THÔNG TIN TÀI LIỆU
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ MỤC LỤC TRƯỜNG THPTHOẰNG HÓA NỘI DỤNG Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH 1.5 Những điểm skkn GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC MỨC VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG Nội dung sáng kiến kinh nghiệm CAO LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2.3.1 Các khái nệm 2.3.2 Các phép toán số phức 2.3.3 Các tính chất số phức 2.3.4 Giải phương trình bậc hai tập số phức Người thực hiện: Lê Thị Hoa 2.3.4 Một số toán thường gặp Chức vụ: Giáo viên 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 16 Kết luận, kiến nghị 17 SKKN mơn: Tốn 3.1 Kết luận 17 3.2 Kiến nghị 17 THANH HOÁ, NĂM 2022 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài1 Đất nước ta đường hội nhập phát triển, từ cần người phát triển tồn diện Muốn vậy, phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục phải đổi cách toàn diện để đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội Để đổi nghiệp giáo dục đào tạo trước hết phải đổi phương pháp dạy học, có phương pháp dạy học mơn Tốn Kì thi THPT Quốc gia mơn Tốn với 50 câu trắc nghiệm, câu có phương án lựa chọn A- B- C- D, thời gian làm 90 phút, áp lực thời gian cao, nội dung đề thi đa phần nằm chương trình lớp 12, học sinh sử dụng kết môn Toán để xét Đại học- Cao đẳng cần phải làm câu hỏi mức độ vận dụng, có câu khó số phức Đây câu hỏi tương đối khó Để làm câu hỏi địi hỏi học sinh ngồi việc nắm vững kiến thức bản, luyện tập nhiều phải biết vận dụng kiến thức hình học phẳng học lớp 10 Từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, với kinh nghiệm trình giảng dạy học sinh khối 12 ôn thi THPT Quốc gia, nhận thấy việc nghiên cứu, khai thác, vận dụng kiến thức để giúp học sinh giải toán trắc nghiệm mức vận dụng vận dụng cao số phức để học sinh đạt điểm cao kì thi THPT Quốc gia cần thiết Tên đề tài: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải số toán trắc nghiệm số phức mức vận dụng vận dụng cao luyện thi THPT Quốc gia ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài tơi mong muốn cung cấp cho học sinh số kiến thức, kỹ số dạng toán số phức; từ học sinh có Trong mục tác giả tham khảo TLTK số 1, mục 1.2 tác giả tự đưa thể vận dụng giải toán trắc nghiệm số phức kì thi THPT Quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu Tôi tập trung nghiên cứu kiến thức số phức số tính chất bất biến liên quan đến số phức kết hợp số tính chất hình học tọa độ mặt phẳng học sinh học lớp 10 để giải số toán trắc nghiệm số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi đề tài, sử dụng kết hợp phương pháp như: - Phương pháp xây dựng sở lý thuyết; - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin; - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu 1.5 Những điểm skkn - Xây dựng phương pháp giải cho số toán mức vận dụng vận dụng cao phần số phức -Kết hợp cách giải phương pháp đại số sử dụng hình học phẳng lớp 10 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm2 Vấn đề nghiên cứu dựa sở khái niệm, tính chất phép tốn số phức chương trình lớp 12 vận dụng kiến thức hình học tọa độ mặt phẳng học sinh học lớp 10 Dạng đại số số phức gần giải toán mức độ nhận biết, thơng hiểu vận dụng thấp, tốn số phức mức độ vận dụng cao nhiều thời gian gặp khó khăn sử dụng dạng đại số qua phép toán số phức Tập số phức phát triển bước tiến khoa học Trong vật lý ngày nay, số phức xuất nhiều Ví dụ để mơ tả điện xoay chiều (là thứ điện ta dùng chủ yếu ngày nay) hay số thứ mạng điện nói chung, người ta dùng số phức Mục 2.1 tác giả Nội dung đề tài đáp ứng phần nhỏ chương trình, song tơi nhận thấy tốn ý tưởng vận dụng kiến thức tổng hợp Vậy mong muốn đồng nghiệp học sinh ngày vận dụng kiến thức tính chất để hình thành ý tưởng đề thi hay dạy học Tốn nói chung, dạy học chương số phức nói riêng tốt 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm3 Chương số phức nằm cuối chương trình giải tích lớp 12, kiến thức khơng khơng nhiều khơng khó Lâu giáo viên học sinh khơng quan tâm cho dễ Trong kì thi Đại học THPT Quốc gia số lượng câu hỏi điểm chiếm khoảng 10% chủ yếu mức độ thông hiểu vận dụng thấp; đồng thời kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh không vào phần số phức nên nhiều giáo viên khơng tâm khai thác tốn số phức mức độ vận dụng caovì thường lúng túng gặp toán vận dụng cao phần Từ thực tiễn dạy học gặp phải khó khăn nên nghiên cứu đúc rút thành học kinh nghiệm Học sinh tiếp cận tập hợp “ Số phức” lớp 12 nên phần lớn vận dụng em bị ảnh hưởng nhiều tính chất tập hợp số thực, em tỏ lúng túng giải tốn số phức, đặc biệt em cịn nhầm tưởng tính chất tập hợp số thực tập hợp số phức Nghiên cứu dạng toán giúp học sinh kết hợp phương pháp đại số phương pháp tọa độ mặt phẳng để giải số dạng tốn nâng cao hình học Từ lí mà tơi xin trao đổi đồng nghiệp em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài ‘‘Hướng dẫn học sinh giải số toán trắc nghiệm số phức mức vận dụng vận dụng cao luyện thi THPT Quốc gia ” nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học chương số phức lớp 12 2.3 Hướng dẫn học sinh giải số toán trắc nghiệm số phức mức vận dụng vận dụng cao luyện thi THPT Quốc gia Mục 2.3.1 tham khảo TLTK số 2.3.1 Các khái niệm [ 2] a) Định nghĩa số phức - Mỗi biểu thức dạng a bi , a, b ¡ , i 1 gọi số phức - Đối với số phức z a bi , ta nói a phần thực, b phần ảo z - Tập hợp số phức kí hiệu £ Chú ý: + Mỗi số thực a số phức với phần ảo 0: a a 0i , ta có ¡ £ a b + Số phức a bi với a, b ¡ gọi số ảo + Số gọi số vừa thực vừa ảo; số i gọi đơn vị ảo b) Số phức bằng Hai số phức phần thực phần ảo tương ứng a c a bi c di b d chúng nhau: c) Số phức đối số phức liên hợp Cho số phức z a bi , a, b ¡ , i 1 - Số phức đối z kí hiệu z z a bi - Số phức liên hợp z kí hiệu z z a bi d) Biểu diễn hình học của số phức Điểm M (a; b) mặt phẳng tọa độ Oxy gọi điểm biểu diễn số phức z a bi e) Môđun của số phức Số phức z a bi biểu diễn M (a; b) mặt phẳng tọa độ uuuu r Oxy Độ dài vectơ OM gọi môđun số phức z KH | z | uuuu r | z | | OM | hay | z | a b Vậy: Nhận xét: | z || z || z | 2.3.2 Các phép toán số phức4 Cho hai số phức: z1 a bi, z2 c di Ta có: a) Phép cộng phép trừ hai số phức z1 z2 ( a bi) (c di) ( a c) (b d )i z1 z2 ( a bi) (c di) ( a c) (b d )i b) Phép nhân hai số phức z1.z2 (a bi ).(c di ) ( ac bd ) ( ad bc)i 2 Nhận xét: z.z | z | | z | c) Phép chia hai số phức z2 c di z a bi z Với số phức , để tính thương a bi , ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp số phức z1 a bi z2 c di (c di )(a bi ) ac bd ad bc i z1 a bi (a bi )(a bi ) a b a b 2.3.3 Các tính chất số phức5 Cho số phức z a bi , a, b ¡ , i 1 - Tính chất 1: Số phức z số thực z z - Tính chất 2: Số phức z số ảo z z Cho hai số phức z1 a1 b1i; z2 a2 b2i; a1 , b1 , a2 , b2 ¡ ta có: - Tính chất 3: z1 z2 z1 z2 - Tính chất 4: z1.z2 z1.z2 z1 z1 ; z2 z - Tính chất 5: z2 - Tính chất 6: | z1.z2 || z1 | | z2 | - Tính chất 7: z1 | z1 | ; z2 z | z2 | Mục 2.3.2 tham khảo tư liệu tham khảo số Mục 2.3.3 , mục 2.3.4 tham khảo tư liệu tham khảo số - Tính chất 8: | z1 z2 | | z1 | | z2 | 2 2 - Tính chất 9: z1 z2 z1 z z1 z 2.3.4 Giải phương trình bậc hai tập số phức a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 2 Xét phương trình bậc hai: az bz c ( a 0) có b 4ac - TH1: a, b, c số thực + Nếu phương trình có nghiệm thực phân biệt b z 2a + Nếu phương trình có nghiệm kép thực z b 2a + Nếu phương trình có nghiệm phức phân biệt b i 2a - TH2: a, b, c số phức z + Nếu phương trình có nghiệm kép thực z b 2a + Nếu 0; a bi ( x iy ) Khi phương trình có hai nghiệm z b ( x yi ) 2a ' Chú ý: Khi b số chẵn ta tính cơng thức nghiệm tương tự tập hợp số thực 2.3.5 Một số toán thường gặp Bài toán Cho số phức z có thỏa mãn | z | k Tìm tâm bán kính đường trịn biểu diễn số phức w (a bi ) z c di Phương pháp giải: áp dụng tính chất 6: | z1.z2 || z1 | | z2 | 2 Ta có | z | k | (a bi ) | | z || a bi | k | (a bi ) z | k a b Đặt w x yi Bài toán 1, phương pháp giải nhanh tác giả ( x c) ( y d )i (a bi ) z ( x c) ( y d )i (a bi ) z ( x c) (y d ) k a b ( x c) (y d ) k (a b ) Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w (a bi) z c di lf đường R k (a b ) I ( c ; d ) trịn tâm , bán kính Nhận xét: sử dụng phương pháp nhanh gọn khơng khó xử lý tốn phức tạp khó Ví dụ 1: Xét số phức z thỏa mãn z Trên mặt phẳng tọa độ tập Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức A 44 HD: Đáp án C w= iz z đường trịn có bán kính C 13 B 52 D 11 [5] w=x+yi với x,y số thực iz w-5 w= z 1 z iw Ta có : w-5 z iw w 5 w i Lại có : 2 2 ( x 5) y x ( y 1) 2 ( x 5) ( y 4) 52 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính 52 13 Ví dụ 2: Xét số phức z thỏa mãn ( z 2i)( z 2) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính A 2 C B HD: Đáp án C Đặt z=x+yi với x,y số thực Ví dụ 1,2 tham khảo tư liệu tham khảo số D 2[5] Đặt w x yi Vì ( z 2i )( z 2) x (2 y )i ( x 2) yi = x( x 2) y (2 y ) xy ( x 2)(2 y ) i số ảo nên có phần thực khơng , x( x 2) y (2 y ) = ( x 1) ( y 1) Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn có bán 2 kính Bài tốn Cho số phức z thỏa mãn | z a bi | z c di k Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z tìm M, n giá trị lớn nhỏ z p qi Phương pháp giải: Gọi z x yi x, y ¡ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy gọi M x; y điểm biểu diễn số phức z Gọi A a;b , B c;d | z a bi | z c di k ( x a ) ( y b) ( x c) ( y d ) k MA MB k MA MB AB 2 Mặt khác: Gọi I ( p; q) z p qi ( z p ) ( z q ) MI TH1: Nếu AB k khơng tồn M, suy khơng tồn z nên không tồn M, n TH1: Nếu AB k tập hợp điểm biểu diễn z đoạn thẳng AB Khi suy M, n TH1: Nếu AB k tập hợp điểm biểu diễn z Elip nhận A, B làm tiêu điểm Từ suy M, n Nhận xét: sử dụng phương pháp đòi hỏi học sinh phải nắm vững số kiến thức hình học phẳng hình tọa độ mặt phẳng Phương pháp giải nhanh toán tác giả, ví dụ tham khảo TLTK số Ví dụ 3:Xét số phức z thỏa mãn z i z 7i Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z i Tính P m M P 13 73 B A P 73 P 73 [4] C P 73 D HD: Đáp án B Phương pháp: Gọi z x yi tìm tập hợp điểm biểu diễn z trục tọa độ từ tìm GTLN, GTNN biểu thức cho Cách giải: Gọi z x yi x, y ¡ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy gọi P x; y điểm biểu diễn số phức z Gọi A 2;1 , B 4;7 AB z i z 7i x 2 y 1 x 4 y PA PB Suy tập hợp điểm P thỏa mãn đoạn thẳng AB Có z 1 i x 1 y 1 PC với C 1; 1 Suy ra: M PB 73 m d P, AB 5 73 M m 2 Ví dụ 4:Cho số phức z thỏa mãn z z Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ A Một đường Elip B Một đường parabol C Một đoạn thẳng D Một đường tròn[5] HD: Đáp án C Gọi M(x;y) điểm biểu diễn số phức z = x+ yi 10 Xét hai điểm F1 (2;0), F2 (2,0) , theo giả thiết : z z ( x 2) y ( x 2) y MF1 MF2 Mà F1 F2 , nên MF1 MF2 F1F2 Do tập hợp biểu diễn z đoạn thẳng F1 F2 Bài toán Cho số phức z thỏa mãn | z a bi | z c di Tìm số phức w z p qi có mơdun nhỏ Phương pháp giải: Gọi z x yi x, y ¡ Ta có: | z a bi | z c di ( x a ) ( y b) ( x c) ( y d ) Ax By C Rút y theo x vào môdun w ta tìm z 10 Ví dụ 5: Trong số phức thỏa mãn điều kiện | z 2i || z i | , tìm số phức có mơdun nhỏ A z i 5 z i 5 B C z 16 i 5 D z 16 i 5 [5] HD: Đáp án A Gọi z a bi, a, b R Ta có z 2i z i a 1 b i a b i i a 1 b a b 1 2a 6b a 3b 2 2 3 10 z a b 3b b 10b 12b 10 b 5 5 2 2 1 b a z i 5 Vậy 5 Dấu “ ” xảy Ví dụ tham khảo TLTK số 5, toán tác giả 10 Ví dụ 5, ví dụ tác giả tham khảo TLTK số 11 Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z i z 2i Gía trị lớn z 2i A 10 [5] HD: Chọn B B C 10 D 10 x, y ¡ M x; y Gọi z x yi , có điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Ta có: z i z 2i Đặt x 1 y 1 x 3 A 1;1 B 3; , từ ta có: 2 AM BM Mặt khác y 2 2 uuur AB 2;1 AB Nên từ suy M 3 thuộc đoạn thẳng z 2i x y MC Ta lại có: 1 , với AB C 0; 2 z 2i max CB · Nhận xét CAB góc tù (hoặc quan sát hình vẽ) ta có 11 Bài tốn Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 m, z2 n, z1 z2 p Tính z1 z2 Phương pháp giải: 11 Bài tốn tác giả, ví dụ tác giả tham khảo TLTK số 12 2 - Tính chất 9: z1 z2 z1 z z1 z Ta chứng minh: z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Mà z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Suy ra: 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Ví dụ 7: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 Tính z1 z2 A HD: Đáp án A B Ta có: D [5] C.1 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z z z z2 z1 z2 41 Ví dụ 8: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn , , Xét số phức z z1 a bi z2 , (a, b R) Khi b A 3 B C D [5] HD: Chọn D Ta có z1 3, z2 z1 z2 z z 41 z1 z 41 z2 1 41 z2 z2 Do đó, ta có hệ phương trình: z1 z2 2 a a b2 a b 16 z1 41 a 1 b 41 a 1 b2 41 b 1 16 4 z2 13 Vậy 12 b z z2 Ví dụ 9: Cho z1 , z2 số phức thỏa mãn z1 z2 Tính P P 1 z1 z2 3 B P A HD: Đáp án A C P Sử dụng tính chất 9: Ta có Áp dụng (*) với D z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 12 12 z1 z P 2 P 3 z1 z2 z z 1 1 z1 z2 z1 z2 z1 z2 3 3 3 Mặt khác * Bài tập tự luyện Bài 1: Cho số phức z1 , z2 , z thỏa mãn z1 5i z2 1 z 4i z 4i Tính z1 z2 biểu thức P z z1 z z2 đạt giá trị nhỏ A B 41 C D Bài 2: Xét số phức z thỏa mãn iz 2i z 3i 34 Tìm giá trị nhỏ 13 biểu thức A Pmin P 1 i z 1 i 34 B Pmin 17 C Pmin 34 12 Ví dụ8, ví dụ 9, tập tự luyện tác giả tham khảo TLTK số 13 Bài tập từ đến tác giả tham khảo TLTK số 14 D Pmin 13 17 Bài 3: Cho hai số phức z1 20i z2 z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 12i Gọi M , m giá trị lớn nhỏ biểu 2 thức P z1 z2 12 15i Khi giá trị M m A 220 B 223 C 224 D 225 z z z z 12 Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ z 3i Tính M m A 20 B 24 C 26 D 28 Bài 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | z | | z | Trên mặt phẳng tọa độ A Đường thẳng B Đường tròn C Elip D Hypebol : Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn Bài 2 z z P z2 z1 Tính giá trị biểu thức A P i C P 1 B P 1 i D P i Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn z Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2i z i đường trịn Tìm tọa độ tâm I đường trịn đó? A I 1; 2 B I 1;2 C I 1; 3 D I 1;3 Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn z Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w 3i z A r đường trịn Tìm bán kính đường trịn đó? C r 2 B r 15 D r Bài :Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 14 đường trịn Khi số phức w 4i z i có điểm biểu diễn thuộc đường trịn bán kính B C 25 D 35 A z2 5 Bài 10: Cho hai số phức z1 , z2 z 34, z mi z m 2i thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: (trong m số thực) cho z1 z2 D lớn Khi giá trị z1 z2 bằng: A B 10 C 130 ĐÁP ÁN Câu 10 Đáp án A C D B C C C B B D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Kết vận dụng thân Tác giả thực việc áp dụng cách làm năm học 20192020 lớp 12B2 ,12A3 Kết thể kiểm tra nội dung sau: Bảng so sánh cụ thể: Lớp Sĩ Kết kiểm tra TN số phức Ghi Điểm Điểm Điểm Điểm yếu, số giỏi tr.b 12B2 41 14 15 6 (2019 – 2020) 12A3 42 15 12 (2020-2021) Đây nội dung hay khó nên kết phản ánh khả vận dụng học sinh phụ thuộc vào vốn kiến thức tích lũy em 2.4.2 Triển khai trước tổ môn 14 Bài tập 9,10 tác giả tham khảo TLTK số 16 Tôi đưa đề tài tổ để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất vấn đề tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập Và nay, kinh nghiệm tơi tổ thừa nhận có tính thực tiễn tính khả thi Hiện nay, tơi tiếp tục xây dựng thêm nhiều ý tưởng để giúp học sinh trường THPT Hoằng hóa học tập nội dung cách tốt để đạt kết cao kì thi KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận -Trên đưa phương pháp để giải toán số phức mức độ vận dụng vận cao Đối với giáo viên, việc áp dụng sáng kiến giúp giáo viên có phương pháp hiệu trình giảng dạy - Đề tài phát triển xây dựng thành hệ thống toán số phức giải nhờ kiến thức số phức hình tọa độ phẳng đề thành sách tham khảo cho học sinh giáo viên 3.2 Kiến nghị Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn Khuyến khích học sinh xây dựng tập toán liên quan đến dạng tập giảng XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 28 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI THỰC HIỆN Lê Thị Hoa TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 [1] Nghị Số: 29-NQ/TW, ngày tháng 11 năm 2013 [2] SGK Giải tích 12_NXB Giáo dục [3] SGK hình học 10_ NXB Giáo dục [4] Đề minh họa thpt Quốc gia mơn tốn Bộ năm [5] Tham khảo số đề thi THPT Quốc gia năm đề thi thử THPT Quốc gia Sở trường mạng internet - Nguồn: http://www.dethi.violet.vn - Nguồn: http://www.vnmath.com - Nguồn: http://www.tintuyensinh247 -Nguồn: Nhóm - Diễn đàn giáo viên tốn -Nguồn : Nhóm strong-Vận dụng, vận dụng cao 18 ... cao luyện thi THPT Quốc gia ” nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học chương số phức lớp 12 2.3 Hướng dẫn học sinh giải số toán trắc nghiệm số phức mức vận dụng vận dụng cao luyện thi THPT Quốc gia. .. ôn thi THPT Quốc gia, nhận thấy việc nghiên cứu, khai thác, vận dụng kiến thức để giúp học sinh giải toán trắc nghiệm mức vận dụng vận dụng cao số phức để học sinh đạt điểm cao kì thi THPT Quốc. .. sinh đạt điểm cao kì thi THPT Quốc gia cần thi? ??t Tên đề tài: ‘? ?Hướng dẫn học sinh giải số toán trắc nghiệm số phức mức vận dụng vận dụng cao luyện thi THPT Quốc gia ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên
Ngày đăng: 06/06/2022, 19:38
Xem thêm: