(SKKN 2022) Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính góc trong không gian bằng phương pháp vec tơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH ********************* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TỐN TÍNH GĨC TRONG KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ Người thực hiện: Dương Thị Thu Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2022 MỤC LỤC Nội dung Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Kiến thức vectơ 2.1.2 Kiến thức hình học khơng gian 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp thực 2.3.1 Góc hai đường thẳng 2.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng 2.3.3 Góc hai mặt phẳng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận, kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục sáng kiến kinh nghiệm hội đồng sáng kiến kinh nghiệm ngành giáo dục đào tạo huyện , tỉnh cấp cao xếp loại từ C trở lên Trang 2 2 3 3 10 14 19 20 21 22 1 Mở đầu: 1.1 Lí chọn đề tài: Hình học khơng gian chiếm vị trí quan trọng chương trình tốn trung học phổ thơng, việc tìm kiếm đường tổ chức dạy học cho phần hình học khơng gian ln quan tâm, tìm hiểu nghiên cứu Dạy học kiến thức hình học phương pháp khác nhằm tạo cho học sinh tính linh hoạt, đa dạng tiếp cận tốn hình học Trong chương trình mơn Tốn THPT, phần hình học khơng gian tập trung nhiều lớp 11 lớp 12 Từ hình thành cho học sinh hai phương pháp giải giải cơng cụ hình học túy giải phương pháp tọa độ không gian Tuy nhiên để giải phương pháp tọa độ học sinh phải phụ thuộc vào yếu tố tốn Vì vậy, phần nhiều học sinh sử dụng phương pháp hình học khơng gian túy, phương pháp địi hỏi học sinh có tư nhạy bén nắm yếu tố hình học, điều khó khăn học sinh có học lực mức trở xuống Bài tốn xác định tính góc hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng toán mà học sinh lớp 11 thường gặp khó khăn giải chúng học sinh lớp 11 chưa sử dụng phương pháp toạ độ để làm Vectơ nội dung học từ lớp 10 để áp dụng học sinh cịn lúng túng, kể sách tham khảo hướng dẫn nội dung cơng cụ hữu hiệu hình học Từ vấn đề tơi thiết nghĩ áp dụng vectơ vào hình học khơng gian hướng rõ ràng cho học sinh đặc biệt học sinh trở xuống Vì chọn đề tài: "Hướng dẫn học sinh giải tốn tính góc khơng gian phương pháp vec tơ" 1.2 Mục đích nghiên cứu: Nội dung sáng kiến nhằm mục đích hướng tới giải vấn đề sau: Việc giải tốn hình học khơng gian phương pháp vectơ giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, tư sáng tạo lơgic phép tốn vectơ Giúp học sinh đặc biệt học sinh khá, trung bình có hướng rõ ràng việc giải tốn tính góc khơng gian 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Các tốn tính góc hình học khơng gian lớp 11 lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu đề tài xây dựng sở lý thuyết, vận dụng vào tập thơng qua hệ thống ví dụ 2 Nội dung : 2.1 Cơ sở lí luận: Để sử dụng tốt phương pháp véc tơ vào việc giải tốn tính góc học sinh cần nắm vững kiến thức vectơ lớp 10 kiến thức hình học khơng gian phần quan hệ vng góc lớp 11 Cụ thể sau: 2.1.1 Kiến thức vectơ Trong chương trình lớp 10 học sinh học vectơ Qua đó, học sinh nắm yếu tố sau: - Vectơ phương, vectơ hướng, hai vectơ nhau, vectơ không - Tổng hiệu véctơ, tích số với vectơ - Tính chất trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác: uuur uuur uuu r Nếu I trung điểm AB, M điểm : MA  MB  2MI uuur uuur uuur uuuu r Nếu G trọng tâm tam giác ABC, M điểm : MA  MB  MC  3MG uuu r uuur - Điều kiện để A,B,C thẳng hàng : AB  k AC (k ≠ 0) - Phân tích vectơ qua hai vectơ khơng phương Đến chương trình lớp 11, học sinh học thêm tính chất vectơ mối quan hệ đường thẳng, mặt phẳng, góc khơng gian rr r r r r Tích vơ hướng véctơ: a.b  a b cos a; b rr r r a Từ suy cách tính góc hai vectơ : cos a; b  r br a.b     2.1.2 Kiến thức hình học không gian Học sinh cần nắm định nghĩa định lý, nội dung quan trọng hình học khơng gian : - Đường thẳng vng góc đường thẳng, đường thẳng vng góc mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc - Góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng Như vậy, với kiến thức vectơ lớp 10 kiến thức vectơ hình học khơng gian lớp 11 giáo viên có đủ sở để hướng dẫn học sinh giải tốn tính góc khơng gian dựa vào phương pháp vectơ 2.2.Thực trạng vấn đề: Trong năm học trước, trình dạy học sinh dùng phương pháp khảo sát thực tế từ học sinh quan sát công việc dạy học giáo viên học sinh nội dung hình học khơng gian mà cụ thể tốn tính góc Tơi thấy nhiều học sinh lúng túng khơng để tìm góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng đặc biệt góc hai mặt phẳng phương pháp hình học túy Từ dẫn đến học sinh ngại học hình học khơng gian thường điểm câu hỏi Khi đó, tơi hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp vectơ vào giải tốn tính góc, nhiên học sinh gặp nhiều trở ngại sau: - Một số học sinh mơ hồ kiến thức vectơ - Chưa hình thành kỹ chọn hệ vectơ sở cho phù hợp toán - Chưa diễn dịch ngơn ngữ tổng hợp (hình học túy) thành ngôn ngữ vectơ - Chưa tự giác, tự nghiên cứu chưa làm nhiều tập theo phương pháp vectơ Từ vấn đề trên, áp dụng vào dạy học sinh năm học 2021 – 2022 có biện pháp khắc phục sau: - Rèn luyện kiến thức vectơ cách kĩ - Rèn luyện tốn hình học khơng gian để học sinh nắm vững kiến thức không gian từ chuyển sang ngơn ngữ vectơ - Có hệ thống tập đầy đủ, từ hướng dẫn học sinh làm 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề: Để hướng dẫn học sinh giải tốn tính góc dựa vào phương pháp vectơ, hướng dẫn học sinh thực theo bước sau: Bước 1: Lựa chọn số vectơ mà ta gọi “ hệ vectơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận toán hình học khơng gian cho thành “ngơn ngữ” vectơ Đây bước quan trọng toán, yêu cầu chọn vectơ sở ta phải chọn hệ gồm vectơ không đồng phẳng điều thuận lợi phương pháp vectơ không cần chung gốc Các vectơ sở chọn phải tính tích vơ hướng, chọn ưu tiên chọn cặp vectơ nhân vơ hướng lại nhằm đơn giản tốn Phiên dịch xác ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ vectơ Bước Tính tích vơ hướng vectơ; độ dài vectơ theo cơng thức tính góc hai vectơ Bước Thay vào cơng thức tính góc rút kết luận Sau tơi đưa dạng tốn tính góc: góc hai đường thẳng; góc đường thẳng mặt phẳng; góc hai mặt phẳng Mỗi dạng đưa công thức tính góc thơng qua vectơ; đưa ví dụ, phân tích yếu tố vận dụng phương pháp vectơ trình bày lời giải Cụ thể sau: 2.3.1 Góc hai đường thẳng: r r Cho hai đường thẳng a,b Gọi u; v vectơ phương a b Khi đó: rr u.v r r cos(a;b)= cos(u; v)  r r u.v uuu r uuur AB  AC  BC Lưu ý: AB AC  · D  BAC · Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  a; BA  600 Tính góc hai đường thẳng AB CD?  Phân tích: uuu r uuur uuur Nhận thấy vectơ AB; AC ; AD ta biết mối liên hệ chúng: độ dài, góc vectơ Có thể nghĩ tới tính góc hai đường thẳng AB CD qua góc uuu r uuur hai vectơ AB; CD cách phân tích vectơ qua vectơ sở uuu r uuur uuur AB; AC ; AD  Lời giải: uuur uuur uuur Ta có: CD  AD  AC uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur  AB.CD  AB AD  AC  AB AD  AB AC   · D  AB AC cos BAC ·  AB AD cos BA  a.a.cos 600  a.a.cos 600  uuu r uuur  AB  CD   AB; CD   900 Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB  2; AC  3; AD  BC  4; BD  5; CD  Tính cosin góc hai đường thẳng AC BD?  Phân tích : Giả thiết tốn cho biết yếu tố cạnh gợi cho ta nghĩ tới công thức uuu r uuur AB  AC  BC AB AC   Lời giải: Ta có: uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r AC.BD  AC AD  AB  AC AD  AC AB   AC  AD  CD AC  AB  CB   2 2 2 2  5 2 4    2 uuur uuur uuur uuur AC.BD  cos ( AC ; BD)    AC.BD 3.2 5 uuur uuur  cos  AC ; BD   cos( AC ; BD)  Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác · cân biết AB  AC  a; BAC  1200 ;AA'  a Tính góc hai đường thẳng AB’ BC?  Phân tích: Với giả thiết lăng trụ đứng đáy tam giác cân, biết AB, AC góc B ta chọn hệ uuu r uuur uuur vectơ sở AB; AC ; BB '  Lời giải: uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur Ta có: BC  AC  AB; AB '  AB  BB ' uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur  AB '.BC  AB AC  AB  AC BB '  AB.BB '  a.a.cos1200  a   a BC  a  a  2.a.a.cos1200  3a Lại có:  BC  a AB '  a  (a 2)  a 3  a2 cos ( AB '; BC )    AB '.BC a 3.a  ( AB '; BC )  600 Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, C’D’ Tính góc hai đường thẳng MN AP  Phân tích: uuu r uuur uuur Với giả thiết hình lập phương ta chọn hệ vectơ sở AB; AD; AA ' uuur uuur AB '.BC  Lời giải: uuuu r uuur uuu r uuur Ta có: MN  AC  ( AB  AD) 2 uuu r uuur uuuuu r uuuur uuur uuur uuu r AP  AA '  A ' D '  D ' P  AA '  AD  AB uuuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur2 uuur uuu r  MN AP  AA '.AB  AA ' AD  AD AB  AD  AB  AD.AB 2 2 4 1  a2  a2  a2 4 a a 3a AC  ; AP  AA '2  A ' P  a  a   2 uuuu r uuu r a MN AP  cos(MN;AP)= uuuu  r uuu r  MN AP a 3a 2  ( MN ; AP )  45 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA vng góc với đáy; SA  a Gọi M trung điểm SB Tính góc AM BD?  Phân tích: Vì hình chóp có đáy hình vng có SA vng góc với đáy nên ta chọn uuu r uuur uuu r hệ vectơ sở: AB; AD; AS Lại có: MN   Lời giải: uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r Ta có: AM  ( AB  AS ); BD  AD  AB uuuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r  AM BD  AB AD  AB  AS AD  AS AB 2 2   a2 a Mà BD  a 2; AM  SB  2 uuuu r uuur  a AM BD  cos(AM;BD)= uuuu  r uuur  AM BD a a 2  (AM;BD)  60 Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BD Tính góc hai đường thẳng MN BD?  Phân tích: Với tốn việc xác định tính góc hai đường thẳng MN BD phương pháp hình học khơng gian t gặp khó khăn.Giả thiết hình chóp tứ giác nên có yếu tố vng góc như: BD  AC ; BD  SO  BD  SC uur uuu r uuur uuuu r Vì ta nghĩ tới phân tích vectơ MN theo vectơ SA; SC ; AC  Lời giải: uuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r uuuu r uuur Ta có: AB  AM  MN  NB; EC  EM  MN  NC uuu r uuur uuuu r  AB  EC  2MN uuuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur  MN  ( AB  EC )  ( AB  ED  DC ) 2 r uuu r uuu r uuur uuu  ( AB  ES  SD  DC ) r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu  ( AB  AD  SD  DC )  ( AC  SC ) 2 uuuu r uuur uuur uuu r uuur Do đó: MN BD  ( AC  SC ).BD  (vì AC  BD; SC  BD BD  ( SAC ) ) uuuu r uuur  MN  BD  ( MN ; BD)  900 Ví dụ 7: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB  a;AA '  a Tính góc hai đường thẳng AB’ BC’?  Phân tích: Với giả thiết lăng trụ tam giác ta có tam giác ABC tam giác AA’ uuur uuuur uuuur vng góc với đáy nên ta chọn hệ vectơ sở AA ' ; B ' A ' ; B ' C '  Lời giải: Ta có: A ' B  BC '  a  ( a 2)  a uuur uuur uuuur uuuu r uuur uuuur Lại có: AB '  AA '  A ' B '; BC '  BB '  B ' C ' uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuur uuuu r uuur uuuu r uuuur  AB '.BC '  AA '.BB '  AA '.B 'C'  A 'B'.BB '  A 'B'.B 'C'  (a 2)  a.a.cos600  3a 2 uuur uuuu r a AB '.BC '  cos(AB';BC')= uuur uuuu  r  AB ' BC ' a 3.a  (AB';BC')  600 Ví dụ 8: Cho hai tia Aj Bk hợp với góc 600 Đường thẳng AB vng góc với hai tia Aj Bk AB = a Hai điểm M, N nằm hai tia Aj Bk cho AM = m, BN = n Tính cosin góc hai đường thẳng MN AB theo a, m ,n  Phân tích: Giả thiết có AB vng góc với AM; AB vng góc với BN nên ta chọn hệ uuur uuu r uuur vectơ sở: MA; AB; BN  Lời giải: uuur r uuu r r uuur r Đặt MA  a; AB  b; BN  c thì: rr rr r r r a.b  0; b.c  0; a  m; b  a; c  n uuuu r uuur uuu r uuur r r r Ta có : MN  MA  AB  BN  a  b  c uuuu r uuu r r r r r r r r2 r r  MN AB  (a  b  c ).b  a.b  b  c.b  a Mà uuuu r2 r r r r r r2 rr rr rr MN  MN  (a  b  c )2  a  b  c  2a.b  2a.c  2b.c  m  a  n  2.m.n.cos1200  m  a  n  m.n  MN  m  a  n  m.n Khi : uuuu r uuu r MN AB a2 a cos(AB;MN)= uuuu  r uuu r  MN AB a m  a  n  m.n m  a  n  m.n 2.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Gọi  góc đường thẳng a mặt phẳng    ; b đường thẳng vng góc với mặt phẳng    ta có: sin   cos(a;b) Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a; SA vng góc với đáy; SA  a Gọi H, K hình chiếu vng góc A SB, SD Gọi  góc SD mặt phẳng (AHK) Tính tan  ?  Phân tích: Với giả thiết toán ta chứng minh SC  ( AHK ) · SC  sin   cos(SD; SC )  cos D  Lời giải: 10 Ta có: DC  AD; DC  SA ( SA  ( ABCD) )  DC  ( SAD)  DC  AK Mà AK  SD  AK  SC Chứng minh tương tự ta có AH  SC  SC  ( AHK ) · SC Khi đó: sin   cos(SD; SC )  cos D Trong tam giác vng SDC có SD  a 2; DC  a  SC  a · SC  SD   cos D SC  sin    cos =  sin   3  tan   Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B; AB  BC  a; AD  2a Biết SA vuông góc với đáy; SA  a Gọi M, N trung điểm SB CD Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng (SAC)?  Phân tích: Ta có BE vng góc với mặt phẳng (SAC) (với E trung điểm AD) Giả thiết tốn có yếu tố vng góc : SA  AB; SA  AD; AC  BE gợi cho ta nghĩ uuuu r uuu r tới phân tích vectơ MN ; BE theo vectơ uuu r uuu r uuur uuur AS ; AB; AD; AE  Lời giải: a Gọi I, E trung điểm AB AD  MI PSA; MI  SA  2 3a a 10 ; BE  a IN   MN  IN  MI  2 Ta có: BE  AC ; BE  SA  BE  ( SAC ) 11 uuu r uuu r uuu r uuuu r uuur uuu r BE  AE  AB; MN  ( BC  SD) uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r  BE.MN  AE.BC  AE.SD  AB.BC  AB.SD 2 2 r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu 1 3a  AE.BC  AE.AD  AE.AS  a.a  a.2a  2 2 2 uuu r uuuu r BE.MN  sin   cos(BE;MN)= uuu r uuuu r  BE MN 3a  10 a 10 a 2 Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a; SA vng góc với đáy; SA  2a M trung điểm SC Tính sin góc BM mặt phẳng (ABC)?  Phân tích: Theo SA vng góc với mặt phẳng (ABC) nên SA  AB; SA  AC Lại có uuu r uuu r uuur tam giác ABC nên ta chọn hệ vectơ sở: AS ; AB; AC  Lời giải: uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuur uuu r Ta có: BM  AM  AB  AS  AC  AB 2 uuuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r  BM AS  AS  AS AC  AS AB 2  (2a)  2a 2 Laị có : SB  SC  a  (2a)  a Trong tam giác SBC có: SB  BC SC 5a  a 5a 7a 2 BM      4 a  BM   Gọi góc BM (ABC) ta có: uuuu r uuu r BM AS 2a 2 sin   cos(BM;SA)= uuuu  r uuu r  BM AS a 2a 12 Ví dụ 12: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA  a 5; AB  a Gọi M, N, P, Q trung điểm SA; SB; SC; SD Tính góc DN mặt phẳng (MQP)?  Phân tích: Với giả thiết hình chóp tứ giác ta có SO vng góc với đáy; OD  OC Dễ thấy mp(MQP) song song với mp(ABCD) nên SO đường vng góc với mp(MQP) uuu r uuur uuur Ta chọn hệ vectơ sở: OS ; DB; OC  Lời giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Vì hình chóp nên SO  ( ABCD) Mà ( MQP) P( ABCD)  SO  ( MQP) Ta có: uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur DN  ( DS  DB)  ( DO  OS  DB) 2 uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r  DN OS  DO.OS  OS  DB.OS 2 r2 1 uuu a2 9a  OS  OS  (5a  )  2 2 9a 2a Lại có: SO  ;  2 SD  BD SB 5a  2a 5a 9a 2 DN      4 3a  DN  Gọi  góc DN (MQP) ta có: uuur uuu r 9a DN OS sin   cos(DN;SO)= uuur uuu  r  DN OS 2a 3a 2    45 13 2.3.3 Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P) (Q) Gọi a, b đường thẳng vng góc với (P) (Q) Gọi  góc hai mặt phẳng (P); (Q) ta có: rr u.v r r cos  cos(a; b)  cos(u; v)  r r u v r r ( với u; v vectơ phương a b) Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB  2a ; SA vng góc với đáy; SA  a Tính cơsin góc  hai mặt phẳng (SAD) (SBC)?  Phân tích: Từ giả thiết tốn ta suy yếu tố vng góc : SA  AB; SA  AC ; SA  AD; BD  AD; AC  BC · DAB  600 Dễ dàng chứng minh được: BD  ( SAD); AH  ( SBC ) uuu r uuu r uuur Do ta chọn hệ vectơ sở: AS ; AB; AD  Lời giải: Ta có: tam giác ADB vng D BD  a Tương tự AC  BC AC  a Suy tam giác SAC vuông cân A Gọi H trung điểm SC a a  AH  SC   2 Ta lại có: AH  SC ; BC  AC ; BC  SA  BC  AH  AH  ( SBC ) BD  AD; BD  SA  BD  ( SAD) uuur uuur BD AH  cos  =cos(BD; AH )  uuur uuur BD AH uuur uuur uuu r Mà BD  AD  AB ; 14 uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uur uuur uuur AH  AS  SH  AS  SC  AS  ( SA  AD  DC ) 2 u u u r u u u r u u u r 1  AS  AD  AB 2 uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r2 BD AH  AS AD  AD  AB AD  AS AB  AB AD  AB 2 2 1 1  a  a.2a  4a   a 4 4  a2  cos    a a Ví dụ 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính số đo góc mặt phẳng (BA’C) (DA’C)  Phân tích: Với tốn làm cách hình học thơng thường ta cần dựng mặt phẳng vng góc với giáo tuyến A’C tính góc phức tạp Vì hình lập phương có yếu tố vng góc ta dễ dàng xác định hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng (BA’C) (DA’C) Từ tính góc cách ngắn gọn  Lời giải: Ta có: AB '  A ' B; AB '  BC  AB '  ( BA ' C ) Tương tự ta có: AD'  ( DA ' C ) Gọi  góc hai mặt phẳng (BA’C) (DA’C) ta có: uuur uuuu r · ' AD' cos   cos( AB '; AD')  cos B Trong tam giác B’AD’ có AB '  AD'  B ' D '  a nên tam giác B’AD’    600 Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B; BC=a SA vng góc với đáy; SA  a Gọi M trung điểm AC Tính cơtang góc  hai mặt phẳng (SBM) (SAB)  Phân tích: 15 Trong tốn ta có yếu tố vng góc: SA  BC ; SA  AB; AB  BC uuu r uuu r uuur Khi ta chọn hệ vectơ sở: AS ; AB; BC  Lời giải: Gọi K hình chiếu A SM Vì BM  AC ; BM  SA  BM  ( SAM )  BM  AK BC  AB; BC  SA  BC  ( SAB ) uuur uuur BC AK  cos  =cos(BC; AK )  uuur uuur BC AK a a 14 AC   SM  2 SA AM a 18 SK  a  SK    Mà AK  SM SM 7 Lại có: uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuuu r uuu r AK  AS  SK  AS  SM  AS  AM  AS 7 r uuu r uuur uuu r uuuu  AM  AS  AC  AS 7 7 uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r  AK BC  AC.BC  AS BC  BC ( BC  BA) 7 r 3 uuur2 uuur uuu  BC  BC.BA  a 7 a  cos     sin    cos   7 a.a Ta có : AM   cot   Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1; SA vng góc với đáy; SA  a Gọi ( ) mặt phẳng song song với đường thẳng SB AC; (  ) mặt phẳng song song với đường thẳng SC AB Tính cơsin góc hai mặt phẳng ( ) (  ) ?  Phân tích: 16 Mặt phẳng ( ) (  ) chưa tường minh nên việc xác định góc mặt phẳng tương đối khó khăn Hình chóp với yếu tố vng góc, cạnh, góc cho ta uuu r uuu r uuur nghĩ tới phương pháp vectơ cách chọn hệ vectơ sở: AS ; AB; AC  Lời giải: uuu r r uuu r r uuur r Đặt AS  a; AB  b; AC  c ur r r Gọi m; n vectơ khác tương ứng vng góc với hai mặt phẳng ( ) (  ) Gọi  góc ( ) (  ) Khi đó: ur r m.n cos  ur r m.n ur r r r r r r r Đặt m  xa  yb  zc; n  ta  ub  vc uur ur r r r r r  SB.m  (b  c)( xa  yb  zc )  6x  y  z  ur  r r  r r Vì m  ( ) nên  uuur ur AC m  c ( xa  yb  zc )   y  2z    ur r r r Chọn z  1  x  1; y   m  a  4b  2c r r r r r uuu rr  SC.n  (a  c)(ta  ub  vc )  t   u r  r r  rr r r Tương n  (  ) nên  uuu b ( ta  ub  vc )  AB n   v  2u  ur r r r Chọn u  2  t  1; v   m  a  4b  2c Ta có: ur r r r r r r r r r r2 rr rr rr m.n  (a  4b  2c ).(a  2b  4c )  a  8b  8c  2a.b  2a.c  20c.b     20.1.1.0,5  3 ur r r2 r2 rr rr rr m  a  16b  4c  8a.b  4a.c  16c.b   16   16.1.1.0,5  15 ur  m  15 r2 r2 r2 r2 rr rr rr n  a  4b  16c  4a.b  8a.c  16c.b   16   16.1.1.0,5  15 r  n  15  cos   3 15 15  Nhận xét chung: 17 Qua ví dụ ta thấy thuận lợi khả áp dụng phong phú phương pháp vectơ việc giải tốn hình học không gian Đây phần kiến thức thiếu học sinh học hình khơng gian Tuy nhiên không nên lạm dụng phương pháp mà quên phương pháp tổng hợp phương pháp giải hay phát triển tư tốt Cũng phải ý phận tốn hình học khơng gian giải phương pháp vectơ Trên thực tế có toán giải phương pháp vectơ hay phương pháp tổng hợp Nhìn chung, phương pháp vectơ để giải tốn hình học khơng gian phương pháp hay, thể vượt trội số trường hợp, cơng cụ cần thiết hành trang học sinh, trang bị cơng cụ này, học sinh dễ dàng ứng phó với dạng tốn áp dụng Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD  , góc BAC  600 , BAD  900 ; DAC  1200 Gọi G trọng tâm tam giác BCD Tính cơsin góc tạo AG CD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a; SA  a; SB  a 3; mặt phẳng (SAB) vng góc với (ABCD) Gọi M, N trung điểm AB BC Tính cơsin góc hai đường thẳng SM DN Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a SC vng góc với đáy; SC=a Gọi M, N trung điểm BC AB Tính góc CN SM Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA=a SA vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm SB, SD Tính góc hai mặt phẳng (AMN) (SBD) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật; AB=2a; BC=a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm AB; góc SC mặt đáy 600 Tính cơsin góc SB AC Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB  AC  BB '  a ; góc BAC  1200 Gọi I trung điểm CC’ Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA vng góc với đáy; SA  2a Gọi M, N hình chiếu vng góc A SB;SD Tính góc SB mặt phẳng (AMN) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục: 18 Để kiểm tra tính hiệu đề tài, tiến hành kiểm tra hai đối tượng hai lớp có lực học tương đương: lớp 11M 11B Lớp 11M hướng dẫn sử dụng phương pháp vec tơ giải tốn hình học khơng gian, lớp 11B chưa hướng dẫn Với hình thức kiểm tra làm tự luận, thời gian tiết học (45 phút), với đề bài: Câu Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD) Tam giác a ; AC  a 2; CD  a Gọi E trung điểm AC Tính góc hai đường thẳng AB DE? BCD vuông C, AB  Câu Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  SD  AB  AC  1; BC  Tính góc hai đường thẳng AB SC? Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA  a (SAB)  ( ABCD) Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN? Kết thu sau: Lớp 11B (40 học sinh) Lớp 11M (41 học sinh) Điểm Giỏi ( ) ( 20%) 15 (36,6%) Điểm Khá (6.5 -