán 10 Cho hai , a b không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P)
Trang 11Khi đó :AB(P) . 0
0
AB a
AB b
Ví dụ 6
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M và N là các điểm thuộc các đường chéo BA1
và CB1 sao cho:
,
MA NB Chứng minh rằng: MN BA MN1, CB1.
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở BA a BB , 1b BC c,
Khi đó: a b c a a b c b a c; 0
Theo bài ra :
1 1
1 1
BM
MA
CN
NB
A1
B1
A
B
C D
M
N
Mặt khác:
1 2 3 1 3
Do đó:
1
3 1
3
Ví dụ 7
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có các mặt là các hình thoi bằng nhau Các góc phẳng của góc tam diện đỉnh A1 bằng nhau
Chứng minh rằng: A C1 (AB D1 1)
Lời giải:
Trang 12Chọn hệ véc tơ cơ sở A A a A B1 , 1 1 b A D , 1 1c
Theo giả thiết : AA1D1 D1A1B1 AA1B1
Gọi m là độ dài cạch hình hộp
Ta có:
(1)
A C a b c A C AB a b c b a
A C AB
1 1
(2)
A C AD a b c c a
A C AD
Từ (1) và (2) suy ra A C1 (AB D1 1)
O1
A1
B1
A
B
C D
Bài tập vân dụng.
Bài 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh AD và BB’ Chứng minh : MNA’C.
Bài 2 Cho hình chóp S.ABC, SA(ABC), SA=a 3 , AC=2a, AB=a,ABC 90O Gọi M và N
là hai điếm sao cho:
MB MS
NS NC
Chứng minh: SC(AMN).
Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A
Vẽ SO(ABC), D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC.
Chứng minh: DC(SOE)).
3.3 Hiệu quả sáng kiến
Kiểm tra: 45 phút.
Đề bài:
Trang 13Đề 1:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4 Điểm D nằm trên cạnh SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2 Tính chiều cao của hình chóp
Đề 2:
Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng 4 2 , cạnh bên SC vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2 M,N lần lượt là trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo của góc và khoảng cách giữa SM và CN
Đáp án
Lời giải đề 1:
Chọn hệ véc tơ cơ sở SA a SB b SC c , ,
Đặt là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp
N là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường
thẳng BD
) (1 )
AN DN DA xDB DA a xb x c
Do
ANDB
(17 1) 8( 1) os 0 (1)
S
A
B
C D
N
Mặt khác:AN 2 AN2 4 17x2 2x13 8( x1) cos2 0 (2)
Từ (1) và (2) ta được 7
9
x Vì vậy : os 55
64
c
Ta tính độ dài đường cao của hình chóp SO.Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên
58 2
1 cos 96 48 3
1 ) 4 (
3
1
|
|
) 4 (
3
1 ) (
3
1
2
c b a
SO
c b a SC
SB
SA
SO
Trang 14Lời giải đề 2:
Ta chọn hệ véc tơ cơ sở
CA a CB b CS c , ,
+Ta tìm góc giữa SM và CN?
Ta có:
1 ( 2 ) 2
1
2
Khi đó: os . 2 450
2
SM CN c
SM CN
S
B
P
+Tính khoảng cách giữa SM và CN?
2
PQ xSM yCN SC ya x y b x c
Do PQ là đoạn vuông góc chung của SM và CN nên:
2
3
x
x y
KẾT QUẢ
Sau khi tôi dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì tôi cho tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh trên lớp tôi dạy thì thu được kết quả sau:
Trang 1511C 2018-2019 32/42(76,19%)
3.4 Điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập với các bài tập ở mức độ vừa phải Giáo viên đưa ra phương pháp giải, ví dụ mẫu và hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể
có được của bài toán Sau đó cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài giải ở mức độ đơn giản
Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinh khá hơn ở mức
độ những bài toán cao hơn
Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong quá trình học tập của học sinh, làm cho khả năng tư duy, tính sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng lên
3.5 Cam kết không sao chép hay vi phạm bản quyền:
Tôi xin cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền của bất kỳ tác giả nào.
KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT
Cần tăng cường hơn nữa hệ thống ví dụ giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ và hệ thống bài tập trên sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để học sinh có thể tự nghiên cứu và vận dụng véctơ trong quá trình giải bài toán hình học không gian
KẾT LUẬN
Trong đề tài này, chủ yếu tôi đưa ra một số phương pháp phân tích, đánh giá để có lời giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp véctơ
Tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất
mong muốn có được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và các bạn đọc về nội dung đề tài
Tôi xin chân thành cảm ơn !