(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị hình học

MỤC LỤC TT NỘI DUNG CÁC MỤC TRANG Mục lục MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5.Những điểm SKKN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 10 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 11 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 12 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 13 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 14 3.1 Kết luận 19 15 3.2 Kiến nghị 19 16 Tài liệu tham khảo 21 17 Danh mục đề tài công nhận 22 1.MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài Như biết, cực trị hình học nội dung khó chương trình Tốn THCS Đặc biệt đề thi học sinh giỏi cấp thi vào PTTH đa số có tốn cực trị hình học Gặp dạng tốn học sinh thường bị ngợp kiến thức giải dạng tốn phần đại số khó liên quan đến bất đẳng thức, dẫn đến học sinh sợ lúng túng không nghĩ hướng giải Dạng toán vừa đa dạng vừa phong phú cách giải lại đòi hỏi nhiều kỹ người học Mặt khác, tài liệu viết cho cấp THCS gặp, tài liệu trình bày phương pháp giải tốn cực trị hình học cách hệ thống Do đó, với mong muốn giúp em rèn kỹ biết cách giải dạng toán theo nhiều hướng khác nhau, giúp em tự tin hứng thú học dạng tốn tơi chọn đề tài nghiên cứu “Hướng dẫn học sinh giải số toán cực trị hình học để thi vào 10 THPT, thi học sinh giỏi thi vào PTTH chuyên” 1.2.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khoa học với mục đích nhằm nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ cho thân, từ có thêm hội trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Mặt khác rèn kỹ hệ thống số dạng giải tốn cực trị hình học, đồng thời cho em thấy lời giải đẹp, thú vị số toán, thấy mối tương quan hình học đại số, hình học bất đẳng thức đại số Từ gây hứng thú học tập cho em, rèn kỹ tư sáng tạo cho em Đặc biệt nâng cao chất lượng học sinh thi vào lớp 10 THPT thi học sinh giỏi lớp cấp chất lượng học sinh thi vào THPT chuyên 1.3.Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh giải toán cực trị hình học học sinh giỏi lớp Trường THCS Nhữ Bá Sỹ - Hoằng Hóa, huyện Hoằng Hóa , tỉnh Thanh Hố 1.4.Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thực nghiệm khoa học - Phương pháp vấn đáp - Phương pháp phân loại hệ thống hố lý thuyết - Phương pháp suy luận, tìm tịi - Phương pháp thống kê xử lí liệu - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp nhận xét, đánh giá nghiên cứu 1.5.Những điểm SKKN Những điểm SKKN là: Giới thiệu số tập cực trị hình học, có tập tương tự, phân loại, hệ thống tập theo trật tự logic từ dễ đến khó tốn cực trị hình học phát triển lên từ đề tài “Từ sách Các chuyên đề trọng tâm Hình Học luyện thi vào lớp 10” số 44/QĐ- NXB Than Hóa ngày 01 tháng 03 năm 2022 Trong lần nghiên cứu ,tôi phát triển nội dung cao hơn, có phân tích, nhận xét mở rộng tốn (nếu có thể) Đây điểm đáng ý phát triển cao cho lần tái lần tới, mục đích hướng đến kỳ thi vào lớp 10 THPT thi vào PTTH chuyên Giới thiệu số toán gặp đề thi vào lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi thi vào PTTH chuyên, giúp em hứng thú học tập để đạt kết cao kỳ thi 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1.Về phương pháp chung Như biết, phương pháp dạy học mơn tốn phương pháp Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết, phương pháp suy luận, tìm tịi, khai thác tổng qt hố toán phương pháp cần thiết phải làm việc hướng dẫn học sinh tiếp cận giải vấn đề mới, giúp học sinh có nhìn nhiều hướng hiểu sâu sắc vấn đề gặp, học 2.1.2.Về kiến thức Các phương pháp cực trị hình học thường sử dụng chương trình Tốn THCS là: - Phương pháp vận dụng quan hệ đường xiên đường vng góc, đường xiên hình chiếu - Phương pháp vận dụng bất đẳng thức đường tròn - Phương pháp vận dụng bất đẳng thức - Phương pháp mở rộng toán từ SGK - Phương pháp mở rộng toán từ toán thi vào lớp 10 THPT Trong phạm vi đề tài nghiên cứu xin trình bày cách khai thác phương pháp là: “Hướng dẫn học sinh giải số tốn cực trị hình học để thi vào 10 THPT, thi học sinh giỏi thi vào PTTH chuyên” 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, nghiên cứu theo dõi, thấy toán toán cực trị hình học ln có mặt đề thi vào lớp 10 THPT chuyên đề thi học sinh giỏi tốn lớp cấp tỉnh ngồi tỉnh Để giải tốn cực trị hình học, yêu cầu học sinh phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức liên quan bất đẳng thức hệ thống hoá cách logic Khi giáo viên dạy dạng tốn gặp nhiều khó khan mặt tài liệu: có tài liệu trình bày theo chuyên đề hệ thống đầy đủ Vì nên người dạy phải tự định hướng, hệ thống hoá, nghiên cứu tìm tịi tài liệu để dạy học sinh Trước áp dụng đề tài này, khảo sát nhóm học sinh có học lực giỏi lớp 9A trường THCS Nhữ Bá Sỹ- Hoằng Hóa huyện Hoằng Hóa, năm học 2021 - 2022 Thời gian khảo sát: Tháng năm 2021 Nội dung kháo sát: Học sinh làm tập sau: µ µ B;C góc nhọn có diện tích khơng đổi Tìm Cho tam giác ABC có 2 giá trị nhỏ biểu thức P  2BC  AC  AB Kết khảo sát 15 học sinh có học lực khá, giỏi lớp 9A năm học 2020-2021 sau: Điểm 9-10 Số học sinh 15 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm SL % SL % SL % SL % 33 13 27 27 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Các phương pháp giải toán cực trị hình học nhìn nhiều khía cạnh khác em học sinh thấy phong phú, đa dạng dạng toán, phạm vi đề tài này, xin giới thiệu “phương pháp giải tốn cực trị hình học” sau: - Phương pháp giải cực trị hình học quen thuộc mặt hình thức có sáng tạo lời giải - Phương pháp giải cực trị hình học quen thuộc mặt hình thức chứa đựng nhiều ý tưởng rộng sâu trình tìm lời giải cách áp dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức đại số - Phương pháp giải cực trị hình học hay giải ý tưởng sáng tạo hay gặp cách vẻ đường phụ - Một số suy luận phát triển tốn cực trị hình học từ SGK ( cực trị hình học) từ đề thi lớp 10 THPT ( toán liên qua đến cực trị hình học) * Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các phương pháp giải hình cực trị hình học Dạng Vân dụng quang hệ đường xiên đường vng góc, đường xiên hình chiếu Kiến thức cần nhớ - Đường vng góc ngắn đường xiên: AH  d, B  H  AH  AB - Trong hai đường xiên kẻ từ điểm đến đường thẳng, đường xiên có hình chiếu lớn lớn đường xiên lớn có hình chiếu lớn HB  HC  AB  AC Ví dụ Ví dụ 1: Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB M diểm nửa đường trịn Xác định vị trí M để : a) SABC MAB lớn b) Chu vi tam giác MAB lớn Lời giải: Vẽ MH  AB, H  AB a) SMAB  MH AB  MH R Ta сó MH  AB, O  AB MH  OM  R nên SMAB  R (khơng đổi) ¶ Dấu "=" xảy  H  O  M điểm giưaa AB  · · b) AMB  90 (AMB góc nội tiếp chắn nưa đường trịn) MAB vng M có MH  AB  MH AB MA.MB MAB vng M theo định lí Py -ta-go có : MA  MB2  AB  4R ; PMAB  MA  MB  AB, AB không đổi (MA  MB)  MA  MB2  2MA MB Do PMAB lớn  MA  MB lớn  (MA  MB)2 lớn  MA MB lớn »  SMAB lớn  M điểm AB (câu a) Ví dụ 2: ( Trích đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Gia Lai năm học 2018-2019) Cho điểm S cố định bên ngồi đường trịn (O) Vẽ tiếp tuyến SA đường tròn (O) (với A tiếp điểm) cát tuyến SCB không qua tâm O, điểm O nằm góc ASB, điểm C nằm S B Gọi H trung điểm đoạn thẳng CB a)Chứng minh tứ giác SAOH nội tiếp đường tròn b)Chứng mnh SA  SB.SC c)Gọi MN đường kính đường tròn (O) cho ba điểm S, M, N khơng thẳng hàng Xác định vị trí MN để diện tích tam giác SMN lớn Lời giải · A)Vì H trung điểm BC  OH  BC  OHC  90 · · Tứ giác OASH có : OAS  OHS  90  90  180  OASH tứ giác nội tiếp a) $ · · Xét SAB SCA có : S chung; SBA  SAC (cùng chắn cung AC)  SAB ∽ SCA (g.g)  SA SC   SA  SB.SC SB SA b)Kẻ SK  MN 1 SSMN  SK.MN  SO.MN 2 Ta có (vì OKS vuông O  SO  SK ) SSMN SO  SK  H  O Vậy để lớn  SO vừa đường trung tuyến, vừa đường cao  SMN cân S  MN  SO Bài tập vận dụng ( Trích đề thi Tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Hà Nam năm học 2020-2021)  Hai đường cao Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn  BE, CF tam giác ABC cắt H Đường thẳng AH cắt BC D cắt O; R  điêm thứ hai M đường tròn  1)Chứng minh tứ giác AEHF nội tiế · 2)Chứng minh BC tia phân giác EBM 3)Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp BCE O; R O; R  4)Khi hai điểm B, C cố định điểm A di động đường tròn  thỏa mãn điều kiện tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh OA  EF Xác định vị trí điểm A để tổng DE  EF  FD đạt giá trị lớn Dang Vận dụng bất đẳng thức đường trịn Kiến thức cần nhớ Đường kính dây cung lớn đường tròn Trong đường tròn hai dây cung chúng cách tâm Trong hai dây cung không đường tròn, dây cung lớn gần tâm AB  CD  OH  OK Đối với hai cung nhỏ đường tròn: Hai cung dây căng hai cung Hai cung không nhau, cung lớn dây căng cung ¶ ¶ lớn AB  CD  AB  CD · · ¶ Do AOB  COD  AB  CD  AB  CD  OH  OK Ví dụ Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD cạnh a, M N hai điểm nằm hình vng ABCD Tìm giá trị lớn MN Lời giải Ta có: ABCD hình vuông cạnh a  AC  AB  a Vẽ đường trịn (O) ngoại tiếp hình vng ABCD  đường kính (O) a   Gọi M N dây cung qua M N Ta có MN  M  N  mà M N  a (đường kính dây cung lớn đường trịn) Do MN  a Chú ý: Tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng giao điểm hai đường chéo hình vng Ví dụ 4:( Trích đề thi truyển sinh tỉnh Phú Thọ năm học 2018-2019) O; R  O; R  Cho đường tròn  điểm M cố định nằm  Từ M kẻ tiếp O; R  A, B d tuyến MA , MB tới  ( tiếp điểm) Đường thẳng   qua  hai điểm phân biệt C, D ( C nằm M D ) Gọi N cắt  giao điểm AB CD a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp b) Chứng minh tam giác ANC tam giác DNB đồng dạng, tam giác AMC tam giác DMA đồng dạng; M O; R MC NC  c) Chứng minh MD ND ; d) Xác định vị trí đường thẳng  d 1  để MD ND đạt giá trị nhỏ Lời giải O · · a) Ta có MA, MB hai tiếp tuyến   nên MAO  MBO  90 · ·  MAO  MBO  90  90  180  tứ giác MBAO nội tiếp · · · · b) Xét tam giác ANC DNB ta có: ANC  DNB ( đối đỉnh), CAN  BDN ( chắn cung BC )  ANC ∽DNB (g-g) · · Xét tam giác AMC tam giác DMA ta có: MAC  ADC ( chắn cung AC ),  AMC ∽DMA  g  g  µ M chung MA MC    MA  MD.MC  1 c) Ta có: MAC∽MDA MD MA Gọi H giao điểm AB MO Theo tính chất hai giao tuyến cắt  AB  OM H Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác MAO vuông A , đường cao AH ta có:  2 MA  MH.MO Từ      MC.MD  MH.MO  MC MO  MH MD MC MO  µ Xét tam giác MCH tam giác MOD ta có: M chung , MH MD ( cmt) · ·  MCH : MDO ( g-g )  MHC  MDO    tứ giác CHOD nội tiếp ( tính chất góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện) · ·  DHO  DCO (cùng chắn cung DO )   · · OC  OD  R  COD O  ODC  OCD Mà cân  5 , , · · · Từ        DHO  CHM Mà AH  HM  HN tia phân giác CHD MC NC   · MD ND (tính chất đường phân giác HM tia phân giác góc CHD tam giác)  CD CD  MD  CM CN  ND CN MC DC       2  2   MD ND  MD ND MD ND DN MD d) Xét MC CN 1     MD ND CD ( MD DN ) 2 1 1       CD 2R R MD ND R Vì CD dây cung nên CD  2R Dấu "  " xảy CD  2R hay d qua O Bài tập vận dụng 2: ( Trích đề thi tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2021-2022) Cho tam giác nhọn ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF (D  BC, E  AC, F  AB) tam giác cắt H , M trung điểm BC 1) Chứng minh AEHF tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh đường thẳng ME MF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF 3) Chứng minh DE  DF  BC Dang Vận dụng bất đẳng thức Kiến thức cần nhớ * Bất đẳng thức tam giác ABC có: a) | AB  AC | BC  AB  AC · · b) ABC  ACB  AC  AB    - Tam giác ABC tam giác A B C có µ µ A AB  A B , AC  A C : BC  BC  A - Cho A, B, C ba điểm bất kì, ta có : a) BC  AB  AC Dấu "=" xảy  A nằm đoạn BC b) BC | AB  AC | Dấu "=" xảy  A, B, C thẳng hàng 2) Các bất đẳng thức thường gặp ab  ab a) Bất đẳng thức (BDT) Cô-si Cho hai số khôngâm a, b ta có (1) Dấu " =” xảy  a  b b) Bát đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Svac-xơ (B.C.S) Cho bốn số thực a, b, x, y ta có: (ax  by)   a  b   x  y  c) Mơt số tốn bất đẳng thức đại số quen thuộc Bất đẳng thức Chứng minh  a  b   (a  b)  4ab Bất đẳng thức Chứng minh  a  b2  c2   (a  b  c) Bất đẳng thức Chứng minh ràng a, b, c  1 1 1 1 (a  b)    4;(a  b  c)     a b a b c 2.Ví dụ Ví dụ 5: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB cố định, C điểm cố định nằm A O M di động đường trịn (O ; R) Tìm vị trí M (O; R) tương ứng lúc độ dài CM lớn nhất, nhỏ Lời giải: 10 Xét ba điểm C, O, M ta có | OM  CO | CM  CO  OM OA  OM  OB  R Do CA  CM  CB CM  CB (không đổi) Dấu "=" xảy  M  B Vậy M  B đoạn thẳng CM có độ dài lớn Mặt khác CM  CA (không đổi) Dấu "=" xảy  M  A Vậy M  A đoạn thẳng CM có độ dài nhỏ Ví dụ ( Trích đề thi HKI Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015) Cho điểm A nằm ngồi đường trịn  O  Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE khơng qua tâm tới đường trịn ( B, C hai tiếp điểm, D nằm A E) Gọi H giao điểm AO BC a)Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp b)Chứng minh AH AO  AD AE c)Tiếp tuyến D đường tròn  O  cắt AB, AC theo thứ tự I , K Qua điểm O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB P cắt AC Q Chứng minh : IP  KQ  PQ Lời giải    a)Ta có: Bˆ  Cˆ  90  90  180  ABOC tứ giác nội tiếp b)Xét ACD AEC có: Aˆ chung; · · » ACD  AEC (cùng chắn CD )  ACD ~ AEC(g g) AC AD    AE AD AC 1) ( AE AC Áp dụng hệ thức lượng ta có: AH AO AC (2) Từ (1) (2)  AH AO AD AE    · · · · · · ˆ ˆ ˆ ˆ c) Ta có PIK  IKQ  P  Q  360  2PIQ  2OKQ  2P  360  PIQ  OKQ  P  180  · · · · ˆ Lại có: PIO  IOP  P  180  OKQ  IOP 11 Xét PIO QOK có: · · · · IPO  OKQ( PAQ cân); IOP  OKQ(cmt)  PIO ~ QOK(g g)  PI PO   PI.QK  PO.QO  OP QO QK Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có: IP  QK  IP QK 2 OP PQ Vậy IP  KQ  PQ Bài tập vận dụng ( Trích đề thi Tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Hải Dương năm học 2020-2021) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  O; R  Gọi D, E , F chân đường cao thuộc cạnh BC , CA, AB H trực tâm ABC Vẽ đường kính AK a) Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành b) Trong trường hợp ABC không cân, gọi M trung điểm BC Hãy · chứng minh FC phân giác DFE điểm M , D, F , E nằm đường tròn c) Khi BC đường tròn  O; R  cố định, điểm A thay đổi đường trịn cho ABC ln nhọn, đặt BC  a Tìm vị trí điểm A để tổng P  DE  EF  DF lớn tìm giá trị lớn theo a R 2.3.2 Mở rộng toán từ toán từ SGK ( cực trị hình học ý) Xây dựng phát triển dự theo số hình mơ sgk - Dự theo 30 trang 116 sách toán NXB giáo dục Ví dụ 6: Cho nửa đường trịn (O ; R) đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (hai tia Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phằng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường trịn cắt Ax, By C, D Gọi N giao điểm AD BC Xác định vị trí điểm M để : a) Chu vi tứ giác ABDC nhỏ nhất b) Diện tích tứ giác ABDC nhỏ c) Diện tích tam giác OCD nhỏ d) Chu vi tam giác OCD nhỏ e) Tống diện tích hai tam giác MAC, MBD nhỏ f) Độ dài đoạn thẳng MN lớn Lời giải 12 Dễ dàng chứng minh · CD  AC  BD ; COD  90 AC BD R Qua A vẽ đường thẳng song song với CD cắt By E Tứ giác ACDE hình bình hành  AE  CD Mà AB  BE  AE  CD  AB  R a) PABDC  AC  BD  CD  AB  2CD  2R  2(CD  R)  2(2R  R)  6R b) c) SABDC  SOCD  (AC  BD) AB CD R 2R 2 1 OM.CD  R.CD  R 2 d) POCD  OC  OD  CD  OC.OD  CD  OM.CD  CD  R.2R  2R  2(  1)R SMAC  SMBD  SABDC  SMAB  CD R  MH.AB CD R R.MH  2R R R.OM R 2 e) AN CM AN CM   f) Xét VNBD có Do DN DM Xét ACD có DN DM  MN / /CD  R2 R2 R MN DM AC.DM  MN      MN  AC CD CD CD 2R Bài tập áp dụng Cho đường tròn ( O; R ), BC dây cung cố định A điểm chuyển động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC Xác định vị trí điểm A để: a) Diện tích tam giác HBC lớn b) Chu vi tam giác HBC lớn c) Tổng HA + HB + HC lớn d) Tổng khoảng cách từ O đển cạnh tam giác ABC lớn e) Chu vi tam giác DEF lớn (trong AD, BE , CF ba đường cao ABC ) Bài 7.6 13 · Vẽ đường kính CA1 BA Ta có ABC nhọn ¼  A thuộc cung A1C · không chứa điểm B (trừ A1 ) ACB nhọn ¼  A thuộc cung A B không chứa điểm C (trừ A ) ¼ Vậy A thuộc cung A1A (trừ A1 , A )   · · · · · · BAC nhọn nên BHC tù  BAC  BHC  180  BHC  180  BAC   ( không đổi) mà BC cố định Vậy H thuộc cung chứa góc cố định  dựng đoạn thằng BC a) SHBC lớn  H điểm cung chứa góc  dựng doan BC  A điểm cung lớn BC b) PHBC lớn  H điểm giưa cung chứa góc  dựng đoan BC  A điểm cung lớn BC c) Vẽ OI  OC(I  BC)  I trung điểm BC  OI đường trung Do dó HA  HB  HC lớn  HB  HC lớn  PHBC lớn  A điểm cung lớn BC (câu b) d) Gọi khoảng cách từ O đến cạnh BC, AC, BA x, y, z Ta có · AC  90 A (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ABC   A1A / /BH Do A1A  AC mà BH  AC (H trực tâm Tương tự ta có A1  B / /AH ; A1  A / /BH A1  B / /AH  HA  A1  B mà 1 1 A1B x  HA y  HB, z  HC 2 2 nên Tương tự Do x  y  z  (HA  HB  HC) x  OI  Ta có x  y  z lớn  HA  HB  HC lớn  A điểm cung lớn BC 14  · · » xAC  ABC  AC  e) Vẽ tiếp tuyến Ax đường tròn (O) sđ Tứ giác BFEC · · · · BFC  BEC  90  AEF  ABC · · · nội tiếp (vì Do xAC  AEF( ABC)  Ax / /EF   mà OA  Ax OA  EF  SAEOF  Tương tự SBFOD  1 OA.EF  R.EF 2 1 R.DF; SCDOE  R.DE  SABC  R PDEF 2 Ta có PDEF lớn  SABC lớn  A điểm lớn BC Chú ý : Lập luận A chuyển động cung nhỏ BC 2.3.2 Mở rộng toán từ toán thi vào lớp 10 2.3.2.1 Suy luận phát triển cực trị hình học cách vẽ thêm Là nhóm câu hỏi ngồi việc áp dụng tính chất tứ giác nội tiếp trên, ta cịn khai thác tốn cách vẽ thêm đường tròn ngoại tiếp tam giác Sau có thêm đường trịn ta khai thác thêm tính chất liên quan đến đường trịn với tính chất tứ giác nội tiếp để xây dựng toán khác 3.3.2.2 Khai thác cách vẽ thêm đường kính Khi vẽ thêm đường kính đường trịn ta cần hướng dẫn học sinh tính chất liên quan đến đường kính như: “góc nội tiếp chắn đường trịn 900”, từ suy quan hệ vng góc, song song, đặc biệt suy hình bình hành ứng dụng hình bình hành Cụ thể ta xét tốn sau: Ví dụ 7: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ba đường cao AD, BE CF cắt H; AO cắt (O) K; Gọi I trung điểm BC, G giao điểm HO với AI 1) Chứng minh BHCK hình bình hành 2) Chứng minh AH = OI 3) G tâm tam giác ABC 4) Giả sử BC cố định (O) không đối chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF khơng đổi Tìm vị trí A O để diện tích tam giác AEF lớn 15 Hướng dẫn: · · 1) Xét (O) có AK đường kính => ABK  ACK  90 => BK  AB mà CH  AB => BK // CH (1) => CK  AC mà BH  AC => CK// CH(2) Từ (1) (2) suy BHCK hình bình hành Sau có hình bình hành, hướng dẫn cho học sinh khai thác ứng dụng hình bình hành lớp từ suy luận hồn thiện câu hỏi liên quan 2) Do BHCK hình bình hành mà I trung điểm BC => I trung điểm HK Xét KHA có IH = IK OA = OK => OI đường trung bình KHA => AH = OI 3) Xét KHA có hai trung tuyến AI HO cắt G => G AI tâm KHA => AG = AI Xét ABC có G thuộc trung tuyến AI mà AG = => G tâm ABC Tiếp tục khai thác toán theo hướng điểm cố định đoạn thẳng khơng đổi, cự trị hình học ta hương dẫn học sinh hoàn thiện câu hỏi tiếp theo: 4)Theo toán nhận biết ta dễ dàng tứ giá AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH => bán kính đường trịn ngoại tiếp AEF AH - Do BC cố định => I cố định, mà O cố định => OI có độ dài khơng đổi => AH = 2OI khơng đổi (theo câu 3)=> bán kính đường trịn ngoại tiếp AEF không đổi, không phụ thuộc vào A Cũng theo tốn vận dụng ta có BCEF tứ giác nội tiếp => ·AFE  ECB · (góc ngồi tứ giác) · · Xét AEF ABC có góc A chung; AFE  ACB => AEF ~ ABC SAEF  AE     CosEAB  cos=>SAEF  SABC Cos S AB    ABC => ¼ · - Do (O) cố định, dây BC không đổi => sđ BAC không đổi => BAC   không đổi=> Cos không đổi => SAEF lớn SABC lớn A nằm cung BC Khi dạy tốn cần ý: Hướng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn đường trịn từ suy góc vng suy tốn khác Đặc biệt tốn hình bình hành ứng dụng hình bình hành 16 Ngồi cách khai thác ta khai thác tốn cách đặc biệt hóa theo chiều thuận nghịch cho góc A 60 tính BC AH theo R, hay cho BC = 3R , AH  R , tính góc A hay yếu tố liên quan khác 3.2.2.3 Xây dựng nhóm tập tổng hợp Ví dụ ( Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa năm học 2020-2021) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD ; CE (D thuộc AC; E thuộc AB) tam giác kéo dài cắt đường tròn (O) điểm M N ( M khác B ; N khác C) 1) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh MN song song với DE 3) Khi đường tròn (O) dây BC cố định điểm A di động cung lớn BC Sao cho tam giác ABC nhọn Chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE khơng đổi tìm vị trí điểm A để diện A M tích tam giác ADE đạt giá trị lớn Hướng dẫn : Các câu 1,2 để học sinh tự luyện, hướng dẫn cho học sinh xem lại phần D O N E H B C I K 3) Bước : Sử dụng toán nhận biết tứ giác AEHD nội tiếp từ suy đường trịn ngoại tiếp ∆ADE đường trịn tâm I đường kính AH Bước sử dụng góc nội tiếp chắn đường trịn từ suy góc vng, quan hệ song song suy suy BHCK hình bình hành, tiếp đến ựng dụng hình bình hành (như tốn phần 3.3.2) để AH không đổi suy điều phải chứng minh Bước khai thác theo hướng cực trị tương tự tốn 3.3.2 Từ kết luận SADE SABC A điểm cung lớn BC Bài tập áp dụng 5:( Trích đề khảo sát học kì II tỉnh Thanh Hóa 2011-2012) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt (O) Tại M N 17 1)Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp A M 2)Chứng minh MN//DE 3)Giả sử BC cố định A di chuyển cung D lớn BC Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp O N tam giác ADE E H không đổi Phat triển: B C I Tìm vị trí A để: K a) diện tích BHC lớn b) Diện tích BHCK lớn c) Gọi L giao điểm AH với (O) Diện tích BHCL lớn d) ADE lớn e) AHD lớn f)DEF lớn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm chủ yếu áp dụng cho học sinh giỏi việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp thi vào lớp 10 THPT chuyên Sau áp dụng đề tài nhận thấy học sinh tự tin hứng thú làm tập cực trị hình học Trong năm học từ 2021 - 2022, giao nhiệm vụ tham gia giảng dạy lớp ôn thi vào lớp 10 THPT trường THCS Nhữ Bá Sỹ huyện Hoằng Hóa, kết quả: Các em hồn thành giải cực trị hình học có đề thi Chất lượng thi vào THPT THPT chuyên đạt tiêu đề Đóng góp phần nhỏ bé vào phát triển đối tượng học sinh mũi nhọn nhà trường nói riêng chất lượng giáo dục ngành giáo dục huyện Hoằng Hóa nói chung Kết kiểm tra nhóm học sinh lớp khảo sát Năm học 2019-2020 Số học sinh Nhóm 15 Điểm giỏi SL % Điểm SL % Điểm TB SL % Điểm yếu SL % 18 khơng áp dụng đề tài Nhóm áp dụng đề tài 15 33 13 27 27 SL % SL % SL % SL % 53 27 20 0 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: 3.1.Kết luận: Qua việc áp dụng đề tài giúp cho học sinh khá, giỏi nắm vững cách giải toán cực trị hình học, giúp em học sinh làm tốt tập có tính chất nâng cao số sách tham khảo, đề thi, chuẩn bị tốt cho kì thi học sinh giỏi cấp thi vào trường THPT chuyên, góp phần nhỏ bé vào công tác nâng cao chất lượng giảng dạy cho nhà trường Ngồi ra, qua đề tài cịn giúp cho học sinh rèn luyện thói quen phát triển khai thác toán, thấy mối quan hệ hình học đại số, từ giúp em tự tin học tập tốt mơn tốn Do trình độ thân cịn hạn chế nên đề tài khơng tránh sai sót, mong đóng góp ý kiến hội đồng khoa học đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2.Kiến nghị: - Giáo viên cần nghiên cứu thật kĩ nội dung chuyên đề, tập, sau lựa chọn nội dung phù hợp với đề tài nghiên cứu, phù hợp với câu cấu trúc đề thi học sinh giỏi thi vào PTTH chuyên tỉnh nhà - Giáo viên cần thay đổi cách kiểm tra đánh giá, tăng cường câu hỏi mức hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để khuyến khích đánh giá mức độ sử dụng kiến thức hình học học sinh - Tham khảo tài liệu internet, trang web, video giảng đồng nghiệp - Học sinh phải tích cực, chủ động, sáng tạo việc nghiên cứu học tập -Nhà trường thường xuyên tổ chức hoạt động sinh hoạt tổ chun mơn, phát huy tích cực sinh hoạt nhóm mơn để giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi lẫn kiến thức phương pháp nhằm hỗ trợ lẫn dạy chun đề khó - Phịng GD&ĐT nên mở nhiều lớp tập huấn cho giáo viên tổ chức hội thảo chun đề khó ơn thi học sinh giỏi để giáo viên huyện trao đổi kinh nghiệm, học tập lẫn - Sở GD&ĐT nên xây dựng sở liệu bản, trang web hổ trợ cho việc dạy học theo chuyên đề Trên kinh nghiệm rút trình giảng dạy trường THCS Nhữ Bá Sỹ, huyện Hoằng Hóa, tỉnh Thanh Hố Tơi hy vọng với 19 kinh nghiệm nhỏ bé giáo viên vận dụng đem lại hiệu cao dạy ôn thi vào 10 THPT, ôn đội tuyển học sinh giỏi, ôn thi vào PTTH chuyên, tạo nên hứng thú yêu thích học sinh mơn Tốn Tơi mong nhận ý kiến đóng góp hội đồng khoa học bạn đồng nghiệp, để có thêm kinh nghiệm bổ ích, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn nhà trường Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Hiệu Trưởng Thanh Hóa, ngày 06 tháng 05 năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Lê Đăng Thành Phạm Văn Vượng DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO TT Tài liệu tham khảo Nhà xuất bản, chủ biên Sáng tạo hình học Nhà xuất Đại học quốc gia 23 chuyên đề giải 1001 tốn số học hình học Nhà xuất giáo dục Tốn nâng cao chun đề hình học Nhà xuất giáo dục Tạp chí toán học tuổi trẻ Nhà xuất giáo dục Tạp chí tốn tuổi thơ THCS Nhà xuất giáo dục 95 đề thi ôn luyện chuyên toán Nhà xuất Đại học quốc gia Tuyển chọn giới thiệu đề thi học sinh Nhà xuất Đại học 20 giỏi quốc gia Tuyển chọn đề thi vào lớp 10 chuyên Nhà xuất Đại học sư phạm Sách nâng cao phát triển Toán Tập 1,2 Nhà xuất giáo dục 10 Tổng hợp chuyên đề trọng tâm thi vào 10 chuyên Nhà xuất Đại học quốc gia DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Văn Vượng Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Nhữ Bá Sỹ Hoằng Hóa- huyện Hoằng Hóa – Tỉnh Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá Năm học xếp loại đánh giá (A, B, xếp loại C) 21 Dạy học sinh lớp nhanh chóng Phịng giáo tiếp thu xây dựng cơng thức tính dục đào tạo tổng có quy luật C 2013-2014 Một số phương pháp vẽ đường phụ cho học sinh lớp trường THCS Nhữ Bá Sỹ - TT Bút Sơn đạt kết cao Sở giáo dục đào tạo B 2015-2016 Dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp Phòng giáo dục đào tạo A 2016-2017 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh Phòng giáo dục đào tạo A 2018-2019 Phòng giáo dục đào tạo A 2020-2021 lớp giải tập tính tổng có quy luật áp dụng chúng vào toán so sánh Dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp 22 ... “phương pháp giải toán cực trị hình học? ?? sau: - Phương pháp giải cực trị hình học quen thuộc mặt hình thức có sáng tạo lời giải - Phương pháp giải cực trị hình học quen thuộc mặt hình thức chứa... cực trị hình học từ SGK ( cực trị hình học) từ đề thi lớp 10 THPT ( tốn liên qua đến cực trị hình học) * Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các phương pháp giải hình cực trị hình học Dạng... kỹ hệ thống số dạng giải tốn cực trị hình học, đồng thời cho em thấy lời giải đẹp, thú vị số toán, thấy mối tương quan hình học đại số, hình học bất đẳng thức đại số Từ gây hứng thú học tập cho