Đang tải... (xem toàn văn)
Mục tiêu chủ yếu của đề tài Hướng dẫn học sinh đưa một bài toán về bài toán đã chứng minh - Phần quỹ tích hình học cấp THCS là hướng dẫn học sinh phương pháp phân tích và đưa một bài toán về bài toán gốc đã được chứng minh. Từ đó tập cho học sinh có thói quen xâu chuỗi, hệ thống các dạng bài tập đã được học, biến những bài tập mới đọc tưởng chừng là lạ thành những bài tập quen thuộc.
Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Tốn học là mơn học phát triển trí tuệ, địi hỏi sự tìm tịi và sáng tạo khơng ngừng. Trong q trình giảng dạy mơn tốn và hướng dẫn học sinh giải tốn, đặc biệt là khi hướng dẫn học sinh giỏi giải các bài tốn khó tơi vẫn thường thấy một thực trạng học sinh tìm tịi lời giải theo thói quen là: Tìm cách phân tích để đưa bài tốn về các tính chất tốn học đã học như định nghĩa, định lý hoặc là các hệ quả. Việc giải như vậy là một phương pháp suy luận mà giáo viên thường hướng dẫn học sinh suy luận theo một lối mịn nhất định, tơi thiết nghĩ nếu chỉ để học sinh tìm tịi lời giải theo những phương pháp thơng thường theo lối mịn sẽ làm học sinh mất đi tính sáng tạo của các em. Theo tơi ngồi các định nghĩa, định lý và hệ quả ra chúng ta cịn vơ số các bài tốn có thể xem là bài tốn mẫu trong q trình suy luận, tìm tịi phương pháp giải Trên thực tế thì các định lý hay hệ quả cũng chính là các bài tốn đã được chứng minh trọn vẹn để cho chúng ta áp dụng trong q trình suy luận, phân tích và tìm tịi lời giải. Vậy tại sao ta khơng thử đặt câu hỏi với những bài tốn mà mình đã chứng minh ta xem như là một định lý hay hệ quả của bản thân mình trong q trình suy luận và tìm tịi lời giải, đó là một thành quả riêng của bản thân mà có thể sử dụng khi cần thiết. Việc phân tích bài tốn để đưa nó về bài tốn quen thuộc đơi khi sẽ dể dàng hơn là cố gắng đưa bài tốn về sử dụng định lý hay hệ quả mà ta đã biết. Ngồi ra việc sử dụng được bài tốn đã giải chúng ta khơng những có thể giải quyết nhanh vấn đề mà cịn có thể tìm được lời giải hay và ngắn gọn. Bên cạnh đó khi hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải theo hướng này các thầy cơ lại hình thành cho hoc sinh một thói quen trong việc tìm tịi lời giải khơng những xuất phát từ những định lý hay hệ quả mà cách phân tích tìm tịi lời giải cũng có thể bắt đầu từ một bài tốn quen thuộc mà các em đã từng giải, hình thành cho học sinh thói quen tự tìm tịi và sáng tạo lời giải của Với những lý do trên tơi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS” nhằm giới thiệu cách tận dụng một bài tốn đã giải để đưa vào vận dụng khi giải một số bài tốn khó để có được lời giải hay và ngắn gọn Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 1 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS Trong đề tài này tơi chỉ trình bày cách phân tích và tìm tịi lời giải của các bài tốn thơng qua một bài tốn đã được giải mà khơng có ý đi giải hay trình bày lời giải của từng bài tốn cụ thể 2. Mục tiêu của đề tài Mục tiêu chủ yếu là hướng dẫn học sinh phương pháp phân tích và đưa một bài tốn về bài tốn gốc đã được chứng minh. Từ đó tập cho học sinh có thói quen xâu chuỗi, hệ thống các dạng bài tập đã được học, biến những bài tập mới đọc tưởng chừng là lạ thành những bài tập quen thuộc. Tìm hiểu những hạn chế và những khó khăn của học sinh trong q trình giải các bài tốn lớn, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp 8,9 để có những biện pháp giúp đỡ học sinh khắc phục dần những khó khăn mà học sinh thường mắc phải. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng là học sinh khá, giỏi lớp 8, 9 của trường; Phạm vi nghiên cứu: + Chương trình tốn 8,9; + Sách giáo khoa tốn 8,9; + Sách giáo viên tốn 8,9; + Sách tham khảo, nâng cao tốn 8,9; + Tuyển tập luyện thi vào lớp 10THPT 4. Giả thuyết khoa học Thực hiện tốt các phương pháp và cách hướng dẫn của sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn sẽ góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn, nâng cao điểm tuyển sinh vào các trường THPT của đơn vị và học sinh sẽ u thích học mơn Tốn 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải và cách định hướng cho học sinh giải các bài tốn về quỹ tích hình học. Tổng kết thực tiễn việc thực hiện trong q trình giảng dạy chun đề này 6. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp điều tra, khảo sát; Phương pháp thể nghiệm; Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái qt hóa, đặc biệt hóa Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 2 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS 7. Phạm vi nghiên cứu Một số cách giải bài tốn quỹ tích trong chương trình THCS 8. Dự báo được sự đóng góp của đề tài Đề tài sẽ tác động đến việc tạo hứng thú và tính tích cực cho học sinh khi gặp dạng tốn này B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lí luận Trong thực tế đối với một bài tốn lớn bao giờ cũng được xây dựng trên nền tảng của một bài tốn cơ bản mà học sinh đã được học, được làm trên lớp hoặc đã được làm trong sách giáo khoa. Bài tốn mới có thể là bài tốn hồn tồn mới, cũng có thể là sự mở rộng, đào sâu những bài tốn đã biết. Thực chất khó có thể tạo ra một bài tốn hồn tồn khơng có quan hệ gì về nội dung hoặc về phương pháp với những bài tốn đã có. Vì vậy để tạo ra một bài Tốn mới từ bài tốn ban đầu thì phải tn theo các con đường sau: 1. Lập bài tốn tương tự. 2. Lập bài tốn đảo. 3. Thêm một số yếu tố rồi đặc biệt hóa. 4. Bớt một số yếu tố rồi khái qt hóa. 5. Thay đổi một số yếu tố và kết hợp giữa các kiến thức liên quan II. Cơ sở thực tiễn Thơng thường khi đứng trước một bài tốn lớn học sinh thường hay lúng túng khơng biết bắt đầu từ đâu, khơng biết vận dụng những kiến thức đã học và kết quả của những bài tốn nào; chính vì thế học sinh khó tìm được cách giải bài tốn. Vì vậy để có những bài tập phù hợp với u cầu của từng tiết dạy, phù hợp với từng đối tượng học sinh của mình, phù hợp với hồn cảnh thực tế địa phương mình, ngồi việc khai thác triệt để các bài tập trong SGK, SBT giáo viên phải tự mình biên soạn thêm những câu hỏi và bài tập mới khai thác từ những bài tốn quen thuộc III. Giải pháp thực hiện Trong q trình dạy học giải bài tập giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh phân tích bài tốn để học sinh định hướng được cách đi tìm lời giải Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 3 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS Trong q trình dạy học giải bài tập giáo viên cần phải xâu chuỗi được các bài tập, mở rộng các bài tập hoặc cũng có thể chia nhỏ các bài tốn, tổng hợp các bài tốn nhỏ thành bài tốn lớn. Một vấn đề quan trọng nữa là hướng dẫn học sinh biết cách đưa bài tốn mới về bài tốn đã gặp IV. Ví dụ áp dụng Trong sáng kiến kinh nghiệm này tơi xin được trình bài bài tốn mở đầu (gọi là bài tốn gốc) một cách cụ thể. Để tránh tình trạng lặp đi lặp lại nhiều lần một cách giải, những bài tốn khác khi đưa về bài tốn gốc xin khơng giải tiếp 1. Kiến thức cần nhớ: Các kiến thức về bài tốn qũy tích Các kiến thức về hình bình hành Các kiến thức về tam giác đồng dạng 2. Bài tốn mở đầu (bài tốn gốc) Cho tam giác ABC, M là một điểm di động trên BC. Tìm qũy tích trung điểm I của AM A 2.1. Phân tích bài tốn. Khi M trùng với B thì I trùng với trung điểm của AB. Khi M trùng I Q P với C thì I trùng với trung điểm của AC. Khi đó ta dự đốn qũy tích trung điểm I của AM là C B M đường trung bình của tam giác ABC M 2.2. Giải a. Phần thuận Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB và AC Ta có: PI // BC (T/c đường trung bình) P,I,Q thẳng hàng QI // BC (T/c đường trung bình) Khi M B thi I P; khi M C thì I Q b.Giới hạn qũy tích Qũy tích trung điểm I của AM là đường trung bình PQ của tam giác ABC c.Phần đảo: Với I thuộc vào PQ ta cần chứng minh I là trung điểm của AM Do PI//BC ( I PQ) AI = IM PA = PB (gt) Vậy I là trung điểm của AM d. Kết luận: Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 4 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS Vây Qũy tích trung điểm I của AM là đường trung bình của tam giác ABC (PQ//BC) 2.3. Nhận xét Bài tốn gốc là một bài tốn tương đối dễ chỉ cần học sinh nắm được kiến thức về đường trung bình là ta có thể phân tích và tìm tịi được lời giải một cách dễ dàng. Mặc dù đây là một bài tốn tương đối dễ tuy vậy nếu ta biết vận dụng nó trong q trình suy luận để tìm tịi lời giải thì thật là thú vị. Dưới đây là một số bài tốn được giải nhờ vận dung bài tốn nói trên 3. Những bài tốn vận dụng Bài tốn 1: “Trích bài tốn 164, trang 77, sách bài tập Tốn 8” Cho đoạn thẩng AB = a. Trên AB lấy điểm M. Vẽ về một phía của AB các hình vng AMNP; BMLK có tâm theo thứ tự là C và D gọi I là trung điểm của CD. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I chuyển động trên đường thẳng nào? Giải: L K Phân tích tìm tịi lời giải: E Làm thế nào để đưa bài toán đang giải về bài toán gốc? Làm thế nào để I N D lại là trung điểm của một đoạn thẳng nối P I Q P từ đỉnh tới một điểm trên cạnh đối điện của tam giác đó. C Kéo dài AN cắt BL tại E, khi đó B A M tam giác AEB là tam giác vng cân tại E có AB khơng đổi Ta có: ECM = CED = EDM = 90o => tư giác CEDM là hình chữ nhật vây trung điểm của CD chính là trung điểm của EM Vậy bài tốn của chúng ta đã được đưa về bài tốn gốc và ta tiếp tục giải như bài tốn gốc Kết luận: Qũy tích trung điểm I của CD là đường trung bình PQ của tam giác AEB Bài tốn 2: Cho đoạn thẳng AB = a. Trên AB lấy điểm M, Vẽ tam giác ACM và tam giác BDM trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB sao cho tam giác ACM đồng dạng với tam giác MBD và CAM = ; DBM = khơng đổi Tìm qũy tích trung điểm của CD khi M di chuyển trên AB Giải Phân tícht tìm tịi lEời giải. Với cách đặt vấn đề như bài D toán 1 ta thấy điểm M bài toán này P Q I C Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 A M B Trang 5 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS có vai trị như điểm M bài tốn gốc vì vậy ta có lời giải như sau Kéo dài AC và BD cắt nhau tại E. Do CAM = ; DBM = => AEB cố định Mặt khác ta có: ACM MDB => CAM = DMC = => CM // ED (1) Mà CAM = DMC ở vị trí đồng vị Chứng minh tương tự ta có: EC // DM (2) Từ (1) và (2) => CEDM là hình bình hành => I là trung điểm của CD đồng thời là trung điểm của EM Vậy bài tốn đã được đưa về bài tốn gốc Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của CD là đường trung bình PQ của tam giác EAB Bài tốn 3: Cho đoạn thẳng AB trên AB lấy điểm M. Trên cùng một nữa mặt phẳng có bờ AB vẽ các nữa đường trịn đường kính AM và BM. Trên nữa đường trịn đường kính AM và BM lần lượt lấy các điểm C và D sao cho sđ CM = sđ DB và ln khơng đổi. Tìm qũy tích trung điểm I của CD khi M di chuyển trên AB Giải: K Phân tích tìm tịi lời giải Với cách đặt vấn đề như bài tốn 1 và 2. Trong bài tốn này tuy D I P cách phát biểu có khác nhưng nếu Q C ta nối CM và DM thì ta nhận ra ngay là: ACM MDB. Qua cách phân tích ta thấy bài tốn 3 A B M toán được phát biểu dưới một dạng khác. Ta dễ dàng đưa bài tốn 3 về bài tốn gốc Ta có cách giải như sau: Kéo dài AC và BD cắt nhau tại K dễ dàng chứng minh được CKDM là hình chữ nhật vì vậy I là trung điểm của CD đồng thời là trung điểm của KM. Bài tốn trở về bài tồn gốc. Tiếp tục giải như bài tốn gốc Kết luận: Qũy tích trung điểm I của CD là đường trung bình PQ của tam giác AKB Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 6 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS Bài tốn 4: “Trích bài 177 trang 57 sách một số vấn đề phát triển hình học 8. tác giả Vũ Hữu Bình” Cho tam giác ABC vng cân cố định. Điểm M chuyển động trên cạnh huyền BC, đường thẳng qua M vng góc với BC căt đường thẳng AB và AC lần lượt tại D và E. Gọi I là trung điểm của CE, K là trung điểm của BD Tìm qũy tích trung điểm của IK D Giải: Phân tích tìm tịi lời giải: A Do tam giác ABC vuông cân tại A => B = C + 45o (1) Từ (1) => BMD và K E O CME vuông cân tại M Q P I, K lần lượt là trung điểm I của CE và BD nên dễ dàng suy ra AKM = AIM = BAC = 90o B C => AKMI là hình chữ nhật M vì vậy O là trung điểm của IK đồng thời là trung điểm của AM như vậy ta đã đưa được bài tốn về bài tốn gốc Tiếp tục giải như bài tốn gốc Kết luận: Quỹ tích trung điểm O của IK là đường trung bình PQ của tam giác ABC Bài tốn 5: “ Trích bài 5 trang 23 sách 100 bài quỹ tích dựng hình của tác giả Bùi Văn Thơng” Cho đường trịn (O) với AB và CD là hai đường kính vng góc. Gọi M là di động trên cung nhỏ AC, BM căt CD tại N. Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác AMNO Giải: Phân tích tìm tịi lời giải: C o Ta thấy: AMN = 90 (góc nội tiếp chắn nữa đường trịn) P M o AON = 90 (gt) N I Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác A B Q O AMNO là trung điểm của đoạn thẳng AN Khi M di chuyển trên cung AC thì N di chuyển trên đoạn thẳng OC Vậy bài tốn đã đưa được về bài tốn D gốc. khi N di chuyển trên đoạn thẳng OC tìm Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 7 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS quỹ tích trung điểm của AN Ta tiếp tục giải như bài tốn gốc Kết luận: Quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ANMO là đường trung bình PQ của tam giác AOC. Bài tốn 6: “ Trích bài 97 trang 176 sách 100 bài tốn quỹ tích và dựng hình của tác giả Bùi Văn Thơng” (để bạn đọc tiện theo dỏi tơi xin trích ngun cả bài tốn nhưng chỉ giải phần quỹ tích) Bái tốn: Trên cạnh BC, CA và AB của tam giác đều ABC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BM = CN = AP 1. Chứng minh đường trịn ngoại tiếp của tam giác ABC và của tam giác MNP có chung tâm O 2. Tìm tập hợp trung điểm I của MN khi M di động trên BC Giải: Phân tích tìm tịi lời giải: Để đưa được bài tốn trên về tốn gốc ta cần tìm hai A điểm có vai trị như hai điểm A và M ở bài tốn gốc P Ở bài tốn này nếu qua M vễ đường thẳng song song với BC cắt H AB K.ta dễ dàng chứng minh AKN KBM hai tam K N giác đều khi đó ta thấy M,N có vai trị I giống với C,D bài toán 2. Ta cần chứng minh C,K có vai trị B C M Q giống với A,M ở bài tốn gốc Ta có: NK // CM (vẽ) (1) KBM và AKN là tam giác đều => NCM = KMB = 60o => CN // KM (2) Từ (1) và (2) => CMKN là hình bình hành, => I là trung điêm của MN đồng thời là trung điểm của CK. Bài tốn đã được đưa về bài tốn gốc, ta tiếp tục giải như bài tốn gốc Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của MN là đường trung bình QH của tam giác ABC Bài tốn 7: “Trích bài 30 trang 270 luyện thi vào lớp 10. tác giả Lương Xn Tiến” Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 8 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS Bài tốn: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, E, F lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CE = DF Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN. Giải: Phân tích tìm tịi lời giải; Để đưa được bài tốn về bài tốn gốc ta cần tạo ra một tam giác như ở bài tốn gốc Do điểm M và N nằm trên hai cạnh AB và BC nên ta nghỉ đến việc kẻ đường chéo AC D E C Từ N kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AC tại K nối KM Ta dễ dàng chứng minh được K N BNKM là hình chữ nhật Khi đó I là trung điểm của MN Q F đồng thời là trung điểm của BK. Khi M,N I dịch chuyển trên AB và BC thì K dịch chuyển trên AC Bài tốn đả đưa được về bài tốn gốc, A B P M ta tiếp tục giải theo bài tốn gốc Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của MN là đường trung bình PQ của tam giác ABC Bài tốn 8: “ Tích bài tốn 10 trang 229 luyện thi vào lớp 10 mơn tốn tác giả Lương Xn Tiến; đề thi vào trường Amsterdam và Chu Văn An – Hà Nội năm học 1996 1997” (Để tiện theo giỏi tơi xin trích ngun văn cả bài tốn) Bài tốn: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn (O) đường phân giác của góc A cắt đường trịn O điểm D một đường trịn (L) căt hai đường thẳng AB và AC lần lượt tại M và N(có thể trùng A) a) Chứng minh rằn BM = CN b) Tìm tập hợp trung điểm I của MN c) Xác định vị trí đường trịng (L) sao cho đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ A Giải: N B P I M Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 E Q C D Trang 9 H F Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS Phân tích tìm tịi lời giải Theo câu a ta có BM = CN khi N về đến A thì M về tới E ( E tia đối của tia BA và BE = CA). N về đến A thì N về đến F (F thuộc tia đối của tia CA và CF = AB) Từ cách phân tích trên cho ta thấy tam giác AEF cân tại A và ln cố định. Để đưa bài tốn về bài tốn gốc ta cần có điểm H có vai trị như điểm M ở bài tốn gốc Qua phân tích ta có thể giải bài tốn như sau Từ M kẻ MH // AC sao cho H EF. (*) Do AEF cân tại A => MEH cân tại M => ME = MH (1) Ta lại có BE = AC =>ME = AN (2) MB = NC (cm câu a) Từ (1) và (2) => MH = AN (**) Từ (*) và (**) => tứ giác AMHN là hình bình hành Vậy I là trung điểm của MN củng là trung điểm AH. Như vậy bài tốn đã được đưa về bài tốn gốc.Ta tiếp tục giải như bài tốn gốc Kết luận: Vậy quỹ tích trung điểm I của MN là đường trung bình PQ của tam giác AEF Bài tốn 9: Cho đường trịn (O) và dây cung BC cố định.Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC của đường trịn (O), (A khác B, C). Tia phân giác của góc ACB cắt đường trịn (O) tại điểm D khác C, lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đường thẳng BI cắt đường trong (O) tại điểm K khác điểm B 1. CMR: Tam giác KAC cân 2. CMR: Đường thẳng AI ln đi qua điểm cố định J.Từ đó tìm vị trí của A sao cho AI có độ dài lớn nhất 3. Trên tia đối AB lấy điểm M sao cho AM = AC.Tìm tập hợp các điểm M khi A di động trên cung lớn BC của (O) Giải: Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 10 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS 1.Ta có: DBI cân tại D nên: DBI= DIB. Mà: DIB = IBC + ICB (1) Và: DBI = KCI = KCA + ACD = KBA + ICB (2) A K D O Từ (1) và (2) suy ra ABI = CBI. Suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ABC I C J BI là phân giác góc B của tam giác K là trung điểm cung AC B Tam giác KAC cân 2. Vì I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC nên AI ln đi qua trung điểm J của cung nhỏ BC Ta dễ dàng chứng minh được tam giác BIJ cân ở J JI = JB = const Suy ra AI = AJ IJ = AJ const lớn nhất khi và chỉ khi AJ lớn nhất tức là AJ là đường kính của (O) A phải nằm tại trung điểm của cung lớn BC 3.Ta dễ dàng tính được: BMC = BAC = số đo cung nhỏ BC = const Suy ra quĩ tích điểm M là cung chứa góc nhìn BC dưới một góc bằng số đo cung nhỏ BC Bài tốn 10: Cho đường trịn tâm O cố định. Một đường thẳng d cố định cắt (O) tại A, B; M là điểm chuyển động trên d (ở ngồi đoạn AB). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MN với đường trịn 1. CMR: Đường trịn đi qua ba điểm M, N, P ln đi qua một điểm cố định khác O 2. Tìm tập hợp các tâm I của đường trịn đi qua M, N, P 3. Tìm trên d một điểm M sao cho tam giác MNP là tam giác đều Giải: Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 11 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS Gọi K trung điểm của AB Dễ thấy M, N, P, O, K đều nằm đường trịn đường kính OM Vậy K điểm cố định cần tìm Tâm I đường tròn đi qua M,N, P là trung điểm của OM P O I A Từ I hạ IJ vng góc với AB. Dễ thấy IJ = (1/2).OK=const Y X M B K J N Vậy có thể phán đốn quĩ tích của I là đường thẳng song song với AB cách AB một khoảng bằng một nửa đoạn OK trừ đoạn XY với X,Y lần lượt là trung điểm của OA và OB 3.Giả sử tam giác MNP đều thế thì: OM = 2.OP = 2R: MK2 = MO2 OK2 = 4R2 OK2 = const Từ đó có hai điểm M thảo mãn bài ra Chú ý: Trong kinh nghiệm này để tiện theo dõi có một số bài tốn tơi trích cả bài nhưng chỉ giải phần quỹ tích và cơng nhận kết quả của những câu trước 4. Bài tập tham khảo Với bài tốn nói trên ta có thể vận dụng để giải được rất nhiếu bài tốn về qũy tich là trung điểm của một đoạn thẳng. Sau đây tơi xin nêu thêm một số ví vụ để bạn đồng nghiệp cùng tham khảo Bài tập 1: cho đoạn thẳng AB = a. M là điểm di động trên AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB dựng các tam giác đều ACM và BDM. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng CD “ trích bài 178 trang 57 – Một số vấn đề phát triển hình học 8 – tác giả Vũ Hữu Bình” Bài tập 2: Cho tam giác ABC cố định. Hai điểm D và E thứ tự chuyển động trên hai cạnh AB và AC sao cho AD CE = Tìm tập hợp quỹ tích trung DB EA điểm M của DE Bài tập 3: Cho đoạn thẳng AB = a. M, N là hai điểm di động trên AB sao cho MN = m khơng đổi. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vễ các nữa Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 12 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS đường trịn đường kính AM và BN. Trên nửa đường trịn đường kính AM lấy điểm D và trên nửa đường trịn đường kính BN lấy điểm E sao cho sd DM = sd EB khơng đổi. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1. Kết luận Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm này tơi chỉ trình bày cách vận dụng bài tốn gốc để giải quyết một số bài tốn phức tạp bằng cách đưa bài tốn đó về bài tốn gốc. Cũng để bạn đồng nghiệp thấy được những ưu điểm khi ta sử dụng phương pháp này Với những ưu điểm như tơi đã trình bày trong kinh nghiệm này, tơi thấy nếu bạn đồng nghiệp biết vận dụng một bài tốn làm bài tốn gốc như một định lý hay hệ quả của riêng mình trong việc phân tích tìm tịi lời giải hay hướng dẩn học sinh suy luận dễ tìm tịi lời giải thì cơng việc sẻ bớt khó khăn hơn. Hơn thế nữa nếu biết cách vận dụng bài tốn trong khi tìm tịi lời giải sẽ làm phong phú hơn các phương pháp suy luận có nhiều định hướng trong q trình giải tốn và đối với phương pháp này lời giải cũng hết sức ngắn gọn 2. Kiến nghị Chúng ta đã biết hệ thống câu hỏi và bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập đã được biên soạn và chọn lọc, sắp xếp một cách cơng phu và có dụng ý rất sư phạm, rất phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của học sinh, phản ảnh phần nào thực tiễn đời sống xã hội và học tập gần gũi với học sinh, phù hợp với tâm lý lứa tuổi học sinh. Tuy nhiên, SGK và SBT là tài liệu dành cho tất cả học sinh thành thị cũng như nơng thơn, miền núi cũng như miền xi, vùng kinh tế phát triển cũng như vùng gặp khó khăn, với các đặc trưng khác nhau. Trên đây là một kinh nghiệm mà tơi đã vận dụng giãi và hướng dẩn học sinh giải một số bài tốn quỹ tích nhanh và ngắn gọn nhất trong q trình giảng dạy. Tơi xin được trình bày để các bạn đơng nghiệp tham khảo sử dụng và đóng góp ý kiến Tơi xin chân thành cảm ơn! Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 13 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS MỤC LỤC Mục A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục tiêu của đề tài 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4. Giả thuyết khoa học 5. Phương pháp nghiên cứu B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lý luận II. Cơ sở thực tiễn III. Giải pháp thực hiện IV. Ví dụ áp dụng 1. Kiến thức cần nhớ 2. Bài toán mở đầu 3. Những bài toán vận dụng 4. Bài tập tham khảo III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1. Kết luận 2. Kiến nghị MỤC LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 1 2 2 2 3 3 9 10 11 12 Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 14 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 Phương pháp dạy học Toán – Trần Bá Kim Sách giáo khoa Toán 9, NXB Giáo dục năm 2011 Sách giáo viên Toán 9 NXB Giáo dục năm 2011 Sách giáo khoa Toán 8 NXB Giáo dục năm 2011 Sách giáo viên Tốn 8 NXB Giáo dục năm 2011 Tuyển tập nâng cao Tốn 9 Tuyển tập nâng cao Tốn 8 Một số vấn đề phát triển hình học 8 – Tác giả Vũ Hữu Bình Luyện thi vào lớp 10 mơn Tốn Tác giả Lương Xn Tiến 100 bài tốn quỹ tích và dựng hình Tác giả Bùi Văn Thơng Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 15 Hướng dẫn HS đưa một bài tốn về bài tốn đã chứng minh Phần quỹ tích hình học cấp THCS Sáng kiến kinh nghiệm dạy học năm học 20212022 Trang 16 ... Sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm? ?dạy? ?học? ?năm? ?học? ?20212022 Trang 15 Hướng? ?dẫn? ?HS? ?đưa? ?một? ?bài? ?tốn? ?về? ?bài? ?tốn? ?đã? ?chứng? ?minh? ?? ?Phần? ?quỹ? ?tích? ?hình? ?học? ?cấp THCS? ? Sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm? ?dạy? ?học? ?năm? ?học? ?20212022... d. Kết luận: Sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm? ?dạy? ?học? ?năm? ?học? ?20212022 Trang 4 Hướng? ?dẫn? ?HS? ?đưa? ?một? ?bài? ?tốn? ?về? ?bài? ?tốn? ?đã? ?chứng? ?minh? ?? ?Phần? ?quỹ? ?tích? ?hình? ?học? ?cấp THCS? ? Vây Qũy? ?tích? ?trung điểm I của AM là đường trung bình của tam giác ABC... Qũy? ?tích? ?trung điểm I của CD là đường trung bình PQ của tam giác AKB Sáng? ?kiến? ?kinh? ?nghiệm? ?dạy? ?học? ?năm? ?học? ?20212022 Trang 6 Hướng? ?dẫn? ?HS? ?đưa? ?một? ?bài? ?tốn? ?về? ?bài? ?tốn? ?đã? ?chứng? ?minh? ?? ?Phần? ?quỹ? ?tích? ?hình? ?học? ?cấp THCS? ? Bài? ?tốn 4: “Trích? ?bài? ?177 trang 57 sách? ?một? ?số vấn đề phát triển? ?hình? ?học