Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài báo này sẽ tìm hiểu các bài toán, các khái niệm, tính chất và so sánh chúng bằng cả ba thứ hình học. Đặc biệt, các bài toán, các khái niệm, tính chất đều được nhìn bằng ”con mắt” Euclid nên dễ hiểu, dễ tiếp nhận. Mời các bạn tham khảo!
MỞ RỘNG CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC EUCLID THÀNH CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC CẦU VÀ HÌNH HỌC LOBACHEVSKY - MỘT PHƯƠNG THỨC SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI Nguyễn Ngọc Giang – TP Hồ Chí Minh TĨM TẮT Sáng tạo tốn ln niềm đam mê đích tới nhà tốn học Tuy nhiên câu hỏi đặt là, làm để phát toán mới? Để trả lời câu hỏi này, cần đến phương pháp phát triển mở rộng toán Ở bậc đại học, học phương pháp thế, phương pháp afin-xạ ảnh Tuy nhiên, phương pháp afin-xạ ảnh phương pháp Có phương pháp cịn hay hấp dẫn phương pháp afin-xạ ảnh, phương pháp mở rộng tốn hình học Euclid1 thành tốn hình học cầu hình học Lobachevsky Nội dung phương pháp tìm chứng minh tốn tổng qt hình học Euclid hình học cầu hình học Lobachevsky Trong báo tìm hiểu tốn, khái niệm, tính chất so sánh chúng ba thứ hình học Đặc biệt, tốn, khái niệm, tính chất nhìn ”con mắt” Euclid nên dễ hiểu, dễ tiếp nhận So sánh hình học Euclid, hình học cầu hình học Lobachevsky Trong hình học cầu, bán kính cầu R cho ta biết điều, bán kính R lớn hình học phạm vi gần hình học Euclid Vì bán kính mặt cầu R cịn gọi bán kính cong 1 Người ta chứng minh độ cong toàn phần không đổi mặt cầu R R2 độ cong toàn phần mặt phẳng Lobachevsky Ta thêm dấu trừ để khác biệt với hình học Euclid Hình học Lobachevsky diễn theo hướng ngược với hình học cầu so với hình học Euclid Hình học Euclid (hai chiều) hình học mặt phẳng có độ cong tồn phần khơng Như vậy, hình học Euclid trường hợp giới hạn hình học mặt cầu (khi R ! 1/ giới hạn hình học mặt cong có độ cong tồn phần âm khơng đổi (khi R ! 1/ R2 Ta quy ước khái niệm thông thường đường thẳng, tam giác, tiếp tuyến, đường tròn, cung Ghi chú: Thuật ngữ hình học Euclid tiếng Anh Euclidean Geometry Đơi chỗ có tài liệu ghi Euclide thay Euclid Ở đây, để thống với hai viết số Epsilon này, phù hợp với tên tiếng Anh nhà tốn học lừng danh người Hy Lạp, chúng tơi chọn tên Euclid hình học Euclid cho tồn viết Chú thích Ban Biên tập 33 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 trịn mà khơng nói thêm có nghĩa khái niệm hình học Euclid Ta quy ước khái niệm đường thẳng, đường tròn hình học Lobachevsky có thêm kí hiệu L kèm Ví dụ đường thẳng L A, L AB có nghĩa đường thẳng qua A, đường thẳng AB hình học Lobachevsky, đường trịn L OI OA/ đường trịn tâm O bán kính OA hình học Lobachevsky Đường thẳng, đường trịn, hình học cầu có thêm kí hiệu S kèm Ví dụ đường thẳng S AB có nghĩa đường thẳng AB !trong hình học cầu Ta quy ! AB AB AB AB AB AB ; tan S ước sin , tan sin S ; sinh ; R R R R R R ! ! AB AB sinh L ; L R R Ta quy ước mục 1.1, 2.1, 3.1, , n.1, khái niệm, định lí hình học Euclid; mục 1.2, 2.2, 3.2, , n.2, khái niệm hình học cầu; mục 1.3, 2.3, 3.3, , n.3, mục hình học Lobachevsky Sau mục so sánh khái niệm, tính chất, hệ thức, định lí cách dựng đối tượng ba thứ hình học Euclid, cầu Lobachevsky [4]: 1.1 Điểm 1.2 Điểm nằm mặt cầu 1.3 Điểm nằm phía trục-x cho trước 2.1 Điểm vô tận (trong mặt phẳng Euclid mở rộng) 2.2 Khơng có tương ứng 2.3 Điểm thuộc trục-x 3.1 Khơng có tương ứng 3.2 Khơng có tương ứng 3.3 Điểm nằm phía trục-x 4.1 Đường thẳng AB 4.2 Đường tròn lớn qua A; B giao mặt phẳng OAB/ với mặt cầu đường thẳng S AB: 4.3 Nửa đường trịn có tâm trục-x qua A; B đường thẳng L AB Cách dựng sau: - Dựng đường trung trực đoạn AB cắt trục-x O: Nửa đường tròn OI OA/ qua A; B nửa đường tròn cần dựng - Nửa đường tròn đường thẳng L AB 34 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 5.1 Đoạn thẳng AB d (cung nhỏ) đoạn thẳng S 5.2 Cung AB AB: d nửa đường tròn có tâm trục-x qua A; B đoạn thẳng L 5.3 Cung AB 6.1 Độ dài đoạn thẳng AB d độ dài đoạn thẳng S 6.2 Độ dài cung AB AB AB: d nửa đường tròn có tâm trục-x qua A; B cắt trục-x hai điểm 6.3 - Dựng cung AB vô tận P; Q: - Đo độ dài đoạn thẳng AP ; AQ; BP ; BQ: - Gọi tỉ số kép AB; PQ/ AB; PQ/ D AP =AQ : BP =BQ - Đặt d D j ln.AB; PQ/j d độ dài đoạn thẳng L AB: 7.1 Định lí: Có đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước 7.2 Khơng có đường thẳng song song hình học cầu Hai đường thẳng ln cắt 7.3 - Có hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước - Hai đường thẳng cắt nhau, song song phân kì - Có vơ số đường thẳng qua điểm khơng có điểm chung với đường thẳng cho trước 8.1 Độ lớn góc ACB d CB d thuộc đường tròn lớn mặt cầu 8.2 - Cho hai cung tròn CA; d CB d C độ lớn - Độ lớn góc tạo hai tiếp tuyến CA0 ; CB với hai cung CA; S ACB (hình vẽ) 35 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 d CB d hai đoạn thẳng L CA; L CB: (Xem 5.3) 8.3 - Dựng hai cung tròn CA; - Dựng hai tiếp tuyến CA ; CB với hai cung tròn C BB ?CB ; AA0 ?CA0 / - Độ lớn góc A0 CB độ lớn L ACB 9.1 Đường phân giác C C góc ACB 9.2 - Dựng góc S ACB A0 CB - Dựng phân giác C C góc A0 CB - Dựng đường tròn lớn OCD/ qua C tiếp xúc với C C C CD phân giác góc S ACB: 9.3 - Dựng góc L ACB góc A0 CB với CA0 ; CB dựng 8.3 - Dựng phân giác C C góc A0 CB 36 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 - Dựng đường thẳng d ?C C : - d cắt trục-x O : - Nửa đường tròn O I O C / đường phân giác C C L ACB 10.1 Đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước điểm nằm đường thẳng 10.2 - Đường tròn lớn qua hai điểm B; C đường thẳng S BC: - Gọi A điểm nằm đường thẳng S BC: - Qua O dựng đường thẳng d vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn lớn qua hai điểm B; C: - Mặt phẳng A; d / cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn lớn qua A: Đường trịn đường thẳng L A qua A vuông góc với BC: 10.3 - Dựng đường thẳng L AB: 37 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 - Gọi O tâm đường tròn nằm trục-x qua hai điểm A; B: - Nối OA: - Gọi O điểm trục-x cho O A?OA: - Dựng đường trịn O I O A/ nửa đường tròn trục-x qua A đường thẳng L dựng A cần 11.1 Đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước điểm không nằm đường thẳng 11.2 - Đường tròn lớn qua hai điểm B; C đường thẳng S BC: - Gọi A điểm nằm đường thẳng S BC: - Qua O dựng đường thẳng d vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn lớn qua hai điểm B; C: - Mặt phẳng A; d / cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn lớn qua A: Đường trịn đường thẳng S A qua A vng góc với S BC: 11.3 - Dựng đường trịn O/ qua hai điểm A; B có tâm O trục-x Nửa đường trịn phía trục-x đường thẳng L AB: - Dựng đường tròn OI OC /: 38 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 - Dựng qua O đường vng góc với OC cắt nửa đường trịn phía OI OC / F: - OC; OF cắt đường thẳng L AB D; E: - Dựng qua E đường thẳng song song với DF cắt OC G: - Gọi O giao đường trung trực đoạn C G với trục-x: - Nửa đường tròn O I O C / phía trục-x đường thẳng L C qua C vng góc với L AB cần dựng 12.1 Trung điểm M đoạn thẳng CD 12.2 - Cho đoạn thẳng S CD - Gọi M trung điểm đoạn thẳng CD: - Tia OM cắt đoạn thẳng S CD M M trung điểm đoạn thẳng S CD: 12.3 - Gọi đường tròn qua hai điểm C; D có tâm nằm trục-x O/: Nửa đường trịn phía chứa C; D đường thẳng L CD: - Đường thẳng CD cắt trục-x O : - Gọi H trung điểm OO : - Đường tròn H I HO/ cắt đường thẳng L CD M M trung điểm cần dựng 13.1 Trung trực đoạn thẳng CD 13.2 - Dựng trung điểm M đoạn thẳng S CD cách dựng 12.2 - Dựng đường thẳng qua M vng góc với S CD M cách dựng 10.2 13.3 - Dựng trung điểm M đoạn thẳng L CD cách dựng 12.3 - Dựng đường thẳng L M qua M vng góc với L CD M cách dựng 10.3 39 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 14.1 Ảnh đối xứng A0 điểm A qua đường thẳng qua M vng góc với AM cho trước 14.2 - Dựng đường thẳng S AM ; S m vng góc với S AM M: - Dựng đường thẳng qua A vuông góc với OM cắt đường thẳng S AM A0 Thế A0 điểm cho đoạn thẳng S AM; S A0 M nhau, nghĩa S AM Š S A0 M: 14.3 - Dựng đường thẳng L AM: - Dựng đường thẳng L m qua M vng góc với đường thẳng L AM cách dựng 10.3 Đường thẳng L m nửa đường trịn có tâm trục-x O: - Dựng đường thẳng OA cắt đường thẳng L AM điểm A0 : Thế A0 điểm cần dựng 15.1 Đường trịn tâm O bán kính OP 15.2 - Dựng mặt phẳng qua P vng góc với đường nối tâm mặt cầu điểm O Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn mặt cầu đường trịn đường trịn S OI OP /: 40 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 15.3 Cho điểm O điểm P: Dựng đường tròn L OI OP /: - Dựng đường thẳng l qua O vng góc với trục-x - Dựng P ảnh P qua đường thẳng L O vng góc với đường thẳng L cách dựng 14.3 Thế L OP Š L OP : - Dựng đường trung trực đoạn PP cắt l O : - Đường tròn O I O P / đường tròn cần dựng 16.1 Đường tròn tâm O có bán kính R đoạn thẳng AB cho trước 16.2 Cho điểm O đoạn thẳng S AB: - Dựng đường trung trực S d đoạn S OA cách dựng 13.2 - Lấy điểm P đối xứng với điểm B qua mặt phẳng chứa đường trung trực S - Đường trịn S OI OP / đường tròn cần dựng 41 OP O OA Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 16.3 Cho điểm O, dựng đường tròn L OI OP / với OP độ dài đoạn thẳng AB cho trước L OP Š L AB - Dựng đoạn thẳng L OA: Dựng L l đường trung trực đoạn thẳng L OA cách dựng 13.3 - Dựng đường thẳng L m qua B vng góc với đường thẳng L l điểm M: - Gọi P ảnh B nằm đường thẳng L m qua M: - Đường tròn L OI OP / đường trịn cần dựng cách dựng 15.3 17.1 Định lí hàm số côsin: a2 D b C c 2bc cos A a b c b c 17.2 Định lí cơsin-S: cos D cos cos C sin sin cos A (Chứng minh: [2]) R R R R R a b c b c 17.3 Định lí cơsin-L: cosh D cosh cosh sinh sinh cos A (Chứng minh: [1]) R R R R R b c a 18.1 Định lí hàm số sin: D D si nA sin B sin C sin Ra sin Rb sin Rc 18.2 Định lí sin-S : D D sin A sin B sin C sinh Ra sinh Rb sinh Rc 18.3 Định lí sin-L: D D sin A sin B sin C 42 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 19.1 Định lí Phương tích điểm đường tròn: Nếu từ điểm P ta kẻ hai cát tuyến PMM ; PN N tới đường tròn cắt đường tròn cặp điểm M; M I N; N ta có hệ thức PM:PM D PN:PN : 19.2 Nếu từ điểm P ta kẻ hai cát tuyến S PMM ; S tròn cặp điểm M; M I N; N ta có hệ thức: PN N tới đường tròn cắt đường PM PM PN PN : tan D tan : tan : 2R 2R 2R 2R 19.3 - Nếu từ điểm P ta kẻ hai cát tuyến L PMM ; L PN N tới đường tròn cắt đường tròn cặp điểm M; M I N; N ta có hệ thức tan PM PM PN PN : D : : 2R 2R 2R 2R 20.1 Định lí Ménélaus 20.2 Điều kiện cần đủ để ba điểm A0 ; B ; C theo thứ tự nằm ba cạnh S CA; S AB tam giác S ABC thẳng hàng 0 BC; S sin ARB sin BRC sin CRA : : D 1: 0 sin ARC sin BRA sin CRB 20.3 Điều kiện cần đủ để ba điểm A0 ; B ; C theo thứ tự nằm ba cạnh L CA; L AB tam giác L ABC thẳng hàng 0 BC; L sinh ARB sinh BRC sinh CRA : : D 1: 0 sinh ARC sinh BRA sinh CRB 21.1 Định lí Céva 21.2 Điều kiện cần đủ để ba đường thẳng S AA0 ; S BB ; S C C theo thứ tự nối đỉnh A; B; C với điểm A0 ; B ; C nằm ba cạnh S BC; S CA; S AB tam giác S ABC đồng quy 0 sin ARB sin BRC sin CRA : : D 0 sin ARC sin BRA sin CRB 1: 21.3 Điều kiện cần đủ để ba đường thẳng L AA0 ; L BB ; L C C theo thứ tự nối đỉnh A; B; C với điểm A0 ; B ; C nằm ba cạnh L BC; L CA; L AB tam giác L ABC đồng quy 0 sinh ARB sinh BRC sinh CRA : : D 0 sinh ARC sinh BRA sinh CRB 1: 22.1 Định lí ba đường cao 22.2 Ba đường cao hình học-S đồng quy 22.3 Ba đường cao tam giác hình học-L đồng quy nghĩa ba đường cao thuộc chùm Điểm đồng quy điểm thông thường, điểm lý tưởng hay điểm vơ tận Cụ thể là: 43 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 - Nếu hai đường cao cắt điểm O đường cao thứ ba qua O: - Nếu hai đường cao phân kì đường cao thứ ba phân kì với chúng Cả ba nhận chung đường vng góc - Nếu hai đường cao song song với phía đường cao thứ ba song song với chúng phía 23.1 Định lí ba đường trung tuyến 23.2 Ba đường trung tuyến-S tam giác-S đồng quy 23.3 Ba đường trung tuyến-L tam giác-L đồng quy 24.1 Định lí ba đường phân giác 24.2 Ba đường phân giác trong-S tam giác-S đồng quy 24.3 Ba đường phân giác trong-L tam giác-L đồng quy 25.1 Định lí hai đường phân giác đường phân giác 25.2 Trong tam giác-S; hai đường phân giác ngoài-S đường phân giác trong-S thứ ba đồng quy 25.3 Trong tam giác-L, hai đường phân giác ngoài-L đường phân giác trong-L thứ ba đồng quy 26.1 Định lí ba đường trung trực 26.2 Trong tam giác-S, ba đường trung trực-S đồng quy 26.3 Trong tam giác-L, ba đường trung trực-L đồng quy Dùng hình học cầu chứng minh hình học Lobachevsky 2.1 Phương pháp Để chứng minh định lí hình học Lobachevsky, ta chứng minh định lí hình a b c học cầu nhờ hàm lượng giác tỉ số ; ; ; v; v; ::: với a; b; c độ dài đoạn R R R thẳng cầu Bây giờ, chứng minh ta thay R Ri ta lại chứng minh khác cho phép ta khẳng định, định lí hình học Lobachevsky 2.2 Ví dụ minh họa Bài toán (Định lý Céva-L) Điều kiện cần đủ để ba đường thẳng L AA0 ; L BB ; L C C theo thứ tự nối đỉnh A; B; C với điểm A0 ; B ; C nằm ba cạnh L BC; L CA; L AB tam giác L ABC đồng quy 0 sinh ARB sinh BRC sinh CRA : : D 0 sinh ARC sinh BRA sinh CRB 1: Lời giải Để chứng minh định lí Céva-L ta chứng minh cho định lí Céva-S Trong chứng minh định lí Céva-S , ta sử dụng hàm lượng giác Sau thay R Ri ta chứng minh cho định lí Céva-L Bài tốn (Định lí Céva-S ) 44 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Điều kiện cần đủ để ba đường thẳng S AA0 ; S BB ; S C C theo thứ tự nối đỉnh A; B; C với điểm A0 ; B ; C nằm ba cạnh S BC; S CA; S AB tam giác S ABC đồng quy 0 sin ARB sin BRC sin CRA : : D 0 sin ARC sin BRA sin CRB 1: Điều kiện cần: Các trường hợp biểu diễn hình vẽ Từ hình vẽ xét, bỏ qua việc xét dấu, ta có: sin OC R sin OA0 B ( góc S OA0 B S sin ARB sin BOA0 D sin OB R sin OA0 B sin ARC sin COA0 OA0 C bù nhau) Tương tự, ta có: sin OB : sin BOA0 sin OC : sin COA0 A0 B A0 C R R sin D sin D : 0B 0B R R sin OA sin OA 0 sin ARB sin OB R sin BOA Tiếp theo: D : 1/ 0 sin ARC sin OC R sin COA 45 D Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Các tam giác S OCB S OAB cho: sin BRC sin OC R sin COB D : 2/ sin OA R sin AOB sin BRA Các tam giác S 0 AOC S BOC : sin CRA sin CRB Nhân vế theo vế hệ thức (1), (2) (3), ta có: 0 sin ARB : sin BRC : sin CRA 0 D sin ARC : sin BRA : sin CRB 0 sin OA R sin AOC 3/ D : sin OB R sin BOC : sin OC : sin OA : sin BOA0 sin COB : sin AOC sin OB R R R : sin OA : sin OB : sin COA0 sin AOB : sin BOC sin OC R R R : sin ARB sin BRC sin CRA Nói cách khác: : : D 1.4/ (bởi góc S BOA0 ; S AOB I S 0 sin ARC sin BRA sin CRB COB ; S BOC I S AOC ; S COA0 đôi đôi bù nhau) Hệ thức ta chứng minh trường hợp giá trị tuyệt đối Bây ta cần xét dấu Trong trường hợp hình vẽ bên trái, tỉ số vế trái (4) âm, nên tích chúng lại âm Trong trường hợp hai hình vẽ cịn lại, hai tỉ số ba tỉ số vế trái (4) dương tỉ số lại âm nên tích chúng lại âm 0 sin ARB sin BRC sin CRA Cuối ta viết: : : D 1: 0 sin ARC sin BRA sin CRB Điều kiện đủ: 0 sin ARB sin BRC sin CRA Giả sử ta có hệ thức: : : D 1.5/ 0 sin ARC sin BRA sin CRB Gọi O giao điểm đường thẳng S AA0 S BB Gọi giao điểm S CO với đường thẳng S AB C 00 0 00 sin ARB sin BRC sin CRA Áp dụng điều kiện cần ta có: : : D 1.6/ 0 00 sin ARC sin BRA sin CRB 00 sin CRA sin CRA Từ (5) (6) ta có: D 7/ 00 sin CRB sin CRB Từ hệ thức (7) ta có điểm C ; C 00 trùng Thay R Ri ta chứng minh cho định lí Céva-L Vậy ta chứng minh định lí Céva-L cách sử dụng chứng minh định lí Céva-S Dùng hình học Euclid chứng minh hình học Lobachevsky 3.1 Phương pháp Để chứng minh toán hình học Lobachevsky, ta sử dụng mơ hình Poincaré để đưa tốn hình học Lobachevsky hình học Euclid Sau ta chứng minh tốn hình học Euclid Như ta chứng minh tốn hình học Lobachevsky 46 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 3.2 Ví dụ minh họa Bài tốn (Định lí Pascal Lobachevsky) Cho điểm A; B; C; D; E; F nằm đường tròn L O/: Giả sử L AB \ L DE D X I L BC \ L EF D Y; L CD \ L FA D Z: Chứng minh X; Y; Z thẳng hàng Lời giải Để chứng minh định lí Pascal-L, ta sử dụng mơ hình Poincaré để đưa toán Euclid Bây giờ, ta chứng minh toán sau Bài toán Cho điểm A; B; C; D; E; F nằm đường tròn O/: l đường thẳng khơng qua tâm O:.OAB /; ODE /; OBC /; OEF /; OCD /; OFA / đường trịn có tâm thuộc l qua A; BI D; EI B; C I E; F I C; DI F; A: Giả sử OAB / \ ODE / D X; X I OBC /\.OEF / D Y; Y I OCD /\.OFA / D Z; Z : Chứng minh X; X I Y; Y I Z; Z thuộc đường trịn có tâm thuộc l: Chứng minh Ngơ Quang Dương Gọi U; V; W giao điểm AB DE; BC EF; CD FA: Dễ thấy XX trục đẳng phương OAB / ODE / Phương tích U tới OAB / ODE / UA:UB UD:UE: Do A; B; D; E đồng viên nên UA:UB D UD:UE suy X; U; X thẳng hàng UX:UX D UA:UB D UD:UE: Điều dẫn tới phương tích U tới XX Y Y / O/ Tương tự, phương tích V tới XX Y Y /; O/ nên U V trục đẳng phương O/ XX Y Y /: Hoàn toàn tương tự U V W trục đẳng phương Y Y ZZ /, ZZ XX / với O/: Suy XX Y Y /; Y Y ZZ /; ZZ XX / đồng trục, hay điểm X; X ; Y; Y ; Z; Z đồng viên Với nhận xét đơn giản X; Y; Z X ; Y ; Z đối xứng qua l; tâm đường trịn qua điểm thuộc l: 47 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Nhận xét Để cho thuận tiện, từ trở sau ta gọi đường tròn XX Y Y ZZ / ”đường tròn Pascal” điểm có thứ tự A; B; C; D; E; F: Khi đường tròn O/ nằm l ta lấy nửa đường tròn OAB /; ODE /; OBC /, OEF /; OCD /; OFA /; OXX Y Y ZZ / tương giao chúng (hình vẽ) tốn trở thành toán Vậy ta chứng minh tốn Pascal hình học Lobachevsky Bài tốn (Định lí Steiner-L) Cho điểm A; B; C; D; E; F thuộc đường tròn L O/: Chứng minh đường thẳng Pascal-L ABCDEF; EDAFBC; CEFBAD đồng quy Để chứng minh định lí Steiner-L, ta sử dụng mơ hình Poincaré để đưa tốn Euclid Bây giờ, ta chứng minh tốn sau hình học Euclid Bài toán Trong mặt phẳng cho điểm A; B; C; D; E; F thuộc đường tròn O/ l đường thẳng không qua tâm Chứng minh ”đường trịn Pascal” điểm có thứ tự ABCDEF; EDAFBC; CEFBAD đồng trục Chứng minh Ngơ Quang Dương 48 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Theo chứng minh toán 4, đường thẳng Pascal ABCDEF trục đẳng phương (O/ với đường tròn Pascal ABCDEF Đường thẳng Pascal EDAFBC trục đẳng phương (O/ với đường tròn Pascal EDAFBC Đường thẳng Pascal CEFBAD trục đẳng phương (O/ với đường tròn Pascal CEFBAD Theo định lý Steiner, đường thẳng Pascal ABCDEF; EDAFBC; CEFBAD đồng quy Ta gọi điểm đồng quy S Vậy nên S có phương tích với ”đường trịn Pascal” ”đường trịn Pascal” có tâm thuộc l nên lấy m đường thẳng qua S vng góc với l m trục đẳng phương ”đường trịn Pascal” Điều có nghĩa ”đường tròn Pascal” đồng trục Nhận xét Khi đường trịn O/ nằm phía đường thẳng l ta lấy nửa tất đường tròn (trừ đường tròn O// như.OAB /; ODE /; OBC /; OEF /; OCD /; OFA /; ::: tương giao nửa đường trịn tốn trở thành toán Vậy ta chứng minh tốn Steiner hình học Lobachevsky Mở rộng tốn từ hình học Euclid thành hình học cầu hình học Lobachevsky 4.1 Phương pháp Xuất phát từ tốn hình học Euclid, mở rộng tốn thành tốn hình học cầu hình học Lobachevsky Chú ý sử dụng phương pháp chứng minh Euclid áp dụng cho chứng minh hình học cầu hình học Lobachevsky (nếu được) 49 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 4.2 Ví dụ minh họa Bài tốn (Bài T4/285 – Tạp chí tốn học tuổi trẻ) Cho tam giác ABC với điểm M nằm tam giác Các tia AM; BM; CM cắt cạnh BC; CA; AB tương ứng D; E; F: Gọi K giao điểm DE CM , gọi H giao điểm DF BM Chứng minh đường thẳng AD; BK; CH đồng quy Ta chứng minh tốn sau Áp dụng định lí Ménélaus cho tam giác AM C (với ba điểm thẳng hàng E; K; D/ tam giác AMB (với ba điểm thẳng hàng F; H; D/ ta có KM EC DA HB DM FA : : D 1; : : D 1: KC EA DM HM DA FB EA DM HB FB DA : ; D : 1/ KC EC DA HM FA DM Áp dụng định lí Céva cho tam giác ABC với ba đường thẳng đồng quy AD; BE; CF : Suy ra: KM D DC FB EA : : D DB FA EC FA EC : 2/ DB FB EA Từ (1) (2) ta có Từ đó: DC 1: D KM HB DC : : D KC HM DB 1: Vậy theo phần đảo định lí Céva, BK; CH; MD đồng quy Hay AD; BK; CH đồng quy Bài toán (Mở rộng tốn hình học cầu) Cho tam giác S ABC với điểm M nằm tam giác Các tia S AM; S BM; S CM cắt cạnh S BC; S CA; S AB tương ứng D; E; F: Gọi K giao điểm S DE S CM , gọi H giao điểm S DF S BM Chứng minh đường thẳng S AD; S BK; S CH đồng quy 50 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Áp dụng định lí Ménélaus cho tam giác S AM C (với ba điểm thẳng hàng E; K; D/ tam giác S AMB (với ba điểm thẳng hàng F; H; D/ ta có sin KM sin ERC sin DA sin HB sin DM sin FA R R R R R D 1: : : D 1; : : KC EA DM HM DA FB sin R sin R sin R sin R sin R sin R sin DM sin HB sin FB sin EA sin DA R R R R R : ; D 1/ : EC DA HM DM KC FA sin R sin R sin R sin R sin R sin R Áp dụng định lí Céva cho tam giác S ABC với ba đường thẳng đồng quy S sin DC sin FB sin EA R R R BE; S CF : : : D 1: DB FA sin R sin R sin ERC Suy ra: Từ đó: sin KM R sin DC R sin DB R D D AD; S sin FA sin ERC R : 2/ EA sin FB sin R R sin KM sin HB sin DC R R R Từ (1) (2) ta có: : : D 1: KC HM sin DB sin R sin R R Vậy theo phần đảo định lí Céva, S BK; S CH; S BK; S CH đồng quy MD đồng quy Hay S AD; S Bài toán (Mở rộng toán hình học Lobachevsky) Cho tam giác L ABC với điểm M nằm tam giác Các tia L AM; L BM; L CM cắt cạnh L BC; L CA; L AB tương ứng D; E; F: Gọi K giao điểm L DE L CM , gọi H giao điểm L DF L BM Chứng minh đường thẳng L AD; L BK; L CH đồng quy 51 Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Áp dụng định lí Ménélaus cho tam giác L AM C (với ba điểm thẳng hàng E; K; D/ tam giác L AMB (với ba điểm thẳng hàng F; H; D/ ta có sinh KM sinh ERC sinh DA sinh HB sinh DM sinh FA R R R R R : : D 1; : : D 1: KC EA DM HM DA FB sinh R sinh R sinh R sinh R sinh R sinh R Suy ra: sinh KM R sinh KC R D sinh EA sinh DM sinh HB sinh FB sinh DA R R R R R : ; D : 1/ EC DA HM DM FA sinh R sinh R sinh R sinh R sinh R Áp dụng định lí Céva cho tam giác L BE; L CF : ABC với ba đường thẳng đồng quy L sinh DC sinh FB sinh EA R R R : : D DB FA E sinh R sinh R sinh RC AD; L 1: Từ đó: sinh DC R sinh DB R D sinh FA sinh ERC R : 2/ EA sinh FB sinh R R sinh KM sinh HB sinh DC R R R Từ (1) (2) ta có: D 1: : : KC HM sinh DB sinh R sinh R R Vậy theo phần đảo định lí Céva, L BK; L CH; L BK; L CH đồng quy MD đồng quy Hay L AD; L Kết luận Chúng ta vừa có số khám phá mở rộng thú vị từ hình học Euclid sang hình học cầu hình học Lobachevsky Phương pháp mở rộng phương pháp phát tốn Chính thế, phương pháp quan trọng phát triển tư Bài viết cần trao đổi thêm? Mong chia sẻ bạn Tài liệu tham khảo [1] N.V.Efimov (1980), Higher geometry, Mir Publishers Moscow [2] P Constan (1941), Cours de Trigonométrie Sphérique, Paris Société D’Éditions [3] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [4] Steve Szydlik, Hyperbolic constructions in Geometer’s Sketchpad, http://www.maa.org 52 ... trở thành toán Vậy ta chứng minh tốn Steiner hình học Lobachevsky Mở rộng tốn từ hình học Euclid thành hình học cầu hình học Lobachevsky 4.1 Phương pháp Xuất phát từ tốn hình học Euclid, mở rộng. .. có số khám phá mở rộng thú vị từ hình học Euclid sang hình học cầu hình học Lobachevsky Phương pháp mở rộng phương pháp phát toán Chính thế, phương pháp quan trọng phát triển tư Bài viết cần trao... hình học Euclid, mở rộng tốn thành tốn hình học cầu hình học Lobachevsky Chú ý sử dụng phương pháp chứng minh Euclid áp dụng cho chứng minh hình học cầu hình học Lobachevsky (nếu được) 49 Tạp