(SKKN HAY NHẤT) rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán cực trị hình học trong hệ tọa độ OXYZ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXYZ Người thực hiện: Lê Nguyên Thạch Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học THANH HỐ NĂM 2021 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC TT 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6 2.5 2.51 2.5.2 NỘI DUNG MỤC LỤC Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Bài toán bản Bài toán cực trị liên quan đến điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn một số tính chất Bài toán cực trị liên quan đến điểm thuộc đường thảng thỏa mãn một số tính chất Bài toán cực trị liên quan đến phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Bài toán cực trị liên quan đến số mặt cầu Bài toán cực trị liên quan đến số khoảng cách Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục của bản thân và đồng nghiệp Hiệu quả Bài học kinh nghiệm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trang 1 1 1 1 2 11 14 17 19 19 20 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Mục đích của việc dạy toán là hình thành phát triển tư toán học học sinh, tạo cho học sinh vốn kiến thức vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì việc xây dựng cho học sinh phương pháp học tập và tự nghiên cứu dạng toán cần thiết Trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Q́c gia thường xuất tốn phương pháp tọa độ không gian Các bài toán về tọa độ không gian đa dạng phong phú Cực trị hình học tọa độ khơng gian dạng tốn khó địi hỏi học sinh phải nắm vũng kiến thức SGK và kỹ tư sáng tạo Khi dạy chương phương pháp tọa độ không gian thân trăn trở :làm để học sinh đọc đề thi thấy có câu cực trị hình học khơng gian thì học sinh có đủ tự tin để giải được Chính vì chuẩn bị đề tài: “ Rèn luyện kỹ giải số toán cực trị hình học hệ tọa đợ Oxyz “ 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2020-2021 - Làm tài liệu học tập cho em học sinh - Phát triển ý tưởng sáng tạo toán dựa kiến thức học - Giúp học sinh hình thành nhân cách người mới đáp ứng với yêu cầu đòi hỏi của xã hội 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Hệ thống kiến thức về hệ tọa độ không gian cho học sinh lớp 12 - Giúp học sinh rèn luyện kỹ vận dụng để giải toán liên quan đến hệ tọa độ không gian ,… 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thông tin - Phương pháp thông kê,sử lý số liệu - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Có sức hấp dẫn với học sinh bạn yêu mơn tốn - Từ kiến thức học Học sinh phát triển ý tưởng sáng tạo xây dựng tốn NỢI DUNG ĐỀ TÀI: 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng kiến thức học sinh đã học ở Chương 3.Phương pháp tọa độ không gian 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sang kiến kinh nghiệm - Đối với học sinh dạng toán dựa kiến thức tổng hợp học - Hệ thống tập vận dụng sách giáo khoa chưa đề cập đến sách bồi dưỡng khơng có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Một số đề thi thử THPT Quốc gia mạng Internet có đề cập số toán song khơng có lời giải chi tiết học sinh khơng có điều kiện,phương tiện để tiếp cận - Trong qua trình dạy học lớp hệ thống tập phương pháp giải toán liên quan đến gắn tọa độ Thầy,Cô chưa ý đến có nhiều lý 2.3 Các sang kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề - Để làm sáng kiến kinh nghiệm Tôi sử dụng số toán mạng chủ yếu phải tự làm.Sau xếp tập theo trình tự hệ thống kiến thức Hình học 12 chương hành - Trong q trình làm đề tài Tơi có cho học sinh làm để điều chỉnh toán cho phù hợp với mức độ yêu cầu học sinh đề thi THPT Quốc gia 2.4 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Bài toán bản: Trong không gian với hệ Oxyz cho hai điểm A, B mặt phẳng (P).Tìm điểm M (P) cho MA+MB lớn nhất , lớn Cách giải:Tìm điểm M (P) cho MA+MB lớn nhất , lớn Xét trường hợp A,B nằm khác phía với mặt phẳng (P) Bước 1: Tìm toạ độ điểm H, K theo thứ tự hình chiếu vng góc A, B lên (P) Bước 2: Tính độ dài AH, BK từ tìm điểm chia véc tơ theo tỷ số ( Gọi điểm chia theo tỷ số ); Bước 3: Lấy điểm M bất kỳ Chứng minh (MA + MB) M trùng với N Thật vậy: Gọi A2 điểm thuộc mặt phẳng (B; (d)),A2, B khác phía (P) thoả mãn: , , B thẳng hàng .Dấu “=” xảy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét trường hợp A,B cùng phía với mặt phẳng (P) Chứng minh tương tự lớn M là giao điểm của đường thẳng AB với mp Bài toán mở rộng: Trong không gian với hệ Oxyz cho hai điểm A, B đường thẳng (d) Tìm điểm M (d) cho MA+MB lớn nhất , lớn Cách làm hoàn toàn tương tự Ví dụ 1: Cho mặt phẳng Tìm điểm cho A nhỏ nhất,biết ,  P B C B A I D M A' Lời giải Chọn D Ta thấy điểm A B nằm phía so với mặt phẳng điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng Vecto phương đường thẳng AA’ Suy phương trình đường thẳng AA’ nên ta lấy Tọa độ I giao điểm đường thẳng AA’ mặt phẳng Ta có Dấu “=” xảy điểm Ta có phương trình đường thẳng Ví dụ Cho mặt phẳng Tìm điểm cho , A C Lời giải Chọn C Ta có Đường thẳng qua điểm Phương trình lớn nhất,biết B D A B (P) M nên A,B nằm cùng một phía với mp(P) có vecto phương LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét hệ Suy Bài tập tương tự: Bài Cho mặt phẳng nhất,biết , A Tìm điểm B cho C lớn D Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A  1; 0;  ; B  0; 1;  mặt phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc  P  cho MA  MB nhỏ nhất?  18 25   7 31   11 18  ;  ;  C M  ; ;  D M   ;  ;   11 11 11  6   5 5 A M  2; 2;9  B M   2.4.2 Bài toán cực trị liên quan đến điểm thuộc mặt phẳng thỏa mãn một số tính chất Bài toán gớc: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cho: 2 T = aMA + bMB + cMC lớn (nhỏ nhất) Cách giải: Gọi G điểm thỏa mãn : T biểu diễn: = +) Nếu a + b + c > ta có Tmin +) Nếu a + b + c < ta có Tmax Ví dụ Cho mặt phẳng nhỏ nhất, biết A B MGmin MGmin , + a.GA2 + b.GB2 + c.GC2 M hình chiếu G lên (P) M hình chiếu G lên (P) Tìm điểm cho C D Lời giải Chọn A - Gọi điểm thỏa mãn: - Khi nhỏ và hình chiếu vng góc mặt phẳng nhỏ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi đường thẳng qua phương.Suy - Điểm nhận vectơ pháp tuyến có phương trình làm vectơ có tọa độ nghiệm hệ Ví dụ 2: Cho mặt phẳng Tìm điểm nhỏ nhất, biết A , B cho , C D Lời giải Chọn B - Gọi điểm thỏa mãn: - Khi đó: nhỏ nhỏ hình chiếu vng góc mặt phẳng Khi đường thẳng qua nhận vectơ pháp tuyến làm vectơ phương Suy có phương trình - Điểm có tọa độ nghiệm hệ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho A  1;1;1 , B  0;1;  , C  2;0;1  P  : x  y  z   Tìm điểm N   P  cho S  NA2  NB  NC đạt giá trị nhỏ     A N   ; ;  B N  2;0;1 C N  ;  ; 2   4 2  Lời giải Chọn A    Gọi I  x; y; z  điểm thỏa mãn IA  IB  IC  3   D N  ;  ; 2  2   x  2   x   x   x      5  y   y  y     ta có   y   I  0; ;   4    z   z   z       z        Ta có S  NA2  NB  NC  NI  IA  NI  IB  NI  IC      NI  IA2  IB  IC  NI IA  IB  IC  NI  IA2  IB  IC         Do I , A, B, C cố định nên S  NI  IA2  IB  IC nhỏ NI nhỏ hay N hình chiếu I mặt phẳng  P    Gọi  đường thẳng qua I  0; ;   4  x  t   P  :   vng góc với mặt phẳng  y   t    y   t Tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình  3  x  y  z 1  t    t   t     x  t    x  t    3   t    N  ; ;  y  t  4  y  t   5 z   t    z   t Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  có phương trình 3x  y  z   hai điểm A  1;0;  , B  2; 1;  Tập hợp điểm M  x; y; z  nằm mặt phẳng  P  cho tam giác MAB có diện tích nhỏ x  y  4z    3x  y  z   B  x  y  4z    3x  y  z   D  A  C   x  y  z  14   3x  y  z   3x  y  z    3x  y  z   Lời giải.Chọn C LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com   Ta có AB  1; 1;  ; véctơ pháp tuyến mặt phẳng  Q  : nP   3;1; 1   Vì AB.nP  suy AB song song với mặt phẳng  P  hai điểm A, B nằm phía với mặt phẳng  P  Điểm M   P  cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất, suy SABC  AB.d  M ; AB  nhỏ hay d  M , AB  nhỏ Suy M     P    Q  , với  Q  mặt phẳng qua AB vng góc với  P     Véctơ pháp tuyến  Q  là: n Q    AB, n P     1; 7;  Phương trình tổng quát mặt phẳng  Q  là: 1 x  1  y   z     x  y  z    x  y  4z    3x  y  z   Vậy quỹ tích điểm M  Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ cho điểm mặt phẳng : Đường thẳng qua vng góc với mặt phẳng cắt mặt phẳng Điểm nằm mặt phẳng cho ln nhìn góc vng độ dài lớn Tính độ dài A Lời giải.Chọn D + Đường thẳng qua trình có vectơ phương D có phương + Ta có: Do + Gọi hình chiếu lên Đẳng thức xảy Khi qua + Ta có: nên + Đường thẳng C qua , nhận phương trình Suy Mặt khác, nên Ta có: nhận làm vectơ chỉphương mà suy ra: làm vectơ phương có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi Bài tập tương tự Bài 1: Cho mặt phẳng Tìm điểm cho A nhỏ nhất, biết B C Bài 2: Cho mặt phẳng , B cho , D Tìm điểm nhỏ nhất, biết A , C D Bài 3: Trong không gian , cho mặt phẳng ba điểm , , Điểm thuộc cho nhỏ nhất.Giá trị A B C D Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , mặt phẳng Gọi thuộc cho đạt giá trị nhỏ Tính tổng A B C D 2.4.3 Bài toán cực trị liên quan đến điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn một số tính chất Ví dụ 1: Cho điểm điểm thuộc d cho A B ; ; nhỏ Khi C M bằng: D Lời giải Chọn C Ta có Điểm Ta có Do đó: Dấu “=” xảy Vậy Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình ba điểm ; ; biểu thức đạt giá trị nhỏ Khi tổng tọa độ là: A B điểm thuộc C D cho Lời giải Chọn A LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điểm Ta có Do Ví dụ 3: Trong không gian , cho ba điểm , , Gọi điểm thỏa mãn đạt giá trị nhỏ Tính A B C D Lời giải Chọn B Gọi trung điểm , suy ; Phương trình mặt phẳng trung trực : Vì nên , nằm phía so với , suy , nằm hai phía so với Điểm thỏa mãn Khi nhỏ Phương trình đường thẳng tọa độ điểm : , nghiệm hệ phương trình Do , Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ cho bốn điểm Gọi đường thẳng qua thỏa mãn tổng khoảng cách từ điểm đến lớn Hỏi qua điểm điểm đây? A B C D Lời giải Chọn A Nhận thấy A, B, C, D đồng phẳng, thuộc mặt phẳng Trường hợp 1: A, B, C phía với đường thẳng qua d: AB xứng D qua I; J trung điểm EC Lúc ta có ; Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ đường thẳng trung điểm với E điểm đối , cho hai điểm Tìm vectơ phương 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đường thẳng qua , vng góc với đường thẳng đồng thời cách điểm khoảng bé A B C D Lời giải Chọn D Gọi mp qua vng góc với , Gọi Khi đó: chứa Mp qua nên có phương trình: hình chiếu lên nên có vectơ phương có vectơ pháp tuyến Đường thẳng nên qua có phương trình tham số: Vậy Để thỏa mãn u cầu tốn qua D Tức đường thẳng qua vuông góc với DJ.Ta thử trường hợp xem hay khơng ta thấy , thỏa mãn Lúc thử tổng khoảng cách từ A, B, C đến lớn Vậy ta chọn Cách khác Dề dàng có phương trình mp có Do đằng thức đạt Vậy vtcp vtpt mp Phương trình Vậy dấu bất Bài tập tương tự Bài 1: Trong không gian tọa độ thẳng Bài 2: Trong không gian cho điểm Gọi trị nhỏ Tính tổng A B , đường cho chu vi tam giác đạt giá ? C , cho hai đường thẳng D 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Điểm cho đoạn thẳng A , B C , D Bài 3: Trong khơng gian , cho Tìm tọa độ điểm giá trị nhỏ A B Bài 4: Trong không gian thẳng , , điểm , đường thẳng đường thẳng C , cho hai điểm Tìm véctơ phương ngắn nhất: để D , đường thẳng , vng góc với đường thẳng , đồng thời cách điểm A B C đạt đường qua khoảng lớn D 2.4.4 Bài toán cực trị liên quan đến phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Ví dụ Trong không gian cho điểm M  1; 3;  Có mặt phẳng qua M cắt trục tọa độ A, B, C mà OA  OB  OC  A B C D Lời giải Chọn C Gọi  P  mặt phẳng cần tìm.Giả sử A  a;0;  , B  0; b;0  , C  0; 0; c  , x a y b z c điều kiện: abc   Phương trình mặt phẳng  P  :    OA  OB  OC  a  b  c  a  b  c    Trường hợp 1: a, b, c dấu x y z Từ    a  b  c  phương trình mặt phẳng  P  :     x  y  z  a  M  1; 3;    P      a   a  (loại) a a a y a z a Do đó: khơng tồn mặt phẳng  P  trường Trường hợp 2: a dấu b trái dấu với c x a Từ    a  b  c  phương trình mặt phẳng  P  :     x  y  z  a  M  1; 3;    P      a   a  4   P  : x  y  z   Trường hợp 3: a dấu c trái dấu với b x y z Từ    a  c  b  phương trình mặt phẳng  P  :     x  y  z  a  a a a M  1; 3;    P      a   a    P  : x  y  z   Trường hợp 4: b dấu c trái dấu với a x y z Từ    b  c  a  phương trình mặt phẳng  P  :       x  y  z  a  a a a 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com M  1; 3;    P   1    a   a  2   P  :  x  y  z   Vậy từ trường hợp có mặt phẳng thỏa mãn Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua E cắt nửa trục dương Ox, Oy, Oz A, B, C cho OG nhỏ với G trọng tâm tam giác ABC A x  y  z  11  0  B x  y  z  66=0 C x  y  z  18  D x  y  z  12  Lời giải Chọn D.Giả sử A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  , a, b, c  x y z    a b c 1 Vì mặt phẳng    qua điểm E  8;1;1 nên ta có    a b c a b c Trọng tâm G tam giác ABC G  ; ;  OG  a  b  c  3 3 Khi phương trình mặt phẳng    là: 2   1  2a  b  c  36 Ta có      2a b c 2a  b  c 2 36 Ta có  22  12  12   a  b2  c    2a  b  c   a  b  c  a  12 2 1      b  Vậy OG nhỏ  a b c 2a  b  c  36 c   Vậy phương trình mặt phẳng    x  y  z  12  Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  1;2;1 Mặt phẳng  P  thay đổi qua M cắt tia Ox, Oy , Oz A, B, C khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC A 54 B C D 18 Lời giải Chọn C.Giả sử A  a; 0;0  ; B  0; b;  ; C  0;0; c  Do cắt tia nên: a; b; c  x y z Khi đó, phương trình mặt phẳng  P  :  P  :     P  qua M  1; 2;1 a b c nên:    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b c 1 1 2  V  Dấu "  " xảy khi:        3  3 a b c a b c a b c 6V Ví dụ 4.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho  P  : x  y  z   ,  Q  : x  y  z   Lập phương trình mặt phẳng    chứa giao tuyến  P  ,  Q  cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho hình chóp O ABC hình chóp A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   Lời giải.Chọn B   Ta có n P    1; 4; 2  ; n Q    1; 2;  , d   P    Q  chọn    ud   n P  , n Q     12; 6; 6  Do O ABC hình chóp nên OA  OB  OC suy tọa   độ A  m; 0;  A  m;0;  ; B  0; m;  B  0; m;  C  0;0; m  13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com C  0;0; m  với m  Giả sử A  m;0;  ; B  0; m;  ; C  0;0; m  theo phương trình đoạn chắn ta có  ABC  : x y z   1  x  y  z  m m m m  có vectơ pháp tuyến n1   1;1;1 , lập luận    tương tự ta có vectơ pháp tuyến khác n2   1;1;1 , n3   1; 1;1 , n4   1;1; 1 Do      ABC  mặt phẳng xác định nên nhận vectơ trên,    chứa     d ta có n   ud  suy n    n1   1;1;1 Tìm điểm giao  P  x  x    Q  ta có x  xét hệ  x  y  z     y  tọa độ điểm M  0;3;3 x  y  4z   z    Phương trình mặt phẳng    : 1 x    1 y  3  1 z  3   x  y  z   Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( a ) qua điểm M ( 1; 2;3) cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng ( a ) có phương trình là: A x + y + 3z - x 14 = y z B + + - = C 3x + y + z - 10 = D x + y + 3z +14 = Lời giải Chọn A Tứ diện OABC vuông đỉnh O, M trực tâm ABC  AB  OC  AB   OCM   AB  OM   AB  CM  *  AC  OB  AC   OBM   AC  OM   AC  BM Từ  * ,  ** suy OM   ABC   **    ABC  có vecto pháp tuyến OM   1; 2;3   ABC  có phương trình:  x  1   y     z  3   x  y  3z  14  Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N  1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng  P  cắt trục Ox, Oy , Oz A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O ) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A  P  : x  y  z   B  P  : x  y  z   C  P  : x  y  z   D  P  : x  y  z   Lời giải.Chọn A x a y b z c Phương trình mặt phẳng  P  :    , A  a ;0;0  , B  0; b ;0  , C  0;0; c  N  1;1;1   P   1    (1) a b c 2   NA  NB a  b  a  1      b  1    (2)  2 ac  NA  NC  a       c        (do ABC có góc nhọn có tâm đường trịn ngoại tiếp N  1;1;1 nên ta có a ,b , c  1) 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ (1) (2) ta có: a  b  c  Vậy phương trình mặt phẳng  P  : x  y  z   Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho Mặt phẳng thay đổi qua cắt tia Khi mặt phẳng thay đổi diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A B C D Lời giải Chọn A Gọi , Phương trình mặt phẳng Mà Do (do Ta có: ) Do Vậy Dấu “=” xảy Bài tập tương tự: Bài 1.Có mặt phẳng qua điểm M  1;9;  cắt trục tọa độ điểm A , B , C khác gốc tọa độ cho OA  OB  OC A.1 B C D Bài 2.Phương trình mặt phẳng sau qua điểm M  1; 2;3 cắt ba tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ A x  y  z  18  B x  y  3z  21  C x  y  3z  21  D x  y  z  18  Bài 3.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm H  1; 2;3 Mặt phẳng  P  qua điểm H , cắt Ox, Oy, Oz A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng  P  A  P  : 3x  y  z  11  B  P  : x  y  z  10  C  P  : x  y  z  13  D  P  : x  y  3z  14  Bài 4.Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm Mặt phẳng qua cắt tia cho thể tích khối tứ diện nhỏ có phương trình là: A B C D 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.4.5 Bài toán cực trị liên quan đến mặt cầu Ví dụ1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  3;0;  , B  1; 2;  mặt cầu (S): x  ( y  2)2  ( z  1)2  25 Phương trình mặt phẳng    qua hai điểm A , B và cắt mặt cầu  S  theo đường tròn bán kính nhỏ nhất A  x  y  z  17  B  3x  y  z   C  x  y  z  13  D  3 x  y  z –11  Lời giải Chọn D   (S) có tâm I (0; 2;1) bán kính R  AB  (2; 2; 2) ; IA  (3; 2;1) r  R  IH với H hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng    Gọi K hình chiếu vng góc I lên lên đường thẳng AB qua A(3; 0; 2)     rmin  IH max  IK  H  K  IK  ( ) Khi ( )      vtpt n( )   AB,  AB, IA   12(3; 2;1) Vậy ( ) : x  y  z  11  Ví dụ Trong không gian Oxyz ,cho mặt phẳng  P  : x  y  z   mặt cầu ( S ) : ( x  3)  ( y  2)  ( z  1)  100 Tọa độ điểm M nằm mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị lớn   A M   ; ;      B M  ;  ;      29 26  11 14 11 14 13 29 7 26 13  C M   ; ;   D M  ; ;       Lời giải Chọn B Mặt cầu  S  có tâm I  3; 2;1 bán kính R  100  10  1   R   P  cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến đường trịn.Gọi H hình chiếu vng góc I  P  Tia IH cắt mặt cầu  S  Ta có d  I ,  P    Q tia đối tia IH cắt mặt cầu  S  K Khi ấy, KQ đường kính mặt cầu  S  Gọi N , J hình chiếu vng góc M  P  M KQ MQK  M nên J nằm cạnh KQ  H   J  90 )  MN  HJ  HJ  HK (Vì Ta có MJHN hình chữ nhật ( N HK  16  HQ  )  max d  M ;  P    HK  16 Dấu "  " xảy M  K  IH  qua I  3; 2;1 có vtcp  x   2t    u  n P    2; 2; 1   IH  :  y  2  2t  t   K   IH   K   2t ; 2  2t;1  t  z  1 t   16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  10 t  100 t   t   10  Ta lại có K   S  Với t  10  29 26   K  ;  ;    d  M ;  P    16 (nhận) 3 3  Với t   10  11 14 13   K   ; ;   d  M ;  P    (loại)  3 3 Ví dụ 3: Trong không gian , cho mặt cầu Xét đường thẳng , giả sử hai mặt phẳng chứa , tiếp xúc với Khi thay đổi, tính giá trị nhỏ đoạn thẳng A B C D Lời giải Chọn A Đường thẳng qua có vec-tơ phương Xét vec-tơ , ta có nên Gọi hình chiếu lên đường thẳng Suy hai tiếp tuyến Gọi giao điểm Vậy nên ta suy lên Ta có nhỏ nhỏ nhất, đó, hình chiếu Ví du 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz, 2 cho mặt cầu  S  :  x  1   y    z  hai điểm A  3; 0;  ; B  4; 2;1 Gọi M điểm thuộc mặt cầu  S  Tính giá trị nhỏ biểu thức MA MB cố định E A F I B A 2 B C Lời giải Chọn C Mặt cầu  S  có tâm I  1; 4;  , bán kính R  2 Ta có IA  42  42   2  R Gọi E  1; 2;0  trung điểm IA  E   S  Gọi F  0;3;  trung điểm IE M 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét tam giác IMF tam giác IAM có IMF  IAM Do IF IM    góc MIA chung nên IM IA MF   AM  MF AM Ta có MA 2MB  2MF  2MB  BF  42  12  12  Dấu xảy  M   BF   S  Vậy giá trị nhỏ biểu thức MA 2MB Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A  2;3;   ; B  2; 3;0   ; C  2;3;0  Gọi I  là tâm mặt cầu qua điểm A, B, C Tìm I để mặt cầu có bán kính nhỏ A I  0; 0;  B I  2;3;  C I  0;0;0  D I  2;3;  Lời giải Chọn A Ta có AB  68 , AC  , BC  52 Ta thấy AB  AC  BC  68 nên tam giác ABC vuông C Gọi J tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC J trung điểm AB J  0; 0;  Mặt cầu tâm I có bán kính R  IA  JA  17 nên mặt cầu có bán kính nhỏ thỏa mãn đề có tâm I trùng với điểm J Vậy I  0;0;  Bài tập tương tự : Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu 2  S  :  x  3   y     z  1  100 mặt phẳng  P  : x  y  z   Tìm M mặt cầu  S  cho khoảng cách từ M đến  P  lớn  29 26   11 14 13   29 26   29 26  ;  ;   B M  ; ;  C M  ; ;   D M   ; ;  3 3   3 3  3  3 3 A M  Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và hai điểm nhỏ nhất của A để tồn tại điểm B , Tìm giá trị cho C D Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba mặt phẳng , , Một đường thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng , , điểm , , Giá trị nhỏ biểu thức A B C D Bài 4: Trong không gian cho mặt cầu mặt phẳng Gọi điểm mặt cầu cho khoảng cách từ đến lớn Khi đó: A B C D 2.4.6 Bài toán cực trị liên quan đến khoảng cách 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  1; 0; 1 , B  3; -2;  ; B  3; -2;  Gọi  P  mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến  P  lớn Biết  P  không cắt BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng  P  ? A G  2; 0;3 B F  3;0; 2  C E  1;3;1 D H  0;3;1 Lời giải Chọn C.Gọi I trung điểm BC  I  2;0; 1 Theo giả thiết  P  không cắt BC nên B; C nằm phía với  P  Do d  B;  P    d  C ;  P    BH  CK  2IJ  IA  Trong H ; K ; J hình chiếu vng góc B; C; I lên mặt phẳng  P  Dấu “=” xảy  J  A hay  P   IA  Suy ra, Mặt phẳng  P  có VTPT IA   1;0;   Do đó, Phương trình mặt phẳng  P  qua A  1; 0; 1 có VTPT n   1;0;  là:  P  : x  2z    E  1;3;1   P  Ví dụ Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A  1; 2;3 , B  0;1;1 , C  1; 0; 2  Điểm M   P  : x  y  z   cho giá trị biểu thức T  MA2  2MB  3MC nhỏ Khi đó, điểm M cách  Q  : x  y  z   khoảng bằng A 121 54 B 24 C D 91 54 Lời giải Chọn D     4 1 Gọi I điểm thỏa mãn IA  IB  3IC   I  ; ;   6 6        T  IA2  IB  3IC  IM  IM IA  IB  3IC  IA2  IB  3IC  IM   T nhỏ  IM ngắn  M hình chiếu I  P  Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  1; 2; 1 Viết phương trình mặt phẳng    qua gốc tọa độ O  0;0;0  cách M khoảng lớn A x  y  z  x y B   z 1 1 C x  y  z  Lời giải Chọn A Gọi (P) mặt phẳng qua O, H hình chiếu M (P) Khi d  M ,  P    MH Ta có MH  OM  MH lớn MH  OM  H  O  OM   P  Vây    mặt phẳng qua O có VTPT  OM   1; 2; 1     : x  y  z  Chọn A Ví dụ 4: Trong không gian , cho bốn điểm Gọi mặt phẳng qua D x  y  z   M O H P tổng khoảng cách 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com từ đến lớn nhất, đồng thời ba điểm Trong điểm sau, điểm thuộc mặt phẳng A B C Lời giải Chọn A Gọi trọng tâm tam giác Suy ra: Vậy GTLN nằm phía so với D nên , đẳng thức xảy Do đó: Phương trình mặt phẳng qua nhận làm VTPT có dạng: Vậy Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , Gọi điểm cho Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đạt giá trị nhỏ A B C Lời giải Chọn D.Gọi Ta có D nên Suy tập hợp điểm thỏa mãn bán kính Vì Do đó, khoảng cách từ điểm nhỏ là mặt cầu nên có tâm khơng cắt đến mặt phẳng đạt giá trị Bài tập tương tự: Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho mặt phẳng  P  :  m  1 x  y  mz   điểm A  1;1;  Với giá trị  m khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P  lớn A B C D Bài 2: Trong không gian , cho điểm đường thẳng Mặt phẳng chứa đường thẳng cho khoảng cách từ điểm có phương trình A B C D Bài 3: Trong không gian cho điểm đường thẳng Gọi cách từ đến mặt phẳng chứa đường thẳng lớn Khoảng cách từ điểm đến lớn cho khoảng đến mặt phẳng 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A B C D Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm Gọi mặt phẳng qua cho khoảng cách từ đến lớn Khi đó, khoảng cách từ đến mặt phẳng bao nhiêu? A B C D 2.5 : Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,với bản thân và đồng nghiệp 2.5.1 Hiệu : Khi chưa thực đề tài thấy học sinh sợ và khơng biết phương hướng để giải tốn cực trị hình học khơng gian Sau triển khai đề tài tới học sinh ,học sinh đã tự tin giải các bài toán có dạng tương tự và tư một số dạng toán khác Qua đề tài giúp học sinh rèn luyện khả tư duy,phát huy tỉnh tích cực chủ đợng sáng tạo học toán Thực tế thực đề tài chất lượng học sinh nâng lên rõ rệt Lớp 12 B 12 E Số HS 30 30 Điểm 8-10 Điểm 6.5 đến 20% 12 40% 17% 10 33% Điểm đến 6.5 10 33% 11 37% Điểm Điểm đến dưới 2 7% 0% 13% 0% 2.5.2 Bài học kinh nghiệm : Việc lựa chọn phương pháp , hệ thống kiến thức rèn cho học sinh khả tư cần thiết Trong thực tế nhiều học sinh tiếp thu phương pháp nhanh việc trình bày chưa chặt chẽ giáo viên cần sửa cho học sinh cách tỉ mỉ KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ Trên số kinh nghiệm rút từ thực tế giảng dạy mơn tốn lớp 12 Trong khn khổ có hạn đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót , mong cấp lãnh đạo bạn đồng nghiệp trao đổi góp ý để đề tài đầy đủ hoàn thiện Mong đề tài: “ Rèn luyện kỹ giải số toán cực trị hình học hệ tọa đợ Oxyz Được các em học sinh và đồng nghiệp đón nhận áp dụng quá trình dạy và học toán Xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Ngày 20 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm mình, khơng chép nội dung người khác Người viết 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lê Nguyên Thạch Mẫu (2) DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả:Lê Nguyên Thạch Chức vụ đơn vị công tác:Giáo viên trường THPT Dân tộc nội trú Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Rèn luyện kỹ chứng Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Ngành giáo dục C 2013-2014 Ngành giáo dục B 2014-2015 Ngành giáo dục C 2017-2018 Ngành giáo dục C 2018-2019 minh đẳng thức Đại số tổ hợp Các yếu tố tam giác khảo sát hàm số Rèn luyện kỹ tính giới hạn dãy số truy hồi Rèn luyện kỹ đọc đồ thị 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com * Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ tác giả tuyển dụng vào Ngành thời điểm C TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo,Nguyễn Mộng Hy (tổng chủ biên), SGV Hình học 10, NXBGD, 2006 Trần Văn Hạo,Nguyễn Mộng Hy (tổng chủ biên), SGV Hình học 11, NXBGD, 2006 Trần Văn Hạo,Nguyễn Mộng Hy (tổng chủ biên), SGV Hình học 12, NXBGD, 200 Đề thi THPT Quốc gia 2017-2021 Đề thi thử trường THPT từ 2017-2021 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... thiết Trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Q́c gia thường xuất tốn phương pháp tọa độ không gian Các bài toán về tọa độ không gian đa dạng phong phú Cực trị hình học tọa độ khơng... gian thì học sinh có đủ tự tin để giải được Chính vì chuẩn bị đề tài: “ Rèn luyện kỹ giải số toán cực trị hình học hệ tọa đợ Oxyz “ 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh đạt... Lời giải Chọn C Ta có Điểm Ta có Do đó: Dấu “=” xảy Vậy Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình ba điểm ; ; biểu thức đạt giá trị nhỏ Khi tổng tọa độ là: