(SKKN 2022) Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số khi đạo hàm được cho bằng đồ thị nhằm phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh

MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trang 01 01 01 01 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1.Thuận lợi 2.2.2 Khó khăn 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1 Mục tiêu của giải pháp 2.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 2.3.2.1 GP1 :Ôn tập và bổ sung kiến thức cơ bản cần sử dụng 2.3.2.2 GP2: Nhận dạng và tìm lời giải các bài toán cơ bản 2.3.2.3 GP3: Phân tích và tìm lời giải một số bài toán tổng hợp 2.3.2.4 GP4:Xây dựng hệ thống bài tập tự luyện và nâng cao 2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 02 02 02 02 02 03 03 03 03 05 11 14 16 3 KẾT LUẬN 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị 18 18 18 0 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài Ở trường phổ thông “ Dạy toán là dạy hoạt động toán học” Học sinh phải hoạt động tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân, trong đó hoạt động giải bài tập Toán là hoạt động quan trọng và là mục đích đầu tiên mà học sinh cần hướng tới Tuy nhiên đứng trước một vấn đề mới lạ thì việc vận dụng những kiến thức , kỹ năng nào sử dụng nó ra sao để giải quyết luôn là một câu hỏi lớn mà việc trả lời được câu hỏi đó là một vấn đề khó khăn đối với mỗi học sinh Tính đơn điệu của hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình phổ thông nói chung và chương trình lớp 12 nói riêng Nội dung này cũng xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi tốt nghiệp THPT và các kỳ thi khác Bên cạnh những dạng toán quen thuộc đã được học trong sách giáo khoa thì những bài toán về dạng này đã được biến hóa đa dạng, phong phú ở nhiều mức độ khác nhau mà chương trình sách giáo khoa chưa đề cập hoặc đề cập chưa nhiều Trong đó những bài toán xét tính đơn điệu của hàm số mà “đạo hàm cho bằng đồ thị” là một trong các dạng toán như vậy Nhằm giúp học sinh có cái nhìn rõ ràng hơn về vấn đề này cũng như có phương pháp và định hướng tốt trong việc tìm lời giải các bài toán nói trên Tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số khi đạo hàm được cho bằng đồ thị nhằm phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh “ Để nghiên cứu và dạy thực nghiệm tại trường THPT Tĩnh Gia 3 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ ra nội dung phương pháp đã trang bị cho học sinh để giải các bài toán về tính đơn điệu của hàm số khi đạo hàm được cho bằng đồ thị Trong đó đã chia ra các dạng toán cụ thể và phương pháp tìm lời giải cho mỗi dạng cũng như hướng dẫn học sinh phân tích, tìm lời giải cho các bài toán tổng hợp Trong đó đề cao khả năng tự tìm và phát hiện hướng giải quyết vấn đề của học sinh Từ đó phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số khi giả thiết đạo hàm được cho bằng đồ thị và các phương pháp giải các bài toán đó 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải Tích 12 và các tài liệu có liên quan ( Nguồn internet) - Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm - Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh 1 - Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề liên quan đến nội dung đề tài - Phương pháp thống kê, phân tích số liệu: Phân tích kết quả học tập của học sinh thông qua trao đổi trực tiếp và bài kiểm tra khảo sát 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm Nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học,cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng phát triển năng lực.” [6] Chính vì vậy việc đổi mới phương thức và phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo đồng thời rèn luyện phương pháp tự học, tự nghiên cứu của học sinh là một nhiệm vụ quan trong của người Giáo viên Từ những cơ sở đã nói trên tôi đã mạnh dạn áp dụng sáng kiến của mình vào giảng dạy ở Trường THPT Tĩnh Gia 3 nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học 2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1.Thuận lợi: Tính đơn điệu của hàm số là một nội dung quan trọng và có thời lượng học nhiều trong chương trình lớp 12 Chính vì vậy đa số các em đã nắm vững lý thuyết và giải được các bài toán cơ bản Trong các đề thi tốt nghiệp THPT hiện nay các câu hỏi về tính đơn điệu của hàm số được ra một cách đa dạng, đặc sắc, khai thác mọi ngóc ngách của vấn đề đã giúp các em có cái nhìn đa chiều về nó 2.2.2 Khó khăn: Chương trình sách giáo khoa hiện nay đa số các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số giả thiết đạo hàm được cho dưới dạng công thức (hàm hiện) chính vì vậy khi gặp những bài toán đạo hàm cho dưới dạng hàm ẩn học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc nhận dạng và khai thác giả thiết của bài toán Đặc biệt với những bài toán mà “ Đạo hàm cho bằng đồ thị “ để nhận dạng và khai thác được giả thiết của bài toán học sinh cần có những kiến thức và kỹ năng liên quan như: Đọc và nhận dạng đồ thị, biết được mối liên hệ giữa đồ thị hàm số y = f(x) với dấu của f(x), giữa đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) với dấu của biểu thức f(x) – g(x) Mà những kiến thức này thường không được trang bị đầy đủ trong chương trình sách giáo khoa hiện nay hoặc có trong chương trình của nhiều khối khác nhau nó khiến cho các em có lực học trung bình và yếu gặp nhiều khó khăn trong việc tiếp cận Ở trường THPT Tĩnh Gia 3, tôi được phân công dạy một số lớp ban KHXH Trong các lớp này đa số các em có khả năng tiếp thu và hứng thú học 2 tập với môn Toán chưa cao Đối với bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, các em mới giải được các bài toán mà đạo hàm được cho bằng công thức, còn đối với các bài toán khi đạo hàm cho bằng đồ thị các em thường gặp nhiều khó khăn ở các khâu như: Xét dấu của đạo hàm f’(x) khi biết đồ thị của hàm số y =f’(x) Xét dấu của đạo hàm f’(x) - g’(x) khi biết đồ thị của các hàm số y = f’(x), và y = g’(x) Chính vì vậy khi gặp các bài toán mà đạo hàm cho bởi đồ thị các em chưa có tư duy về cách giải rõ ràng 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1 Mục tiêu của giải pháp Để khắc phục những khó khăn nói trên tôi đã tiến hành nhưng giải pháp sau: Ôn tập và bổ sung hệ thống kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số và mối liên hệ giữa đồ thị đạo hàm và dấu của đạo hàm Nhận dạng và tìm lời giải cho các bài toán cơ bản về xét tính đơn điệu của hàm số khi đạo hàm được cho bằng đồ thị Từ các bài toán cơ bản phân tích và tìm lời giải cho các bài toán tổng hợp Từ đó đưa ra định hướng phát hiện và tìm lời giải cho các bài toán khi giả thiết đạo hàm được cho bằng đồ thị Xây dựng hệ thống bài tập tự luyện nhằm nâng cao khả năng tự học của học sinh 2.3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 2.3.2.1 Giải pháp 1 Ôn tập và bổ sung kiến thức cơ bản cần sử dụng Giải pháp này nhằm bổ sung cho các em những kiến thức cơ bản cần sử dụng khi thực hiện sáng kiến này 2.3.2.1.1.Định lí về tính đơn điệu của hàm số Định lí 1.[1] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K ( K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) + Nếu f   x   0, x  K thì hàm số y = f ( x) đồng biến trên K + Nếu f   x   0, x  K thì hàm số y = f ( x) nghịch biến trên K Định lí mở rộng.[1] Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K Nếu   f   x   0, x  K (hoặc f   x   0, x  K ) và f  x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y = f ( x) đồng biến (nghịch biến) trên K 2.3.2.1.2 Mối quan hệ giữa phương trình và bất phương trình Định lí 2.[5] “Hàm số f  x  liên tục trên  x1; x2  và phương trình f  x   0 vô nghiệm trên  x1; x2  Khi đó f  x  không đổi dấu trên  x1; x2  ” Chứng minh: Giả sử f  x  đổi dấu trên  x1; x2  suy ra tồn tại a, b   x1; x2  , a  b mà f ( a) f (b)  0 Do f  x  liên tục trên  a; b  nên f  x  có nghiệm trên (a; b): Trái giả thiết Từ đó ta có điều phải chứng minh Nhận xét Như vậy, nếu biểu thức f  x  liên tục trên khoảng 2 nghiệm liên tiếp x1  x2 thì f  x  không đổi dấu trên  x1; x2  Do đó để xét dấu f  x  trên 3  x1; x2  ta chỉ cần thử một giá trị cụ thể trên  x1; x2  Khi đó việc xét dấu f  x  trên tập xác định được quy về giải phương trình f  x   0 trên tập xác định.Từ đó ta giải được bất phương trình liên quan đến xét dấu của f  x  2.3.2.1.3.Tư duy về tính đơn điệu của hàm số dựa trên đồ thị của đạo hàm Dạng 1 Từ đồ thị y  f   x  nhận biết tính đơn điệu của hàm số y  f  x  Cho hàm số y  f   x  có đồ thị (như hình vẽ ) dựa vào đồ thị ta chỉ ra được nghiệm phương trình f   x   0 và các khoảng x ứng với f   x   0 , f   x   0 Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ta có kết luận sau:      f  x  0 ứng với phần đồ thị của hàm số y  f  x nằm phía trên trục hoành  f  x  0 ứng với phần đồ thị của hàm số y  f  x nằm phía dưới trục     hoành  f  x  0 tại các giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x với trục     hoành  Nếu đồ thị hàm số y  f  x tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành     độ x0 thì x0 là nghiệm bội chẵn của phương trình f  x  0và qua x0   đạo hàm f  x không đổi dấu    Nếu đồ thị hàm số y  f  x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x0 thì   x0 là nghiệm bội lẻ của phương trình f  x  0 và qua x0 đạo hàm    f  x đổi dấu Từ kết quả trên và các định lí về tính đơn điệu ta có kết luận sau:  Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f  x nằm phía     trên trục hoành thì trong khoảng đó hàm số f x đồng biến    Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số f  x nằm phía   dưới trục hoành thì trong khoảng đó hàm số f x nghịch biến 4 Dạng 2 Từ đồ thị y  f   x  , y  g   x  nhận biết tính đơn điệu của hàm số y  h x  f  x  g  x Cho hàm số y  f   x  ; y  g   x  có đồ thị (như hình vẽ ) dựa vào đồ thị chỉ ra nghiệm phương trình f   x   g   x   0 và các khoảng x ứng với f  x   g x   0 , f  x   g x   0 Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ; y  g   x  ta có kết luận sau:  trên đồ thị hàm số y  g   x     f   x   g   x   0 ứng với phần đồ thị của hàm số y  f  x nằm phía   f   x   g   x   0 ứng với phần đồ thị của hàm số y  f  x nằm phía dưới đồ thị hàm số y  g   x     f   x   g   x   0 tại các giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x với đồ thị hàm số y  g   x  Từ kết luận trên và các định lí về tính đơn điệu ta có mối quan hệ giữa đồ thị đạo hàm y  f   x  ; y  g   x  và tính đơn điệu của hàm số y  f  x   g  x  Ta có kết luận sau:  Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị của hàm số y  f  x   nằm phía trên đồ thị hàm số y  g   x  thì trong khoảng đó hàm số y  f  x   g  x  đồng biến    Nếu x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị của hàm số y  f  x nằm phía dưới đồ thị hàm số y  f  x   g  x  nghịch biến y  g   x  thì trong khoảng đó hàm số 2 3.2.2 Giải pháp 2 Nhận dạng và tìm lời giải các bài toán cơ bản Việc hướng dẫn học sinh nắm được các dạng toán cơ bản về xét tính đơn điệu của hàm số khi giả thiết bài toán cho đạo hàm bằng đồ thị giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản để tránh các sai lầm giải toán, mặt khác giúp học sinh rèn 5 luyện kỹ năng giải toán Từ đó nâng cao tính tích cực, chủ động và sáng tạo trong học tập Dạng 1 Từ đồ thị y  f '( x) xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x ) Phương pháp chung:  Dựa vào đồ thị xác định nghiệm phương trình f   x   0  Căn cứ vào vị trí tương đối của đồ thị với trục hoành, xác định dấu của f   x  , suy ra tính đơn điệu của f  x    Ví dụ 1.[2] Cho hàm số y  f x liên tục và có   đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ bên Hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f x trên R   Lời giải Từ đồ thị của hàm số y  f '  x  ta có S   2;  1;1;3 f   x   0 có tập nghiệm là Bảng xét dấu của f '  x  : Từ bảng xét dấu của đạo hàm kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: ; 2 , 1;1 , 3;  ,Hàm số nghịch biến trên các khoảng: 2; 1 , 1;3          Ví dụ 2.[2] Cho hàm số y  f x liên tục và có đạo   hàm trên R Đồ thị hàm số y  f  x như hình vẽ bên Hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f x trên R   Lời giải Từ đồ thị của đạo hàm ta có: f   x   0 có tập nghiệm là S   1;0;1;2 Bảng xét dấu của f '  x  : Từ bảng xét dấu của f '  x  , suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  0;2  Đồng biến trên các khoảng (1;0) và  2;  Chú ý: Qua ví dụ này giáo viên lưu ý cho học sinh trường hợp đồ thị tiếp xúc với trục hoành 6 Dạng 2 Từ đồ thị y  f '( x), y  g '( x) xét tính đơn điệu của hàm số y  h( x )  f ( x )  g ( x ) Phương pháp chung:  Tính đạo hàm h  x   f   x   g   x   Xác định đồ thị hàm số y  f   x  , y  g   x  trên hình vẽ đã cho, từ đó tìm nghiệm phương trình f   x   g   x  (chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị y  f   x  , y  g   x  )  Dựa vào vị trí tương đối của hai đồ thị y  f   x  , y  g   x  , xác định dấu của h  x  , suy ra tính đơn điệu của h  x  Ví dụ 3 [2] Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ Xét sự biến thiên của hàm số h(x) = f(x) – 2 x Lời giải Ta có h x  f  x  2 Từ đồ thi của hàm số y  f  x           suy ra h x  0  f '(x)  2, có tập nghiệm là S  2;2;4 ( Trong đó x  2 là nghiệm bội chẵn) Từ đó ta có bảng xét dấu của đạo hàm Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  4;  , hàm số nghịch biến trên khoảng  2;4  Chú ý : Qua bài toán này Giáo viên lưu ý cho họ sinh trường hợp hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại x  2 7 Ví Dụ 4.[4] Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  1;5 có đồ thị của hàm y  f   x  được cho như hình bên Hàm số g  x   2 f  x   x 2  4 x  4 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A  1;0  B  0;2  C  2;3 D  2; 1 Lời giải 2 Xét hàm số g  x   2 f  x   x  4 x  4 trên  1;5 ta có: g   x   2  f   x    x  2   Bảng xét dấu g   x  :  x  x1   0; 2   nên g   x   0  f   x   x  2   x  3  x  x   4; 5 2  Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đồng biến trên khoảng  2;3 Ví dụ 5.[4] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ bên dưới x3 Hàm số g  x   f  x    x 2  x  2 đồng biến trên 3 khoảng nào trong các khoảng sau? A  1;0  B  0;2  C  1; 2  D  0;1 Lời giải 2 2 Ta có g   x   f   x   x  2 x  1 , g   x   0  f   x    x  1 Suy ra số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số giao điểm giữa đồ thị 2 hàm số f   x  và parabol  P  : y   x  1 8 Dựa vào đồ thị ta suy ra g   x   0 có tập nghiệm là S   0;1;2 Ta có bảng xét dấu của đạo hàm g   x  Dựa vào bảng xét dấu của đạo hàm và đối chiếu với các đáp án, ta Chọn D Nhận xét: Bài toán này để xét dấu của đạo hàm cần xét vị trí tương đối của hai đường cong do vậy giáo viên cần lưu ý học sinh cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  ;0  ta thấy đồ thị hàm f   x  nằm phía trên đường 2 y   x  1 nên g   x  mang dấu  Nhận thấy các nghiệm x  0, x  1, x  2 là các nghiệm đơn nên qua g   x  đổi dấu Dạng 3 Từ đồ thị y  f '( x) xét tính đơn điệu của hàm số y  f [u ( x)] Phương pháp chung:    Từ đồ thị hàm số y  f  x   tìm nghiệm của phương trình f  x  0   y  f u  x     (hoành độ giao điểm của đồ thị hàm y  f  x với trục Ox )  Tính đạo hàm của hàm số       0 Xét dấu u  x  f   u  x   và giải phương trình u x f  u x  từ đó lập bảng biến thiên, kết luận về tính đơn điệu Ví dụ 6.[3] Cho hàm số y  f ( x) Hàm số y  f ( x) có đồ thị như hình bên Hàm số y  f (2  x) đồng biến trên khoảng A (1;3) B (2; ) C (2;1) D (; 2) Lời giải Ta có y   f (2  x) Từ đồ thị của hàm số y  f ( x) 9  2  x  1  x  3   suy ra y '  0  f (2  x )  0   2  x  1   x  1  2  x  4  x  2 Từ đó ta có bảng xét dấu của đạo hàm: Từ bảng xét dấu của y’ ta được hàm số đồng biến trê khoảng (2;1) Chọn C Nhận xét: Đối với học sinh trung bình và yếu trong bài toán này các em thường gặp khó khăn khi tìm nghiệm của phương trình f (2  x)  0 và cách xét dấu của y’ Ví dụ 7.[4] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên R Biết hàm số y  f   x  liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số y  f   x2  1 A  ;  3  ,  0; 3  C   3; 0  ,  3;   Lời giải Xét hàm số y  f D  ;  3  ,  0;     B  ;  3  ,  3;   x 2  1  y  x x 1 2 f   x2  1 x  0  2 x  0  x  1  1 x  0 x  0 x  0  2  2   y  0     x 1  0   x  1  1   x2  1  1   x   3 2  f  x 1  0  2  2 x  3  x2  1  4    x  1  2   x 1  1  2  x 1  2   Bảng xét dấu của đạo hàm Vậy hàm số y  f     x 2  1 đồng biến trên các khoảng  3; 0 ,  3;  Chú ý: Giáo viên hướng dẫn học sinh cách tính đạo hàm hàm hợp, cách xét dấu đạo hàm g   x  : + Xác định nghiệm bội chẵn và nghiệm bội lẻ (ở ví dụ 7 có x  0 là nghiệm bội lẻ, nên qua đó g   x  vẫn đổi dấu ) 10 + Lấy giá trị x  x0 bất kì khác các nghiệm trên rồi xác định dấu g   x0  sau đó đan xen dấu theo nguyên tắc trên.( ví dụ 7 ta lấy x  3 có 3 y '  3  f  10  0 ) ( Theo định lý 2) 10   Dạng 4 Từ đồ thị hàm số y  f '[u ( x)] xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x ) Phương pháp chung:  Từ đồ thị hàm số y  f  u(x) tìm nghiệm của phương trình f  u(x)  0       và xét dấu của f  u(x)    Đặt t  u(x)  x  v(t) , từ dấu của f  u(x) ta xét dấu của f (t) và suy ra tính đơn điệu của hàm số Ví dụ 8 [2] Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số 3  y  f   2 x   như hình vẽ bên Hàm số y  f  x  đồng 2  biến trên khoảng nào dưới đây?   A   ;  2 2 1 7     B   ;  4 4 5 1   3  1  D  ;   C  ;    4   2 Lời giải Ta cần giải bất phương trình y  f   x   0  1  x  1     Dựa vào đồ thị y  f   2 x   Ta có f   2 x    0   x3 2 2 3  3      * 3 1  x  (2t  3) 2 4 2t  3 7   1  1  4  1   2  t  2  Khi đó  *  f   t   0    2t  3  3 t  15  4  2  1 7  15  Do đó hàm số y  f  x  đồng biến trên các khoảng   ;  và  ;     2 2 2  Ví dụ 9.[2] Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số Đặt t  2 x  7  y  f '  2x   2 như hình bên Hàm số y  f  x  2  nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 1 9 9   5 3  5 A  ;  B  ;   C   ;  D  ;   2 4 4 4   2 2  Lời giải 11   Quan sát đồ thị hàm số y  f '  2x   2 ta có 2 7   7 7   f   2 x    0  f  2 x   2  2  1  x  3(*) 2 2   (đồ thị hàm số nằm dưới đường thẳng y  2 khi và chỉ khi x   1;3 ) 7 7  2t 7  2t 5 3 3  t  Đặt t  2 x   x  khi đó (*)  f  (t )  0  1  2 4 4 2 2  5 3 điều đó chứng tỏ hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng   ;   2 2 2.3.2.3 Giải pháp 3: Phân tích và tìm lời giải một số bài toán tổng hợp Thực tế cho thấy các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao về vấn đề này trong đề thi tốt nghiệp THPT cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp thường được kết hợp của các dạng toán cơ bản Chính vì vậy việc định hướng để học sinh biết quy những bài toán lạ về những bài toán đã biết (Quy lạ về quen) sẽ giúp học sinh tự tin và hứng thú hơn trong việc học chuyên đề này cũng như làm tăng khả năng nhận diện phương pháp giải và hoàn thiện hơn tư duy phương pháp Từ đó tăng khả năng phát hiện và xử lí những bài toán mới lạ nhằm tăng sự sáng tạo của học sinh Ví dụ 10.[3] Cho hàm số f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ Hàm số g  x   f  1  2 x   x 2  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?  3  1 A 1;  B  0;  C  2;  1 D  2;3  2  2 Phân tích 2 - Đề bài cho g  x   f  1  2 x   x  x là sự kết hợp giữa hai dạng 2 và dạng 3 vì vậy ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ đề chuyển về dạng toán 2 - Ta có g   x   2 f   1  2 x   2 x  1 1  2x suy ra g   x   0  f '  1  2 x    2 Đặt t  1  2 x bài toán trở thành xét sự tương giao của đồ thị hàm số t y  f   t  và y   2 Lời giải 2 Ta có: g  x   f  1  2 x   x  x  g   x   2 f   1  2 x   2 x  1 1  2x g   x   0  f ' 1  2 x    , đặt t  1  2 x 2 t Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y  f   t  và y   2 12 t  2 t  Từ đồ thị ta có: f '  t     t  0 2 t  4 3  x   2 1  2 x  2  1  Khi đó: g   x   0  1  2 x  0   x   2 1  2 x  4  3 x    2 Ta có bảng xét dấu: 3  Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;   2  1 3 3 1 3 và  ;  Mà 1;    ;  nên hàm số g  x   f  1  2 x   x 2  x nghịch biến  2  2 2 2 2  3   trên khoảng 1;  Chọn đáp án C 2 Ví dụ 11.[2] Cho hàm số y  f  x  là hàm đa thức có đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ Hàm số g  x   f  3x  1  3 2 x 3  2 x 2  3x  5 nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây? A ; 2 ; 1;  B 3;0   C  ; 1    D  1;2  Phân Tích 3 2 Bài toán này cho g  x   f  3x  1  3 2 x  2 x  3x  5  cũng là sự kết hợp giữa dạng 2 và dạng 3 do vậy ta nghĩ đến đặt ẩn phụ để chuyển về dạng 2   g   x   3 f   3 x  1   18 x 2  12 x  9   3 f   3 x  1  6 x 2  4 x  3  13  11    11   2 2 2  3 f   3x  1    9 x 2  6 x  1    3  f   3x  1    3x  1   3  3  3 3   2 2 11 Đặt t  3 x  1 , ta được f   t   t  3 3 Lời giải 2 2 Ta có, g   x   3 f   3x  1   18 x  12 x  9   3 f   3 x  1   6 x  4 x  3    11    11   2 2 2  3 f   3x  1    9 x 2  6 x  1    3  f   3x  1    3x  1   3  3  3 3   2 11 2 Do đó g   x   0  f   3x  1   3x  1  3 3 2 2 11 Đặt t  3 x  1 , ta được f   t   t  3 3 2 2 11 Vẽ Parabol  P  : y  t  trên cùng hệ trục tọa độ Oty với đồ thị hàm số 3 3 y  f (t ) như hình vẽ sau (đường Parabol là đường nét đứt) Ta thấy, f   t   2 t 2  11  t  2  3x  1  2   x  1  t 1 3 x  1  1 x  0 3 3     11   2 2 Từ đó ta có bảng xét dấu của g   x   3  f   3x  1    3 x  1  : 3  3  Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  0;  Chú ý: Qua hai ví dụ 10 và 11 giáo viên cần lưu ý học sinh sau khi tính đạo hàm cần sử dụng phương pháp đổi biến để đưa về dạng 3 2.3.2.4 Giải pháp 4: Xây dựng hệ thống bài tập tự luyện 14 Sau khi học sinh đã nắm vững phương pháp giải Giáo viên đưa ra một số bài tập củng cố và nâng cao đồng thời giao nhiệm vụ học tập cho học sinh ở nhà nhằm nâng cao khả năng tự học của học sinh Bài 1.[2] Cho hàm số y  f  x  có đồ thị của hàm số y  f   x  như hình vẽ bên Các giá trị của m để hàm số y  f  x    m  1 x đồng biến trên khoảng  0;3 là A m  4 B m  4 C m  4 D 0  m  4 Bài 2.[2] Cho hàm số f  x có đạo hàm trên R và f ' x có bảng biến thiên như hình vẽ, đồ thị y  f ' x cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 3;1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn   10;20 để hàm số    y  f x2  3x  m 3 đồng biến trên khoảng  0;2 A 20 B 17 C 16 Bài 3.[3] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên Hàm số g  x   2 f  x   x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A  ; 2  B  2;2  C  2;4  D  2;  Bài 4.[2] Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ bên Xét hàm số 1 3 3 g  x   f  x   x 3  x 2  x  2018 Hàm số 3 4 2 y  g  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A   ;  2  B  3;  1 C  1;1 D  1;   Bài 5.[2] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị của hàm số y  f '  x  như hình vẽ 1 2 Đặt g  x   f  x  m    x  m  1  2019 2 m với là tham số thực Gọi S là tập các giá trị nguyên D 18 15 dương của m để hàm số y  g  x  đồng biến trên khoản  5;6  Tổng các phần tử của S bằng: A 4 B 11 C 14 D 20 Bài 6.[4] Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ dưới đây Xét hàm số 1 3 3 g  x   f  x   x 3  x 2  x  2018 Hàm số 3 4 2 y  g  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A   ;  2  B  3;  1 C  1;1 D  1;   Bài 7.[4] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R và hàm số y  f   x  có đồ thị như hình 2 vẽ dưới đây Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào sau đây? A  1;2  B  2;    C  2;  1 D  1;1 Bài 8.[4] Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ Đồ thị hàm số y = f ¢( x) như hình bên dưới.Đặt hàm số x2 g( x) = f ( 1+ m- x) + - x - mx , m là tham số 2 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [- 2020; 0] để hàm số y = g( x) nghịch biến trên khoảng ( - 2;0) ? A 2016 B 2017 C 2019 D 2020 Bài 9.[5] Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ dưới đây Xét hàm số 1 3 3 g  x   f  x   x 3  x 2  x  2018 Hàm số 3 4 2 y  g  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A   ;  2  B  3;  1 C  1;1 D  1;   16 Bài 10 [4] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ Hàm số y O g  x   f   x  x 2  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?  B  1; A   ;  1   1  C  ;     2  2 1   2  4 x 4 D  1;0  Bảng đáp án bài tập về nhà Bài Đáp án 1 C 2 D 3 B 4 C 5 C 6 C 7 C 8 A 9 C 10 B 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục ,với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Sau khi nắm vững nội dung nêu ra trong sáng kiến học sinh giải quyết các bài tập sử dụng đến tính đơn điệu tốt hơn, nhất là các bài toán về hàm ẩn Việc đưa ra hệ thống các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số có giả thiết đạo hàm cho bằng đồ thị tôi thấy học sinh hứng thú học tập hơn đông thời tự tin giải quyết những bài toán vận dụng cao về chủ đề này từ đó phát huy được tính tích cưc, chủ động và sáng tạo của học sinh Việc nắm vững bài toán xét tính đơn điệu của hàm số cũng giúp học sinh giải tốt hơn các bài toán có liên quan như: Tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, tương giao… Đề tài này tác giả dạy thực nghiệm ở lớp 12A10 trường THPT Tĩnh Gia 3 được cả tổ và ban giám hiệu đánh giá là thành công, có hiệu quả tốt với việc ôn thi cho học sinh khối 12 đặc biệt đối với các lớp có xét điểm thi đại học môn Toán Sau khi học xong chuyên đê tôi đã cho học sinh của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng làm chung một đề kiểm tra khảo sát về chuyên đề này và thu được kết quả sau Lớp 12A9 (Lớp đối chứng) khi chưa áp dụng sáng kiến Điểm Dưới 5 Lớp 12A9 (39 Hs) 10 Từ 5-dưới 6,5 Từ 6,5-dưới 8 Từ 8-10 20 9 0 Lớp 12A10 (Lớp thực nghiệm) khi đã áp dụng sáng kiến Điểm Dưới 5 Lớp12A10 (39 Hs) 2 Từ 5-dưới 6,5 Từ 6,5-dưới 8 Từ 8-10 15 18 4 17 Như vậy mặc dù khả năng học tập môn Toán ở hai lớp 12A9 và 12A10 như nhau nhưng nếu áp dụng biện pháp thì kết quả thu được từ điểm số cho thấy là điểm 12A10 tốt hơn chứng tỏ tính khả thi và hiệu quả của biện pháp 3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán qua biện pháp này làm tích cực hóa hoạt động học tập nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện, giải quyết vấn đề và từ đó phát triển học sinh toàn diện Đức – Trí – Thể - Mỹ Biện pháp trên đây là một trong những minh chứng về việc đổi mới phương pháp dạy học, biện pháp đã thể hiện rõ hiệu quả và được áp dụng thành công ở trường THPT Tĩnh Gia 3 trong thời gian vừa qua tuy nhiên do thời gian và kinh nghiệm dạy học còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót , kính mong quý Thầy, Cô, các nhà giáo dục góp ý để công tác giáo dục ngày càng hiệu quả 3.2 Kiến nghị Qua đây tôi xin có một đề xuất như sau: Đối với giáo viên bộ môn cần tự bồi dưỡng, tích cực tìm tòi các phương pháp , kỹ năng dạy học phù hợp với đối tượng học sinh lớp mình từ đó góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy Đối với tổ chuyên môn cần có nhiều hơn nữa các tiết dạy thực nghiệm, từ đó có điều kiện trao đổi chuyên môn giữa các thành viên trong tổ nhằm tìm ra những phương án dạy học tốt nhất Đối với Ban giám hiệu nhà trường: Cần động viên, khuyến khích và tạo mọi điều kiện cho giáo viên trong công tác viết sáng kiến kinh nghiệm cũng như dạy thực nghiệm XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2022 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Trần Thị Bích 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* [1] Sách giáo khoa Giải Tích 12 – Trần Văn Hạo (tổng chủ biên ) – Vũ Tuấn (chủ biên) – NXB Giáo Dục [2] Đề thi thử THPT Quốc Gia các năm 2020, 2021, 2022 của các Sở Giáo Dục và Đào Tạo [3] Đề thi THPT Quốc Gia và các đề Minh họa, Tham khảo của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo [4] Đề thi thử THPT Quốc Gia các năm 2020, 2021,2022 của các trường THPT trong cả nước [5] Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet - Nguồn: http://www.vnmath.com/ [6] Nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 04/11/2013, Nghị quyết hội nghị Trung ương 8 khóa XI 19 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ KHI ĐẠO HÀM ĐƯỢC CHO BẰNG ĐỒ THỊ, NHẰM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, CHỦ ĐỘNG VÀ SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH Người thực hiện: Trần Thị Bích Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán 20 THANH HOÁ NĂM 2022 ... NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ KHI ĐẠO HÀM ĐƯỢC CHO BẰNG ĐỒ THỊ, NHẰM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, CHỦ ĐỘNG VÀ SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH Người thực hiện: Trần Thị. .. tìm lời giải cho tốn xét tính đơn điệu hàm số đạo hàm cho đồ thị Từ tốn phân tích tìm lời giải cho tốn tổng hợp Từ đưa định hướng phát tìm lời giải cho toán giả thiết đạo hàm cho đồ thị Xây dựng... giải số tốn tính đơn điệu hàm số đạo hàm cho đồ thị nhằm phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh “ Để nghiên cứu dạy thực nghiệm trường THPT Tĩnh Gia 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong sáng