(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh các bài toán góc trong không gian, nhằm nâng cao kết quả môn toán trong kỳ thi tốt nghiệp của trường THPT nông cống 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁC BÀI TỐN GĨC TRONG KHƠNG GIAN, NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ MƠN TỐN TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP, CỦA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG Người thực hiện: Mai Giáp Tý Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HOÁ NĂM 2022 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5.Những điểm SKKN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Giải pháp cụ thể 2.3.1 Một số ví dụ có phân tích cụ thể 2.3.2 Bài tập trắc nghiệm 2.3.2 Bài tập tự luyện 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục SKKN xếp loại Trang 1 2 2 2 5 12 18 20 20 20 21 21 22 HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁC BÀI TỐN GĨC TRONG KHƠNG GIAN, NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ MƠN TỐN TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP, CỦA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Đối với giáo viên việc ôn thi tốt nghiệp nhiệm vụ quan trọng, để có kết cao cơng tác ơn thi tốt nghiệp, ngồi việc tạo học sinh có lực, đam mê mơn học, người thầy cịn phải có kiến thức tốt, kinh nghiệm ơn tập đặc biệt có giải pháp hiệu nhằm khắc phục khó khăn vướng mắc học sinh trình ơn luyện giúp học sinh giải vấn đề khó phương pháp đơn giản hiệu Trong năm vừa qua nhà trường tin tưởng, giao phụ trách ôn luyên học sinh thi tốt nghiệp, lớp chọn trường thân cảm thấy tự hào coi động lực để tơi cố gắng phấn đấu tìm tịi phương pháp hay để giải tập khó nhằm nâng cao kết kỳ thi Tốt nghiệp THPT( cịn có tên kỳ thi THPT quốc gia) Năm học 2018-2019 đánh dấu mốc quan trọng đời dạy học của tơi Đây năm tơi có học sinh đạt điểm cao kỳ thi THPT quốc gia mơn Tốn năm 2019, với em học sinh đạt điểm trở lên, với số điểm trung bình lớp 8,3, đứng đầu huyện Nông cống Năm học 2021-2022 tiếp tục nhà trường giao nhiệm vụ ôn thi Tốt nghiệp cho lớp 12B1 lớp chọn đầu trường, với mong muốn đạt thành tích cao kỳ thi Tốt nghiệp năm 2022 Phần “ góc khơng gian ” phần có nhiều tốn tốn liên quan đề thi Tốt nghiệp, nguồn tài liệu phần SGK tương đối ít, chưa cụ thể đa dạng Để ôn tập cho học sinh phần này, lần ôn tập năm học 2018-2019, 20192020, 2020-2021 năm 2021-2022, tơi tìm tịi biên soạn lại, từ nhiều nguồn khác nhau, để ơn tập cho lớp phụ trách thu nhiều kết tốt đẹp Để có thành trình nghiên cứu, tìm tịi, đổi phương pháp giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải toán khó cách làm đơn giản, nhanh gọn hiệu Với thành ý muốn chia sẻ với đồng nghiệp tỉnh kinh nghiệm thân, tơi xin mạnh dạn chia sẻ kinh nghiệm viết sáng kiến kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh tốn góc khơng gian, nhằm nâng cao kết mơn Tốn kỳ thi tốt nghiệp trường THPT Nông Cống 3" với hi vọng giúp ích cho đồng nghiệp có tâm huyết, có đam mê với công tác ôn thi tốt nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu - Đề tài đưa số phương pháp giải tập , số phân tích, hệ thống tập góc khơng gian, nhằm giải câu hỏi có liên quan đề thi tốt nghiệp quốc gia - Đề tài tính hiệu để giải tốn góc khơng gian - Đề tài cung cấp cho đồng nghiệp nguồn tư liệu bổ ích cơng tác ơn thi tốt nghiệp mơn Tốn phần hình học khơng gian - Đề tài giúp học sinh phát huy tối đa lực, tạo điều kiện để học sinh có lực đạt kết cao kì thi tốt nghiệp 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các tốn góc khơng gian - Một số tập góc không gian vấn đề liên quan 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp tự nghiên cứu ứng dụng thực tiễn - Phương pháp thực nghiệm đối chứng - Phương pháp thống kê tổng hợp - Phương pháp thực nghiệm sư phạm 1.5 Những điểm SKKN - Đưa hướng dẫn, phân tíc cụ thể tốn góc khơng gian mà sách giáo khoa Tốn 12 khơng có - Đề tài gắn liền với thực tế đề thi tốt nghiệp quốc gia đề thử tốt nghiệp trường tồn quốc - Đề tài trình bày giải vấn đề thông qua việc giải toán cụ thể chia thành dạng khác NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Góc hai véc tơ khơng gian Định nghĩa r r r Trong không gian, cho u v hai vectơ khác Lấy điểm A bất kì, gọi uuu r r uuur r B C hai điểm cho AB = u, AC = v r r · · £ 180°) góc hai vectơ u v Khi ta gọi góc BAC ( 0°£ BAC r r khơng gian, kí hiệu ( u, v) 2.1.2 Góc hai đường thẳng khơng gian Định nghĩa Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a¢ b¢ qua điểm song song với a b Nhận xét a) Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại r r b) Nếu u vectơ phương đường thẳng a v vectơ phương r r đường thẳng b ( u, v) = a góc hai đường thẳng a b a 0°£ a £ 90° 180°- a 90°< a £ 180° Nếu a b song song trùng góc chúng 0° Cách Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác cos A = b2 + c2 - a2 2bc r r Cách Tìm hai vec tơ phương u, v hai đường thẳng a,b rr uv a , b cos a , b = ( ) r r Khi góc hai đường thẳng xác định uv 2.1.3 Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa Cho đường thẳng d mặt phẳng ( a ) Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( a ) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng ( a ) 900 Trường hợp đường thẳng d không vng góc với mặt phẳng ( a ) góc d hình chiếu d¢ ( a ) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng ( a ) Khi d không vuông góc với ( a ) d cắt ( a ) điểm O, ta lấy điểm A tùy ý d khác với điểm O Gọi H hình chiếu vng góc A lên ( a ) · j góc d ( a ) AOH =j Chú ý 1) Nếu j góc đường thẳng d mặt phẳng ( a ) ta ln có 00 £ j £ 900 2) Trong nhiều trường hợp d/ / d¢ ta có (·d,( a ) ) = (·d¢,( b) ) 3) Nếu xác định góc d ( a ) khó q ( khơng chọn điểm A để d( M ,( a ) ) dựng AH vng góc với ( a ) , ta sử dụng công thức sau sinj = MO cosj = sin b Ta phải chọn điểm M d , mà tính khoảng cách đến mặt phẳng ( a ) Còn O giao điểm d mặt phẳng ( a ) , b góc tạo đường thẳng d đường thẳng D vng góc với ( a ) 2.1.4 Góc hai mặt phẳng Định nghĩa Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Cách xác định góc hai mặt phẳng Giả sử hai mặt phẳng ( a ) ( b) cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c ta dựng ( a ) đường thẳng a vuông góc với c dựng ( b) đường thẳng b vng góc với c Người ta chứng minh góc hai mặt phẳng ( a ) ( b) góc hai đường thẳng a b Diện tích hình chiếu đa giác Cho đa giác H nằm mặt phẳng ( a ) có diện tích S H¢ hình chiếu vng góc H mặt phẳng ( b) Khi diện tích S¢ H¢ tính theo cơng thức S¢= S.cosj với j góc ( a ) ( b) 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong năm vừa qua kết thi tốt nghiệp mơn Tốn trường THPT Nơng Cống trì tốp đầu toàn huyện đồng nghiệp đánh giá cao Tuy nhiên số học sinh đạt điểm cao kì thi tốt nghiệp cịn Từ thực tế với vai trị người phụ trách cơng tác ơn thi tốt nghiệp mơn tốn lớp chọn nhà trường, thiết nghĩ mĩnh phải chịu trách nhiệm hạn chế công tác ôn thi tốt nghiệp nhà trường Vì năm vừa qua tơi đồng nghiệp có trao đổi phương pháp giảng dạy có việc giải vấn đề góc khơng gian, vấn đề đưa vào thi tốt ngiệp năm qua Xuất phát từ sở thực trạng trên, tơi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm đóng góp thiết thực cho việc ơn thi tốt nghiệp mơn Tốn trường trung học phổ thông nên tối định lựa chọn đề tài với thành ý muốn chia sẻ kinh nghiệm tới đồng nghiệp nhà trường với mong muốn giúp đồng nghiệp có thêm tư liệu giải pháp nhằm nâng cao hiệu công tác ôn thi tốt nghiệp năm tới 2.3 Giải pháp cụ thể: 2.3.1 Một số ví dụ với phân tích cụ thể Ví dụ Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc hai đường thẳng AB SC Phân tích: Đây tốn tìm góc hai đường thẳng chéo không gian Để giải tốn thơng thường ta sử dụng định nghĩa đưa tính góc hai đường mặt phẳng thơng qua định lí cosin tính thơng qua góc hai vectơ phương hai đường thẳng Trong toán nhận thấy tam giác ABC , SBC , SAC tam giác đặc biệt biết độ dài cạnh, nên ta dùng cách vectơ Ta có cos ( AB, SC ) uuu r uuu r = cos AB, SC ( ) = uuu r uuu r AB.SC AB.SC uuu r uuu r Tính AB.SC cách dùng phép tốn vectơ biến đổi tích tích vectơ có chung điểm đầu mà xác định độ dài góc chúng Tóm tắt cách giải: Gọi I trung điểm BC , SA = SB = SC = a BC = a ta chứng minh hình chiếu vng góc S lên ( ABC ) trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có cos ( AB, SC ) uuu r uuu r = cos AB, SC ( ) = uuu r uuu r AB.SC AB.SC Mà r uur uur uuu r uuu r uuu AB SI + IC AB.SC = ( ) r uuur uuu r uur uuu a2 = − BA BC = − BA BC cos 45 ° = − = AB.IC 2 Từ suy (·AB, SC ) = 60° Lời giải chi tiết: Cách 1: Ta có BC = a nên tam giác ABC vng A Vì SA = SB = SC = a nên hình chiếu vng góc S lên ( ABC ) trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC vuông A nên I trung điểm BC Ta có cos ( AB, SC ) uuu r uuu r = cos AB, SC ( r uur uur uuu r uuu r uuu AB.SC = AB SI + IC ( ) ) = uuu r uuu r AB.SC AB.SC u r uuur uuu r uur uu a2 = AB.IC = − BA.BC = − BA.BC.cos 45° = − 2 a2 cos ( AB, SC ) = = ⇒ (·AB, SC ) = 60° a2 uuu r uuu r Cách 2: Ta tính AB.SC cách phân tích theo cách khác uuu r uuu r uuu r uuu r AB.SC cos ( AB, SC ) = cos AB, SC = AB.SC uur uur uuu r uur uuu uuu r uuu r r uur uuu r a2 = SB − SA SC = SB SC cos 90 ° − SA SC cos 60 ° =− Ta có AB.SC = SB.SC − SA.SC · Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC = 60° Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm ( ( ) ) tam giác ABC , gọi ϕ góc đường thẳng SB mặt phẳng ( SCD ) , tính sin ϕ biết SB = a Phân tích: Đây tốn tìm góc hai đường thẳng mặt phẳng không gian Để giải tốn thơng thường ta sử dụng định nghĩa ý 2,3 ( phần lý thuyết) Trong toán dùng định nghĩa việc tìm hình chiếu SB lên mặt phẳng ( SDC ) phức tạp Theo giả thiết hình chiếu vng góc O điểm S lên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trọng tâm tam giác ABC nên ta chọn cách giải theo ý ( cách 1) ý ( cách 2) Cách 1: Gọi O trọng tâm tam giác ABC Dựng đường thẳng d qua O d // SB , d cắt SD K Khi góc SB ( SCD ) góc OK ( SCD ) Mặt khác chứng minh tứ diện S ABC tứ diện cạnh a , từ dựng hình chiếu OK mặt phẳng ( SDC ) KH Tính OH , OK , suy sin ϕ Tóm tắt cách giải: Cách 1: Gọi O trọng tâm tam giác ABC Dựng đường thẳng d qua O d // SB , d cắt SD K Khi góc SB ( SCD ) góc OK ( SCD ) Vì SO ⊥ ( ABCD) , tam giác ABC cạnh a , SB = a Suy tứ diện S ABC tứ diện cạnh a Từ giả thiết ta có ( SMQ ) ⊥ ( SDC ) giao tuyến hai mặt phẳng đường SC Kẻ OH ⊥ SC ta hình chiếu OK ( SCD ) KH Từ tính sin ϕ = OH = OK Lời giải chi tiết: Cách 1: ● Gọi O trọng tâm tam giác ABC Dựng đường thẳng d qua O d // SB , d cắt SD K Khi góc SB ( SCD ) góc OK ( SCD ) ● Vì SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ CD · Ta lại có: ∆ABC ( ∆ABC cân B BAC = 60° ) ⇒ AB ⊥ CO ⇒ CD ⊥ CO ⇒ CD ⊥ ( SCO) ⇒ ( SCD) ⊥ (SCO) Gọi H hình chiếu O SC , ta có: OH ⊥ SC  ·  ⇒ OH ⊥ ( SCD ) Do góc SB mặt phẳng ( SCD ) là: OKH =ϕ OH ⊥ CD  OH · = Ta có: sin ϕ = sin OKH OK ● Tứ diện S ABC tứ diện cạnh a nên ta tính được: OC = a 3 , SO = Vì OK // SB ⇒ a a ⇒ OH = 3 OK DO 2 = = ⇒ OK = SB = a Vậy: sin ϕ = OH = SB DB 3 OK Cách 2: Trước hết ta chứng minh sin (SB; ( SCD)) = d ( B, ( SCD)) (như hình trên) SB Gọi O trọng tâm tam giác ABC Khi ta có CO ⊥ CD Dựng OH ⊥ SC suy OH ⊥ ( SCD) Ta tính a a a , SO = ⇒ OH = 3 3 3a a = d ( B, ( SCD)) = d (O, ( SCD)) = OH = 2 OC = Khi a Vậy sin ( SB;( SCD)) = = a Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính Cosin góc đường thẳng SD mặt phẳng ( SBC ) Phân tích: Đây tốn tìm góc hai đường thẳng mặt phẳng không gian Để giải tốn thơng thường ta sử dụng định nghĩa ý 2,3 Trong toán dùng định nghĩa việc tìm hình chiếu SD lên mặt phẳng ( SBC ) tính tốn góc phức tạp Gọi M trung điểm SB ; O tâm hình chữ nhật ABCD , ta có MO //SD Mặt khác dễ thấy BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AM , mà SB ⊥ AM nên AM ⊥ ( SBC ) ( ) · ; ( SBC ) = sin ·AMO ⇒ cos SD Do ta chọn hướng giải theo ý Tóm tắt cách giải: Gọi H , M trung điểm AB, SB ; O tâm hình chữ nhật ABCD , ta có MO //SD Từ giả thiết chứng minh AM ⊥ ( SBC ) tam giác AOM cân O có AO = MO = a ) ( · ; ( SBC ) = sin ·AMO = 13 Tính cos SD Lời giải chi tiết: Gọi H , M trung điểm AB, SB ; O tâm hình chữ nhật ABCD Ta có MO //SD Dễ thấy BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AM , mà SB ⊥ AM nên AM ⊥ ( SBC ) 1 a Xét tam giác AMO , có: AM = ; AO = AC = a + 3a = a ; 2 2 1 1 a 3 a MO = SD = SH + HD = SH + HA2 + AD = +  ÷  ÷ + 3a = a ÷ 2 2   2 ⇒ ∆ AMO cân O AM MO − d ( O; AM ) = ⇒ sin ·AMO = = OM OM · ; ( SBC ) = sin ·AMO = 13 ⇒ cos SD ( ) Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật AA ' = AB 3a a − 16 = 13 a ABCD A ' B ' C ' D ' có mặt ABCD hình vng, Xác định góc hai mặt phẳng ( A ' BD ) ( C ' BD ) Phân tích: Đây tốn tìm góc hai mặt phẳng khơng gian Nhận thấy hai mặt phẳng ( A ' BD ) ( C ' BD ) có giao tuyến đường thẳng BD ,ta chọn cách giải dùng định lý Gọi O giao điểm hai đường chéo hình vng ABCD Ta có tam giác A′BD, C ′BD cân A′, C ′ Suy A′O ⊥ BD, C ′ ⊥ BD Do (· ( A′BD ) , ( C ′BD ) ) =(·A′O, C ′O ) Tính ·A ' OC ' = 600 Tóm tắt cách giải: + Gọi O giao điểm hai đường chéo hình vng ABCD Ta có tam giác A′BD, C ′BD cân A′, C ′ Suy A′O ⊥ BD, C ′ ⊥ BD Góc hai mặt phẳng ( A ' BD ) ( C ' BD ) góc A ' O C ' O Đặt AB = x ⇒ BC = x; AA ' = x ⇒ ∆A ' OC ' cạnh x ⇒ ·A ' OC ' = 600 Lời giải chi tiết: A D O B C A' D' B' +) Gọi O C' giao điểm hai đường chéo hình vng Đặt AB = x ⇒ BC = x; AA ' = x ABCD x 6 x 10 A ' B = A ' D =  + x2 = ⇒ ∆ A ' BD cân ⇒ A ' O ⊥ BD ÷ ÷ 2   x 6 x 10 C ' B = C ' D =  + x2 = ⇒ ∆C ' BD cân ⇒ C ' O ⊥ BD ÷ ÷   +) ( A ' BD ) ∩ ( C ' BD ) = BD , A ' O ⊥ BD, A ' O ⊂ ( A ' BD ) C ' O ⊥ BD, C ' O ⊂ ( C ' BD ) ⇒ góc hai mặt phẳng ( A ' BD ) ( C ' BD ) góc A ' O C ' O 2  x 10   x  +) Tính ·A ' OC ' A ' O = C ' O = A ' B − BO =  ÷ ÷ ÷ −  ÷ =x     A ' C ' = x ⇒ ∆A ' OC ' ⇒ ·A ' OC ' = 600 Vậy góc hai mặt phẳng ( A ' BD ) ( C ' BD ) 600 2 Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân, với · AB = AC = a góc BAC = 120° , cạnh bên AA′ = a Gọi I trung điểm CC ′ Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB′I ) Phân tích: Đây tốn tìm góc hai mặt phẳng không gian Nhận thấy giả thiết cho lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ nên hình chiếu A, I , B′ mặt phẳng ( ABC ) A, C , B Ta chọn cách giải dùng cơng thức hình chiếu Gọi α góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB′I ) , ta có S ABC = S IB′A cos α 10 Tính S ABC , S AIB′ , từ suy cos α Tóm tắt cách giải: Gọi góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB′I ) α Ta có ∆ABC hình chiếu vng góc ∆AB′I mặt phẳng ( ABC ) 1 a a 10 = Do S ABC = S IB′A cos α Tính S IB′A = AB′ AI = a Do S ABC 2 1 a · S ABC = AB AC sin BAC = a.a = 2 2 = S IB′A cos α ⇒ a = a 10 cos α ⇒ cos α = 30 4 10 Lời giải chi tiết:   · = a + a − 2.a.a  − ÷ = 3a ⇒ BC = a Ta có BC = AB + AC − AB AC.cos BAC   Xét tam giác vng B′AB có AB′ = BB′ + AB = a + a = a 2 a Xét tam giác vng IAC có IA = IC + AC = a + 2 a = a Xét tam giác vuông IB′C ′ có B′I = B′C ′2 + C ′I = 3a + = a 13 2 5a 13a = = B′I ⇒ ∆IB′A vuông A 4 ⇒ S IB′A = AB′ AI = a a = a 10 2 1 a2 · = a.a = Lại có S ABC = AB AC.sin BAC 2 Gọi góc tạo hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB′I ) α Xét tam giác IB′A có B′A2 + IA2 = 2a + Ta có ∆ABC hình chiếu vng góc ∆AB′I mặt phẳng ( ABC ) a a 10 30 S = S cos α Do ABC IB′A ⇒ = cos α ⇒ cos α = 4 10 2.3.2 Các tập trắc nghiệm 11 Câu Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng A , AB = a , AC = a Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H BC , A′H = a Gọi ϕ góc hai đường thẳng A′B B′C Tính cos ϕ A cos ϕ = B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = Lời giải uuur uuur uuuur Gọi E trung điểm AC ; D K điểm thỏa BD = HK = A′B′ · ′C Ta có B′K ⊥ ( ABC ) B′D / / A′B ⇒ ( A′B, B′C ) = ( B′D, B′C ) = DB Ta tính BC = 2a ⇒ BH = a ; B′D = A′B = ( a 3) + a = 2a 2 CD = AC + AD = 3a + 4a = a ; CK = CE + EK = 2 2 3a 9a + = a 4 B′C = B′K + CK = 3a + 3a = a · ′D = cos CB a + 6a − a B′D + B′C − CD = = 2.B′D.B′C 2.2a.a Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a , BC = a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 600 Tính cosin góc hai đường thẳng SB AC A B 35 C D Lời giải ( SC, ( ABCD ) ) = ( SC , CH ) = · SCH = 600 cos ( SB, AC ) = uur uuur SB AC SB AC uur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur SB AC = SH + HB AB + BC = SH AB + SH BC + HB AB + HB.BC ( )( ) 12 uuur uuur uuur uuur 2 = HB AB + HB.BC = AB = 2a AC = a , CH = a + a = a , · SH = CH tan SCH = a SB = SH + HB = uur uuur 2a SB AC = = cos ( SB, AC ) = 35 a 7.a SB AC ( a 6) + a2 = a Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân, AB = BC = 2a Biết tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SA = a Góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) A 45o B 30o C 60o D 90o Lời giải Trong ( SAC ) , dựng SH ⊥ AC ⇒ H trung điểm AC  ( SAC ) ⊥ ( ABC )  ( SAB ) ∩ ( SAC )  ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Trong ( SAC ) , dựng CK ⊥ SA  SH ⊂ ( SAC ) , SH ⊥ AC  Trong ( ABC ) , dựng HI ⊥ AB Trong ( SHI ) , dựng HJ ⊥ SI Ta có AB ⊥ HI , AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SHI )  ( SAB ) ⊥ ( SHI )  ( SAB ) ∩ ( SHI ) = HI  ⇒ HJ ⊥ ( SAB ) ⇒ d  H , ( SAB )  = HJ  HJ ⊂ ( SHI ) , HJ ⊥ SI  Ta có HJ = ( HI HS HI + HS ) = a.a a2 + a2 = a SH AC a 2a 2a = == CK = SA a · Đặt α = ( SAB ) , ( SAC ) , ta có d C , ( SAB )  2d  H , ( SAB )  HJ a 3 sin α =  = = = 2× × = ⇒ α = 60o d [ C , SA] d [ C , SA] CK 2a Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng C , CH vng góc với AB H , I trung điểm đoạn HC Biết SI vng góc với mặt phẳng đáy, ·ASB = 90° Gọi O trung điểm đoạn AB , O′ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI Góc tạo đường thẳng OO′ mặt phẳng ( ABC ) A 60° B 30° C 90° D 45° 13 Lời giải Do ·ASB = 90° nên tâm O′ mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI nằm đường thẳng d qua trung điểm O đoạn thẳng AB d ⊥ ( SAB ) ( 1) Trong mặt phẳng ( SCH ) kẻ IK ⊥ SH K Theo giả thiết SI ⊥ ( ABC ) suy SI ⊥ AB Từ SI ⊥ AB AB ⊥ CH suy AB ⊥ ( SCH ) ⇒ AB ⊥ IK Từ IK ⊥ SH AB ⊥ IK ta có IK ⊥ ( SAB ) ( ) Từ ( 1) ( ) ta có IK Pd Bởi (·OO '; ( ABC ) ) = (·d ; ( ABC ) ) = (·IK ; ( ABC ) ) Vì ( SCH ) ⊥ ( ABC ) nên IH hình chiếu vng góc IK mặt phẳng ( ABC ) Bởi · · = HSI (·IK ; ( ABC ) ) = (·IK , IH ) = HIK AB Xét hai tam giác vuông CHO SHO có CO = SO , cạnh OH chung nên ∆CHO = ∆SHO ( c.g.c ) , CH = SH CH SH = Xét tam giác SIH vng I có IH = , ta có 2 IH · · sin HSI = = ⇒ HSI = 30° Vậy (·OO '; ( ABC ) ) = 30° SH Do tam giác ABC vuông C SAB vuông S nên CO = SO = Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD với tất cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Giá trị tan góc AG mặt phẳng ( ABCD ) A B C 17 17 D 17 Lời giải 14 Gọi O tâm hình vng ABCD Khi SO ⊥ ( ABCD ) a a Gọi I trung điểm CD Ta tính SI = , SG = SI = 3  a   a 2 a SO = SI − OI =  = ÷ ÷ −  ÷ 2    2 Gọi Q hình chiếu vng góc G mặt phẳng ( ABCD ) Ta có Q ∈ OI a GQ = SO = SA2 + SI − AI 2 ×SA ×SI 2  3a a   a2 + − a2 − ÷ 4  a = a2 + −  = a2 3 · = SA2 + SG − ×SA ×SG × Ta có: AG = SA2 + SG − ×SA ×SG ×cos ASG = SA + SG − 2 ( SA2 + SI − ( AD + ID ) ) 2a a 34 = 36 Vì AG ∩ ( ABCD ) = A GQ ⊥ ( ABCD ) nên góc AG mặt phẳng ( ABCD ) Khi đó, AQ = AG − GQ = a − a GQ 17 · · = = = GAQ Vậy tan GAQ AQ a 34 17 Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành, · AB = 3; AD = 4, BAD = 120° Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SA , AD BC α góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( MNP ) Chọn khẳng định khẳng định sau A α ∈ ( 60° ;90° ) B α ∈ ( 30° ; 45° ) C α ∈ ( 45° ;60° ) D α ∈ ( 0° ;30° ) Lời giải 15  MN / / SD ⇒ ( MNP ) / / ( SCD ) ⇒ ( ( SAC ) , ( MNP ) ) = ( ( SAC ) , ( SCD ) ) = α  NP / /CD Ta có  Gọi H hình chiếu vng góc A xuống ( SCD ) K hình chiếu vng góc H xuống SC , suy α = ·AKH 1 1 Ta có VS ACD = VS ABCD = SA.S ABCD hay VS ACD = 3.4 .2 = 2 Trong tam giác ABC có · AC = AB + BC − AB.BC.cos α = ABC = 42 + 32 − 2.3.4 = 13 SC + SD − CD 11 · Suy SC = AC + SA2 = 13 + 12 = 25 Khi cos CSD = = 2.SC.SD 35 42 · · Hay sin CSD = − cos CSD = 35 1 42 · Do diện tích tam giác SCD S SCD = SC.SD.sin CSD = 28 =3 2 35 1 SA AC 13 39 Ta có S SCD = AC.SA = AK SC nên AK = = = 2 SC 5 3VA.SCD 3.6 = = Theo cơng thức tính thể tích khối chóp A.SCD AH = S SCD Do sin α = AH 26 = = ⇒ α ∈ ( 60° ;90° ) AK 39 26 · · Câu Cho hình chóp S ABCD có AB = , BC = 3 , góc BAD = BCD = 90° , SA = SA vng góc với mặt đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD = 66 , tính cotang góc mặt phẳng ( SBD ) mặt đáy A 273 20 B 91 91 C 20 273 819 D 91 Lời giải 16 Đặt AD = x , CD = y Ta có VS ABCD = SA.S ABCD ⇒ S ABCD = 22 44 − x ( 1) Mặt khác BC + CD = BD = AB + AD ⇔ 75 + x = 27 + y ( ) 47  x = ( l)  Thế ( 1) vào ( ) ta 16 x − 440 x + 1504 = ⇔  loại y <  x = ( n ) Vậy x = y = (thỏa mãn) · Kẻ AM ⊥ BD , mà BD ⊥ SA nên BD ⊥ SM Do ( ( SBD ) , ( ABCD ) ) = SMA Mà S ABCD = S ABD + S BCD ⇔ 5x + y = 44 ⇔ y = 1 20 273 = + ⇒ AM = 2 AM AB AD 91 AM 20 273 · Nên cot SMA = = SA 819 Xét ∆ABD ta có 2a Đáy ABC tam giác vuông A, AC = 4a Goi M , N trung điểm AC , BC Biết khoảng cách từ C đến đường thẳng SM a Goi α góc hai mặt phẳng ( SMN ) ( SAC ) Khi Câu Cho hình chóp S ABC có đường cao SB = A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = Lời giải Gọi P điểm đối xứng với M qua N Khi ABPM hình chữ nhật 17 Gọi H , I , K hình chiếu A SM , B SA SP Khi BI ⊥ ( SAM ) BK ⊥ ( SMP ) Do M trung điểm AC nên ta có d ( A, SM ) = d ( C , SM ) = a Mà AM = 2a nên tam giác AHM vuông cân H Lại có AM ⊥ ( SAB ) nên tam giác SAM vuông cân A suy SA = 2a Ta có 2a BS BA 2a IS IS SA BS AB = SA − SB = = = = , BI = = , IA IA.SA BA2 SA uuu r uuu r uur BS + BA uuu r uuu r r Suy BS + BA = hay BI = uuu r uuu r uuur BS + BP 2a Tương tự ta tính BK = BK = uur uuur BI BK 42 BS Suy cos α = = = BI BK 56 2a 2 2 2.3.3 Bài tập tự luyện Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B Biết SA vng góc với mặt phẳng đáy ( ABCD) SA = AB = BC = a, AD = 2a Gọi M , N trung điểm SB, CD Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SAC ) A B C 55 10 D 10 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I , cạnh a , góc a · Gọi α góc đường thẳng SD mặt phẳng BAD = 60° , SA = SB = SD = ( SBC ) Giá trị A sin α B C D 2 · Câu Cho tam giác ABC có BC = a , BAC = 135° Trên đường thẳng vuông góc với ( ABC ) A lấy điểm S thỏa mãn SA = a Hình chiếu vng góc A SB , SC M , N Góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AMN ) A 30° B 45° C 60° D 75° Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , BC = a , cạnh bên SA vng góc với đáy, SA = a Gọi M trung điểm AC Tính cơtang góc hai mặt phẳng ( SBM ) ( SAB ) 18 A B 21 C D Câu Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a , CD = x , ( ACD ) ⊥ ( BCD ) Tìm giá trị x để ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ? A x = a B x = a C x = a D x = a Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) , SA = x Xác định x để hai mặt phẳng ( SBC ) ( SDC ) tạo với góc 60° B x = a A x = a C x = a a D x = Câu Cho hình chóp S ABC có SA = a , SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân đỉnh A BC = a Gọi M , N trung điểm SB , SC Cơsin góc tạo hai mặt phẳng ( MNA ) ( ABC ) A B C D Câu Cho lăng trụ đứng ABCD A′B′C ′D′ có đáy hình thoi cạnh a , góc · BAD = 60° , AA′ = a M trung điểm AA′ Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( B′MD ) ( ABCD ) Khi cos ϕ A B 3 C D · · Câu Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = ; BAC = 60° ; BAD = 90° ; · DAC = 120° Tính cơsin góc tạo hai đường thẳng AG CD , G trọng tâm tam giác BCD A B C D Câu 10 Hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có AB = AA′ = AD = a ·A′AB = ·A′AD = BAD · = 60° Tính c«sin góc đường thẳng CD′ mặt phẳng ( A′AD ) : A B C D BẢNG ĐÁP ÁN D C B A D B D D C 10 A 19 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Đối với thân Từ năm học 2018-2019 đến nhà trường phân công ôn thi THPT quốc gia lớp chọn trường Tơi vận dụng kinh nghiệm mà tích lũy để ôn tập hướng dẫn học sinh thi THPT quốc gia (bây kỳ thi tốt nghiệp THPT) Bảng thống kê kết mơn Tốn trực tiếp giảng dạy Kỳ thi Lớp Số điểm trở lên Điểm TB Ghi 2019 12B1 8,3 Thứ Nông Cống 2020 12C6 7,24 Lớp thường 2021 12A4 7,56 Lớp thường 2022 12B1 12 8,56 Thi thử Sở Kết ôn thi Tốt nghiệp đạt năm gần thực kì tích thân tơi nhà trường Đó minh chứng cho thấy hướng đắn việc ôn thi Tốt nghiệp THPT, nguồn động lực niềm tin để tiếp tục cố gắng phấn đấu áp dụng kinh nghiệm vào thực tiễn cơng tác năm tới 2.4.2 Hiệu ứng dụng vào thực tiễn trường THPT tỉnh: - SKKN áp dụng cho tất trường THPT - Giới thiệu cho đồng nghiệp học sinh nguồn tập hay để áp dụng - Khích lệ cổ vũ phong trào ôn thi tốt nghiệp THPT trường THPT tỉnh, góp phần tăng thứ hạng mơn Tốn Thanh Hóa - Giúp học sinh trường THPT có thêm kiến thức tham gia kì thi Tốt nghiệp đạt kết tốt nhất; có thêm động lực niềm tin vào khả KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sau thời gian nghiên cứu, hoàn thành đề tài vận dụng vào dạy học thân khẳng định đề tài mang lại hiệu công tác ôn thi Tốt nghiệp THPT Học sinh sau hướng dẫn, em làm tốt tốn góc khơng gian vào đề thi tốt nghiệp THPT năm gần Giúp trường THPT Nơng Cống trì kết thi tốt nghiệp THPT Mong muốn tơi đóng góp chút công sức cho giáo dục tỉnh nhà, cổ vũ phong trào ôn thi tốt nghiệp THPT trường THPT tỉnh, chia sẻ cách làm với đồng nghiệp ngồi nhà trường Đây dịp để thân tơi nhìn lại làm để đạt thành cơng năm qua Tôi hi vọng kinh nghiệm giúp ích cho đồng nghiệp cơng tác ôn thi tốt nghiệp THPT, để đồng nghiệp tham khảo, góp ý áp dụng nhằm nâng cao hiệu ôn thi tốt nghiệp 20 THPT trường THPT toàn tỉnh 3.2 Kiến nghị - Tiếp tục đổi cách ôn tập ôn thi tốt nghiệp THPT, đáp ứng đổi toàn diện giáo dục, đảm bảo khách quan, phù hợp với đặc điểm môn học - Tăng cường việc thi thử tốt nghiệp THPT tỉnh Thanh Hóa( Thanh Hóa tổ chức lần thi, mong muốn nhân nên tổ chức thêm theo hình thức online Hà Tĩnh) Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2022 HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Mai Giáp Tý TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12 Đề thi THPT Quốc gia, tốt nghiệp năm Đề Thi minh họa, đề thi thử THPT Quốc gia, tốt nghiệp trường toàn quốc qua năm 21 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Mai Giáp Tý Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Nông Cống TT Tên đề tài SKKN SKKN “Từ hệ phương trình đề thi ĐH khối A năm 2011 giúp học sinh khai thác xây dựng tốn nhằm phát huy tính tích cự học sinh” SKKN “Từ toán bất đẳng thức đề thi ĐH khối A năm 2011 giúp học sinh khai thác xây dựng toán nhằm phát bồi dưỡng học sinh giỏi” SKKN “Sử dụng máy tính cầm tay ôn luyện thi THPT Quốc gia, môn Toán” SKKN "Hướng dẫn học sinh tìm số hạng tổng quát dãy số, nhằm nâng cao hiệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn trường THPT Nơng Cống 3" SKKN “Hướng dẫn học sinh tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, cực trị hàm trị tuyệt đối, nhằm nâng cao kết mơn Tốn kỳ thi tốt Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Năm học đánh giá xếp loại Ngành C 2014 Ngành C 2015 Ngành B 2017 Ngành C 2020 Ngành C 2021 22 nghiệp trường THPT Nông Cống 3” 23 ... 22 HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁC BÀI TỐN GĨC TRONG KHƠNG GIAN, NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ MƠN TỐN TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP, CỦA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Đối với giáo viên việc ôn thi. .. "Hướng dẫn học sinh tốn góc khơng gian, nhằm nâng cao kết mơn Tốn kỳ thi tốt nghiệp trường THPT Nông Cống 3" với hi vọng giúp ích cho đồng nghiệp có tâm huyết, có đam mê với cơng tác ơn thi tốt. .. luyện thi THPT Quốc gia, mơn Tốn” SKKN "Hướng dẫn học sinh tìm số hạng tổng quát dãy số, nhằm nâng cao hiệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn trường THPT Nông Cống 3" SKKN ? ?Hướng dẫn học sinh tìm