(SKKN 2022) rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác tính chất hình học để giải một số bài toán cực trị số phức

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Người thực hiện: Mai Thị Nhung Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình giải tích lớp 12 tốn cực trị số phức tốn khó học sinh, nhiều em học lực giỏi tỏ lúng túng.Trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT lại hay có dạng toán Làm để học sinh yêu thích làm tốt tốn phần điều trăn trở tâm phải làm Chính q trình giảng dạy tơi dẫn dắt em khai thác số tính chất hình học để giải toán cực trị số phức Chuyển từ toán giải tích tốn hình học, khai thác số tính chất hình học phẳng để giải Từ giúp em có cách nhìn khác vế toán này, đồng thời tạo cho em niềm u thích, say mê với tốn cực trị nói riêng tốn hình học nói chung Chính vậy, tơi chọn đề tài: "Rèn luyện cho học sinh kỹ khai thác tính chất hình học để giải số toán cực trị số phức" Trong đề tài này, tơi đưa sáu tốn cực trị dựa vào tập hợp điểm biểu diễn số phức, với dạng tập, tơi đưa ví dụ cụ thể mức độ từ dễ đến khó giúp cho học sinh nhận thấy hướng đi, kĩ giải tốn cực trị hình học từ rèn luyện kỹ năng, phát triển tư sáng tạo cho em 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh làm toán cực trị số phức 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu, tổng kết số dạng toán cực trị số phức có dùng tinh chất hình học để giải 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Từ sáng kiến: "Rèn luyện cho học sinh kỹ khai thác hình chiếu điểm đường thẳng để giải số tốn cực trị hình học" (năm 2012), có liên quan đến điểm nằm đường tròn( năm 2019) vận dụng sang toán số phức NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm +) Số phức z = a + bi +) Số phức liên hợp +) Số phức z = a + bi +) Số phức liên hợp a, có phần thực z = a − bi phần ảo cần nhớ có điểm biểu diễn z = a − bi b, i = −1 i = −1 M (a; b) có điểm biểu diễn N (a; −b) y b z = a + bi O z = a − bi −b M ( a; b ) a x N (a; −b) Hai điểm M Tính chất: N đối xứng qua trục hoành Ox z = z; z + z ′ = z + z′; z − z ′ = z − z ′; z z = ; z z ′ = z.z ′;  z ′ ÷  z ′ z.z = a + b +) Hai số phức thực thực ảo ảo +) Mô đun số phức z là: z z = z′ z′ z z ′ = z z ′ Tính chất: z = a + b2 ; z − z′ ≤ z + z′ ≤ z + z ′ z − z ′ ≤ z − z′ ≤ z + z ′ ; +) Các phép toán: - Phép cộng hai số phức: Cho số phức z1 = a + b.i z2 = c + d i Khi z1 + z2 = ( a + b.i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i - Phép trừ hai số phức : - Phép nhân hai số phức : z1 − z2 = ( a + b.i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i z1.z2 = ( a + b.i ) ( c + d i ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i k z = k (a + bi ) = ka + kbi - Phép chia hai số phức z1 z1.z2 z1.z2 ( a + b.i ) ( c − d i ) ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i ac + bd bc − ad = = = = = + i z z z c2 + d c2 + d c + d c2 + d z2 +) Một số quỹ tích nên nhớ x, y Biểu thức liên hệ ax + by + c = Quỹ tích điểm M ∆:ax + by + c = (1) (1)Đường thẳng (2) Đường trung trực đoạn AB với z − a − bi = z − c − di (2) ( A ( a , b ) , B ( c, d ) ) ( x − a) + ( y − b) = R2 Đường tròn tâm I ( a; b ) , bán kính R z − a − bi = R ( x − a) + ( y − b) ≤ R2 Hình trịn tâm I ( a; b ) , bán kính R z − a − bi ≤ R r ≤ ( x − a ) + ( y − b) ≤ R2 Hình vành khăn giới hạn hai đường r ≤ z − a − bi ≤ R tròn đồn tâm  y = ax + bx + c ( c ≠ 0)   x = ay + by + c Parabol ( x + a) ( 1) b2 ( y + c) + I ( a; b ) r, R d2 = 1( 1) Elip z − a1 − b1i + z − a2 − b2i = 2a ( 2) ( x + a) Đoạn AB Hypebol b2 ( y + c) − d2 , bán kính =1 Elip 2a > AB , A ( a1 , b1 ) , B ( a2 , b2 ) 2a = AB 2.2 Thực trạng học sinh toán cực trị số phức Đây dạng tập mức độ vận dụng cao đề thi THPTQG, tốt nghiệp THPT nên thường gây khó khăn cho học sinh 2.3 Sử dụng tính chất hình học để giải số toán cực trị số phức Bài toán 1: Sử dụng bất đẳng thức độ dài đoạn thẳng, tích vơ hướng hai vec tơ Một số tính chất hình học: +) Cho điểm A, B, C ln có : MA + MB ≥ AB , dấu xảy ba điểm A, B, M thẳng hàng M nằm A, B MA − MB ≤ AB , dấu xảy ba điểm A, B, M thẳng hàng M nằm đoạn AB r r rr r r − a b ≤ a.b ≤ a b +) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề Tham Khảo 2022) S Gọi z tập hợp tất số phức Xét số phức P = z1 − 5i − z2 − 5i A 16 z1 , z2 ∈ S w= cho số phức z1 − z = thỏa mãn | z | −z có phần thực , giá trị lớn B 20 C 10 D Lời giải Giả sử Ta có: w= z = x + yi = | z | −z ( , với ) x + y − x + yi Theo giả thiết, ta có: Gọi x, y ∈ ¡ = điều kiện x2 + y − x ( ) x + y −x + y 2 x2 + y − x ( x < | z | −z ≠ ⇔  y ≠ ) x2 + y − x + y = 2 i z1 − z2 = ⇔ ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = P = z1 − 5i − z2 − 5i = x12 + ( y1 − ) − x22 − ( y2 − ) = −10 ( y1 − y2 ) 2 2 ⇒ P ≤ 10 y1 − y2 = 10 − ( x1 − x2 ) ≤ 20 Dấu ) x + y −x + y z1 = x1 + y1i; z2 = x2 + y2i ⇒ x12 + y12 = 16; x22 + y22 = 16 Ta có: "=" ( y 1 ⇔ = ⇒ x + y = 16 2 8 x +y Xét + xảy Ví dụ 2: (Đề tn 2021-lần 1) x1 = x2 y2 − y1 = 32 z1 ; z2 Xét hai số phức 3z1 + z2 − 5i A − 19 thỏa mãn z1 = 1; z2 = z1 − z2 = Giá trị lớn B + 19 C −5 + 19 D + 19 Lời giải Chọn B Gọi B C A điểm biểu diễn số phức điểm biểu diễn số phức điểm biểu diễn số phức Ta có: z2 z1 ; ; ω = 3z1 + z2 ; điểm M = ( 0;5) uuur uuu r uuur OA2 + OB − AB OC = 3OA + OB ⇒ OC = 9OA2 + OB + = 19 ⇒ ω = 19 Ta nhận thấy Lúc nằm M MC ≤ OM + OC P = 3z1 + z2 − 5i lớn ⇔ MC lớn ⇔ O, M , C thẳng hàng ( O C ) MaxP = OM + OC = + 19 Suy Bài tốn 2: Sử dụng tính chất vể khoảng cách từ điểm đến điểm thuộc đường thẳng, đoạn thẳng , tia Một số tính chất: +) Cho đường thẳng d, điểm M thuộc d, điểm O không thuộc d H hình chiếu d (O; d ) = OH ≤ OM O d Khi Suy ra: d (O; d ) lớn OM M hình chiếu O d - OM nhỏ OH M hình chiếu O d Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Xét số phức A z, w z + 2- 2i = z - 4i thỏa mãn B z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ ) Đặt w = iz +1 C Lời giải 2 z điểm biểu diễn số phức Giá trị nhỏ D M ( x; y) w z + 2- 2i = z - 4i Þ ( x + 2) +( y- 2) = x2 +( y- 4) Û x + y = Þ Từ tập hợp điểm M D : x + y = đường thẳng P = w = iz +1 = i ( z - i ) = z - i = MN Ta có N ( 0;1) với Pmin = MN = d( N , D ) = 0+1- Dựa vào hình vẽ ta thấy Ví dụ 2: Xét số phức z = z = z - 1+ 2i thỏa mãn Giá trị nhỏ biểu thức P = ( 1+ 2i ) z +11+ 2i A B z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ ) Đặt 2 C Lời giải M ( x; y) điểm biểu diễn số phức D z 2 z = z - 1+ 2i Þ x2 + y2 = ( x - 1) +( - y + 2) Û 2x + 4y = Þ Từ tập hợp điểm M đường D : 2x + 4y = thẳng P = ( 1+ 2i ) z +11+ 2i = 1+ 2i z + Ta có 11+ 2i = z + 3- 4i = 5MN 1+ 2i Pmin Û MN Þ Pmin = 5.d( N , D ) = N ( - 3;4) với 2.( - 3) + 4.4- 20 Dựa vào hình vẽ ta thấy Ví dụ (Chun - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho số phức z = z = z + 2i thỏa mãn : P = z −i + z −4 Giá trị nhỏ biểu thức A B C 3 D Lời giải M ( x; y ) Gọi điểm biểu diễn số phức z z = z + 2i ⇔ y + = 0, Ta có y + = tức biểu diễn hình học A(0;1) B (4;0) số phức thỏa mãn giả thiết đường thẳng Xét điểm P = z − i + z − = MA + MB A, B y +1 = MA + MB Dễ thấy phía với đường thẳng nên A′(0; −3) y + = BA′ A nhỏ đối xứng với qua đường thẳng MA + MB Do nhỏ BA′ = Ví dụ 4: (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z + − i + z − − 7i = Gọi z −1 + i Tính P= A + 73 m, M z thỏa mãn giá trị nhỏ giá trị lớn P = m + M B P= P = + 73 C + 73 D P = 13 + 73 Lời giải Gọi A z điểm biểu diễn số phức , E ( −2;1) , F ( 4; ) AE + A F = z + − i + z − − 7i = Từ EF Gọi H hình chiếu P = NH + NF = Suy Bài tập áp dụng Bài 1: số phức bằng: z N lên EF EF = , ta có N ( 1; −1) nên ta có  3 H − ; ÷  2 A thuộc đoạn thẳng + 73 iz − = z − − i thỏa mãn z có giá trị nhỏ Phần thực số phức z A B − C Bài (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi − z = a + bi D ( a, b∈ R) số phức z - 1- 2i + z + - 3i = 10 thỏa mãn điều kiện có mơ đun nhỏ Tính S = 7a + b? A Bài 3.Cho số phức z1 B z gọi z1 z2 , C D hai nghiệm phức phương trình −12 \ z + 8i = ( có phần thực dương) Giá trị nhỏ biểu thức P = z − z1 + z2 − z + z + z1 + m q , z2 m n+p q viết dạng số nguyên tố) Tổng m+n− p−q (trong n, p ∈ ¥ ; A B C D Bài tốn : Sử dụng tích chất khoảng cách điểm liên quan đến điểm thuộc đường tròn Nhận xét: Thường áp dụng với toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức z nằm đường trịn Tính chất hình học : +) Cho đường trịn (C) tâm O, bán kính R điểm I cố định Một điểm M thay đổi (C) Khi minMI = OI – R , maxMI = OI + R Do tập hợp điểm X ( x; y ) ( I −1; − lượt có tâm ) ( Giả sử X1, X Ta có M trùng với điểm giao đoạn mãn đề) Vậy P OG w hai đường trịn (C1) (C2) lần , có bán kính R =1 tiếp xúc với nên cho dù điểm OX ≥ − R = − = ) ) hai điểm biểu diễn OI = OG = X1 ( G 1; − L 0; − trục tung điểm biểu thị số phức X w1 ; w thuộc đường trịn (C1) hay (C2) ta ln có P = w1 + w = OX + OX ≥ giao đoạn OI với đường tròn (C1) với đường tròn (C2) Khi MinP = Ví dụ (Trường Thpt Hàm Rồng 2019) , dấu “=” xảy chẳng hạn X2 trùng với w1 − w = X X = PM = (thoả z , z1 , z2 Cho số phức thỏa mãn P = z − z1 + z − z2 A z1 − − 5i = z2 − = z + 4i = z − + 4i Tính z1 − z2 đạt giá trị nhỏ B C 41 D Lời giải Gọi A z1 điểm biểu diễn số phức Suy A ( C1 ) thuộc đường tròn tâm I1 ( 4;5 ) , R = Gọi B z2 điểm biểu diễn số phức Suy B ( C2 ) thuộc đường tròn I ( 1;0 ) , R = M ( x; y ) Gọi z = x + yi điểm biểu diễn số phức z + 4i = z − + 4i ⇔ x − y = Theo giả thiết ( d) x− y−4 = Suy M thuộc đường thẳng tâm ( C2 ' ) Gọi ( C2 ) I ' ( 4; −3) , R = có tâm đường trịn đối xứng với đường trịn I ( 1;0 ) , R2 = qua đường thẳng d Gọi đường thẳng d Ta có B' tâm điểm đối xứng với đối xứng với B qua P = z − z1 + z − z2 = MA + MB = MA + MB ' ≥ AB ' = I1I '− R1 − R2 = uuur uuuur I1 A = I1I ' A, B ', I1 , I ', M thẳng hàng Khi Dấu = xảy uuuur uuuuu r I B ' = I ' I 2 A ( 4; ) B ' ( 4; −2 ) ⇒ B ( 2;0 ) AB = suy suy z1 − z2 = Vậy Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho z − + 3i = z1 , z2 trị lớn hai số phức thỏa mãn z1 + z2 A B phần thực z1 A z , z1, z2 4 C D thay đổi thỏa mãn điều kiện sau: z2 , Tìm giá trị nhỏ biểu thức B C D Bài (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Xét số phức z + − 3i = 2 mãn 2+2 iz + 2i + = 2, phần ảo T = z - z1 + z - z2 Giá Bài 2: Cho số phức z1 − z2 = Tính P = 2a + b z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) z + + 6i + z − − 2i đạt giá trị lớn thỏa A P=3 Bài 4: Cho z1 − z2 = B P = −3 C P =1 D P=7 − 3i + iz = z − − 9i z1 , z2 nghiệm phương trình thỏa mãn z1 + z2 Giá trị lớn A 56 B 28 C D Bài tốn 4: Sử dụng tính chất khoảng cách từ điểm đến điểm thuộc elip, parapol Ví dụ minh họa: Ví dụ (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hai số phức z ω = a + bi z+ + z− =6 thỏa mãn ; 5a − 4b − 20 = Giá z −ω trị nhỏ A 41 ( B F1 − ;0 Đặt thuộc elip có ) F2 , ( ;0 ) 41 C Tập hợp điểm D 41 Lời giải , F1F2 = 2 2a = , độ dài trục lớn x2 y2 ( E) + = 2b= trục nhỏ phương trình tắc  − ≤ x ≤ M ( x; y) ∈ ( E ) ⇒    −1 ≤ y ≤ Có P = z + + i + z − 3 + 2i + z − 3i Có = ≥ ( x + 3) ( ) 2 + ( y + 1) + x + + ( y + 1) + ( x − 3) ( ) + ( y + 2) + x2 + ( y − 3) 2 3 − x + ( y + 2) + ( y− 3) , độ dài ≥ ( ) x + + 3 − x + ( 2y + 3) + y − ( 1) (Bất đẳng thức tam giác) = 4y2 + 12y + 84 + 3− y f ( y) = y2 + 3y + 21+ 3− y Đặt f ′ ( y) = 2y + y + 3y + 21 −1≤ y ≤ , với −1 Có f ′ ( y) = ⇔ y2 + 3y + 21 = 2y + ( 1) , Có  y = ( nhaä n) ⇔ −1≤ y ≤ 1⇒ ( 1) ⇔ 3y2 + 9y − 12 =  y = −4 ( loaïi ) f ( −1) = 4+ 19 f ( 1) = 12 Có , Min f ( y) = 12 ⇒ y∈ −1;1 Suy P ≥ 12  x = 0, y =   x + y+ = >0  y + ( ) ⇒ x = 0, y = 3 − x  Đẳng thức xảy x = 0, y = P = 12 Thử lại: Khi có x = 0, y = MinP = 12 Vậy Bài toán 5: sử dụng tốn miền giá trị Ví dụ minh họa: Ví dụ 1( chuyên thái bình 2022) Cho số phức z z+ z +2 z− z =8 thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhất, P = z − − 3i giá trị nhỏ biểu thức Giá trị M +m A 10 + 34 B 10 10 + 58 C + 58 D Lời giải Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z+z +2 z−z =8⇔ x +4 y =8⇔ x +2 y = Ta có Trong mặt phẳng phức, gọi tập hợp điểm M z điểm biểu diễn hình học số phức Khi hình bình hành E ( 3;3) P = z − − 3i = EM với P = EH = d ( E , AB ) = max P = ED = 58 Vậy M ABCD với A ( 0; ) , B ( 4;0 ) C ( 0; −2 ) , với H hình chiếu vng góc E lên đoạn M z AB Ví dụ 2: Xét số phức số phức liên hợp có điểm biểu diễn z ( + 3i ) N N′ số phức liên hợp có điểm biểu diễn Biết z + 4i − N′ bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ A M + m = + 58 34 , D ( −4;0 ) B C Lời giải M′ Số phức M M′ N , D , 13 , z = x + yi Gọi Ta đặt x, y ∈ ¡ , Khi z = x − yi M ( x; y ) M ′ ( x; − y ) , , w = z ( + 3i ) = ( x + yi ) ( + 3i ) = ( x − y ) + ( 3x + y ) i ⇒ N ( x − y;3 x + y ) w = z ( + 3i ) = ( x − y ) − ( 3x + y ) i ⇒ N ′ ( x − y; −3x − y ) Ta có M Khi N′ Ox M′ N ; cặp đối xứng qua trục Do đó, yM = y N để chúng tạo thành hình chữ nhật yM = y N ′ Suy y = 3x + y y = −3 x − y M Vậy tập hợp điểm hai đường thẳng: d1 : x + y = d : 3x + y = P = z + 4i − = ( x − 5) + ( y + 4) Đặt Ta có Pmin ⇔ MAmin ⇔ MA = d ( A; d1 ) d ( A; d ) = Ví dụ 3: Cho số phức 34 z z − + 3i nhỏ A Pmin = d ( A; d1 ) = , MA = d ( A; d ) thỏa mãn B 24 d ( A; d1 ) = Mà giá trị lớn nhất, bằng: 26 , M ,m Gọi M m với A ( 5; −4 ) z + z + z − z ≤ 12 Giá trị 28 P = MA C D 20 Lời giải z = x + yi ; x; y ∈ ¡ Gọi z + z + z − z ≤ 12 ⇔ x + y ≤ (1) Xét P = z − + 3i = ( x − 4) + ( y + 3) ( 2) Ta có: z = x + yi ; x; y ∈ ¡ Tập hợp điểm biểu diễn (tính biên) hình thoi thỏa mãn (1) miền ABCD A ( 0;3) B ( −2;0 ) C ( 0; −3) D ( 2;0 ) với ; x + y = đường thẳng I ( 4; −3) bán kính P Điểm biểu diễn R=P≥0 ; z ; tạo thỏa mãn (2) đường tròn tâm đạt min, max bán kính đường trịn đạt min, max xét tương giao với miền hình thoi ABCD Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm đường tròn tiếp xúc m= 3x − y − = cạnh CD: 3.4 + 2.3 − +2 tương ứng có A ( 0;3) đỉnh hình thoi Do = 12 13 Điểm giao xa M = 42 + 62 = 13 ⇒ M m = 24 Bài tập áp dụng z + z + z − z = z M,m Bài Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn giá trị P = z − − 2i A = M + m nhỏ Đặt Mệnh đề sau đúng? A∈ 34; A∈ 6; 42 A∈ 7; 33 A ∈  4;3 ( A ) B ( ) C ( ) ) D z +z +2z - z = Bài Cho số phức z thỏa mãn Gọi M ,m giá trị lớn nhất, P = z - - 3i nhỏ biểu thức Tính M + m A 10 + 34 B 10 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm C 10 + 58 D + 58 Để kiểm tra kết đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương hai lớp 12G 12A, lớp 12G chưa giới thiệu kỹ sử dụng tính chất hình học để giải tốn, cịn lớp 12A học với hình thức kiểm tra trắc nghiệm thời gian 30 phút với câu hỏi Bài Trong số phức phần ảo 10 A z z − + i = z + − 2i thỏa mãn B , số phức − C z có mơ đun nhỏ có − D 10 Bài Cho số phức w , z w +i = thỏa mãn 5 5w = ( + i ) ( z − ) Giá trị lớn P = z − − 2i + z − − 2i biểu thức A B Bài 3: Cho hai số phức z1 , z2 + 13 −1 Bài Cho số phức Bài 5.Giả sử z1 − z2 = A z1 , z2 Bài 6.Cho số phức Tính S = a+b B B z = a + bi C iz2 − + 2i = 2 +1 D 2 −1 \ Giá trị nhỏ biểu thức (với 18 số nguyên tố) Tính C S = 11 % 24 S = a+b D ( z − ) ( + zi ) 17 ? số thực Biết C 20 − 22 D z + + z − = 10 z −6 thỏa mãn S = −5 Điểm < Số lượng z1 + z2 20 − 21 ( a, b∈ ¡ ) Sỹ số hai số phức thỏa mãn A B Kết thu sau: Lớp a, b a b Giá trị nhỏ − 21 D thay đổi thỏa mãn 20 +1 13 z +1− i = A = z − + 5i + z + − 7i A T = z1 + z2 B z C z1 + − i + z1 − − 7i = thoả mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 53 C S = −3 Điểm ∈[5; 8) Số lượng % − 22 lớn D S =5 Điểm ≥ Số lượng % 12G 41 25 61% 14 34% 5% 12A 45 4,7% 21 48,8% 20 46,5% Như ta thấy rõ hiệu sáng kiến học sinh Giúp cho em làm toán cực trị số phức Từ thêm u thích mơn tốn đạt kết cao kì thi tốt nghiệp THPT Bsắp tới KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua đề tài thu số học: - Khắc sâu cho học sinh kiến thức với hệ thống cô động - Rèn luyện cho học sinh tập trung, kết nối kiến thức biết để giải toán, linh hoạt việc xử lí tốn - Phát huy tư sáng tạo rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, chặt chẽ làm Sau hoàn thành đề tài áp dụng vào giảng dạy nhận kết đáng phấn khởi từ học sinh Các em yêu thích phần cực trị số phức làm nhiều dạng đề thi thử trường, sở nước, đề thi giáo dục đào tạo năm trước Tạo cho em học sinh niềm yêu thích, say mê học tập chất lượng học tập nâng lên 3.2 Kiến nghị Với mong muốn tạo cho học sinh say mê học tập, vận dụng linh hoạt tính chất hình học giải tốt toán cực trị số phức thời gian có hạn nên phạm vi viết giải số tốn Mong bạn đồng nghiệp góp ý để sáng kiến hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 01 tháng năm2022 Tơi xin cam đoan skkn viết, không chép nội dung người khác Ngưởi viết SKKN Mai Thị Nhung TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa hình học lớp 10 Sách tập hình học lớp10 Các tập nhóm tốn Strong, nhóm VDC Đề thi thử TNQG trường trường nước DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Mai Thị Nhung Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên- Trường THPT Ba Đình TT TT \ Tên đề tài SKKN Tên đề tài SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ Rèn luyện cho học sinh kỹ khai thác đơn vị ảo để giải toán Rèn luyện cho học sinh kỹ khai thác hình chiếu điểm đường thẳng để giải số tốn cực trị hình học Rèn luyện cho học sinh kỹ sử dụng tích phân để giải số toán thực tế Rèn luyện cho học sinh kỹ khai thác tính chất hình học để giải số toán cực trị Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Sở GD&ĐT Thanh Hóa C Sở GD&ĐT Thanh Hóa B Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2011-2012 Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2018-2019 B 2019-2020 Sở GD&ĐT Thanh Hóa Năm học đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại 2007-2008 2009-2010 ... đường thẳng để giải số tốn cực trị hình học Rèn luyện cho học sinh kỹ sử dụng tích phân để giải số tốn thực tế Rèn luyện cho học sinh kỹ khai thác tính chất hình học để giải số tốn cực trị Cấp... đề tài SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ giải toán hình học khơng gian phương pháp tọa độ Rèn luyện cho học sinh kỹ khai thác đơn vị ảo để giải toán Rèn luyện cho học sinh kỹ khai thác hình chiếu... dắt em khai thác số tính chất hình học để giải toán cực trị số phức Chuyển từ tốn giải tích tốn hình học, khai thác số tính chất hình học phẳng để giải Từ giúp em có cách nhìn khác vế toán này,