(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh giải một số bài toán phương trình logarit chứa tham số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ Người thực hiện: Tống Minh Tuấn Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2022 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài…………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………… NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………………………………………………………… 2.3 Các biện pháp thực hiện…………………………………… 2.3.1 Cơ sở lý thuyết…………………………………………… 2.3.2 Bài tập ứng dụng………………………………………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm……………………… KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận…………………………………………………… 3.2 Kiến nghị…………………………………………………… Trang 3 3 4 4 19 19 19 I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Phương trình mũ phương trình logarit chủ đề thường gặp đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia u cầu tốn phương trình logarit phong phú đa dạng đặc biệt phương trình logarit có chứa tham số Thực tiễn giảng dạy, tơi thấy học sinh thường có tâm lý lúng túng gặp giải phương trình logarit chứa tham số Một số khó khăn tiếp cận học sinh chưa xác định cách giải phù hợp, khả tư duy, phân tích vận dụng phương pháp giải Năm học 2021-2022 giao nhiệm vụ giảng dạy toán hai lớp 12A2 , học sinh lớp có ước mơ tâm thi vào trường đại học Vì việc chinh phục tốn phương trình logarit chứa tham số việc mà em cần làm Với tinh thần đổi để nâng cao hiệu giảng dạy, với mong muốn giúp em học sinh phân tích, định hướng giải gặp phương trình logarit chứa tham số Tơi lựa chọn đề tài: "Hướng dẫn học sinh giải số toán phương trình logarit chứa tham số" Hy vọng với đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp dạy học hiệu hơn, giúp em học sinh tự tin hứng thú học tập 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tìm hiểu giải phương trình logarit chứa tham số, vận dụng phương pháp thích hợp để giải phương trình logarit chứa tham số 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương trình logarit chứa tham số Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải tốn thích hợp để giải phương trình logarit chứa tham số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, sách tham khảo phương trình logarit Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc vận dụng phương pháp dạy học tích cực số trường phổ thông Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm tổ môn, tham dự buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm lớp 12A2 trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2021 -2022 II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Việc đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát triển lực thể qua bốn đặc trưng sau: Một là, dạy học thông qua tổ chức liên tiếp hoạt động học tập, giúp học sinh tự khám phá điều chưa biết không thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Giáo viên người tổ chức đạo học sinh tiến hành hoạt động học tập phát kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức biết vào tình học tập tình thực tiễn Hai là, trọng rèn luyện cho học sinh biết khai thác sách giáo khoa tài liệu học tập, biết cách tự tìm lại kiến thức có, suy luận để tìm tịi phát kiến thức Ba là, tăng cường phối hợp học tập cá thể với học tập hợp tác, lớp học trở thành môi trường giao tiếp giáo viên – học sinh học sinh – học sinh nhằm vận dụng hiểu biết kinh nghiệm cá nhân, tập thể giải nhiệm vụ học tập chung Bốn là, trọng đánh giá kết học tập theo mục tiêu học suốt tiến trình dạy học thông qua hệ thống câu hỏi, tập (đánh giá lớp học) Chú trọng phát triển kỹ tự đánh giá đánh giá lẫn học sinh với nhiều hình thức theo lời giải đáp án mẫu, theo hướng dẫn, tự xác định tiêu chí để phê phán, tìm ngun nhân nêu cách sửa chữa sai sót Đề tài nghiên cứu thực thực tế tiết dạy tập tính góc hai mặt phẳng có sử dụng số phương pháp đổi địi hỏi mang tính chất sáng tạo 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua trình quan sát, dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp, quan sát từ phía học sinh Tơi rút số vấn đề sau Về giáo viên: phương trình logarit chứa tham số giáo viên chưa khơi gợi, dẫn dắt cho học sinh phân tích tốn, tìm hướng xử lí tốn, chưa tạo hứng thú học tập cho học sinh Về phía học sinh: chưa biết hay lúng túng việc định hướng cách giải phương trình chứa tham số 2.3 Các biện pháp thực 2.3.1 Cơ sở lý thuyết 2.3.1.1 Phương trình logarit bản: phương trình có dạng 0< a ¹ Ta có log a x = b ⇔ log a x = b với x = ab 2.3.1.2 Cách giải số phương trình mũ Phương pháp đưa số a > 0, a ≠1  f ( x) > ( hoac g ( x ) > 0)  log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔   f ( x ) = g ( x ) Phương pháp đặt ẩn phụ α log 2a x + β log a x + γ = Đặt t = log a x, ( x > ) Phương pháp mũ hóa   f ( x) > log a f ( x ) = b ⇔  b   f ( x) = a Phương pháp hàm số B1: Đưa phương trình dạng B2: Xét hàm số f ( u) = f ( v) f ( t ) , t ∈ D B3: Dùng đạo hàm chứng minh hàm số ngặt với u, v f ( t ) ,t ∈ D x hai hàm theo tăng giảm nghiêm D f ( u) = f ( v) ⇔ u = v B4: 2.3.2 Bài tập ứng dụng [4],[5] Ví dụ 1: Với giá trị m log 2+ ( mx + 3) + log 2− ( m + 1) = A m =  m = −1  B m =  m = −2  có nghiệm C Lời giải −1 m3 trình Điều kiện Nhận xét:  mx + > ⇔ mx + > ⇒ −m + > ⇒ m <   m + > ( − 3) = ( + 3) log 2+ (mx + 3) − log 2+ ⇔ log 2+ Vì (m −1 nên ta kết sau: + 1) = ( mx + ) = log ( m + 1) ⇔ mx + x = −1 2+ 3 = m2 + ta m = −m + = m2 + ⇔ m2 + m − = ⇔   m = −2 log ( mx − x ) + log ( −14 x 2 Ví dụ 2: Phương trình phân biệt khi: A log m < 19 B m > 39 ( mx − x ) + log ( −14 x 2 + 29 x − ) = có nghiệm thực 19 < m < C Hướng dẫn giải + 29 x − ) = ⇔ log ( mx − x3 ) − log ( −14 x + 29 x − ) = ⇔ mx − x3 = −14 x + 29 x − ⇔m= x − 14 x + 29 x − x f ( x) = x − 14 x + 29 x − 2 ⇔ f ′ ( x ) = 12 x − 14 + x x   x = ⇒ f ( 1) = 19     39 f ′( x ) = ⇔  x = ⇒ f  ÷=  2     121  x = − ⇒ f  − ÷=  3  Lập bảng biến thiên suy đáp án C 39 D 19 < m < 39 Ví dụ 3: Tìm tất giá trị nghiệm phân biệt m>3 A Hướng dẫn gải: Điều kiện: B m log x − − log ( x + 1) = m để phương trình m0 có ba D m=2 −1 < x ≠ log x − + log ( x + 1) = m Phương trình cho tương đương với 2 m 3 ⇔ log ( x − ( x + 1) ) = m ⇔ x − ( x + 1) =  ÷   ( *) Phương trình ( *) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số m f ( x ) = x − ( x + 1) Xét hàm số đường thẳng f ( x ) = x − ( x + 1) 3 y = ÷ 2 xác định (cùng phương với trục hoành) ( −1; ) ∪ ( 2; +∞ ) h ( x ) = ( x − ) ( x + 1) = x − x − x > f ( x ) = x − ( x + 1) =   g ( x ) = − ( x − ) ( x + 1) = − x + x + − < x < 2 Ta có Đồ thị Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình m 3 <  ÷ < max g ( x ) ( −1;2) 2 ( *) có ba nghiệm phân biệt m 3 ⇔ ÷ < ⇔m m < −1 B để phương trình m ≥ log 2 x + log x − m = m < C Hướng dẫn giải D m > Chọn D log 2 x + log x − m = Đặt t = log x (1) , phương trình (1) trở thành: x>2⇔ Phương trình (1) có nghiệm t > ( t = log x > log 2 = ) t + 2t − m = ⇔ t + 2t = m (2) phương trình (2) có nghiệm y = t + 2t ⇒ y ' = 2t + 2, y ' = ⇔ t = −1 Xét hàm số Bảng biến thiên x ( loại) +∞ y′ + +∞ y Từ Bảng biến thiên suy phương trình (2) có nghiệm Ví dụ 5: Tìm A m để phương trình ≤ m ≤ Chọn C Điều kiện B log 22 x − log x + = m ≤ m ≤ log 22 x − log x + = m ⇔ log 22 x − log x + = m có nghiệm ≤ m ≤ C Hướng dẫn giải x>0 t > ⇔ m > x ∈ [ 1;8] D ≤ m ≤ Đặt t = log x , phương trình trở thành Phương trình cho có nghiệm x ∈ [ 1;8] ⇔ x ∈ [ 0;3] Đặt ( 1) t − 2t + = m phương trình ( 1) có nghiệm g ( t ) = t − 2t + g ′ ( t ) = 2t − g ′ ( t ) = ⇔ 2t − = ⇔ t = BBT Từ BBT ta suy để phương trình có nghiệm x ∈ [ 1;8] Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số log x − ( m + ) log x + 3m − = A m = −2 Điều kiện B x > Đặt có hai nghiệm m = −1 t = log x t − ( m + ) t + 3m − = x1 , x2 m =1 C Hướng dẫn giải m 2≤m≤6 để phương trình thỏa mãn x1.x2 = 27 D Khi phương trình có dạng: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m < − 2 ∆ = ( m + ) − ( 3m − 1) = m2 − 8m + > ⇔   m > + 2 Với điều kiện ( *) Theo Vi-ét ta có: Vậy m =1 ta có: ( *) t1 + t2 = log x1 + log x2 = log ( x1.x2 ) = log3 27 = t1 + t = m + ⇒ m + = ⇔ m = giá trị cần tìm ? m=2 (thỏa mãn điều kiện) Ví dụ : Giá trị m log 32 x + log 32 x + − 2m − = để phương trình nghiệm thuộc đoạn A ≤ m ≤ 16 B 1,3    4≤ m ≤8 0≤m≤2 C Hướng dẫn giải Chọn C log 32 x + log 32 x + − 2m − = ⇔ m = Đặt t = log 32 x, ≤ t ≤ Ta có Vậy ( ( ) t + t + −1 A x 1   ; + ∞ ÷ B có nghiệm [ 1; + ∞ ) C Hướng dẫn giải log ( x − 1) log ( 2.5 x − ) = m m để phương trình x ≥    − ; + ∞ ÷ Chọn D Ta có: D [ 3; + ∞ ) ( 1) 1 ⇔ log ( x − 1) log ( x − 1)  = m ⇔ log ( x − 1)  log ( x − 1) + 1 = m 2 Đặt t = log ( 5x − 1) PT (1)có nghiệm Xét hàm số 10 , PTTT: x ≥1 vô nghiệm 0≤m≤2 log ( − 1) log ( 2.5 − ) = m 3≤ m≤8 ) Ví dụ 8: Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực x D log 32 x + log 32 x + − f ( t) = 1  f ′ ( t ) = 1 + ; f ′( t ) =  t +1 ÷  f ( ) = 0; f ( 3) = có 1 t ( t + 1) = m ⇔ t + t = m 2 PT(2) có nghiệm 1 f ( t ) = t + t f '( t ) = t + 2 ( 2) t≥2 Dựa vào BBT, PT(2) có nghiệm Ví dụ 9: Tìm tất giá trị nghiệm m= A B m t≥2 để phương trình m≥3 log ( 25x − log m ) = x m ≥  m =  m =1 C Hướng dẫn giải D có m ≥ Chọn C x PT t =5 > ⇔ 25 x − log m = x  → t − t = log m Xét g ( t ) = t2 − t ( 0; +∞ ) ta có bảng biến thiên: PT cho có nghiệm Ví dụ 10: 11 ( x −1) Tổng tất log ( x − x + 3) = x −m 1   m= log m = −   ⇔ 4⇔    m ≥  log m ≥ giá trị log ( x − m + ) m để phương trình có ba nghiệm phân biệt là: B A C D Hướng dẫn giải Chọn D 2( x −1) log ( x − x + 3) = x −m log ( x − m + ) ( 1) Ta có ⇔ 2( x −1) 2 x−m log ( x − 1) +  = log ( x − m + ) ( )   Xét hàm số Vì f ( t ) = 2t.log ( t + ) , t ≥ f ′ ( t ) > 0, ∀t ≥ ⇒ ( 2) ⇔ Khi hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) 2 f ( x − 1)  = f ( x − m ) ⇔ ( x − 1) = x − m    x − x + + 2m = ( 3) ⇔  x = 2m − 1( ) Phương trình sau: +) PT ⇒m= +) PT ⇒m= ( 3) có ba nghiệm phân biệt xảy trường hợp có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt PT , thay vào PT ( 4) ( 1) ( 4) thỏa mãn có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt PT , thay vào PT ( 4) ( 3) thỏa mãn +) PT có hai nghiệm phân biệt PT có nghiệm hai PT trùng ( ) ⇔ x = ± 2m − KL: 12 1  m ∈  ;1;  2 2 ,với    x ≠  ( x − 1)   x2 − x +  log  ÷+ x − x + = x ÷+ x + = x ⇔ log  ÷ x x     ⇔ log ( x − 1) + ( x − 1) = log x + x ( 1) 2 f ( t ) = log t + t ⇔ f ′ ( t ) = Xét hàm số Vậy hàm số đồng biến f Phương trình Vậy ( 1) ( ( 2x − 1) ) trở thành 9 −  x1 + x2 =  9 +   ( l) +1 > t ln với t >0  3+ x=  = f ( x ) ⇔ ( x − 1) = x ⇔   3− x =  ⇒ a = 9; b = ⇒ a + b = + = 14 ( tm ) Ví dụ 12: Có số nguyên m để phương trình ln ( m + 2sin x + ln ( m + 3sin x ) ) = sin x A 13 B có nghiệm? C D Hướng dẫn giải  m + 2sin x + ln ( m + 3sin x )  + ln  m + 2sin x + ln ( m + 3sin x )  = ( m + 3sin x ) + ln ( m + 3sin x ) ⇔ a + ln a = b + ln b ⇔ a = b ⇔ m + 2sin x + ln ( m + 3sin x ) = m + 3sin x ⇔ ln ( m + 3sin x ) = sin x ⇔ m + 3sin x = esin x ⇔ m = esin x − 3sin x f ( t ) = e − 3t t Xét hàm số với t ∈ [ −1;1] f ′ ( t ) = e − < ∀t ∈ [ −1;1] t Vì nên:  sin x max(e − 3sin x ) = f ( −1) = + e ⇒ e−3≤ m ≤ +3  e min(esin x − 3sin x) = f ( 1) = e −  Chọn B Bài tập tương tự m Câu 1: Tìm tất giá trị thực ba nghiệm thực phân biệt A Câu 2: m ∈ ( 0; ) B để phương trình C m≥4 có nghiệm la B m>4 C có m ∈ ( −∞; ) Tất cả các giá trị của tham số log ( mx ) = log ( x + 1) A m ∈ { 0; 2} log x + log x + = m m m